Точное решение дифференциального уравнения, описывающего свободные и вынужденные колебания маятника с трением в точке подвеса Текст научной статьи по специальности «Математика»

+ Bx-¡- + C sin Ф = Г_ . (2)

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ,

ОПИСЫВАЮЩЕГО СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА С ТРЕНИЕМ В ТОЧКЕ ПОДВЕСА

В.А. Иванов, К.В. Мануйлов, Д.В. Несмачный

Уравнение, описывающее движение маятника с трением в точке подвеса, получается из уравнения, описывающего движение маятника в сопротивляющейся среде,

Ad^+ ф+ B2 Г Ф? + C sin Ф = {0 , (1)

dt2 dt 2 L dt J * [F(t)' w

посредством обращения в нуль коэффициента B2, т.е. имеет вид

.d2 ф п dф ~ . {0 1—Z- + Bi— + C sin ф = -! dt2 1 dt ^ [F (t)

Решения этих уравнений при некоторых ограничениях (величина размаха) были впервые получены И. Ньютоном во II книге "Начал" [1]. Им же посвящен целый цикл мемуаров Л. Эйлера, где описаны таутохронные кривые для маятников, движения которых задаются уравнениями (1) и (2) [2].

О необходимости построения точных решений уравнения (2) писал Д.И. Менделеев в связи с задачами службы времени и измерением силы тяжести [2], а А.Н. Крылов построил решения уравнений вида (1) и (2) в круговых функциях в своей монографии "Качка корабля" [3].

Построение точных решений этих уравнений является также актуальным, поскольку трудно обозримое множество измерительных приборов, таких как магнитометры, гравиметры, акселерометры и тому подобные, имеет чувствительные элементы, движение которых описывается уравнением (2). Это же уравнение описывает рабочий режим реле - как ток в электрической цепи, так и движение контактной группы.

Уравнение вида (1) возникает при определении, например, одного из трех углов Эйлера по двум другим в задачах ориентации спутников и их гирокомпасировании [4]:

( d^ Л

2

dy + _QcosW ^ +Q( +Q cos y)sin v = о, (3)

dt k1 + Q cos y L dt J

d 2 y dt2

-cos y

k2 - dt

k1 + Q cos y

где у - угол рыскания спутника, Q - угловая скорость орбитального движения спутника.

Однако, несмотря на развитие методов анализа, в частности, теории эллиптических и абелевых функций, уравнения (1) и (2) решаются исключительно посредством упрощений, которые можно подразделить на два класса:

1. подстановка в уравнения (1) и (2) отрезков рядов Фурье;

2. отбрасывание ввиду малости тех или иных слагаемых, входящих в уравнение, и замена функции sin ф на угол ф [5, 6].

Как правило, для построения решения используются оба класса упрощений. Первая попытка получить аналитическое описание, адекватное наблюдаемому движению, была предпринята одним из авторов посредством представления решения уравнения вида (2) эллиптической функцией Вейерштрасса [7], что позволило правильно определить порядок кривой, представляющей движение контактной группы в реле как функцию времени, хотя построенное решение не было точным.

В данной же работе строится точное решение уравнения (2) методом теории эллиптических функций [8].

Построение начнем с рассмотрения движения маятника по инерции, описывающегося уравнением

i d2 Ф • ^ ml—— + mg sin ф = 0,

dt

2

(4)

так как решение последнего определяет строго периодическое движение, период которого с достаточно большой точностью был впервые определен Х. Гюйгенсом всем известной формулой

T = 2ж - . (5)

\g

Гюйгенс решал уравнение (4), полагая отклонения маятника от положения равновесия столь малыми, что функция sin ф могла быть принята равной самому углу ф. На самом деле решение уравнения (4) определено функцией

Ф = 2arcsin [ s sn(u,s)], (6)

где sn(u) - эллиптическая функция Якоби, аргумент u которой пропорционален времени,

u =.

(t - to),

(7)

а в - эксцентриситет кинематического эллипса, отображением на который движение маятника спрямляется последующим отображением на окружность. При движении маятника по инерции (уравнение (4)) в есть величина постоянная, выражающаяся через начальное условие - начальный угол отклонения маятника от положения равновесия

Фо = а (8)

- равенством

s = sin -

а

(9)

Точный период колебаний маятника имеет вид

Т

T = 4 K

1

-=4fe2( т) g2

где

- = 2 же3 g

g

(10)

dф

2

к = J___

0 - s2 sin2

Ф

- эллиптический интеграл первого рода, а 03(т) (тэта-постоянная) - значение тэта-функции 9з(и) при и = 0.

Для построения аналитического описания движения маятника в сопротивляющейся среде или же вообще при действии на него каких-либо внешних сил, отклоняющих его движение от чисто периодического, необходимо и достаточно определить функцию (6) как функцию двух переменных - аргумента и(^) и эксцентриситета в(^):

Ф = 2агсБт [в (г)бп(и{г),в^))], (6')

что предопределит изменение размахов маятника.

При таком определении функции ф ее полная вторая производная по времени имеет вид

ж

Л2ф = д2ф IдиI2 + д2ф ГдиУдв^ + д2ф ГдиУдв| + д2ф Iдв^2 + дф Л2 ди2 1дГ ) дидв^дГ J|дt ) двди |дt >) дв2 ) дв

дв

где коэффициенты при производных от в имеют вид

дф

1

дв (1 -в2 )Лт

Б2яти + 2(1 —

2(2 — в2 и )Бияти + (1 -в2 )ят и]

2в

д2 ф

2 ' 1 2 2 дв 1(1 — в ) Лти

Бцяти + 2(2 —в и)Бияти + (1 — в )яти

2в(1 — в2 )2 Лт2 и

+ (1 — в2 )sт и]+

Б^Лти + 2(2 —в2и)БиЛти + в2 Лти • — БЦяти + 2(2 —в2и)Бияти +

Б2яти + 2(2 — в2и )Бияти + (1 + 3в2 )яти

+

2в Б ияти (1 — в 2 )

2в(1 — в )Лти

2 2 2 2 (2+в и)ят и — 2— ятиБияти — (1 — 2в )и + Биёти — (2—в и)Лти

+

2

(2 — в ) 2 2 2 -— Лти[— Биети + 2(2 —в и)Бисти + в сти

2в(1 — в )

+ сти

2 2 2 К

— БиЛти + 2(2 —в и)Биёти + в Лти

1

— 2в яти +--

2в

2 2 2 — Бияти + 2(2 —в и)Бияти + (1 — в )яти

з

— 4в•ят и —

22 Зв ят и

в(1 — в2 )

— Бияти + 2(2 —в и)Бияти + (1 — в )яти

д2 фГ ди^2 _ ^ —— I = 2в Бисти

ди2 ) и

д2 ф Г ди V дв

1

дидв yдt А дt) 1 — в 2 д2ф ГдиУдв^

— Б ¡¡сти + 2(2 —в 2и )Бисти + (1 — 2в 2 )сти

дв ¥

двди^ )^дt) (1 — в2 )Лт2

22 + (1 — Зв + 2в яти)Бияти

(лти — Б\ яти + 2(2 — в 2и )Б^ яти +

— в2 яти сти

2 2 2 1 дв

— Бияти + 2(2—в и)Бияти + (1 — в )яти I —

Л^ у

(11')

Подставив выражение этой производной в уравнение (4), мы получим в силу строения функции (6'), а именно существования явных алгебраических выражений всех ее производных по и и в [9], дифференциальное уравнение, в котором неизвестной функцией является в(^. Так как эта функция не зависит от других переменных, то уравнение (4) мы можем записать в виде

1

1

1

и

а ^ + р1 —+ р2 f—] +5s + C sin ф = 0. (12)

dt2 dt H2 ^ dt J ^ V '

Уравнение (12) является уравнением, подобным самому общему уравнению движения маятника в сопротивляющейся среде, так как оно содержит силу сопротивления, пропорциональную скорости движения маятника (силу трения), и силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости его движения.

Однако необходимо учесть, что единственный размерный множитель при производной (11) представляет собой момент

[А] = ml l1. (13)

Тогда для того, чтобы все слагаемые, входящие в уравнение (12) имели одну и ту же размерность, коэффициент р1 должен представлять собой отношение момента А к единице времени (возможно, периоду Т), а коэффициент 5 - отношение момента А к квадрату той же единицы времени Т 2 или, в общем случае, - к некоторым линейным и квадратичным функциям времени f (t) и f2 (t).

Так как целью работы является построение описания движения маятника с трением в точке подвеса, упростим последнее уравнение, положив р2 = 0 и преобразовав сумму двух последних слагаемых в произведение 5s + C sin ф = 5р, т.е. приведя его к виду

d2 р dp -

а ^ + р1 —+ 5р = 0. (12')

dt2 dt

Эксцентриситет эллипса s сам является эллиптической функцией, так как определен отношением

е = 4, (14)

е3

которое, в предположении его зависимости от времени, представляет собой отношение квадратов тэта-функций

(15)

е3( и)

где и - линейная функция времени, отличающаяся от u постоянным множителем —.

K

Подстановка (15) в дифференциальное уравнение (12') преобразует его в алгебраическое уравнение степени 4 относительно р с изменяющимися во времени коэффициентами

р 4 + hs 3 + ... + X 4 = 0, (16)

в которые, кроме периодических эллиптических функций Якоби - тригонометрических функций эллипса I рода, входят тригонометрические функции эллипса II рода, являющиеся квазипериодическими. Тогда, в зависимости от выбранного знака коэффициента р1 в уравнении (12'), корни уравнения (16) будут квазипериодическими убывающими или возрастающими функциями времени, что, соответственно, предопределяет аналитическое поведение функции ф - решения уравнения (2).

Характер затухания на самом деле будет зависеть и от поведения функции р1, поскольку трение может быть, вообще говоря, либо чисто линейной функцией скорости, либо же иметь так называемые "мягкую" и "жесткую" характеристики.

f Fip

dф dt

Рис.1. Зависимости силы трения от скорости.

Ввиду того, что аналитическое строение как коэффициента Pi, так и соответствующих коэффициентов уравнения (16) определено отношениями сложных выражений эллиптических функций I и II рода, из них всегда можно выделить соответствующую реальной характеристике - не обязательно эквивалентной одной из трех, изображенных на рис. 1, - функцию для того, чтобы получить сколь угодно точное описание движения маятника с трением в точке подвеса, полагая, что коэффициент р1 определяет поведение некоторой совокупности сил, пропорциональных первой степени скорости и нарушающих периодичность движения маятника.

Полученное нами решение задачи движения маятника с трением в точке подвеса позволяет повысить точность описания движения чувствительных элементов чрезвычайно широкого класса измерительных приборов, поскольку движение этих элементов в магнитометрах, гравиметрах, акселерометрах, герконах и т.д. описывается уравнением (12') с ненулевой правой частью.

Так как определением коэффициентов В1, В2 и С как различных функций ф (i) из уравнений (1) и (2) получаются все (sic!) дифференциальные уравнения, рассмотренные

в монографиях [5,6] (кроме содержащих члены , где N>2), то естественно

заключить, что полученное нами решение mutatis mutandis является решением всех этих уравнений, кроме уравнения, описывающего колебания маятника переменной длины.

1. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. // Изв. Ник. Морской Академии. Вып. IV, V. Петроград, 1915/1916.

2. Менделеев Д.И. Подготовка к определению абсолютного напряжения тяжести. Сочинения, т. VII. Л.-М., ИАНСССР, 1946. С. 600-620.

Литература

3. Крылов А.Н. Качка корабля. / Собр. трудов ак. А.Н. Крылова, т. XI. М-Л., ИАНСССР, 1951.

4. Бесекерский В.А., Иванов В.А., Самотокин Б.Б. Орбитальное гирокомпасирование. СПб: Политехника, 1993. С.82

5. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М, ГИФМЛ, 1958.

6. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М. Мир, 1968.

7. Мануйлов К.В., Дмитриенко Л.Л., Никогосян Г.Н., Оганян Э.В. Оценка работоспособности реле по траектории контактной группы // Повышение технического уровня изделий слаботочной техники. Ереван, 1986. С. 12-14.

8. Плотников В.В., Несмачный Д.В., Лодыженский В.К. Движение маятника в сопротивляющейся среде. // Материалы VI междунар. научной конференции "Проблемы пространства, времени, движения". С-Пб: СПбГИТМО, 2000.

9. Ильина Л.П., Мануйлов К.В. Курс лекций по теории функций комплексной переменной и эллиптическим функциям. СПб: СПбГИТМО, 2000.