Экстраполяция временных рядов на основе оценки производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

УДК 62-506.1

Е. С. Терентьева Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНОЙ

Данная работа посвящена прогнозированию временных рядов. Рассматривается алгоритм экстраполяции, основанный на оценке производной функции регрессии. Прогнозирование будущих значений временного ряда широко используется для эффективного принятия решений.

Прогнозирование временного ряда по его текущим и прошлым значениям является важной прикладной задачей. Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т. е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

1. Изменение наблюдаемой переменой может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной траекторией - трендом.

2. Общие условия, определяющие тенденцию изменения в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем.

Таким образом, математические методы экстраполирования сводятся к определению того, какие значения будет принимать та или иная переменная величина 2(V) , если известен ряд ее значений 2Х,22,...,2Т в прошлые и текущий моменты времени.

Представим модель временного ряда в следующем виде:

2 = т, (1)

где V е ОЩ - скалярный временной параметр. Таким образом, значения временного ряда включают в себя системную составляющую т( (тренд) и случайную составляющую ^ (помеху). Случайные отклонения мешают выявить основную тенденцию развития. Для выравнивания временного ряда предлагается применять непараметрическую оценку регрессии [1]:

1 s

, С)=- z

ZiH

f t - i ^

s i=1

(2)

где {zi, ti}, i = 1, s - равномерная выборка наблюдений объемом s, ti+1 = ti + At; cs ^ 0, scs ^ ж,

^5(t - x) с ростом s; H(u) - колоколо-

1H

f t - x ^

образная функция, удовлетворяющая условию

- z

scs

H

t - ti

\

= 1, Vt е ), и - аргументы коло-

-6- [=1 V -я )

колообразной функции; ся - параметр размытости, минимизирующий среднеквадратичный критерий рассогласования модели и объекта:

W(cs) =

1

= - z (Zs (ti ) - zt )2

i= 1

^ min.

Cs

Для оценки прогнозного значения ~Т+к временного ряда, (Т - текущий момент времени), предлагается воспользоваться следующей формулой:

+к = kAtz'T + zT

(3)

где 2Т - оценка производной регрессии в последней точке выборки (2Т,Т). В качестве оценки производной регрессии предлагается взять аппроксимацию, построенную на основании равномерной выборки, в виде [1]:

1 s f

zs (t)=-Vz 5<H(/) (■

sc^

s i=1

t - ti

Л

(4)

где = (^), I = 1, я, - значения сглаженного временного ряда, рассчитанные по формуле (2), Н()(и) -первая производная колоколообразной функции Н(и), удовлетворяющая интегральным условиям [2]:

JH(/)(u)dz = 0, cs JuH(/)(u)du

R1 R1

l

= -1,

H(//)(z)dz < ж.

(5)

Параметр размытости cs должен минимизировать среднеквадратичный критерий:

^ s i

W(c's) = 1 z (zs (ti) - Z zs (ti )At)2 ^ min.

s ■ i , i CS

i=1 k=1

Приведем некоторые численные результаты моделирования.

Пусть имеется равномерная зашумленная выборка наблюдений случайной величины (zi, ti), i = 1, s на интервале t = [0,1.98], s = 100, At = 0.02. Выборка формировалась следующим образом:

zi = m +§i = cos(ti -1),

где 4 - 5%-ая нормально распределенная центрированная помеха с нулевым математическим ожиданием. Результаты моделирования (3) для к = 1 и к = 3 приведены на рис. 1, оценка производной (4) представлена на рис. 2.

c

R

V cs V

c

V cs V

s

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

Рис. 1

Рис. 2

Истинные значение временного ряда - в данном случае рассматриваются значения тренда т( (без учета помехи) - тТ+1 = 0.284, тт+3 = 0.396, прогнозные значения, рассчитанные по формуле (3) - ~т+1 = 0.287 и ~т+3 = 0.395 соответственно.

Библиографическая ссылка

1. Медведева Н. А. Непараметрические оценки производной кривой регрессии и модели динамики // Информатика и процессы управления. Красноярск, 1995, С. 74-81.

© Терентьева Е. С., Медведев А. В., 2011

УДК 62-506.1

А. В. Фаустов Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМАХ УПРАВЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Рассматривается задача управления многомерными безинерционными нестационарными системами в условиях малой априорной информации. Предлагаются непараметрические оценки нестационарной функции регрессии, непараметрические алгоритмы управления нестационарными объектами по наблюдениям. Предлагаются оценки степени нестационарности процесса.

При моделировании различных дискретно-непрерывных процессов по наблюдениям случайных

величин (u, x1), I = 1,5, где 5 - объем выборки наблюдений, широко используются регрессионные модели. В классе непараметрических оценок принята статистика [1]:

Х5 (и1,...ит ) =

=Е х

г=1

]=1

( у У А

и - и-1

(

ЕЛ®

=1 У=1

и - и

\

(1)

где х, i = 1,5 - выборочные значение выходных переменных; и1 - выборочные значение входной переменной; т - размерность вектора входных переменных; Ф(-) - финитная колоколообразная функция удовлетворяет некоторым условиям сходимости [1; 2]:

С

Иш — ф((и - ui)/ с5) = 5(и - ui),

С 5

— |ф((и -щ)/С5) = 1, (2)

□(и )

здесь 5(и - и) - дельта-функция Дирака. Параметр размытости с5 удовлетворяет следующим условиям сходимости [1; 2]:

с5 > 0, Иш с5 = 0, Иш 5 • ст = да .

(3)

При этом предполагается, что х(и) не меняется с течением времени. Однако при моделировании реальных процессов факт дрейфа характеристик во времени имеет существенное значение. Среди многих факторов влияющих на последнее отметим только безус-

5

С

с

а

л