Непараметрическое моделирование интеллектуальных систем при неполной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

A. V. Medvedev, P. N. Pobedash

THE APPLICATION OF Z-TRANSFORMATION AND THE DISCRETE PRINCIPLE OF MAXIMUM TO THE ANALYSIS OF A REAL INVESTMENT PROJECT MODEL

A method for solving a dynamic control problem that describes an investment project in the form of multistage linear programming problem is considered. This method allows obtaining the analytical solution of the problem by the combination of z-transformation and the discrete maximum principle. The parametrical analysis of solution and the estimations of optimal project cost are also possible to obtain with this method.

УДК 62-501

А. Р. Низамеев

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Приведена схема управления многосвязным технологическим процессом. Даны общая и математическая постановки задачи управления многосвязным процессом. Построены непараметрические модели идентификации входных и выходных значений управляемого процесса.

При моделировании и управлении сложными технологическими процессами часто возникает ситуация, когда параметрическая зависимость по ряду каналов объекта неизвестна полностью или частично. В этой связи перспективным является использование теории непараметрических обучающихся систем [1]. Рассмотрим формулировку задачи идентификации и управления для одного объекта, который будем считать фрагментом технологического процесса.

Общая постановка задачи. Рассмотрим схему (рис. 1).

Рис. 1. Схема управления процессом: О - объект;

АС - адаптивная система; и< - управляющее воздействие;

- контролируемое неуправляемое воздействие;

- случайное воздействие; х, г, - выходные переменные; Ни, Нм, Нх, кг - помехи в каналах измерения; и*, Ц, хД г* -измеренные значения соответствующих переменных; х* и zt*- заданные значения выходных переменных

Следует заметить, что блок АС представляет собой достаточно сложную структуру, детализацию которой приводить не будем, лишь укажем, что в ее состав входят как модель исследуемого процесса, так и соответствующая процессу иерархия блоков управления.

Целью системы управления является поддержание заданного значения х* и г*. Отметим в связи с этим суще-

ственные отличия выходных переменных х1 и г.. Выходная переменная х1 контролируется через достаточно малые интервалы времени Д,, как и переменные и,, ц, А выходная переменная отслеживается через существенно большие интервалы времени ДТ (ДТ >> Дг). С технологической точки зрения для всего технологического процесса наиболее важным является контроль именно этой переменной. Например, если выходная переменная х1 контролируется с помощью различного рода индукционных, емкостных и других датчиков, то выходная переменная - по результатам химического анализа, физико-математических испытаний и др. Этим и обусловлено существенное отличие дискретности контроля выходных переменных х1 и г. Если дискретность измерения х , и, ц, - это секунды, минуты, то дискретность составляет смену, сутки, недели и более. Последнее обусловлено технологией проведения самого контроля, который обычно регламентируется государственным стандартом.

Математическая постановка задачи. Пусть ц, ={,...,цк,} Кк, и, = {,..., <} Кт, Х{ = {{..., X"}е К", ={,..., }е К. Характеристики объектов О1, О2и О3

взаимооднозначны по вектору управляющих переменных, т. е. одному значению и1 соответствует только одно значение ц,. Имеется обучающая выборка {ц,, и,, х,, г = 1, « }, где т указывает на запаздывание (смена, сутки и т. д.). Сформулируем критерий оптимальности:

К(2) = М и {Мг (7 _ 2)2 | и, ц} = тш, (1)

где 2 - оценка вектора выхода г.

Используя необходимое условие минимума, т. е. приравняв производную функции Я по искомой величине г к нулю, получим:

2 орг = М (г\и, ц}. (2)

Непараметрическая оценка выходной переменной для системы (см. рис. 1) имеет вид

ЁПф

>■=1 ]=\

Ґ У і \ иі+/ - и. п П ф ( р р Л 1.1+1 1>

С Ср

V ш ) [ 1

,=1 ]=і

ЁПФ и~І Пф

Пусть Ы, О , А - размерности векторов zД zt2 и zt3; N О , А - размерности векторов zД zt2 и zt3; Н, ^ и Т- раз-(3) мерности векторов хД хД хД ¥, Г и 2 - размерности векторов иД иД и и(3; Д - размерность вектора |!(.

Запишем модели прогноза выходных значении zД zД zt3 и х(1, хД хД а также модели расчета управляющих воз-гДе - р^мер обучающей выборки; - оценка к-й действий ut1, ut2, и3 для объектов Ор 02 и 03.

компоненты вектора выхода, к = 1,1 ; и^+1 - вектор вхо- Непараметрические оценки выходных переменных zД

да из экзаменующей выборки; Ф - вдро функции, zt2, zt3 будут выглядеть следующим образом:

С

р=і

1 р+1 ~ 1р С£

выбираемое по следующим условиям: | Ф(Ъ)ёЪ = 1;

Ф(Ь1) <Ф(Ъ2) для | Ъ2 |<| Ъ1 |; | ЪрФ(Ъ)йЪ ,р = 2, 3, ...;

Ь - аргумент функции Ф; Си - параметр размытости ядраФ, удовлетворяющий условиям: Си —0; пСи(«) — ~.

При выполнении этих условий оценка £ является асимптотически несмещенной, состоятельной, асимптотически нормально распределенной.

Параметр размытости С выбирается по условию выполнения минимума критерия:

\ 2

Я =Ё(2,- - 5І(С))2 ^ тіп,

(5)

-Ёи Пф

с. |Пф|^-№1- с*

пф

СС

(8)

Рис. 2. Схема последовательного технологического процесса (обозначения см. в тексте)

г15 =

+Ф

Ё г1‘ Пф

,=1 ,=1

и'и - и1,

СІ

Пф

1 к+1-1к

ск,

1 і

ЁПф

І=1 І=1

Ё Пф

,=1 ,=1

и'І+1- иЧ сі

и і

5 = ,

Пф

Пф

1 к+1-1

с\

1 і

Vй/

(9),

Ск

Пф

р=1

ср

где ^ - размер обучающей выборки.

Критерий оптимальности для оценки управляющего воздействия выглядит так:

отсюда К(й) = Мц £ х{Ми (и - й)2 | ц, г, х} = тт, (6),

ц’ ’ й

отсюда и°р' = М(и | ц, £, х = г }. (7)

Формула оценкиу-го компонента вектора и в момент времени ^ + 1 записывается следующим образом:

ЁПф

Ё 5,35 Пф

Пф

к=1

5 = 1Д

а (г.

Пф ^

ск

Пф

(10)

Пф

р=1

С

ЁПф

Пф ££+Фк£^ Пф

СР

где І = 1, т .

Непараметрические модели последовательного технологического процесса. ПриБедем сраєнительно простую схему технологического процесса (рис. 2). На это схеме опущены помехи, дейстБующие б каналах измерения, чтобы не загромождать рисунок, хотя предполагается, что они, конечно же, дейстєуют.

5 = 1, А. (11)

Непараметрические оценки Быходных переменных хД

Ё Х5 Пф

І=1 І=1

х15 =

Л!+1

Ґ 1 і ■ л ( и,1 - и1, Г1ф ( к к Л 1 ,+1-1,-

СІ Ск1

V иі ) 1 і V *■ /

ЁПф

,=1 І=1

и'І+1- и1

Сі

- Пф

1 к+1- 1к

Ск1 1 і

Ё Х“ Пф

,=1 І=1

5 = 1, Н,

Пф

Пф

р=1

(12)

^ ^ ' С*

ЁПф

,=1 І=1

і 2 П ф

игІ+1 - игі

Пф

к=1

5 = 1, F.

П ф

Пф

=1

і а

Пф

(13)

2

п

,=1 І=1

ЁПф

СІ

Пф

Ск

Пф

СР

к=1

V х ° Г \ ^ ^

5 = 1Т. (14)

Непараметрические оценки Быходных переменных иД

Содержание переменных соответствует описанному иД ut3 записываются следующим образом: ранее. Отметим лишь, что роль неуправляемых перемен-

ных в данной схеме играют как , так и zД zt2, контроль которых, производится через различные, но значитель- и11

ные интервалы времени. Блоки Р, Р2 и Р3 - это регуляторы соответствующих объектов 01, 02 и 03; I- вся имеющаяся информация о процессе.

Ёи,15Пф Пф

1к+1-1 С\

Пф

Р=1

ср

ЁПф

І=1 І=1

СІ

Пф

+1-1,

С*

Пф

р=1

ср

і=1

>=1 ,=1

,=1 ,=1

>=1 і=1

~28

us+1 =

I u,2‘ Пф

i=1 i=1

б=1,

Z2i^ - Z2j

S + 1 І

(15)

C

]

Z2 s

Пф

x2 k* - x2 к

Ck

Хф ]Пб

Zs (u) = ■

i=1

Ґ uj - uj[i] 4 Cj[ S]

п б

i=1

( M, - MjH 4 Cj[ S]

u3+, =

Щф

i=1 j=1

I u” Пф

i=1 i=1

2 2 F ( 2k* 2k ^

Z S+1 _ І п ф к =1 X s+1 X і

C{ V z2 S ^ Ck x1 s

п б

i=1

/ui- ui[i] 4 Cj[s]

п б

i=1

Ґм j- m j[i] 4

Cj [S]

(19)

б = 1, г,

(16)

3 3 т ( 3k* 3k ^

s+1~ І П ф к=1 X j+1 X і

Ci V Z s ^ Ck X s

3 3 т ( 3k* 3k ^

s+1~ І П ф к =1 X s+1 X і

C V Z s ^ Ck Cx3s

ХПф

I=1 у=1

\ / \ /

б = 1,6. (17)

Непараметрические модели и алгоритмы управления с идентификатором. Рассмотрим задачу управления объектом с идентификатором в управляющем контуре (рис. 3). Как на предыдущей схеме (см. рис. 2), на этой схеме опущены помехи, действующие в каналах измерения.

На первом этапе, когда ключ К разомкнут решается

X = 1, т,

где ^ - объем выборки; к, п и т - количество входных управляемых, неуправляемых и выходных переменных соответственно.

Задача сводится к непараметрическому оцениванию (18) на основании поступающей информации {, , и1}, t = 1, 5. Ясно, что в качестве непарамет-

рической оценки (18) может быть принята статистика

&i [s] =

I ui [і]П б

І=1 j=1

О i [ s] C, [s]

п б

i=1

M j [s] - M j [i] Cj [S]

In б

i=1 i=1

о i [s]

C [s]

П б

i=1

M j [s] - M j [i] Cj [s]

^ + Auj[s], (20)

где a[s] = (M,..., Om[s]); о,[s] = о, ( *[s],Z,[s]);

Auj [s] = Au (a, [s]), j - количество входных управляемых задача идентификации, на втором этапе, когда ключи K1 и переменных; Au, [s] - изучающая добавка, j = 1Д .

К2, К3, К4 замкнуты, решается задача выработки управляющего воздействия, которое и подается на объект.

Далее для простоты записи будем рассматривать непараметрические алгоритмы на примере одного объекта. Для последовательной цепочки объектов алгоритмы записываются аналогичным образом.

Для того чтобы использовать опыт технолога-экспер-та для выбора некоторых управляющих воздействий при решении этой задачи, алгоритм (20) следует модифицировать в форме

j[s] = -

C, [s]

пб

1-1

M,[ s] - M,[i]

пб

i=1

uт [s] - u [i]

Cj [s]

In б

-1 i=1

O,[i]

C, [s]

п б

Mj[s] - Mj [i]

C, [s]

п б

u, [s] - u, [i]

C, [s]

(21)

Рис. З. Схема управления с идентификатором: модуль М - модель

Введем некоторую функцию качества o(t) = о(z(t), Z*(t)). Поскольку для показателя качества o(t), который представляет собой меру уклонения z(t) от z*(t), естественно потребовать равенство нулю, то оптимальное управляющее воздействие, в смысле квадратичного критерия o(t) может быть представлено в виде условного математического ожидания:

3{f) = M{u(t)/M(t)є Q(M),o(t) = 0VZ(t)є Q(z)}, (18) Для решения задачи идентификации в условиях непараметрической неопределенности будем использовать непараметрическую модель идентификации объектов без памяти, алгоритм который имеет вид

с < к, у' = 1, {к _ с}.

В заключение приведем некоторые типы Ди[5] адаптивных непараметрических систем играющих основную роль при активном обучении:

- алгоритм с обратной связью

Ди[5] = е( * 5, ), (22)

где е - некоторая функция, представляющая собой меру уклонения одного из элементов _1 от заданного значения z*;

- градиентный алгоритм

Ди[5] = 05УД, г5_1), (23)

где cS - некоторая случайная последовательность; 2 - выпуклая функция. Для этого класса могут быть использованы различные статистические оценки градиента, в том числе и непараметрические;

- обучающийся алгоритм. Для алгоритмов такого типа Дм[^] определяется так

Au[s] = IAu[s]n б

i=1 j=1

Zj Is] - Zj [i] C, [s]

In б

i=1 j=1

Ziи- Zi[i]

(24)

Приведенные непараметрические алгоритмы предполагают последовательную схему обучения и могут носить как активный, так и комбинированный характер.

Библиографический список

1. Медведев, А. В. Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Ч. 3. Информатика / А. В. Медведев ; Сиб. отд-ние Рос. акад. наук. Новосибирск ; Красноярск, 1996. 170 с.

З9

i=1

:=1

A. R. Nizameev

NONPARAMETRIC MODELING OF INTELLIGENT SYSTEMS UNDER INCOMPLETE INFORMATION

It is given the controlling scheme of multiply connected technological process and also general and mathematical statements of multiply connected processes controlling problem. It is constructed the nonparametric models of in-and-out values of operated process identification.

УДК 629.735 001.851.573

В. А. Пожиленков

МОНИТОРИНГ ПОЛЕТНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ УТОЧНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ ВОЗДУШНОГО СУДНА

Представлен метод коррекции математической модели движения воздушного судна с применением полетной информации. Предложен метод привязки полученной модели к конкретному борту путем мониторинга полетных данныых. Дано математическое обоснование метода.

Разработка точной и адекватной математической модели (ММ), описывающей движение воздушного судна (ВС), в настоящее время входит в основные направления работ по обеспечению безопасности полетов (БП). В [1] была рассмотрена ММ разбега тяжелого транспортного ВС, данные которой имеют самостоятельную ценность. Результаты работы ММ можно применять как после полета, так и до него и в его процессе, т. е. эти данные пригодны для задач идентификации, прогнозирования и управления [2]. Особенностью этой модели является ее привязка не к типу ВС, а к конкретному воздушному судну (борту). Как показали исследования [1], параметры ВС одного типа (Ил-76ТД) отличаются настолько, что разница взлетных дистанций для разных бортов, при прочих равных условиях, может превышать 300 м. Используя результаты моделирования можно ввести поправки в номограммы, по которым производятся предполетные расчеты. А если ввести параметры ММ в бортовой компьютер, то можно автоматизировать взлет или дать экипажу в процессе разбега уточненные скорости принятия решения, подъема передней опоры и отрыва, дистанцию разбега и режим набора высоты. Применяемые в настоящее время системы индикации (например, на самолете Ту-204) не учитывают индивидуальных параметров ВС и до сих пор не задействованы.

В связи с вышеизложенным имеются достаточные основания предполагать, что в ближайшем будущем некоторые параметры ММ этапов полета конкретного борта войдут в его базы данных, как и другие индивидуальные характеристики, например вес и центровка пустого ВС. Но эти характеристики войдут туда как нестационарные величины, корректируемые в процессе эксплуатации (имеются в виду параметры, привязанные к данному борту: аэродинамические коэффициенты, тяга двигателей, эффективность рулей). Начальные значения могут определяться на заводе-изготовителе (а если ВС уже экс-

плуатируется, то на авиаремонтном заводе) по результатам летных испытаний. Установление параметров возможно и в процессе эксплуатации.

Для коррекции параметров ММ необходим постоянный мониторинг полетной информации (ПИ). Поскольку в ПИ содержится информация о параметрах полета, то коррекция ММ представляет собой задачу поиска и уточнения собственных значений дифференциальных уравнений модели, т. е. обратную задачу механики. Эта задача решается и при идентификации полетов для определения параметров, содержащихся в ПИ в неявном виде: массы, центровки и т. д.

Математическое обеспечение мониторинга. В отличие от численных методов решения дифференциальных уравнений, теория которых достаточно хорошо развита, методика определения собственных значений этих уравнений оставляет большой простор для математических изысканий. Причина состоит в том, что обратная задача механики некорректна по Адамару: не выполняется условие единственности решения и не всегда непрерывна зависимость решения от начальных условий.

Следует обратить внимание на работы А. Н. Тихонова, приведенные в [3], которые позволяют восстановить коэффициенты с помощью регуляризирующих алгоритмов, устойчивых к возмущениям начальных условий. При этом приходится решать не уравнения динамики, а другие уравнения, связь которых с исходными ограничена.

Методы А. Н. Тихонова предназначены для решения нелинейных уравнений с медленно изменяющимися коэффициентами, в которых коэффициенты являются функциями переменных и сильно зависят от начальных условий. Но в нашем случае коэффициенты необходимо задавать, а не вычислять. Для описываемой ММ начальные условия можно считать невозмущаемыми, а варьирование коэффициентами будет изменять правую часть урав-