CC BY
24
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕТРАНСЛЯЦИОННОГО МАССОПЕРЕНОСА В ЖИДКОСТЯХ К.В. Мануйлов, З.Г. Симоненко, Л.П. Ильина, В.В. Плотников
Изучение нетрансляционного массопереноса в анизотропных средах связано с широким кругом теоретических и прикладных задач математической физики. Современные измерительные технологии позволяют проводить исследование параметров массопереноса на качественно новом уровне. Высокоточный метод измерения скорости массопереноса (коэффициента диффузии) в жидкой бинарной системе с границей раздела основан на совместном использовании оптических методов поляризационной интерферометрии и лазерной нуль-эллипсометрии [1]. Уникальность метода заключается в возможности регистрации параметров массопереноса в реальном масштабе времени на основании зависимости показателя преломления раствора от его концентрации.
На рис 1. изображена кювета, конструкция которой обеспечивает четкую границу раздела фаз в начальный момент времени, в которой находятся водные растворы KCl различных концентраций - C1 и C2.
X р
Рис. 1. Диффузионная кювета с растворами различной концентрации:
X - координата
Математическое описание эксперимента основано анализе изменения геометрии изоконцентрационных поверхностей в процессе диффузии. Аналитическое описание геометрии таких поверхностей требует обращения к эллиптическим функция Якоби -бп(и, в), сп (и, в), ёп(и, в), рассматриваемым как функции двух переменных - аргумента
и, и эксцентриситета в . Начальные условия задачи описываются функцией бп(и, в)_1.
На рис. 2 приведен вид этой функции при различных значениях эксцентриситета. Рисунок иллюстрирует начальные условия задачи - ступеньку концентраций в начальный момент времени, и процесс ее выравнивания в дальнейшем.
Са
Рис. 2. График функции эллиптического синуса при различных значениях эксцентриситета, отражающий изменение концентрационного профиля системы
В результате эксперимента впервые была получена феноменологическая кривая протекания процесса массопереноса бинарной жидкости в реальном масштабе времени, приведенная на рис. 3.
По оси абсцисс отложено время г, по оси ординат - синусная составляющая интенсивности поляризованного излучения I, проходящего через исследуемую среду. Определяя промежутки времени г1, г2, г3, которые соответствуют экстремумам кривой, были получены точные значения коэффициента диффузии для различных растворов.
Результаты эксперимента заставили нас заняться решением уравнения диффузии, записанного в наиболее общей и корректной форме, принадлежащей, по всей видимости, перу Б. Римана [2, 3]. Параболическое уравнение теплопроводности (диффузии) представлено им в виде
3 д
Е—
^ дХ
г, 1=1°Х,
■ Е Б
V1=
ди
у дх
Л
1 /
ди дг
(1)
где и - температура (концентрация), хг - декартовы координаты, г - время, Б ц —
коэффициенты теплопроводности (диффузии), являющиеся функциями координат и времени.
Рис. 3. Феноменологическая кривая протекания процесса массопереноса
бинарной жидкости
Риман использовал в своем решении не декартову систему координат, а систему координат Ламе [4], связанных с декартовыми координатами через тригонометрические функции эллипса соотношениями
х1 = с^пи^пи^пи,.,
х2 = с2спихспи2спи3, х3 = с3&пи1&пи2&пи3.
(2)
В такой координатной системе параболическое дифференциальное уравнение в частных производных (1) распадается в систему, состоящую из трех обыкновенных дифференциальных уравнений Ламе с нестационарностью первого порядка
ёБ1Х ёъпи
-2в(1 2в(1
-8
)ёъпи ё8 = б ё Бпи
ё8 ёг
-8
28(1 -8 2)
)ёспи ё8
ё8 ёг
ёёпи ё8
= Б
22
ё8 ёг
= Б
ёи2 ёи ёи
ё2 спи ёБ22 ёспи
ёи2 ёи ёи
ё2ёпи ёБ33 ёёпи
33
ёи
ёи ёи
- Ц0Бпи,
- Б20спи,
- Б30ёпи.
(3)
Подход Римана не получил дальнейшего развития после смерти автора, и традиционные решения параболических уравнений диффузии и теплопроводности получают в предположении, что коэффициенты переноса Б ^ являются величинами
постоянными, не зависящими от направления и концентрации (температуры) [5-7]. Это, очевидно, не так, что подтверждается видом кривой на рРис. 3.
Рассмотрим геометрию изоповерхностей в анизотропном теле, имеющем точечный источник тепла или диффузии [8]. Очевидно, что эти поверхности -эллипсоиды с изменяющимся эксцентриситетом и величиной главной оси, подобные эллипсам, изображенным на рис. 4. Такое представление является наиболее общим и должно быть модифицировано в каждом конкретном случае с учетом начальных и граничных условий задачи. Так, в рассматриваемом нами случае одномерной диффузии, процесс описывается одним из уравнений системы (3), отражающим движение изначально плоского фронта диффузии.
Рис. 4. Изоповерхности в анизотропном теле
Построим дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию эллипсоида с эксцентриситетом в1 в эллипсоид с эксцентриситетом в2. Для этого необходимо взять производные от тригонометрических функций эллипса по эксцентриситету в виде
2в( -в2)
- 2в( -в2) 2в( -в2)-
йъпи йв _ й БПМ йв й йи2 йспи йв _ й2 спи йв й йи2 йдпи йв й2йпи
- в2и)пи - (в2 - 1)пи;
йи
2(( _2. ,)пи 2(
- в2и
йспи
2( - в2и)
йи чйёпи
- спи;
- в2ёпи,
(4)
йв й йи2 4 ' йи где Z (и) - эрмитова Z - функция Якоби, допускающая представление в виде
2(и) _ |в2Бп2ийи .
(5)
Сравним теперь коэффициенты, стоящие при членах в уравнениях системы (4) с коэффициентами Б ^ в уравнении диффузии в форме (3). Обратим внимание на
коэффициент, стоящий при первой производной от тригонометрической функции эллипса. Сравнив выражения (3) и (4), можем написать
^ _ 2( -в2и). (6)
йи
Интегрируя это выражение, можно найти коэффициенты при вторых производных, т.е. интересующие нас коэффициенты теплопроводности (диффузии), и сделать предположения о характере их изменения:
Dü = 2 j(z - s2u)и = 2
1 - E -s2 |u2 + ln04(u) + K
+ B . (7)
Здесь K = Г , ёф и E = -s2 sin2 фёф - действительные полные
0-^1 - s2 sin2 ф о
ёф
и E =
22 s sin ф
эллиптические интегралы I и II рода, 04 - 0 -функция Якоби, B - постоянная интегрирования.
Выражение (7) показывает, что коэффициент диффузии (теплопроводности), включает в себя, кроме постоянной, апериодическую составляющую и не является постоянной величиной (см. рис. 3).
Полученное выражение для коэффициента диффузии хорошо согласуется с результатами эксперимента, а разработанный математический аппарат дает возможность аналитического описания процесса нетрансляционного массопереноса в жидких системах с заранее заданными свойствами [9, 10].
Литература
1. Симоненко З.Г., Порай-Кошиц А.Б., Равдель А.А., Фейгельс В.И., Шмуйлович Г.А. А.С.№ 966307. Способ и устройство для его реализации // Бюллетень ОИПОТЗ, 1982. №43. С 231.
2. Риман Б. Сочинения. М.-Л: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1948. С. 399-413.
3. Федоров В.Н., Мануйлов К.В. Примечания Р. Дедекинда к конкурсному мемуару Б. Римана "Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab I11ma Academia Parisiensi propositae" // Quaestiones philosophiae naturalis. Вопросы натуральной философии. 1999. №2-3. С. 160-176.
4. Мануйлов К. В., Панферов А. А. Функции Ламе и их применение // Quaestiones philosophiae naturalis // Вопросы натуральной философиию 1999. №2-3. С. 160-176.
5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. I. М.-Л: ГИТТЛ, 1933. С. 294-296.
6. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М: Наука, 1966. С. 177-197.
7. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.-М: ОНТИ. Главная редакция общетехнической литературы, 1937. С. 627.
8. Мануйлов К.В.. Конические сечения, теорема Абеля и нелинейные задачи математической физики // Quaestiones philosophiae naturalis. Вопросы натуральной философии. 1999. №2-3. С. 8-55.
9. Симоненко З.Г. Исследование параметров скорости массопереноса в жидких бинарных системах с границей раздела // Материалы VI Международной научной конференции "Проблемы пространства, времени, движения". 2000. С. 22.
10.Плотников В В., Панферов А.А. Решение параболических уравнений - диффузии и теплопроводности методами теории абелевых функций // Материалы VI Международной научной конференции "Проблемы пространства, времени, движения". 2000. С. 23.
