CC BY
33
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЛОСКОЙ КРИВОИ, «ДАННОЙ СВОБОДНЫМ ВЛЕЧЕНИЕМ РУКИ»
К.В. Мануйлов
Все без исключения законы изменения величин, являющихся наблюдаемыми значениями физических полей, представленные плоскими кривыми
, = |/ (х)' (1) 1/с),
полученными либо в результате дискретных или непрерывных измерений этих величин вдоль некоторых прямых - профилей в геофизике, в плоскостях в томографии или, как при почти всех экспериментальных измерениях, на самописцах (компьютерах), либо же в результате проведения плоских сечений поверхностей, сформированных механическими воздействиями на некоторые материальные объекты, требуют для решения практически необозримого поля различных задач представления их (кривых) в аналитической форме.
Действительно, упомянутые нами кривые могли бы быть использованы для решения целого ряда задач, в частности, для предсказания поведения измеряемых полей в зависимости от изменения тех или иных параметров источников этих полей, определения формы - геометрии источников при деформациях и колебаниях механических поверхностей, если бы они были определены в функциях, к которым применимы основные операции анализа, причем таких, которые являются решениями уравнений математической физики, т.е. тех уравнений, которые описывают вышеупомянутые физические объекты. Эта задача была полностью решена геометрами и аналитиками XIX столетия. Рассмотрим в общем виде ее решение, данное Б. Риманом [1, 2].
Предполагая, что рассматриваемая нами плоская кривая не имеет разрывов первого и второго рода, но может иметь острия и самопересечения, ее в зависимости от числа максимумов, минимумов и самопересечений наиболее естественно определить полиномом степени п или уравнением степени п, положенным Б. Риманом в основу теории абелевых функций [3]:
г) = а0яп + а15п-1 +... + ап = 0. (2)
Построим аналитическое описание кривой (2), опираясь на стереографическое отображение. Приведем в соприкосновение с плоскостью ХОУ сферу, определенную уравнением
X х2 = 1, (3)
г =1
и установим взаимно однозначное соответствие между начальной точкой кривой, «данной свободным влечением руки», А и точкой а сферы (3) посредством стереографического отображения. Тогда движению точки по плоскости будет взаимно однозначно соответствовать качение сферы по плоскости или же ее вращение относительно системы осей, эквивалентное некоторому движению точек по сфере, каковое представимо аналитически непрерывной реализацией дробно-линейного преобразования переменной г = х + ¡у, если мы введем на плоскости ХОУ комплексную метрику, т.е. преобразуем ее в С1 (см [2]).
Этим самым движению точки А по плоскости будет соотнесено движение ее образа - точки а - по сфере (3) или вращение сферы (3) относительно системы осей. Любая плоская кривая вида (1), в силу выше сформулированного определения, представима в общем случае некоторой абелевой функцией от р переменных, являющейся тригонометрической функцией алгебраической кривой рода р.
Последнее утверждение справедливо, ибо именно указанные абелевы функции являются точными (аналитическими) решениями уравнений теории потенциала независимо от природы упомянутого потенциала - решениями внешней и внутренней задач Дирихле, решениями задачи Коши для уравнений теплопроводности, диффузии, волновых уравнений и уравнений, возникающих в теории деформаций монолитных тел и оболочек, и т.д. [4].
Рассмотрим это построение индуктивно, что позволит нам уяснить предлагаемый метод, неулучшаемость которого была доказана Е.И. Золотаревым в небольшой заметке [5], содержащей решение задачи П. Л. Чебышева [6], представленной им в мемуаре "О функциях, наименее уклоняющихся от нуля".
Отметим, что из теории абелевых функций, построенной Б. Риманом, следует, что плоская кривая, определенная уравнениями (1) и (2), имеет своими
тригонометрическими функциями абелевы функции второго порядка от p = переменных.
Однако, в силу теоремы Абеля I [4], аналитическое описание кривой (2), эквивалентное построению общего решения уравнения, описывающего колебания струны, определенного некогда Л. Эйлером фразой: "Общее решение уравнения струны представимо кривой, данной свободным влечением руки," - можно найти, используя лишь три эллиптические функции.
Так как обыкновенно плоские кривые (1) и (2), изображающие поведение во времени или в пространстве некоторых физических величин, представляются в виде непереодических функций с ненормированными (в отличие от тригонометрических функций) изменениями абсолютных значений величины y = f (х) - амплитудными отклонениями, то самое простое построение их аналитического описания состоит в преобразовании таковых в периодические функции с нормированными амплитудными отклонениями от нуля или некоторой "средней" величины. Ибо, если значения изучаемой физической величины не изменяют знак, то соответствующая плоская кривая получится в результате наложения на функцию A(amu) или dnu некоторого заданного наблюдаемыми значениями величины закона изменения эксцентриситета эллипса, каковое всегда представимо в соответствии с формулами приведения (см. [7]) соответствующим изменением аргумента u.
Если же значения изучаемой нами физической величины являются знакопеременными, т. е. являются более естественно представимыми графиками функции sin(amu) или cos(amu), snu, cnu, то необходимое число максимумов, минимумов и пересечений кривой с осью абсцисс, т.е. нулей, также подбирается соответствующими вариациями эксцентриситета s. Таким образом, изменения периода определяются одной (sic!) функцией.
Вторая задача, возникающая при преобразовании данной периодической тригонометрической функции, представленной плоской кривой, в наблюдаемую функцию y = f ( х), состоит в преобразовании изменений амплитуды тригонометрической функции, которая по определению изменяется в пределах от +1 до -1, если она аналогична sin(u) или cosu, и в пределах между 1 и s', если она аналогична dnu , в изменения амплитуды наблюдаемой кривой.
Решим и эту задачу, используя эллиптические функции. Если наблюдаемая кривая имеет нули или, напротив, вся лежит в области положительных значений y, найдем среднее значение исследуемой величины на данном интервале и проведем две прямые y = ±c такие, чтобы ни одна из них не соприкасалась с графиком y = f (х), т.е. чтобы
с(+) -1(у) > 0,
с(-) -1(У) > 0. ()
Преобразовав удвоенную ординату - ширину получаемой таким образом полосы у = 2с в единицу, определим две эллиптические функции, согласованные изменения которых дадут нам точное описание изменения ординаты у, либо совершенно независимое от изменения периода, либо же согласованное с последним. Этим самым закон изменения ординаты будет определен законом одновременного изменения эксцентриситетов двух сопряженных классических конических сечений в и в :
S2 +s'2 = 1 = |2с|, (5)
где
S2 =©2 =®|оо = c
©2 ©2(v)
S'2 =©4 = ©М = c ©2 ©2(v)
(6)
Вопрос согласования изменения периода и амплитуды - ординаты y между собой при преобразовании периодической нормированной тригонометрической функции в данную с ненормированной амплитудой в каждом конкретном случае может иметь свое решение.
Однако можно сразу сказать, что при превышении амплитудой максимального (минимального) значения +1 (-1) естественно согласовать изменение периода с квадратом возрастающего эксцентриситета, а при недостижении максимального (минимального) значения +1 (-1) - с квадратом убывающего, сумма коих на всем интервале изменения координаты x или t является величиной постоянной.
Таким образом, решение второй задачи мы получим с помощью двух эллиптических функций s и s' .
Наиболее простой путь такого подбора дает рассмотрение катящегося по плоскости шара Бобылева с переменным радиусом r. Кривая, которую описывает точка соприкосновения такого шара с плоскостью, определена системой уравнений [8] fx = b{- u + 2 [ (u + K ) - E(K)]},
[y = - 2 ее b ( u + K),
где E - полный эллиптический интеграл II рода; K - полный эллиптический интеграл I рода; s - эксцентриситет кинематического эллипса, спрямляющего кривую; u -аргумент, определенный эллиптическим интегралом с переменным верхним пределом:
Г x dx
u ='д/1 -s2 sin2 Г = '(1 -x2)(1 -s2x2) ' ()
b - величина, численно равная радиусу шара Бобылева, ибо последний, как это следует из уравнения
{*L\2 ^2 +|^У ^2 = b2dn2u , (9)
^dt) ydu dt) ydu dt)
определен равенством
r = bu . (10)
Литература
1. Риман Б. Основы общей теории функции одной комплексной переменной.
Сочинения. М-Л:ГИТТЛ, 1948. С. 49-87.
2. Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной. М-Л: ОНТИ, 1934.
3. Риман Б. Теория абелевых функций. Сочинения. М-Л: ГИТТЛ, 1948. С. 139-159.
4. Мануйлов К.В. Конические сечения, теорема Абеля и нелинейные задачи математической физики. // Quest. Phil. Nat. №2-3, 1998-1999.
5. Золотарев Е.И. Sur l'application des fonctious elliptiques aux questions de maxima et minima. / Собрание сочинений Е.И. Золотарева, ЛИ АН ССР, 1931. С. 371-374.
6. Чебышев П.Л. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля. / Чебышев П.Л. Избранные труды. МИ АН СССР. 1955. С. 579-610.
7. Ильина Л.П., Мануйлов К.В. Курс лекций по теории функций комплексной переменной и эллиптическим функциям (с приложением справочного материала). СПб, 2000.
8. Ляв А. Математическая теория упругости. М-Л.: ОНТИ, 1936.
