Математичні моделі оптимізації фінансування інвестиційної діяльності підприємств Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

12. Роберт С. Каплан, Дейвид П. Нортон. Стратегические карты. Трансформация нематериальных активов в материальные результаты; пер. с англ. Москва: Олимп-бизнес, 2005. 512 с.

13. Хервиг Р. Фридаг, Шмидт В. Сбалансированная система показателей; пер. с нем. Москва: Омега - Л, 2006. 144 с.

Надшшла до редакцП 26.09.2017р.

О.Ю. 1вченкова, к.е.н., Ю.Д. Лiтвиненко

МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 ОПТИМ1ЗАЩ1 Ф1НАНСУ-ВАННЯ ШВЕСТИЩЙНО1 Д1ЯЛЬНОСТ1 ПЩПРИСМСТВ

Одним з ефективних, добре апробованих шструменпв опти-мiзащl швестицшних процешв е математичне моделювання. Його застосування дозволяе визначати структурнi та фiнансовi пара-метри iнвестицiйних процешв, що сприяють досягненню оптималь-них значень критерив ефективностi, й ураховувати елементи дина-мiки, ризику i нечiткостi даних.

Питання застосування математичного моделювання для опти-мiзацil процесiв фшансування iнвестицiйних проектiв розглядають Г. Хакс, Х. Вейнгартнер, Дж. Дiн, Д. Новшов, В. Бурков, Е. Бронштейн, Т. Олшник, В. Богатирьов, С. Морозов, В. Царьков, О. Павлов, М. Михальов та ш.

Метою статп е обгрунтування вибору економшо-математич-них моделей оптимiзацil фiнансування iнвестицiйних проектiв.

Пiдвищення обгрунтованосп полiтики фiнансування швести-цiй компанш в умовах динамiзму господарського середовища i ф> нансово! нестабiльностi потребуе уточнення принципiв i розробки моделей оптимiзацil структури iнвестицiйного капiталу, орiентова-них на досягнення довгострокових цшей компани. Значимiсть прийняття аргументованих i зважених рiшень щодо формування структури джерел фшансування швестицшно1 дiяльностi зумовлена багатовекторним впливом цього чинника на розвиток компани: при неоптимальнiй структурi iнвестованого капiталу компани належить проходити свш життевий цикл при бшьш високих вимогах до при-бутковосп, а отже, встановлювати бiльш жорстю критери вiдбору

© О.Ю. 1вченкова,

Ю.Д. Лггвиненко, 2017

швестицшних проекпв, оскiльки не бyдь-якi привaбливi потенцiйнi нaпрями iнвестyвaння зaдовольнятимyть шдвищеш вимоги до при-бyтковостi швестованих коштiв; при виникненнi додаткових обме-жень iнвестицiйних можливостей компaнiя не зможе бути потрiб-ною мiрою динaмiчною i маневреною. Зaвищенi витрати на швес-тицiйний кaпiтaл служитимуть гальмом гнучкого i ефективного ре-aгyвaння на змiнy умов ринково1' кон'юнктури i пiдтримки конку-рентоспроможносп; незбaлaнсовaнiсть структури iнвестовaного катталу веде до продукування агентських конфлшлв, протирiч ште-ресiв влaсникiв i менеджменту.

Агентсью конфлiкти можуть проявлятися в опортyнiстичнiй поведiнцi менеджменту, трансформацп його мотивaцiï, прийняттi iнвестицiйних ршень, що призводять до реaлiзaцiï неефективних i ризикованих iнвестицiйних проектiв. При занадто високiй чaстцi позикового катталу трансформуеться ставлення до компaнiï стейкхолдерiв, якi можуть розпочати пошук шших вaрiaнтiв ств-прaцi, що загрожуе попршенням господарських взaемозв'язкiв, до-говiрних умов, зниженням обсягiв продaжiв, скороченням виручки, зменшенням потокiв грошових кош^в. Ключовi концептyaльнi шд-ходи до оптимiзaцiï структури джерел фiнaнсyвaння швестицш в економiчнiй лiтерaтyрi будуються на aнaлiзi спiввiдношення влас-ного i позикового каштатв пiдприемствa, а також ix складових (прибутку, амортизацп, емiсiï aкцiй, облiгaцiй, бaнкiвського кредиту, комерцшного кредиту, лiзингy та ш.).

Трaдицiйно в теори та методищ фiнaнсового aнaлiзy зютав-лення величин власного i позикового каштатв використовуеться як один iз головних пaрaметрiв фiнaнсовоï стiйкостi компани. Цей на-прям дослiдження структури кaпiтaлy шдприемства, досить гли-боко теоретично опрацьований у вiтчизнянiй i зaxiднiй економiчнiй нayцi, знайшов широке практичне застосування у прикладних методах ощнки фiнaнсового стану пiдприемств. Вiн базуеться на даних фiнaнсовоï звiтностi та вщображае так званий бухгалтерський шд-xiд до структури кaпiтaлy компанш. Проблема оптимiзaцiï структури катталу в рамках даного тдходу зводиться, як правило, до пiдтримки такого сшввщношення власного i позикового кaпiтaлiв компани, при якому забезпечуеться досягнення iндикaтивниx зна-чень вiдомиx фшансових коефiцiентiв (фiнaнсового левериджу, прибутку на акщю, рентaбельностi власного кaпiтaлy та ш.). Крiм розрахунку трaдицiйниx фшансових коефщент1в, використовуеться також прийом визначення точок рiвновaги, за допомогою

якого виробляють зютавлення альтернативних варiантiв фшансу-вання. Незважаючи на безсумнiвну анал^ичну значимiсть бухгал-терського пiдходу, вш не може бути застосований для розв'язку задач оптишзацл структури джерел фшансування iнвестицiй компа-ни, оскiльки в основу оцiнки ефективностi ще1 структури не можуть бути покладеш показники минуло1 дiяльностi. На данш основi не-можливо вибудувати пол^ику фiнансування швестицшно1 дiяльно-сп, що вiдповiдае И стратегiчнiй меп, яка мае полягати у зростанш швестищйно1 вартостi компани. В економiчнiй лiтературi цiлi шве-стицшно1 дiяльностi традицiйно пов'язуються з отриманням чистого доходу вщ iнвестицiйних вкладень у рамках одного швести-цшного циклу.

Однак рух iнвестицiй у процес швестищйно1 дiяльностi тд-приемств мае постшно повторюваний i поновлюваний характер, що формуе основу для його аналiзу в довгостроковiй перспективi та обумовлюе необхiднiсть визначення перспективно1 мети швести-цшно1 дiяльностi компани. Така мета, перш за все, тдпорядкована прiоритетнiй стратегiчнiй метi фшансово1 дiяльностi компанil в ринковiй економщ - зростанню И вартостi. З цих позицiй перспективна мета швестицшно1 дiяльностi компанiй полягае в переви-щеннi доходiв вiд швестування над вкладеним iнвестицiйним капi-талом, що в довгостроковому перiодi забезпечить зростання чистого дисконтованого грошового доходу в умовах динамiзму i неви-значеностi ринкового середовища. Оскшьки чистий дисконтований грошовий дох1д е найбшьш точним вираженням iнвестицiйноl вар-тостi пiдприемства, перспективна мета швестицшно1 дiяльностi пiд-приемства постае як зростання його швестицшно1 вартостi. У зв'яз-ку з цим засади вибору стратеги швестицшно1 дiяльностi та фшан-сового розвитку пiдприемства формуються на концептуальнiй платформi iншого напряму аналiзу структури капiталу, представле-ного теоретичними дослщженнями структури капiталу фiрми i по-шуком оптимального сшввщношення власного i позикового капiта-лiв.

Аналiз основних пiдходiв до оптимiзацil структури капiталу з урахуванням !х адаптацil до проблеми формування оптимальное' структури джерел фiнансування iнвестицiйноl дiяльностi пiдпри-емств дозволяе виокремити таю ключовi положення:

структура iнвестицiйного кашталу компанiй е основним стра-тепчним параметром й iнструментом прийняття управлшських рi-шень, орiентованих на тдвищення ефективностi полiтики фiнансу-вання швестицшно1 дiяльностi компанiй. Зниження частки позико-

вого кашталу фактично означае недовикористання потенцшно бiльш дешевого, нiж власний каштал, джерела фiнансування, осю-льки у компани формуються вищi витрати на швестицшний капiтал, що детермiнуе зростання вимог до прибутковостi майбутнiх швес-тицiй. У той же час при зростанш частки позикового кашталу зрос-тае iмовiрнiсть витрат банкрутства, збшьшуються ризики неплатежу для швестора, що також веде до шдвищення вимог до при-бутковосп цього капiталу;

напрями еволюци теорш структури капiталу пов'язанi з об-грунтуванням взаемозв'язку структури капiталу з ринковою вар-тiстю компани. Структура швестицшного капiталу може мати ви-падковий характер або бути результатом цшеспрямованого вибору. Процес формування структури кашталу спрямований на встанов-лення заданого сшввщношення власних i позикових коштiв, що до-зволяе забезпечити досягнення критерда 11 оптимiзацil. Сучасш теори структури капiталу мають великий методичний шструмента-рiй ошташзаци цього показника, де основними критерiями виступа-ють: прийнятний рiвень ризику в дiяльностi пiдприемства; максимь зацiя ринково! вартостi пiдприемства; мiнiмiзацiя середньозважено! вартост капiталу пiдприемства.

Слiд вiдзначити, що вибiр конкретного критерiю ошташзацп визначаеться шдприемством самостiйно. Вiдносно вирiшення про-блеми ошташзаци структури джерел фшансування швестицшно1 д> яльностi компани таким критерiем, як зазначено вище, служить максимiзацiя швестицшно1 вартостi пiдприемства. Максимiзацiя досягаеться з урахуванням прийнятих ризиюв i задано1 прибутково-стi, яка визначаеться величиною середньозважено1 вартостi вшх ви-користовуваних джерел фiнансування. При цьому мiнiмiзацiя сере-дньозважено1 вартост джерел капiталу, що iнвестуеться, сама по собi не може виступити критерiем оптимальностi !х структури. Як випливае з положень теорш структури кашталу, при такому пiдходi каштал шдприемства, що швестуеться, мае складатися виключно з позикового капiталу, вартють якого за iнших рiвних умов завжди менше акцiонерного капiталу, проте це означае втрату фшансово1 стшкосп й загрозу банкрутства компани.

З позицш фiнансово-iнвестицiйного пiдходу, що вщтворюе завдання зростання чистого дисконтованого доходу вщ реалiзацil iнвестицiйних проектiв й швестицшно1 вартостi пiдприемства, оп-тимiзацiя структури джерел фiнансування швестицшно1 дiяльностi передбачае виявлення того спiввiдношення позикового i власного капiталiв, яке веде до максимiзацil швестицшно1 вартостi дано1 ком-

пани. Реалiзацiя фшансово-швестицшного пiдходу передбачае об-грунтування комплексу складних управлiнських ршень у частинi структурування iнвестицiйних угод, вибору кращих фiнансових ш-струменпв, розробки схеми грошових надходжень i виплат рiзним типам iнвесторiв, регулювання iнвестицiйних ризикiв, формулю-вання умов швестицшних угод та договорiв. Виходячи з цього ф> нансово-iнвестицiйний тдхщ до оптишзаци структури джерел ф> нансування швестицшно1 дiяльностi компанп мае спиратися на такi принципи (див. рисунок):

Рисунок. Принципи оптимiзацil структури джерел фiнансування iнвестицiйноl дiяльностi компанИ

урахування штегрального впливу факторiв зовшшнього i внутрiшнього середовища й асиметричносп iнформацil на структуру швестованого капiталу компанИ. Данi фактори можуть дiяти рiзноспрямовано, результат 1'х впливу визначае можливе сшввщно-шення рiвнiв прибутковостi, ризику i лiквiдностi вкладення капi-талу, що iнвестуеться. Неоднозначш оцiнки майбутнього рiвня при-бутковосп, ризику, лiквiдностi, а отже, умов оптимiзацil структури джерел фiнансування швестицшно1 дiяльностi формуються також пiд впливом асиметричносп iнформацil;

мiнiмiзацiя витрат залучення капiталу, що iнвестуеться. Про-цес отримання очiкуваних грошових потокiв швесторами вiдстро-чений у часi, що визначае необхщнють приведення величин цих по-

тоюв до тепершнього часу з урахуванням альтернативно1 ставки доходу, що втрачаеться швесторами. Ставка залучення позикових джерел фшансування iнвестицiй вiдображае мiнiмальну ставку при-бутковостi, необхiдну кредиторам. Сукупш вимоги до прибутково-стi, пропоноваш рiзними категорiями iнвесторiв, результуються в едину ставку середньозважених витрат на каштал, що iнвестуеться, з урахуванням частки позикових i власних кош^в у сумi його ви-трат;

структуровашсть джерел iнвестованого капiталу. Максимiза-щя швестицшно1 вартостi компанп за шших рiвних умов передба-чае мiнiмiзацiю середньозважено1 вартостi всiх складових швесто-ваного капiталу. Для вирiшення даного завдання необхiднi точна iдентифiкацiя вшх джерел фiнансування швестицшно1 дiяльностi, використання сучасних методiв !х кшьюсно1 та яюсно1 оцiнки;

адекватнiсть термiнiв залучення джерел фшансування швес-тицшно1 дiяльностi цiлям !х використання. Вiдповiдно до одного з «золотих правил» швестування iнвестицiйнi вкладення мають вщ-повщати джерелам !х фiнансування за сумами та строками;

орiентацiя на максимiзацiю швестицшно1 вартостi компани як ключового критерiю ошташзаци структури iнвестованого кат-талу. Вщповщно до цього принципу при ошташзаци структури iн-вестованого кашталу слiд виходити з можливостей максимiзацil ве-личини iнвестицiйноl вартосп компанil, що виражае суму дискон-тованого чистого грошового потоку випд, очiкуваних iнвестором у результатi реалiзацil проекту. Реалiзацiя даних принципiв спрямо-вана на оптимiзацiю структури джерел фшансування швестицшно1 дiяльностi компанil виходячи з об'еднаного критерда «прибутко-вють - ризик - лiквiднiсть». Для формування пол^ики фiнансування iнвестицiйноl дiяльностi компанil в кожному конкретному випадку необхiдно встановити область оптимальних значень структури ш-вестицiйного капiталу. Пошук тако1 областi пов'язаний з яюсним i кiлькiсним аналiзом структури джерел фшансування швестицшно1 дiяльностi.

Якiсний аналiз передбачае видiлення рiзних макро- i мiкро-економiчних чинникiв, якi слщ мати на увазi, розробляючи пол^ику фiнансування iнвестицiйноl дiяльностi дано1 компани. Цей вид ана-лiзу потребуе доповнення кшьюсними оцiнками - фшансовими моделями, що дозволяють встановити розрахункове оптимальне спiв-вiдношення джерел фшансування швестицшно1 дiяльностi компа-ни. Вихiдним пунктом, що становить основу розробки моделi iн-

вестицшно-фшансового вибору оптимально1 структури джерел ф> нансування iнвестицiйноl дiяльностi пiдприемств, е обгрунтоване вище концептуальне положення про те, що критерiем оптимiзацil служить, перш за все, максимiзацiя швестицшно1 вартостi компанп, яка досягаеться з урахуванням допустимих ризикiв i необх1дно1 прибутковостi, задано1 середньозважено1 вартостi вшх використо-вуваних джерел. Оскiльки зростання швестицшно1 вартостi визна-чаеться тим, наскшьки доходи, якi И генерують, перевищують ви-трати щодо залучення iнвестованого капiталу, середньозважена вартiсть ушх використовуваних джерел мае бути мшмальною, при тому, що частка позикових джерел, вартiсть яких за шших рiвних умов завжди менше вартосп власного капiталу, не повинна бути ви-щою за частку власних джерел (для уникнення ризикiв втрати ф> нансово1 стiйкостi та загрози банкрутства тдприемства). 1нвести-цiйна варнсть пiдприемства характеризуе, перш за все, його при-вабливiсть для швестора, яка визначаеться перспективами прибут-ковосн з урахуванням невизначеностi та ризику. II величина пов'я-зана iз сумою дисконтованих потокiв вiльних грошових кошнв, якi iнвестор очiкуе отримати в майбутньому. Тому доцшьно дотриму-ватися думки тих учених i фахiвцiв, якi вважають, що базовим методом оцшки iнвестицiйноI вартосп е метод дисконтування грошових потоюв. Вiдповiдно до даного методу швестицшна вартiсть компанiI Уг визначаеться тдсумовуванням дисконтованоI вартостi на фшсованому горизонтi прогнозування та дисконтованоI залиш-ково! вартостi:

де ¥С¥1 - показник вшьного грошового потоку в ¿-му роцi перiоду розрахунку;

I - штервал перiоду розрахунку; г - ставка дисконтування; ТУ - залишкова вартють.

Для оцшки iнвестицiйноI вартосп пiдприемства використо-вуеться грошовий понк для iнвестованого капiталу, оскшьки вiн вiдображае рух грошових кошнв, який е наслiдком основно! дiяль-ностi пiдприемства i доступний як власнику, так i iнвесторам. Чис-тий грошовий потiк для всього швестованого капiталу е единим по-казником, який точно вiдображае справжш можливостi пiдприем-

¥С¥, ТУ

ства щодо створення багатства. Bíh показуе доходи компани до сплати основних сум боргу i вiдсоткiв по ньому, не допускаючи ви-кривлень, яю можуть бути спричиненi рiзними рiвнями запози-чення. Чистий грошовий потiк для iнвестованого капiталу FCF розраховусться як рiзниця валового грошового потоку GCF i вало-вих iнвестицiй GI:

FCF = GCF - GI.

Валовий грошовий потш визначаеться як сума прибутку вщ основно! дiяльностi за вирахуванням податкiв NOPLAT й амортиза-цшних вiдрахувань DA:

GCF = NOPLAT + DA.

Валовi швестицп являють собою суму капiтальних вкладень KB i приросту власного оборотного катталу СОК:

GI = KB + COK.

Як ставки дисконтування при розрахунку за методом швесто-ваного катталу можна використовувати середньозважеш витрати на залучення джерел фшансування швестицш WACC. Величина WACC, з одного боку, показуе очшування iнвесторiв щодо перспектив розвитку конкретно! компани i тому задае критерiй прибутко-востi iнвестицiйних вкладень, яю формують майбутнi потоки гро-шових коштiв, а отже, швестицшну вартiсть компани; з iншого -характеризуе тягар виконання вимог iнвесторiв як величину вит-рат на залучення катталу, яка мае бути обов'язково перекрита величиною генерованого прибутку. Досвщ застосування рiзних мето-дiв розрахунку витрат на власний каштал у практицi оцiнки швес-тищйно! вартостi свiдчить, що в принцип в цих цiлях застосо-вуються рiзнi моделi: модель ощнки капiтальних активiв САРМ (CapitalAssetPricingModel), модель арб^ражного цiноутворення АРТ (як багатофакторний аналог моделi оцiнки довгострокових ак-тивiв) й iншi моделi, яю спираються на фактичну статистику ринко-вих показникiв.

Проблема оцiнки вартосп позикового капiталу може бути ви-рiшена на основi аналiзу прибутковосп позик до погашення з ура-

хуванням не! обставини, що ризик кредитора складаеться з iмовiр-ностi коливання ставки прибутковосп пiд впливом ринкових фак-торiв та ймовiрностi вщмови компани-боржника вiд виплат або !х затримки. Така ймовiрнiсть може бути оцшена або виходячи з песи-мiстичного сценарiю змiни характеристик фшансового стану ком-пани-позичальника протягом термшу запозичення, або на основi встановлення 11 залежностi вiд кредитного рейтингу позичальника.

У цiлому модель швестицшно-фшансового вибору оптимально! структури фшансування джерел фiнансування швестицшно! д> яльносп пiдприемства може бути математично формалiзована у ви-глядi двокритерiально! задача максимiзацil швестицшно! вартостi пiдприемства i мiнiмiзацil ставки середньозважених витрат на кат-тал, що швестуеться, з урахуванням допустимих ризикiв i необхщ-но! прибутковостi. Дана задача розв'язуеться за методом лшшно! згортки критерив, що дозволяе трансформувати двокритерiальну задачу в однокрш^альну з побудовою едино! цшьово! функцi!. Остання розв'язуеться методами лшшного програмування з урахуванням заданих експертним способом коефiцiентiв переваги а1 i а2, а також iз використання адитивних функцiй для порiвнянностi кри-терi!в. У даному випадку коефiцiенти переваги мають ураховувати прiоритет максимiзацi! iнвестицiйно! вартостi компани. Порiвнян-нiсть критерi!в досягаеться при розподш величини iнвестицiйно! вартостi на величину швестованого капiталу 1с.

Одержана величина вщображае рентабельнiсть iнвестованого катталу з урахуванням дисконтування. У результат однокритерiа-льна задача представлена як

РСР, ТУ

_±__I__

ТУ

^=1

м

п

т

п

т

IЕ > о; I ^ о; IЕ +1 = !с;

¡=1 ]=1 1=1 ]=1

Е —j r

j=1 _ rd

= — < 1; rd + r = 1,

n ' d e '

Е E Ге

i=1

де Ei - величина i-го джерела власного iнвестицiйного капiталу;

— - величина j-го джерела позикового швестицшного капiталу;

i = 1, 2, 3, ... n - кшьюсть джерел власного iнвестицiйного капi-

талу;

j = 1, 2, 3, ... m - кiлькiсть джерел позикового швестицшного ка-пiталу;

rd - мшмальна ставка прибутковостi позикового швестицшного катталу;

re - мiнiмальна ставка прибутковост власного iнвестицiйного капiталу.

Система рiвнянь мае бути розв'язана щодо — або—, або з

E r

е

урахуванням того, що iнвестований капiтал Ic дорiвнюе сумi всiх власних i позикових джерел, а частка власного i позикового кашта-лiв становить одиницю щодо rd або re.

Запропонована модель iнвестицiйно-фiнансового вибору до-зволяе забезпечити оптимiзацiю структури джерел фшансування ш-вестицшно! дiяльностi стосовно конкретно! компани виходячи з максимiзацii li iнвестицiйноi вартостi та мiнiмiзацil середньозваже-них витрат на залучення iнвестицiйного капiталу. У цьому плат за-стосування моделi сприятиме тдвищенню ефективностi полiтики компанiй у сферi фiнансування швестицшно! дiяльностi.

Також розглянемо оптимiзацiйну математичну модель зна-ходження оптимальних параметрiв фiнансування декiлькох парале-льних iнвестицiйних проектiв, що враховуе специфшу управлiння iнвестицiйними проектами в шновацшних структурах. Критерiями ефективностi е чист дисконтованi доходи вше! сукупносп проектiв i кожного проекту окремо. Розглянемо формалiзовану постановку задачi.

С N (p = 1, ..., N) швестицшних проектiв, якi здшснювати-муться за рахунок власного i позикового капiталiв (кiлька джерел фшансування). Виконання всiх або пiдгруп проектов може здшсню-ватися паралельно, початок i завершення кожного проекту вважа-еться вiдомим (B p - перюд початку p-го проекту, End p - перiод

завершення p-го проекту). Необхiдно пiдiбрати оптимальну техно-логiю фiнансування цих проектов на iнтервалi вiд початку першого проекту до завершення останнього (штервал розбитий на кроки), яка забезпечувала б максимальну ефективнiсть (чистий дисконтова-ний грошовий дохiд - ЧДД) сукупного проекту. У процес побудови моделi вводиться ряд припущень:

1. При виконанш розрахункiв розглядаються фiнансовi прип-ливи i вiдпливи вщ операцшно!, швестицшно! та фшансово! дiяль-ностi. Припливи враховуються зi знаком «+», вiдпливи - зi знаком «-». Усi потоки розглядаються на кшець кожного кроку, точкою приведення е кiнець нульового кроку. Розрахунки здшснюються без урахування шфляци в поточних щнах.

2. У розрахунках ураховуються: податок на додану вартють (ПДВ); податок на майно;

податок на прибуток; пшьги з податку на прибуток;

норми амортизаци n amp, p = 1, ..., N(проблеми повно! амортизаци активiв i вироблення техшчного ресурсу не розглядаються).

Урахування саме цих податюв не е принциповим для моделю-вання, модель може бути налаштована i на iншу сукупнiсть подат-юв.

3. Для кожного проекту задаш: величина виручки без ПДВ;

балансова вартiсть основних виробничих фондiв; тривалють проектiв (L p крокiв для p-го проекту); виробничi витрати;

припливи вщ iнвестицiйноi дiяльностi; капiталовкладення;

величина власного кашталу для кожного кроку проекту.

4. Як показник ефективносп сукупного проекту i кожного ок-ремого проекту розглядаеться ЧДД:

де - сумарне сальдо потоюв проекту на i-му кроцi;

а!° = -(1—E) — коефiцiент дисконтування на i-му кроцi;

и - кшець ¡-го кроку; Е - норма дисконту.

5. У процес реатзацп проектов можливе використання влас-ного i позикового каштатв з Н джерел фiнансування (кредити бе-руться пiд проект, величина кредитов по кожному джерелу фшансу-вання обмежена). Вiдсотки по кредитах нараховуються на кожному кроцi, але до початку виробничого циклу проекту вщсотки можуть не виплачуватися (капiталiзуватися, додаватися до величини боргу). Вважаеться, що позики беруться на початку розрахункового кроку, а повернення боргу i виплата вщсотюв - у кшщ.

6. Засоби чистого прибутку на деяких етапах реалiзацi! прое-ктiв (резерви) можуть помщатися в загальний додатковий фонд (депозит у банку тд певний вщсоток). Надалi (на наступних кроках реалiзацi! проектiв) кошти з додаткових фондiв можуть використо-вуватися для погашення негативного сальдо проекпв, проекти можуть фiнансувати один одного.

Цшьовою функцiею моделi е сума чистих дисконтованих до-ходiв усiх проектiв. Чиста поточна вартють р-го проекту визнача-еться як

Розглянемо обмеження модели

1. Сумарне сальдо в кожен перюд часу мае бути невщ'емним,

тому

2. Сума боргу на кшець кожного проекту мае дорiвнювати нулю за вшма джерелами фшансування, тобто

3. Величина каmталiзованих вщсотюв у кожен перюд пошу-ково! роботи невщ'емна:

4. Позики i грошовi потоки з додаткових фоцщв мають бути додатними величинами, а повернення боргу, виплачеш вщсотки, вiдплив у резервш фонди - вiд'eмними.

5. Позики в кожен перюд не повинш перевищувати максимального розм1ру кредиту по кожному джерелу фшансування:

< <>ъ

6. Повернення боргу в кожен перiод не повинен бути бiльше суми позик у попередшх перiодах по кожному джерелу фшансування:

I

7. Позики i вкладення власного i залученого капiталу на кожному крощ не повиннi перевищувати необхщних капiталовкладень:

и

V хрр < -Ыр, - яоЬ _ кар^

7=1

8. Величина грошових коштiв, що надходять iз додаткових фондiв, не повинна перевищувати вщрахувань у додатковi фонди на попередшх кроках, при цьому мае здшснюватися взаемне фшансу-вання проектов:

Для додаткових фоцщв сумарш надходження грошових кош-ив за весь перюд планування мають доpiвнювaти сумарним вщра-хуванням

f/ End

о.

/>=1 i=Bp

Величина вiдпливiв у додaтковi фонди на кожному крощ не перевищуе чистого прибутку:

Одержана оптимiзaцiйнa модель мае такий виг ляд:

ц Endpí fu \ H \

XX S(1-«P)Awv+(1 + ¿(1-np) W,»+yPi+Y.(xPjí+bPj№> —^max

Í"1 VV=I ) <='

,=! y=l

(vè_ ní/í^ (1 - «/?> + />zpl (1 - np) + па/ _ ™р,.(1 - np) +

+ kvlp¡ + np • amortpi + sob_kappi), i = Bp...Endp; p = 1..JV; vrf_kshp)i,M>+ + kappjErdr + bpJE„Jp =0, j = \..H\ p = l...N;

+ I / = г Bp..J¡ndp; p - 1...V;

VV '»о '»о '»о У

¿(V) + 5№. >0, j-\...H, i = Bp...Endp; p = l...N;

Ы0

¿(xpJi) <-kvlp¡-sob_kaPp¡, j=í..,H, i = Bp...Endp; p=l,..N; /-1

/ /-1 /

I /-I

Endt End\ i /-]

X^A- + + .....+ + XУ m - °> t = Bv...Endl\

J—S. I-Bi '-it, i=s2 I.e„ 1-е,

End. End. End, End,

í Í-1

XC + Х>1г + Х^ +X-V2,+ + XJ/v,- + Xv. / =

i=Bj i=ßz i=ßz i=Bs i=BM

jv

XX(C+

/'-1 '-я,

и

- y pi - (1 - np)ddfp¡ - (1 - np) £ ЛИ1 < (1 - wfc^. + рггр, - amortpi + nal_impi ),

j-i

i = ß ; o = l...JV;

O< xp/l <OFj, j = 1 ...Я, i = fif, p = 1. JV;

5Я,<0. j = \...H, i- Bp...Endp; p = I...JV; Д^<0, y=l.,.#, i=Bp,.Mndp, p = l...N; dfp¡>0, j = \..M<i = Bp...Endp-p=\..N-y„<0, j = l...H, i = B Jind • p = \ ,N.

Модель мае вигляд задачi лшшного програмування, для роз-в'язку яко1 можна використовувати стандартний симплексний метод.

Висновки. Технологи фшансування на детальному рiвнi опи-сують використання власного кашталу, залучення позикових кош-ив i3 рiзних джерел фiнансування й управлшня поверненням цих коштiв, рух генеруеться в рамках реалiзацil проектов вшьних грошо-вих коштiв. Застосування економiко-математичних моделей дозво-ляе шдвищити ефективнiсть управлiнських рiшень у сферi фшансу-вання iнвестицiйних проектiв.

Л^ература

1. Kovalev V.V. Metody otsenki investitsionnykh proektov [Methods for evaluation of investment projects]. Moscow, Finansyistat-istika Publ., 2000, 144 p.

2. Игонина Л.Л., Опрышко Е.Л. Современные тенденции формирования источников финансирования инвестиционной деятельности российских предприятий. Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2011. № 25.

3. Богатырев В. Д., Морозова С.А. Модель и методика решения задачи оптимизации графика финансирования инвестиционного проекта на графах работ. Управление большими системами. 2011. № 34. С. 130-145.

4. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. Москва: ЮНИТИ- ДАНА, 2001. 368 с.

5. Мошкова Т. А. Динамические модели оптимального отбора инвестиционных проектов. Экономические науки. 2011. № 77. С.280-283.20.

6. Павлов О. В. Выбор инвестиционного проекта из нескольких взаимоисключающих альтернатив. Экономические науки. 2009. № 9. С. 345-350.

7. Царьков В.А. Математическая модель инвестиционного проекта с заемным капиталом. Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2014. № 32. С. 39-45.

8. Коритько Т. Ю. Оцшка швестицшно! активносп промисло-вих тдприемств Украши. Економ1чний в1сник Донбасу. 2016. №3 (45). С 141 - 146.

НаЫйшла до редакцП 14.11.2017 р.