CC BY
124
УДК 338.47:330.4
Н. В. КУДРИЦЬКА (Рада по вивченню продуктивних сил Укра!ни НАН Укра!ни)
ЕКОНОМ1КО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ВИБОРУ ОПТИМАЛЬНИХ 1НВЕСТИЦ1ЙНИХ ПРОЕКТ1В НА ЗАЛ1ЗНИЧНОМУ ТРАНСПОРТ1 З УРАХУВАННЯМ РИЗИКУ
В статп розглянуп iснуючi показники i методи оцiнки ефективностi iнвестицiйних проекпв. Вперше за-пропонована екoнoмiкo-математична модель нелшшного програмування вибору оптимальних швестицшних пpoектiв з урахуванням ризику та основних фактopiв, що впливають на прибутковють.
В статье рассмотрены существующие показатели и методы оценки эффективности инвестиционных проектов. Впервые предложена экономико-математическая модель нелинейного программирования выбора оптимальных инвестиционных проектов с учетом риска и основных факторов, которые влияют на прибыльность.
There are the considered existent indexes and methods of estimation of efficiency of investment projects in the article. First offered economic-mathematical model of the nonlinear programming of choice of optimum investment projects taking into account the risk and basic factors which influence on profitability.
В перюд переходу до ринково! економши при становленш нових вид1в оргашзаци вироб-ничого процесу одшею ¡з головних проблем е шдвищення ефективност управлшня, вмшня прогнозувати доходи i витрати, пор1внювати вар1анти швестицшних вкладень в уах галузях економши Укра!ни.
Анал1з проблем планування та удосконалення роботи зал1зничного транспорту переконливо свщчить, що врахування невизначеносп i конфль ктност та породжуваних ними pизикiв займають значне мiсце в розвитку методолопчного пiдхoдy прийняття piшень в iнвестицiйнiй дiяльнoстi заль зничного транспорту. Для того, щоб oцiнити всi мoжливi ваpiанти фyнкцioнyвання залiзниць в ризикових ситyацiях, пoтpiбнo створити систему економшо-математичних моделей.
На виконання Програми розвитку швести-цшно! дiяльнoстi на 2002-2010 роки, затвер-джено! постановою Кабшету Мiнiстpiв Укра!ни вiд 28.12.2001 №1801 [1] був розроблений план захoдiв, який передбачае проведення дерегуля-ци шдприемницько! дiяльнoстi, лiбеpалiзацiю дшово! активност i створення конкурентного середовища, яю характеризуються виникнен-ням ризикових ситуацш.
Метою дано! статтi е розробка економшо-математично! мoделi вибору оптимальних швестицшних проекпв з урахуванням ризику та основних фактopiв, що впливають на прибутковють (дисконт, темп шфляцп, рентабельшсть, податки).
Питання оцшки pизикiв в iнвестицiйнiй дiя-льност розглядалися у багатьох наукових пра-цях вiтчизняних i заpyбiжних учених [2-8].
В сучасних методиках оцшки ефективносп швестицшних проекпв використовуеться тд-хд, який вимагае посилення уваги до питань врахування лага мiж вкладанням коштiв i !х вiддачею. В залежностi вiд цього вс методи оцiнки ефективностi проекпв можна роздшити на двi групи: статичш (перiод окупностi, бухга-лтерська рентабельшсть швестицш) i динамiчнi або методи дисконтування (чистий приведений доход, шдекс рентабельностi iнвестицiй, внут-ршня норма прибутку, дисконтований строк окупносп iнвестицiй, ану!тет).
Для зниження ризику, як правило, застосо-вуються рiзнi методи, якi пiдвищують надш-шсть результатiв iнвестицiй: вивчення мехашз-му формування прибутку з урахуванням рiзних факторiв, використання методiв математично! статистики, економшо-математичного моделю-вання i шш.
В аналiзi ефективностi iнвестицiй застосо-вуються наступнi показники:
- пер1од окупност1 проекту (РВР) - час, за який шдприемство покрие витрати на швес-тицп. При цьому термiн окупностi визначаеться iз сшввщношення:
РВР = С £ и / Сг,
де С^ и - сума швестицш; Сг - щорiчнi над-ходження.
- чиста приведена величина доходу (ЫГУ) - оцшка вартосп потоку майбутнього доходу, дорiвнюе приведено! вартосп майбутнiх при-буткiв або грошових потокiв, дисконтних за допомогою вщповщно! процентно! ставки за
вщрахуванням приведено! вартосп швестицш-них витрат. NPV використовусться для оцiнки пропозицш iнвестицiй з використанням загаль-но! бази для порiвняння. При цьому перевагу мае той проект, NPV якого мае позитивне зна-чення, тобто швестицп принесуть доход. Негативна ж величина NPV вказуе на те, що доходи вщ запропонованого проекту недостатньо ви-сою, щоб компенсувати ризик даного проекту.
- рентабельность (тдекс прибутковост1) PJ - критерш ощнки проекту, який визначаеться як вiдношення приведено! вартосп пов'язаних iз його реалiзацiею майбутшх грошових потокiв до приведено! вартосп первiсних iнвестицiй:
PJ = Сп.п / Сп.в ,
де Спп - приведенi надходження; Спв - приве-денi виплати;
- внутршня норма прибутковост1 (IRR) - ставка дисконтування, при якш ефективнiсть швестицш, тобто NPV, дорiвнюе нулевi, а приведена вартють майбутнiх грошових потоюв дорiвнюе первiснiй сумi швестицш. 1накше ка-жучи, це розрахункова ставка вщсотюв, при якiй каштатзащя регулярно отриманого доходу дае суму, яка дорiвнюе iнвестицiям, тобто катталовкладення окупаються. Звичайно мшь мально припустиме значення IRR приймаеться бшьш високим, нiж вартiсть капiталу, на деяку величину з урахуванням ризику проекту;
- анутет - це послщовнють однакових грошових потокiв, яю регулярно повторюють-ся. Приведена вартють ану!тету в одну грошову одиницю послiдовностi iз п грошових потоюв однаково! величини дорiвнюе:
В(п, r) = [i - (1 + r)-n ] / r ,
де n - кшькють перiодiв, коли виникали грошо-вi потоки; r - ставка дисконтування. Якщо роз-глядаються проекти, де грошовi потоки посту-пають нерiвномiрно, визначають ану!тет, якому еквiвалентний даний проект:
С = PV / B( п, r),
де PV - приведена вартють грошових потоюв проекту. Перевагою критерда ану!тету е те, що вiн дозволяе порiвнювати проекти рiзно! трива-лосп [6].
1снують рiзнi пiдходи до аналiзу проектiв, у тому чист i аналгз чутливостг, що проводиться шляхом послщовного виконання наступних кроюв:
- вибираеться основний ключовий показ-
ник, тобто параметр, щодо якого i проводиться оцiнка чутливостi. Такими показниками мо-жуть бути як внутршня норма прибутковостi (IRR), так i чистий приведений доход (NPV);
- вибираються варiйованi фактори ^вень iнфляцii, обсяг i цiна реалiзацii та iн.);
- проводиться розрахунок ключових по-казникiв на рiзних етапах здiйснення проекту.
Отриманi таким шляхом послщовност ви-трат i надходжень дозволяють визначи-ти фiнансовi потоки для кожного перiоду та показники ефективносп.
Одним i3 методiв оцiнки i аналiзу ризикiв швестицшних проектiв е метод сценарИ'в, який був створений в результат удосконалення методу аналiзу чутливостi i направлений на зни-щення його недолшв, а саме:
- можливють використання обмеженого числа факторiв (основних змшних проекту, якi безпосередньо впливають на чистий дисконт-ний доход (обсяг продажу, цша, оборотний ка-пiтал, ставка проценту та ш.));
- однофакторнiсть аналiзу, тобто орiен-тацiя на змiну тiльки одного фактору ризику проекту, що призводить до недооблшу мож-ливого звязку мiж окремими факторами або ix кореляцii.
Сценарний пiдxiд передбачае виконання альтернативних розраxункiв з використанням даних, якi характеризують рiзнi варiанти розви-тку проекту. В процесi реалiзацii цього методу експерти розглядають ряд сценарпв, що характеризують зб^ обставин, в яких може опинити-ся проект, i вiдповiднi 1'м значення основних змiнниx проекту.
Сценарп розглядаються у якостi варiантiв значень основних змшних проекту при найпр-шому збiгу обставин (песимiстичний сценарш), при найкращому збiгу обставин (оптимютич-ний сценарiй) i при найбшьш вiрогiдному збiгу обставин (реалiстичний, найбшьш вiрогiдний сценарiй).
На основi отриманих вiд експертiв значень основних змшних проекту для песимютичного, найбiльш вiрогiдного та оптимiстичного сцена-рiiв розраховуються вiдповiднi !м значення критерiiв ефективносп проекту. С можливють розрахунку середнього значення i середньоква-дратичного вщхилення критерiю ефективностi для порiвняння рiзниx проектiв.
Подальше вдосконалення сценарного тдхо-ду повязане з використанням гмгтацШного мо-делювання, яке дозволяе розглядати необмеже-ну кiлькiсть рiзниx варiантiв розвитку подiй (сценарiiв). Iмiтацiйне моделювання - це роз-
рахункова процедура з використанням програ-много забезпечення на персональних комп'ю-терах, в процес яко! на основi випадково узя-тих рiзних наборiв основних змiнних проекту проводиться серiя розрахункiв значень критер> !в ефективносп проекту. Примiром такого шд-ходу служить метод Монте-Карло.
В Роси виконане дослщження структури критерпв ефективносп iнвестицiйних проектiв, ефект яких ощнюеться випадковою величиною з неточно вщомим розподiлом, причому рiзнi можливостi розподшу мають рiзний ступiнь ймовiрностi i формалiзуються як нечiткi [4].
Ощнка iнвестицiйних ризикiв мае суттеве значення для прийняття рiшення про участь в проекта Вiдомо, що високий ризик зменшуе комерцiйну привабливiсть проекту, а його зб> льшення повинно бути компенсоване наявню-тю додаткових кошив, якi враховуються у складi ставки дисконту.
Для оцiнки ризику нами вперше було проведено статистичне дослщження вiдносних значень збитюв. Дослiдження показало: розпо-дiл збитюв пiдкоряеться закону Вейбула з параметрами (а = -2,44; р = 0,095) [8], що було визначено з використанням емшрично! криво! розподiлу збитюв в економщ, яку запропонував В. В. Вгглшський [7]. Ризик оцiнюеться як мате-матичне сподiвання розподiлу збитюв за визна-ченим законом Вейбула. Проведет достдження показали, що ризик найбшьш суттево впливае на прибутковють iнвестицiйних проектiв. Крiм того, при розробщ моделi вибору проектiв був врахо-ваний комплекс основних факторiв, якi вплива-ють на прибутковють проекпв: дисконт, темп iнфляцi!, рентабельнють, податки.
Для вирiшення дано! задачi нами вперше ро-зроблена математична модель нелiнiйного про-грамування [9], цшьова функцiя яко! - сумарна прибутковють проекпв на кiнець планового перюду:
£ CnH •x • y'nli + (1+y ) q.
j-i
• max
i=i
Основнi балансовi обмеження по роках за-пишуться таким чином:
1) вартють всiх проектiв в перший рш строго дорiвнюе видшенш сумi iнвестицiй Фа:
m
2сп11 • У'п11 + Фо = 0.
1=1
2) вартють витрат, пов'язаних з фшансуван-ням проектiв, вiддача вiд функщонування про-ектiв разом з депозитним вкладом в кожному
промiжному рощ збалансована:
m
£ C'nli x • y'nli - qj +(1+y)qj-i = 0,
i=i
qj > 0, j = 2,3,...,n -1.
де i = 1,2,...,m - кшькють npoeKTiB; j = 1,2,...,n
- кшькють роюв функщонування npoeKTiB; 4, -початок фшансування i-го проекту; xi - обся-
ги iнвeстування i-го проекту; C'nli - прибутко-вiсть i-го проекту в j-му poцi; y'nli - булева змшна, яка показуе роки фшансування та функщонування проекту; qj > 0 - залишки грошей
в j-му рощ; y - вщносна величина депозитного процента.
Алгоритм дано! задачi нелшшного програ-мування доцшьно будувати на iдeï лшеаризацп задачi на кожному кpoцi гтерацшного процесу. Тобто при фiксoваних термшах початку проек-тiв дана задача перетворюеться на задачу лшш-ного програмування, яку можна розв'язати за допомогою програми Microsoft Excel.
Нехай е дeкiлька iнвeстицiйних пpoeктiв: Х1
- закупiвля нових вагoнiв, дизель- i eлeктpoпoïз-дiв; Х2 - розробка нових шляхових машин, меха-нiзмiв стану шляху; Х3 - електрифшащя залiз-ниць; Х4 - впровадження системи швидкiснoгo руху вантаж1в на тepитopiï Украши; Х5 - розробка i впровадження систем безперевалочних змь шаних перевезень транзитних ванташв; Х6 -впровадження автоматизованих iнфopмацiйних систем стеження за просуванням транзитних ва-нташв в пунктах пропуску... та iн.
Ставиться задача вибрати оптимальш проек-ти, яю дадуть найбiльший прибуток на при-кшщ четвертого року ïx фшансування (2010 рш), при умoвi, що на вс проекти видiлeнo каттал в сумi 5000 млн дол. а в проект Х1 вкладено 2200 млн дол.
Припустимо, що проекти мають прибутковють по роках, наведену в таблищ. Коефщенти пpибуткoвoстi були розраховаш з урахуванням ризику, дисконту, темпу шфляцп, пoдаткiв, ре-нтабeльнoстi.
Так, наприклад, проект Х1 на при кшщ другого року його фшансування на кожний вкла-дений долар швестицш принесе прибуток
C31 = 0,045 дол., по закiнчeннi третього року -
прибуток складе C]1 = 1,17 дол. Сформулюемо обмеження задачi. 1) iнвeстицiï в проекти не повинш приймати вщ' емнi значення, тобто x1 > 0 ; x2 > 0 ; x3 > 0 ;
х4 > 0 ; х5 > 0 ; х6 > 0 ;
2) у проект Х1 в перший рш iнвестовано 2200 млн дол., тобто х1 = 2200;
3) для досягнення максимального ефекту необхщно вкласти в перший рш (у - 1), в ус проекти, якi починаються в цьому рощ, весь каттал, який був видшений на !х впроваджен-ня, тобто 5000 млн дол.
х1 + х3 + х4 = 5000;
4) використовуючи другий стовпець табл. 1, сформуемо баланс на другий рш (у = 2)
0,045х1 +1,066х3 - х2 - х6 = 0.
5) аналогiчно, використовуючи третiй сто-впець таблицi сформуемо баланс на третш рiк
(у - 3),
1,17х1 + 0,056х2 + 0,107х6 - х5 = 0.
Таблиця
Результата розрахумку к'оочфмиснмв прибутковост iнвестицiйних проектiв
Роки 2007у = 1 2008 у=2 2009 у=3 2010 у=4
Проекти Х1 1 = 1 С =- 1,0 С11 - 0,045 С11 -1,17 0
Х2 1 = 2 0 с222 --1,0 С322 - 0,56 С422 - 1,18
Х3 1 = 3 С1 -31 _ 1,0 С23! - 1,066 0 0
Х4 1 = 4 С1 =-41 1,0 0 0 С441 -1,26
Х5 1 = 5 0 0 С33 --1,0 С53 -1,1
Х6 1 = 6 0 С6 = 10 22 С362 - 0,107 С6 -1,23
Цшьова функцiя дано! задачi мае вид:
1,18 х2 +1,26 х4 +1,1 х5
-1,23х6 ^ тах.
Розрахунки за вищенаведеною моделлю по-казують, що оптимальними проектами, як забезпечують максимум прибутку на кшець 2010 року е проекти Х1, Х2, Х3 та Х5.
Таким чином, розроблена модель дозволяе здшснювати вибiр iнвестицiйних проектiв з урахуванням ризику, дисконту, темпу шфляци, податюв (податку на прибуток та податку на додану вартють) та рентабельность
Подальшим напрямом дослiджень, присвя-чених удосконаленню розроблено! економшо-математично! моделi е збiр та статистичний аналiз даних ендогенних та особливо екзоген-них факторiв (екологiчнi чинники, змши в за-конодавствi та шш1), якi впливають на прибут-ковiсть проектiв.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Постанова Кабшету Мш1стр1в Украши в1д 28.12.2001 № 1801 «Про затвердження Програ-ми розвитку швестицшно! д1яльносл на 20022010 роки» www.rada.gov.ua.
2. Кулаев Ю. Ф. Методы экономической оценки инвестиционных проектов на транспорте. - К.: Транспорт Украины, 2001. - 182 с.
3. Савчук В. Теория и практика оценки эффективности инвестиций в Украине // Экономика Украины. - 2003. - № 12. - С. 19-25.
4. Смоляк С. А. Оценка эффективности проектов в условиях нечеткой вероятностной неопределенности // Экономика и математические методы. - 2001. - Т. 37. - № 1. - С. 3-17.
5. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и техника оценки любых активов / Пер. с англ. - М.: Альп Бизнес Букс, 2005. - 1342 с.
6. Контролинг как инструмент управления предприятий / Под ред. Н.Г.Данилочкиной. -М.: ЮНИТИ. - 2003. - 281 с.
7. Вгглшський В. В. Анал1з моделювання та управ-лшня економ1чним ризиком: Навч.-метод. поаб. / В. В. Вгглшський, П. I. Верченко - К.: КНЕУ, 2000. - 292 с.
8. Кудрицька Н. В. Модел оцшки ризику з викори-станням функцш корисносп // Економ1ко-мате-матичне моделювання сощально-економ1чних систем. - К.: НАУ, МОН, МННЦ ГПС. - 2003. -Вип. 4. - С. 100-103.
9. Кудрицька Н. В. Математична модель нель ншного програмування для оптимального ви-бору швестицшних проекпв // Формування ринкових ввдносин в Украшг - К. - 2006. Вип. 5 (60). - С. 73-76.
Надшшла до редколегп 31.07.2007.
