Гауссовские копульные временные ряды с тяжелыми хвостами и сильной временной зависимостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2015. №5

3

Математика

УДК 519.21

ГАУССОВСКИЕ КОПУЛЬНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ С ТЯЖЕЛЫМИ ХВОСТАМИ И СИЛЬНОЙ ВРЕМЕННОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ

А. Е. Мазур1, В. И. Питербарг2

В работе описан класс функций /, для которых случайная величина X = /(£), где £ — стандартная нормальная случайная величина, принадлежит области максимального притяжения Фреше. Для фунцпй из этого класса доказана предельная теорема для максимума последовательности Х{к) = f(£k), где — гауссовская стационарная последовательность с медленным убыванием корреляции.

Ключевые слова: копула, гауссовская последовательность, область максимального притяжения Фреше, предельные теоремы для максимума.

A class of functions / is described for which the random variable X = /(£), where £ is a standard normal random variable, belongs to Fréchet maximum domain of attraction. For any / from this class, a limit theorem for the maximum of the sequence X(k) = /(£&), к = 1,2,..., is proved, where is a Gaussian stationary sequence with a slowly decreasing correlation.

Key words: copula, Gaussian sequence, Fréchet maximum domain of attraction, limit theorems for maximum.

1. Введение. Модели временных рядов с тяжелыми хвостами одномерных распределений и сильной временной зависимостью (большим радиусом корреляции) часто используются при исследовании финансовых и экономических данных, в задачах передачи информации [1-4]. Обычно в качестве моделей применяются устойчивые распределения, различные типы преобразований дробного броуновского движения [2, 4, 5]. В то же время имеются и другие хорошо изученные модели случайных временных рядов с сильной временной зависимостью. В первую очередь это гауссов-ские последовательности. Однако гауссовское распределение имеет легкий суперэкспоненциальный хвост, что является существенным недостатком при построении моделей для вышеупомянутых данных. Чтобы использовать в этой ситуации все возможности хорошо развитой техники исследования гауссовских распределений, можно прибегнуть к нелинейным преобразованиям фазового пространства, т.е. к копулам. Например, в [6] гауссовские копулы применяются в задачах хеджирования и прогноза доходности при наличии большого числа факторов и малого числа наблюдений. Зависимость гауссовских распределений от малого числа параметров и возможность моделирования сильной зависимости играют здесь существенную роль.

Под гауссовским копульным временным рядом мы понимаем случайную последовательность X(k) = /(£fc), к = 1,2,..., где — гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним, единичной дисперсией и ковариационной функцией г (к). Выбирая соответствующим образом копульную функцию f(x), можно получать различные типы хвостов маргинальных распределений временного ряда Х(к). Появляется возможность подгонки модели к данным, имеющим предположительно тяжелые (степенные) хвосты распределений. В настоящей работе мы рассматриваем гауссовские копульные временные ряды, распределение которых принадлежит области максимального притяжения Фреше FMDA(a), а > 0. Мы исходим из предельной теоремы Бермана для максимума гауссовской последовательности [7]. Предположим, что

г(п)\пп —> 0, п —> оо. (1)

Тогда

lim Р{ max < a~lx + ап) = е~е ,

га—)• оо к=1,...,п

где

i—- 1п1ПП + 1П47Г , .

ara = v2mn--. —. (2)

2 л/21ññ

2. Условия принадлежности /(£) к FMDA(a). Предположим, что функция f(x), х € К, неограниченно возрастает при х —> оо и для некоторого Xq и всех х ^ Xq она дважды непрерывно

Мазур Анна Евгеньевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: amfolityQgmail.com.

2Питербарг Владимир Ильич — доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр., зав. лаб. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: piterQmech.math.msu.su.

дифференцируема, причем f'(x) > 0. Тогда из (1), (2) следует, что для любой последовательности положительных чисел dn

lim P(d~l max /(£fc) < d~lf(a~lx + an)) = e~e x. (3)

n-loo k=l,...,n

Мы хотим, чтобы функция распределения F(x) случайной величины X& = /(£&) принадлежала FMDA(a), т.е. имело место соотношение из [1]

1 -F(x) =x~aL(x),

где L(x) — медленно меняющаяся на бесконечности функция. Если это выполнено, то в случае независимых Х^, к = 1,2,..., для любой последовательности dn, такой, что

1 Ti у оо, (4)

имеет место сходимость

lim P(d~l max Хк < у) = е~у~а (5)

ги- оо к=1,...,п

для всех у > 0. Полагая в (3) х = a: In у, получаем

lim P{d~l max /(£fc) < d~lf{aa~1 lny + an)) = e~y у > 0.

n->oo fc=l,...,ra

Сопоставляя это с (5), заключаем, что

f(ota~l In у + а,

■п )

dr,

У (6)

при п —> оо для всех положительных у. Полагая в (6) у = 1, видим, что можно взять dn = f(an). То есть, чтобы /(¿¡fc) принадлежала к К.\!1).\(п) (напомним, что / строго монотонна для всех больших х), необходимо и достаточно, чтобы

/(аа'Чпу + ап)

f(an) У {)

при п —> оо и для всех положительных у, или после логарифмирования

ln ¡{aa~l ln у + ап) - 1п /(ап) 1п у. Обозначая h(x) = ln f(x), перепишем последнее соотношение как

h(an + ста"1 ln у) - h(an) = ln у + о(1).

По формуле Тейлора

а\пу.. . a2 \v? у .. f авп lnw\ , . .

--h'{an) + yh" ап + у = ln у + о 1

ап 2 а^ \ ап )

при п —>■ оо, где 9п = 9п{у) € [0,1]. Устремляя у —> 1, окончательно получаем, что

а 1а2\пу ,, { авп ln у \

—п (ап) Н--^—п ап Н--= 1 + о(1) при п —> оо для всех у > 0.

ап 2 ai V ап )

В случае у = 1 вышеприведенные соотношения имеют место тогда и только тогда, когда

а ап

, / / \ , \ 1 , // ( а@п 1п у \ , .

-п (ап) = 1 + о(1), —п I ап-\--1=о(1) при п оо.

I V /

Заметим, что ап^\/ап -> 1 и ^ап + авпа 1пу^ /ап —> 1 при п —>■ оо. Тогда (8) выполняется, если

(8)

z 1

h'(z) = —Ь zg(z), —ñh" (z) = о(1) при z —> оо, (9)

о; ~ '' z2

где g(z) —>■ 0 при z —> оо. Подставляя первое соотношение из (9) во второе, получаем соотношение

1 1 g'(z)

—к Н---1--= о(1) при z —У оо,

azz z z

которое имеет место тогда и только тогда, когда g'(z)/z —>■ 0 при z —> оо. Итак, соотношение (7) справедливо, если

(lnf(z)y = - + zg(z) а

для любой функции g(z), такой, что g(z) и g'(z)/z стремятся к нулю при z —> оо. Мы доказали следующее

Предложение 1. Пусть начиная с некоторого Хо неограниченная на бесконечности функция / строго возрастает при х ^ хо, где она дважды, непрерывно дифференцируема. Пусть £ — стандартная нормальная случайная величина. Тогда /(£) € FMDAfaj, если при х ^ Хо имеет место представление

f(x) = С exр (jL + £ sg(s)ds) (10)

для некоторых С > 0 и непрерывно дифференцируемой функции д{х), такой, что д(х) —> 0 и д'(х)/х —> 0 при х —)■ оо.

Обозначим через QCa класс функций, удовлетворяющих условиям предложения 1. Замечание 1. Соотношения (8) и (9) не эквивалентны, однако весьма близки. Можно, исходя из (8), вывести критерий принадлежности /(£) к FMDA(a), однако скорее всего он будет в менее явной форме, чем утверждение предложения I3.

Замечание 2. Может быть удобным другое представление для / € QCa:

/(Ж) = Сехр^+Я(Ж)), С > О,

где Н'(х)/х —> 0 и Н"(х)/х2 0 при х —> оо.

Замечание 3. В дипломной работе A.B. Антоненко "Об асимптотическом распределении максимума гауссовского копульного процесса с дискретным временем", выполненной на мех.-мат. ф-те в 2011 г., приведен пример следующей функции, принадлежащей классу QCa:

2 т к

f(x) = Lxc exp I |- + BiXßi + Ci 1пЪ

• ¿(Ji

i=i j=l

где а > 0, 0 < А < 2, 0 < ^ < 1, С, С^ ^0, Ь > 0.

3. Предельная теорема для максимума гауссовской копульной последовательности.

Здесь предполагаем, что ковариационная функция г (к) удовлетворяет условию (1).

3.1. Случай существования второго момента. Предположим, что / € <ЗСа для а > 2. В этом случае ЕХ (1) < оо и ковариационная функция копульного процесса Х{к) существует. Поскольку нас интересуют только значения / для достаточно больших х, предположим без ограничения общности, что

оо оо

У е~х2/2!{х)(1х = О, У хе~х2/2Цх)с1х^ 0. (11)

— оо —оо

Первое предположение означает, что ЕХ( 1) = 0. Это предположение можно легко обойти, вычитая из / константу: / = / — Второе предположение означает, что первый коэффициент в разло-

жении функции / в ортогональный ряд по полиномам Эрмита не равен нулю. В случае если это не выполнено, можно легко переформулировать нижеследующее предложение 2 и его доказательство в терминах первого отличного от нуля коэффициента. Но, поскольку с точки зрения предельной теоремы для максимума нас интересуют только значения / вблизи бесконечности, можно изменить значения /, скажем, для отрицательных х таким образом, чтобы это условие выполнялось. Например, можно рассматривать только нечетные функции /. Теперь, поскольку ЕХ( 1) = 0, обозначим через р(к) = ЕХ(1)Х(к + 1) ковариационную функцию последовательности Х(к). Пусть Н^х), к = 0,1,..., — ортогональная система полиномов Эрмита в гильбертовом пространстве Ы функций,

Авторы приносят благодарность Виктору Трошину за замеченную неэквивалентность (4) и (10).

интегрируемых в квадрате с весом ip(x), соответствующим стандартной нормальной плотности. Как уже говорилось, QCa С Ы для а > 2. Легко вывести, что

= 6СЛИ т =}) (12) Используя нежеследующие соотношения для разложения Эрмита

оо

f(x) = Y, скНк(х), ск = Ef(Ci)Hk(Ci) (13)

к=1

(со = 0), получаем с учетом (12)

оо

р(к) = г (к) £ с2тгт-\к), (14)

т= 1

т.е.

оо

|р(*0КК*01££- (15)

т= 1

Таким образом, если г (к) удовлетворяет условию (1), то для р(к) оно тоже выполнено.

Обратное утверждение также имеет место. Действительно, функция K(z) = c2z + c^z2 + ... аналитична в круге \z\ < 1, поэтому существует аналитическая обратная функция K~l(z) = b\Z + 62z2 + ..., причем, поскольку с\ = Ef((i){i ф 0 в силу (11), имеем (К_1(0))' = Кщ = =: Ь\ > 0.

оо

То есть r(k) = ^ bipl(k) и 61 > 0, и если соотношение (1) выполнено для р(к), то оно имеет место и 1=1

для r(fc).

Суммируем все вышесказанное.

Предложение 2. Пусть f(x) € а: > 2, и пусть выполнены, условия (11). Пусть {к — гаус-совская стационарная последовательность с нулевым средним,, единичной дисперсией и ковариационной функцией г (к). Тогда для, Х(к) = /(£&), к = 1,2,..., выполнено соотношение ЕХ(к)2 < оо. Кроме того, функция, распределения F ~ Ф(/-1) случайной величины Х(к) принадлежит облает,и, FMDA(a) максимального притяжения Фреше. Также г(k) Ink —> 0 тогда и только тогда, когда p(k) In к —> 0 при к —> оо. В этом случае для, всех х > 0 имеет место предельное соотношение

lim Р( max Х{к) < dnx) = е"2^, (16)

«,-)• оо к=1,...,п

где либо dn = F_1(l — либо dn = f(an), ап дано в (2).

3.2. Случай, отсутствия, моментов. Поскольку для а ^ 2 корреляционная функция последовательности Х(к) не существует, вместо условия (1) мы обратимся к условиям перемешивания Лидбеттера, гарантирующим выполнение предельного соотношения (16), см. [8]. Эти условия основаны на требовании определенной скорости убывания разности вероятностей

Р( max X(ik) < ип, max X(l + jk) < un) — P( max X(ik) < un)P( max X(jk) < un) k=l,...,p k=l,...,p' k=l,...,p k=l,...,p'

при n —> 00, I —>■ 00, I = o(n), равномерно по любым конечным множествам индексов, где ип = dnx.

Лемма 1. Если г(п)\пп —> 0 и / € QCa, а > 0, то гауссовский, копульный временной ряд X(k) = /({fc), к = 1,2,..., удовлетворяет условиям Лидбеттера.

Доказательство леммы основано на неравенстве сравнения теоремы 2.1 [7], откуда следует, что для некоторой константы С < оо

|Р( max /(&) ^ ип) - Р( max /(&) ^ ип)Р{ max /(&) ^ ип)\ ^ i=i\...iv,j\...jvi i=i\...iv i=ji...jp/

£ £ \r(j — г) \ ехр (— ГЧип)2

ч l + \r(j-i)\

Далее пользуемся свойствами функции /.

Из леммы 1 получаем следующее предложение.

Предожение 3. Пусть f(x) € QCa,a > 0 н ^ - гауссовская стационарная последовательность с нулевым средним,, единичной дисперсией, и, ковариационной, функцией г (к), удовлетворяющей условию (2). Тогда, имеет место утверждение предложения 2.

Мы видим, что в противоположность предложению 2 предложение 3 формулируется не в терминах характеристик "наблюдений" Х(к), а в терминах "скрытой" последовательности ¿¡д.. Поэтому при работе с реальными данными полезной может оказаться следующая лемма. Пусть р(х) — финитная гладкая функция, такая, что

оо — оо

Тогда последовательность Y(k) = р(Х(к)), к = 1,2,..., стационарна в широком смысле, обозначим ее ковариационную функцию через ру{к).

Лемма 2. Если py(n) Inn —> 0 при п —>• оо, то r(n) Inn —> 0. Доказательство следует уже приведенной в п. 3 схеме (см. (12)-(15)). Работа поддержана РФФИ, проект №14-01-00075.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Embrechts P., Kluppelberg С., Mikosch Т. Modeling extremal events: for insurance and finance. Berlin: Springer, 1997.

2. Cont R. Long range dependence in financial time series // Fractals in engineering / Ed. by E. button, J. Levy-Vehel. L.: Springer, 2005. 159-179.

3. Resnick S.I. Heavy tail modeling and teletraffic data: special invited paper // Ann. Statist. 1997. 25, N 5. 1805-1869.

4. Mikosch T. Modeling dependence and tails of financial time series // Extreme values in finance, telecommunications, and the environment / Ed. by B. Finkenstadt, H. Rootzen. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2004. 196-297.

5. Heath D., Resnick S., Samorodnitsky G. Heavy tails and long range dependence in on/off processes and associated fluid model // Math. Oper. Res. 1998. 23, N 1. 145-165.

6. Cherny A.S., Douady R., Molchanov S.A. On measuring hedge fund isk, 2008. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract= 1113620 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1113620.

7. Piterbarg V.I. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields // AMS Transl. Math. Monogr. Vol. 148. Providence, Rhode Island, 1996.

8. Лидбеттер M. P., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

Поступила в редакцию 09.09.2013

УДК 519.244.5(043)

ОПТИМАЛЬНАЯ ОСТАНОВКА ДЛЯ АБСОЛЮТНОГО МАКСИМУМА

ОДНОРОДНОЙ ДИФФУЗИИ

А. А. Каменов1

В статье исследуется задача об оптимальной остановке для функций, зависящих от абсолютного максимума однородной диффузии. Рассматриваются случаи бесконечного и конечного временных горизонтов. В обоих случаях найдено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять граница оптимальной области остановки, и доказан принцип максимума для функций, удовлетворяющих условию однократного пересечения.

Ключевые слова: однородные диффузии, оптимальная остановка, процесс максимума, теорема об огибающей.

The article deals with the optimal stopping problem in case when the reward function depends on the absolute maximum of some homogeneous diffusion. We consider cases of infinite

1 Каменов Андрей Александрович — ассист. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akamenovQgmail .com.