CC BY
21
Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»
Рис. 1
Рис. 2
Истинные значение временного ряда - в данном случае рассматриваются значения тренда т( (без учета помехи) - тТ+1 = 0.284, тт+3 = 0.396, прогнозные значения, рассчитанные по формуле (3) - ~т+1 = 0.287 и ~т+3 = 0.395 соответственно.
Библиографическая ссылка
1. Медведева Н. А. Непараметрические оценки производной кривой регрессии и модели динамики // Информатика и процессы управления. Красноярск, 1995, С. 74-81.
© Терентьева Е. С., Медведев А. В., 2011
УДК 62-506.1
А. В. Фаустов Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМАХ УПРАВЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Рассматривается задача управления многомерными безинерционными нестационарными системами в условиях малой априорной информации. Предлагаются непараметрические оценки нестационарной функции регрессии, непараметрические алгоритмы управления нестационарными объектами по наблюдениям. Предлагаются оценки степени нестационарности процесса.
При моделировании различных дискретно-непрерывных процессов по наблюдениям случайных
величин (u, x1), I = 1,5, где 5 - объем выборки наблюдений, широко используются регрессионные модели. В классе непараметрических оценок принята статистика [1]:
Х5 (и1,...ит ) =
=Е х
г=1
]=1
( у У А
и - и-1
(
ЕЛ®
=1 У=1
и - и
\
(1)
где х, i = 1,5 - выборочные значение выходных переменных; и1 - выборочные значение входной переменной; т - размерность вектора входных переменных; Ф(-) - финитная колоколообразная функция удовлетворяет некоторым условиям сходимости [1; 2]:
С
Иш — ф((и - ui)/ с5) = 5(и - ui),
С 5
— |ф((и -щ)/С5) = 1, (2)
□(и )
здесь 5(и - и) - дельта-функция Дирака. Параметр размытости с5 удовлетворяет следующим условиям сходимости [1; 2]:
с5 > 0, Иш с5 = 0, Иш 5 • ст = да .
(3)
При этом предполагается, что х(и) не меняется с течением времени. Однако при моделировании реальных процессов факт дрейфа характеристик во времени имеет существенное значение. Среди многих факторов влияющих на последнее отметим только безус-
5
С
с
а
л
Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии
ловное старение оборудования, других технических средств, где и протекает интересующий нас процесс.
Идентификация. Пусть истинная характеристика процесса изменяется во времени в пространстве входных и выходных переменных заранее непредвиденным образом. Для восстановления функции регрессии в нестационарных условиях x(u,t) предлагается [1] ввести в стандартную непараметрическую оценку функции регрессии некоторую функцию «памяти», убывающую с увеличением аргумента р = (5 - г), где г - дискретное время поступления информации, г = 1,2, ..., 5, 5 - текущее время. Тогда непараметрическая оценка нестационарной функции регрессии по наблюдениям (х,и) будет иметь вид:
х*(и1,...ит ) = 2 Хг
г=1
Пф
3=1
( } 3 а и - и-1
Р(5 -1)
5 т ( з з \
и -и-)
!Пф
г=1 3=1
Р(5 - I) ,
(4)
и5 (Х , Ц) =
5 2 иф г=1 ' / х 3ф
V 5
2 Ф г =1 V *
С5
ц3 - Ц3
\
р(5 - г)
Ц3 - Ц3 г
X5 - О
управления с идентификатором. В этом случае в роли идентификатора будет выступать непараметрическая оценка функции регрессии (4).
Оценка изменчивости процесса. Предлагается ввести показатель изменчивости 8(^2) характеристики исследуемого процесса в следующем виде:
8(^, /2) = ^| х(и,-х(и,/2)| йи .
(6)
□(и)
где р = (5 - г) - функция «памяти», удовлетворяющая следующим свойствам:
1) г = 5 - г) = р(0) = 1;
2) V/, 3 е [1,5], г > 3 ^ р(5 - г) > р(5 - 3) ;
3) г = 1 - г) = р(5 -1) > 0.
Проведены исследования непараметрической оценки функции регрессии (4) методом статистического моделирования при различных вариантах функции памяти, уровнях случайных помех в каналах измерений, объемах выборок и различных степенях нестационарности объекта [3].
Управление. Аналогичную модификацию непараметрического алгоритма идентификации (4) можно предложить и для непараметрического алгоритма управления статическим нестационарным объектом:
Обозначим дискретность измерения переменных (х, и) через Д^ Величина Дt естественно будет зависеть от показателя изменчивости 5(^, t2), где ^ < Можно считать, что при медленно меняющейся во времени характеристике процесса, т. е. при малых значениях 5(^/2), дискретность измерений Дt «входных-выходных» переменных процесса (х, и) больше, чем в случае больших значений 5(^/2). В последнем случае параметр Дt - дискретность измерения «входных-выходных» переменных следует уменьшить. Анализ этого вопроса требует дополнительных исследований имеющейся выборки наблюдений {х„ и(1)г,
..., и
(т) ■
г = 1, 2, ...}.
(5)
где х* - требуемое значение выхода объекта; ц - наблюдаемое значение входных переменных.
Наряду с предложенным алгоритмом управления нестационарным объектом (5), возможна схема
В ходе численных исследований определено, что использование предлагаемой непараметрической оценки нестационарной функции регрессии (4), непараметрического алгоритма управления (5) дает более точные результаты в случае функционирования объекта в условиях нестационарности, нежели известные непараметрические оценки. Однако рассматриваемые алгоритмы более чувствительны к помехам.
Библиографические ссылки
1. Медведев А. В. Адаптация в условиях непараметрической неопределенности // Адаптивные системы и их приложения. Новосибирск : Наука, 1978. С. 4-34.
2. Медведев А. В. Элементы теории непараметрических систем управления // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Ч. 3. Информатика. Новосибирск - Красноярск : Изд-во СО РАН. 1996. С. 87-112.
3. Медведв, А. В., Фаустов А. В. О непараметрической оценке нестационарной функции регрессии по наблюдениям // Вестник СибГАУ : сб. науч. тр. Вып. 5. Красноярск, 2010. С. 182-187.
© Медведев А. В., Фаустов А. В., 2011
с
5
V с 5
с
с
