О непараметрических моделях динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506.1

О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Сергеева Наталья Александровна, к.т.н., доцент, Сибирский Федеральный университет, Институт космических и информационных технологий, Россия, Красноярск, sergena@list.ru Уваров Юрий Викторович, аспирант, Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева, Россия, Красноярск, bestyuran@gmail.com

В компьютерных системах управления различными технологическими и производственными процессами существенная роль принадлежит системам моделирования и управления динамическими процессами.

Управление динамическим объектом осуществляется с помощью регулятора. Типы регуляторов различны, их технические характеристики улучшаются. Если раньше повсеместно использовались аналоговые регуляторы, то в последние годы лидируют цифровые, на фоне появления новейших технологических разработок меняются и технические устройства управления процессом. Чаще всего в качестве регулятора технологических процессов используются пропорциональный (П), пропорциональноинтегральный (ПИ), пропорционально-интегро-дифференциальный (ПИД) регуляторы.

Задача регулятора в подобного рода системах - обеспечить работу блока в установленном режиме, перевести на новый режим работы, т.е. найти величину управляющего воздействия, чтобы объект стал функционировать при заданных значениях выходных параметров.

Однако в некоторых случаях их эффективность недостаточно высока. Самым существенным недостатком аналоговых и цифровых регуляторов является их инертность к изменению режима работы. Настройка, иными словами, выбор нового задающего воздействия, происходит медленно. Требуется время, чтобы перевести объект в новый режим работы.

Наиболее совершенным является применение адаптивных или обучающихся регуляторов. Добавление дополнительного внешнего контура управления, содержащего непараметрический регулятор, решает эту проблему. Особенно это касается таких динамических систем, как энергоблок ТЭС, турбина, реактор и др. [1].

Рис.1 - Схема объекта с замкнутым контуром с непараметрическим регулятором

В последние годы в достаточной степени развита теория непараметрических систем, которая охватывает задачи идентификации и управления динамическими процессами в

52

условиях непараметрической определенности. В условиях, когда параметрическая структура (заданная или выбранная с точностью до вектора параметров) неизвестна.

Представляется целесообразным существующие средства регулирования (аналоговые или цифровые) как наиболее надежные сохранить в предлагаемой структуре управления.

На рисунке 1 представлена схема, сохраняющая существующее средство автоматизации и снабженная внешним контуром управления с использованием адаптивного управления с непараметрическим регулятором. Отметим, что использование алгоритмов повышает качество управления.

На схеме (рис.1) приняты обозначения: u(t) - управляющее входное воздействие, x(t)

- выходная переменная, x* (t) - задание (режим эксплуатации объекта).

Основная идея конструирования непараметрического регулятора состоит в том, что на основании снятых на объекте переходных характеристик восстанавливается обратный

оператор Л~х объекта [2]. В этом случае он и играет роль регулятора, но учитывая, что восстановление обратного оператора по переходным характеристикам, измеренным с шумами или случайными помехами, неточно, то систему целесообразно охватить обратной связью, что иллюстрируется рисунком 2.

Рис. 2 - Схема непараметрического регулятора на основе обратного оператора

Обучающая компонента £ut = s( x(t) - x* (t)), на первых итерациях имеющая существенное значение, впоследствии носит характер уточнения значения входной переменной. u*(t) - значение входящего управляющего воздействия, обеспечивающее работу объекта в заданном режиме x* (t) . Таким образом, система носит характер дуализма: накапливает информацию об объекте и обучается одновременно. Здесь A - оператор объекта, A_1 - обратный оператор, ОС - блок обратной связи.

Таким образом, управляющее воздействие, подаваемое на объект, состоит из двух составляющих:

ut = u*t +£ut . (1)

Алгоритм (1) относится к классу дуальных алгоритмов. Заметим, что первое слагаемое аккумулирует в себе опыт - "знание" об объекте, а второе представляет собой корректирующее значение (которое вводится из-за неточности восстановления обратного оператора). Таким образом, содержание дуализма представленного алгоритма состоит в изучении объекта (первое слагаемое) и приведении его к цели (второе слагаемое).

Рассмотренные ниже непараметрические модели и алгоритмы дуального управления целесообразно использовать в качестве программных модулей в компьютерных системах управления сложными технологическими процессами в условиях малой априорной информации.

Рассматриваются линейные динамические системы.

53

Известные методы идентификации линейных динамических систем (ЛДС) имеют один существенный недостаток: эти методы применимы на практике только в том случае, когда объект идентификации очень хорошо изучен, а именно известен тип и порядок уравнения или системы дифференциальных уравнений, описывающих данный объект. Во многих практических задачах нередко встречаются такие системы, точное описание которых по каким-либо причинам неизвестно, в этих случаях использование методов непараметрической идентификации является наиболее целесообразным [3].

Как известно, реакция ЛДС x(t) на входное возмущение u(t) при ненулевых начальных условиях выражается интегралом Дюамеля или свертки (одна из записей):

t

x(t) = к(0)u(t) + | h(t - z)u(z)dz,

0

где к(t) - переходная функция системы, h(t) - весовая функция системы.

Вычисление значения выхода объекта x(t) при этом возможно, если известны его весовая и переходная функции. Но на реальном объекте невозможно или очень сложно получить эти функции. Поэтому основная идея идентификации ЛДС в условиях непараметрической неопределенности состоит в их непараметрическом оценивании. Непараметрическая модель ЛДС будет иметь вид:

xS (t) = kS (0)u(t) + | hS (t - z)u(z)dz,

0

Пусть на вход ЛДС подано единичное возмущающее воздействие 1(t), 0<t<T, где T -время окончания переходного процесса, а 1(t) - функция Хэвисайда. На выходе объекта получим измерения переходной функции к, в дискретные моменты времени tj, получаем выборку измерений {tj, kj, j=1..S}.

Значения переходной функции k(t) есть не что иное как кривая регрессии k(t)=M{k | t}.

В качестве оценки переходной функции будем использовать непараметрическую оценку регрессии:

> К ф

Сt -t ^

kS (t) =

V Cs J

S С t -t ^

>ф

i=1

C

V ^ S J

где колоколообразная функция Ф() и параметр размытости Cs обладают следующими

,=1

свойствами [4]: 1) 0 <Ф

С k - кЛ

C

V ^S J

< да;

- да

3) - !Ф

k - к,

\

CC

'-'S -да V S

dk = 1

5) lim C-1¥

^ к - кЛ

S ——да

C

V ^s

= „(к - ki';

7) lim Cs = 0;

S —да

2) Ф

с к - О

C

V ^S J

= -Ф

С к - к ^

V ^7 j

4) н

к - кi

V

C

к - к

C7

dk < да, при m>0;

s JV ^S J

6) CS > 0, VS = 1,2,3,..

8) lim sCks =да.

Так как время является равномерной величиной, то оценку переходной функции можно упростить:

кs (t) = STF-> к,Ф

SC S i=1

С t -1 ^

C

V ^ s J

m

€да

54

Известно, что весовая функция h(t) является производной по времени от переходной функции k(t), то тогда оценка весовой примет следующий вид:

hs (t) = k (t) = -T- > к,Ф’

t —1 >

SC

S i=1

C

V ^S J

Подставив непараметрическую оценку весовой функции в интеграл Дюамеля, получим непараметрическую модель ЛДС:

T t s f t — т — t ^

Xs (t) = ks (0)u (t) + кгФ'| ———L u(z)dr.

scs 0tf '■

C

V ^s J

Интеграл возьмем численно методом прямоугольников. Алгоритм примет вид

Xs (t) = ks (0)u (t) +

T

Дт S

>> кФ'

sc s j=l tf г

t — TJ— ti

Cs

u (т .) А т ,

где т - переменная интегрирования, которая изменяется с дискретностью Ат.

Из-за операции дифференцирования на колоколообразную функцию накладываются дополнительные условия. Вместо функции Ф будем использовать функцию H, которая удовлетворяет тем же условиям, что и Ф, но является более «хорошей» в смысле дифференцирования.

В итоге непараметрическая оценка ЛДС примет вид:

Xs (t) = ks (0)u(t) +

T

Дт S

f

SC,

>> kH'

t — тj — t>

Cv

\

u ( т .) А т .

■ S j=1 i=1

Другой подход заключается в снятии с объекта значений весовой функции и последующей оценке выхода ЛДС.

Известно, что значения весовой функции ЛДС можно получить, подав на вход объекта дельта-функцию Дирака

fro, t = 0 „(t) = - .

« 0, t ® 0

К сожалению, это физически нереализуемо, но вместо дельта-функции можно использовать ее аппроксимацию

1

„(t) = -

А T

t " [0; АT]

0, t ° [0; АT]

В итоге после подачи на вход ЛДС функции „ (t) на выходе объекта получим измерения, близкие значениям весовой функции hi в дискретные моменты времени ti .

Модель ЛДС будет выглядеть следующим образом

Xs (t) = ks (0)u(t) +

T

Дт S

f

SC,

> > КФ

t — тj— tj

Cv

\

u (т .) А т.

S j=1 i=1

При построении непараметрических моделей существенное значение имеет выбор параметра размытости.

Для его оптимизации вводится следующий квадратичный критерий:

1 S 2 W (C,) = - >( x, (>i,C,) — x (O)

где

i =1

55

t

или

T Ax S

X(t,,Cs ) = ks (0)u(t,) + — > > kjH'

sc, t;,,

J ®

Г t, - Tk - tj Л V Cs J

u (Tk )AT,

T At S

xs (t„ Cs ) = ks (0) u (t,) + — >> hj0

sc s in j,

J ®j

f

t, - Tk - tj

C

u (Tk)At ■

S J

Рассмотрим задачу управления линейными динамическими системами.

Так как интеграл Дюамеля является линейным оператором, то и обратный ему оператор будет иметь линейный вид [3]:

t

u(t) = ^_1x(t) = x(t )ю(0) + J v(t - т) x(r)dr,

0

где rn(t) и v(t) - соответственно переходная и весовая функции «обратной» системы. На реальном объекте снять такие характеристики нельзя. Но если мы располагаем моделью, то эти характеристики можно получить с ее помощью.

Для получения обратной переходной характеристики rn(t) необходимо подать на выход модели функцию Хэвисайда 1(t), а с входа модели наблюдать обратную переходную характеристику rn(t).

В нашем случае необходимо решить относительно u(t) систему

t / At

XS (t) = kS (0)u (t) + > hS (t - Tj )u (Tj )At,

“ J =!

«XS (t) = !(t).

Получаем

t- At At

!(t) -> hs(t - tj )c( tj )At

c(t) =------j=!------------------.

kS (0) + hS (0) At

В случае, когда модель ЛДС строилась на основе измерений переходной характеристики, имеем:

(t) =

t- At

T At S

!(t) - ^ ZZ kH'

'S j=! i=!

rt - tj - i. \

V CS j

)( TJ )At

ks (0) + > k,H ’

sCS ,=!

fzdл

V CS у

At

В случае же, когда модель ЛДС строилась путем подачи на вход ЛДС аппроксимации дельта-функции, получаем:

(t) =

!(t) - > >

‘J'-"S j=! ,=!

f

h ф

t - t ■ -1,

\

j t

c

,( Tj )At

SJ

ks (0) + sC- > h,¥

S t=!

Г t - Tj - tj Л V CS у

At

Управление будем искать как

u •( t) = c s (0) x *(t) +

T

At S

-ZZ c ¥

SC s J=i Ъ '

t - t . - t,

c

X*(Tj )at,

SJ

t- At

56

* X \ о.

где x (t) - задающее воздействие.

Как было описано выше, из-за неточностей восстановления обратного оператора систему целесообразно охватить обратной связью.

В итоге имеем

u(t) = u *(t) + Aut.

Расчетный пример.

В качестве ЛДС было взято ДУ второго порядка x" + Xf + 7 X = 14u.

Модель строилась при условиях S = 200. At = Ат = 0.05 на основе измерений переходной характеристики.

Изучающая добавка Au имела вид Aut = 0.3 (x (t) - x(t-1)).

Рис. 3 - Результаты управления ЛДС из расчетного примера

Литература

1. Цыпкин Я.З Адаптация и обучение в автоматических системах. Москва, Наука, 1968.-400с.

2. Сергеева Н.А., Соколов И.В. О непараметрической идентификации динамических процессов// XV Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", т.3 Оптимальное управление// Иркутск, РИО ИДСТУ СО РАН, 2011.- с.109-114.

3. Медведев А.В. Элементы теории непараметрических систем управления. Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Новосибирск-Красноярск: Изд. СО РАН, 1996. - 112 с.

4. Медведев А.В. Непараметрические системы адаптации. - Новосибирск: Наука., 1983. - 174 с. УДК 004.4, 005

ПРИМЕНЕНИЕ XML-СУБД В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗАЦИИ БИЗНЕСА

Ермаков Илья Евгеньевич, преподаватель, Технологический институт им. Н.Н. Поликарпова ФГОУ ВПО «ГУ - УНПК», технический директор, НПО «Тесла», Россия, Орёл, ilya@ermakov.net.ru

1. Проблемы организации БД при автоматизации сложных предметных областей

При решении интересных задач автоматизации объекты предметной области часто с трудом отображаются в плоскую табличную структуру. Основными проблемами является,

57