CC BY
7Решетневские чтения
A. V. Strel'nikov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk ABOUT NONPARAMETRIC MODELS OF TUBE STRUCTURE
The identification problem of stochastic processes is considered. These processes can have a tube structure model.
© Стрельников А. В., 2009
УДК 62-506.1
Е. С. Терентьева
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СТАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОПУСКОВ ДАННЫХ
Исследован алгоритм непараметрического восстановления регрессии при неравномерно распределенной выборке наблюдений случайной величины. Приводится модификация непараметрической оценки регрессии и результаты ее исследования.
Часто при проведении моделирования систем приходится иметь дело с результатами измерений, распределенными в пространстве наблюдений входов-выходов объекта неравномерно. В данных условиях обычная непараметрическая оценка регрессии восстанавливает стохастическую зависимость не очень успешно.
Имеется неравномерная выборка наблюдений
(и, х1), - =1, ^ входных и выходных переменных системы объемом 5, где иг - значение вектора наблюдений входных воздействий размерности т, а хг - измеренное значение выходного воздействия в г-й точке выборки. Требуется построить модель объекта, используя непараметрическую оценку регрессии.
Непараметрическая оценка регрессии имеет следующий вид [1]:
I », Пф
» (u ) = -
j=i
œ u - u ^
Cj
1ПФ
i=1 j=1
œ u - ujj ^
(1)
Cj
где колоколообразная функция Ф() и параметр размытости С5 удовлетворяют некоторым условиям сходимости [1]. Произведем модификацию этой оценки следующим образом [2]:
X(U ) =
s œ »
I jj (xk,uk,Й)ПФ
j=i è p=i
œ up - upj ^
сp
^S
/0
1ПФ
j=1 p=1
œ up - up.
_j_
сp
S
(2)
где
j- ( У
k uk
u ) представляет собой поверх-
ность, построенную по методу наименьших квадратов на основании к точек в окрестности]-й точки, в которых Ф(йк, uj, С5) ^ 0 .
Будем использовать несимметричную колоко-лообразную функцию, которая расширяется в направлении разрежений в выборке, т. е. ее ветви имеют разные константы Липшица. Для определения сгущений и разряжений точек в выборке введем функцию множества, которая имеет вид непараметрической оценки плотности Розенбла-
та-Парзена с малым параметром размытости С5:
1 S m 1
f. (х)=s I n С- f
S i=1 j=1 ^ s
œ х^ - Х^ л
с
г=1 ]=
I (х) > 0 " х. (3)
Для оценки параметра размытости в формуле (2) будем использовать следующую формулу:
С/ = 1 • fs(xj), где коэффициент 1 > 0 вычисляется исходя из минимума квадратичного критерия, вычисленного на основе рассогласования модели и объекта.
Пусть имеется неравномерная выборка наблюдений входа и выхода объекта (и1, х1), г =1,5 , объемом 5 = 30, и ё(0,1), х = у(и) + Х, где у(и) = sin(5 • и), X - центрированная помеха, распределенная нормально с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией. Пусть функция фJ(•,•,•) имеет квадратичный вид
ф , (Хк , ик , и) = Р2и 2 +Р;и + Р„.
Математические методы моделирования, управления и анализа данных
Были проведены численные исследования ал- локолообразной функции в несколько раз мень-
горитмов (1) и (2). Квадратичная ошибка моде- ше, чем при использовании оценки регрессии
лирования при использовании непараметриче- (1). Применялась следующая колоколообразная
ской оценки регрессии (2) с несимметричной ко- функция:
F(u, Щ, Cs ) = <
( (
cos
v v ( (
cos
1 u - u
W
k C
u - u.
s /0
\\
1 , u - ui
+ —, если - k •p<-< 0
2 C
C„
V Vs JJ
1 _ u - u.
+ —, если 0 <-L <p
2 C„
если
u - u.
C„
> 0
, если fs (u + h) > fs (u - h)
( (
cos
V v ( (
cos
1 u - u
\\
k C,
u - ut
s J 0
\\
1 „ u - u.
+ —, если 0 <-< k •p
2 C„
\ \ s yj
1 u - ut
+ —, если -p<-< 0
2 C„
если
u - u.
C
> 0
(4)
, если fs (u + h) < fs (u - h)
где И > 0 - радиус окрестности текущей точки и ; к > 1 - коэффициент «расширения» колоколо-образной функции, при к = 1 колоколообразная функция принимает симметричный вид.
Исследования показали, что применение несимметричной колоколообразной функции позволяет добиться большей согласованности модели и объекта, по сравнению с симметричной. С увеличением помехи в каналах измерения выходной переменной ухудшается качество моделирования. Однако квадратичная ошибка моделирования при использовании модифицированной оценки регрессии все же остается в несколько раз меньше, чем при использовании стандартной оценки. Применение оценок регрессии (1) и (2) для моделирования на основе равномерной выборки дает одинаково малые ошибки идентификации, значит оценку рег-
рессии (2) можно применять не только на разреженных выборках, но и на равномерных. Следует отметить, что при увеличении размерности входной переменной на единицу время расчета модели при использовании непараметрической оценки регрессии (2) с несимметричной колоколообразной функцией увеличивается в среднем в полтора раза при фиксированном объеме выборки наблюдений.
Библиографический список
1. Надарая, Э. А. Замечания о непараметрических оценках плотности вероятности и кривой регрессии / Э. А. Надарая // Теория вероятности и ее применение. 1970. Т. 15, вып. 1. С. 139-142.
2. Катковник, В. Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В. Я. Катковник. М. : Наука, 1985.
E. S. Terentyeva
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
NONPARAMETRIC MODELLING OF STATIC SYSTEMS IN THE PRESENCE OF THE DATA ADMISSIONS
The work is devoted to the research of nonparametric algorithm of regression restoration at non-uniformly distributed sample of random variable supervisions. Updating of a nonparametric estimation of regress and results of its research are resulted.
© Терентьева Е. С., 2009
