Экономико-математическое моделирование принятия решений по максимизации прибыли и рентабельности при ограничении спроса в рамках операционного анализа Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ИНСТРУМЕНТАРИЙ ФИНАНСОВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИЯМИ

DOI: 10.24143/2073-5537-2018-1-113-120 УДК [33:303.7:519.81]:[338.516:339.133]

А. А. Кушнер, М. А. Кушнер

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПО МАКСИМИЗАЦИИ ПРИБЫЛИ И РЕНТАБЕЛЬНОСТИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ СПРОСА В РАМКАХ ОПЕРАЦИОННОГО АНАЛИЗА

Для современной экономики актуальным является решение проблемы оптимизации финансовых результатов деятельности при имеющихся ограничениях платёжеспособного спроса в рамках текущего функционирования предприятий и организаций. Данная проблема может решаться на основе операционного анализа с помощью определения существующей взаимосвязи объёма и структуры производства и затрат и их влияния на финансовый результат деятельности субъектов российского рынка. В связи с этим акцентируется внимание на невозможности безграничного увеличения объёма реализации товаров и услуг для достижения оптимального состояния деловой активности, и устанавливается функциональная зависимость объёма реализации продукции от ценового параметра исходя из рыночной конъюнктуры с указанием взаимосвязи между спросом и показателями деловой активности. В рамках поставленной математической задачи оптимизации подробно описываются основные этапы её решения при помощи дифференциального исчисления и операционного анализа деятельности фирм и компаний. В результате находятся аналитические значения параметров деловой активности субъектов экономической деятельности в условиях постановки задачи как по максимизации прибыли, так и по рентабельности, осуществляется графический анализ функций, определяющих прибыль и рентабельность на предмет соответствия их математической интерпретации и экономическому содержанию, и доказывается оптимальность полученного математического решения. Достигнутые результаты поставленной задачи оптимизации могут быть применены в практике фирм и организаций различного профиля деятельности.

Ключевые слова: операционный анализ, принятие решений, максимизация прибыли, максимизация рентабельности, ограничение спроса.

Введение

В существующих условиях развития российской экономики, для которой характерно усложнение выживаемости и поддержания конкурентоспособности отечественных предприятий, становится особенно необходимым стремление к повышению продуктивности и рентабельности бизнеса за счёт улучшения операционной деятельности. Без осуществления грамотных и своевременных действий по контролю основных финансовых показателей деятельности предприятия в рамках текущей работы организации рискуют получить перманентный убыток, что, в конечном счёте, приведёт к банкротству и прекращению деятельности. В результате большое значение на современном этапе развития экономики приобретает принятие операционных решений, позволяющих как на краткосрочной основе, так и в долгосрочной перспективе обеспечить сохранение безубыточного состояния предприятия и получение им ожидаемого финансового результата. В связи с этим в рамках решения управленческих задач возрастает необходимость в получении точных аналитических значений оптимальных прибыли и рентабельности в зависимости от различных параметров деловой активности при наличии ограничений спроса. С этой целью проведено математическое исследование на основе дифференциального исчисления и операционного анализа.

Исходные предпосылки и этапы решения задач

Принятие операционных решений осуществляется в условиях интенсификации конкуренции, усиления влияния неопределённости и давления негативных факторов ближнего и дальнего окружения, затруднения доступа к материальным, трудовым и финансовым ресурсам [1]. В этих условиях преимущество получают те предприятия и организации, которые способны наилучшим образом использовать весьма ограниченные ресурсы для получения максимальной выгоды или обеспечения минимальных потерь, чему может способствовать использование различных экономико-математических моделей и концепций.

Под принятием операционных решений подразумевается обоснованное управление параметрами деловой активности, которые определяются согласно теории операционного (маржинального) анализа. Принятие операционных решений заключается в исследовании взаимосвязи объёма и структуры производства и затрат и их влияния на финансовый результат предприятия. В ходе операционного анализа определяется воздействие различных производственных факторов на финансовый результат, что позволяет спрогнозировать его возможное значение в зависимости от решения по управлению тем или иным параметром операционной деятельности предприятия.

Необходимо обратить внимание, что при проведении операционного анализа принято основываться не только на данных бухгалтерского учёта [2], ориентированного в основном не на менеджеров предприятия, а на внешних пользователей финансово-экономической информации (акционеров, инвесторов, налоговые и статистические органы), но и на сведениях и принципах управленческого учёта, которые достаточно гибки по отношению к жёстким стандартам и регламентам, и могут быть настроены под нужды конкретной ситуации, в которой требуется принятие решения.

В целях дальнейшего анализа обозначим основные экономические параметры, на которых базируется принятие операционных решений:

- объём реализации Q;

- цена единицы продукции P;

- удельные переменные расходы на единицу продукции L;

- постоянные затраты FC.

Исходя из указанных выше параметров определяется ряд производных показателей:

- выручка TR, где TR = PQ;

- переменные затраты VC, где VC = LQ;

- совокупные затраты К, где К = VC + FC;

- удельная маржа Ы, где Ы = P - L;

- маржинальный коэффициент Н, где Н = Ы / Р;

- прибыль п, где п = TR - ТС = TR - VC - FC = PQ - LQ - FC;

- рентабельность R, где R = п / TR.

Следует отметить, что представленные выше выражения прибыли и рентабельности можно рассматривать как функции от переменных, входящих в их состав, т. е. как п = / (Р, Q, L, FC) или как функцию п (Р, Q, L, FC), а также R = / (Р, Q, L, FC) или как функцию R (Р, Q, L, FC). Очевидно, что в зависимости от целей исследования часть вышеуказанных параметров может быть рассмотрена в качестве постоянных величин, а функции прибыли и рентабельности - как функции одной переменной, например, п (Р) или R (Р).

Необходимо подчеркнуть, что при принятии решений на основе операционного анализа следует обращать внимание не только на определение внутренних параметров деловой активности предприятия (объёмы реализации, цены, переменные и постоянные затраты, точка безубыточности, точки прибыльности) и выявление внутрипроизводственных резервов [3], но и на внешние ограничения. На практике объём реализации не может увеличиваться безгранично для обеспечения безубыточности или заданного уровня прибыльности, тогда как цены на продукцию могут изменяться в зависимости от условий рынка. В связи с этим становится актуальным сопоставление показателей, характеризующих деятельность предприятия с ограничениями рыночной конъюнктуры.

Одним из основных ограничений, с которым сталкивается предприятие во внешней среде, является спрос на его продукцию. В экономической теории наиболее популярной и теоретически разработанной является обратно пропорциональная зависимость спроса Q от цены за единицу продукции Р, выражаемая линейной функцией Q (Р):

Q (Р ) = t - kP, (1)

где t, k - коэффициенты линейной функции ) (Р).

Следовательно, если предприятие обладает достоверной информацией о зависимости спроса на свою продукцию от устанавливаемых им цен, то у него появляется возможность управления объёмом реализации с учётом ограничений спроса, находящих отражение в изменении прибыли в зависимости от того или иного значения ) и Р. В связи с этим резонным является вопрос о том, при какой комбинации объёма реализации и цен на продукцию прибыль предприятия будет максимальной с учётом обозначающей спрос зависимости между ) и Р.

Если использовать ) = f (Р) с подстановкой формулы (1) в определённые выше формулы прибыли и рентабельности, то происходит их преобразование в нелинейные функции, анализ которых можно осуществить на основе дифференциального исчисления. Поэтому определять параметры максимизации прибыли и рентабельности необходимо в рамках следующих этапов:

- преобразования выражений прибыли п и рентабельности R в функции одной переменной п (Р) и R (Р) с исследованием их графика и параметров;

- определения первой производной функций п (Р) и R (Р) и нахождения их нулей (согласно необходимому признаку существования экстремума);

- определения второй производной функций п (Р) и R (Р) и установления их знаков в точках равенства первой производной данных функций нулю (согласно достаточному признаку существования экстремума);

- определения экстремума (Ртах) функций п (Р) и R (Р), при котором прибыль и/или рентабельность будут максимальны, и нахождения значений функций ) (Р), п (Р) и R (Р) в точке Ртах.

Необходимо заметить, что параметры t, к, L, FC, как следует из их экономического содержания, положительны, равно как Р и В свою очередь, если ) > 0, т. е. t - kP > 0, то Р < t / к. Таким образом, функции п (Р) и R (Р) определены при Р е (0; t / к).

Решение задачи максимизации прибыли

Принимая во внимание (1), функцию прибыли п (Р) можно представить следующим образом: п (Р) = Р (t - кР)-Ь (t - кР)- ЕС = -кР2 +(t + кЬ) Р -(Ь + ЕС ). (2)

Рассмотрим график полученной в выражении (2) функции прибыли п (Р) (рис. 1), который представляет собой перевёрнутую параболу. Обратим внимание на то, что функции данного типа имеют единственный экстремум, являющийся точкой максимума.

Рис. 1. График функции прибыли п (Р)

Для определения Ртах, при которой прибыль будет максимальной, найдём производную функции п (Р), определённой в (2):

п'(P)-[-kP2 + (t + kL)P -(tL + FC)] - -2kP + (t + kL). (3)

Точку максимума функции п (P) можно найти, решив уравнение п' (P) = 0 относительно P, т. е. п' (P) = 0 ^ - 2kP + (t + kL ) = 0 ^ 2kP - t + kL , отсюда

P - p = t±kL. (4)

max '-w ^ '

2k

Следует отметить, что функция прибыли п (P) (2) действительно имеет единственный максимум в точке Pmax (4), поскольку вторая производная данной функции по P отрицательна и постоянна на всей числовой оси (п'' (P) = -2). Очевидно также, что Pmax (4) принадлежит области определения функции п (P) (2) при условии, что t - kL > 0 .

Можно определить значение объёма реализации, при котором прибыль будет максимальной, подставив (4) в (1):

„ „ ,t + kL t + kL 2t -1 - kL t - kL Q - Q - t - kP - t - k-= t------. (5)

max max

2k 2 2 2

С учётом полученных выше Pmax (4) и Qmax (5) выразим максимальную прибыль птах:

п - P Q -LQ - FC - t + kLt - kL - L (t - kL) - FC -(t - kL)2 - FC (6)

п max PmaxQmax LQmax ^^ 2 2 rC~ 4k (6)

Из формулы (5) получим t - kL - 2Qmax . Следовательно, выражение максимальной прибыли (6) может быть преобразовано таким образом:

п = (t - kL)__FC = (2Qmax )__FC = 4Qlmax - FC = Qlmax - FC (7)

max 4k 4k 4k k

Для полученного выражения п^ (6) найдём соответствующее значение рентабельности продаж R:

R = ^max (t - kL )2 - 4kFC 4k = t - kL 4kFC

Pmax Qmax 4k (t + kL)(t - kL) t + kL (t + kL)(t - kL)

Необходимо отметить, что на практике возможны случаи, когда цена и переменные затраты на единицу продукции находятся в прямой зависимости (например, при продаже услуг через агентов за комиссионное вознаграждение). Следовательно, для рассматриваемой ситуации маржинальный коэффициент H является постоянной величиной, и с учётом того, что H = M / P, получаем M=HP. В таком случае формулу прибыли п можно преобразовать следующим образом:

п (P) - PQ - LQ - FC - (P - L)Q - FC - MQ - FC - HPQ - FC.

Принимая во внимание (1), функцию прибыли п (P) представим так:

п (P ) - HP (t - kP ) - FC - -HkP2 + HtP - FC. (9)

Найдём производную функции п (P) (9) для определения Pmax, при которой прибыль будет максимальной:

п' (P) - [-HkP2 + HtP - FC]р - -2HkP + Ht. (10)

Решив уравнение п' (P) = 0 относительно P, получим точку максимума функции п (P) (9): п' (P ) - 0 ^ - 2HkP + Ht - 0 ^ 2HkP - Ht. Отсюда

P -P -—. (11)

max ^ 7 ^ '

2k

Отметим, что найденное значение Pmax принадлежит области определения функции п (P) (9) при любых t и k.

С учётом функциональной зависимости Q от P можно определить значение объёма реализации, при котором прибыль будет максимальной, подставив (10) в (1):

Q - Qmax - t - kP - t - k -k = t - 2 - 2 ■ (12)

Имея Pmax (11) и Qmax (12), определим выражение максимальной прибыли п^:

пmax - HPmaxQmax - FC - H^2 - FC - ^ - FC. (13)

Соответственно, рентабельность продаж R можно найти следующим образом:

R - п max - Hi2 - 4 kFC 4 k - Hj2 - 4 k_FC - H _4kFC (14)

PmaxQmax 4k t2 t2 t2 "

Значение рентабельности R, которое получено в результате подстановки оптимальной цены, определённой в рамках максимизации прибыли, может не являться наибольшим с точки зрения максимизации рентабельности. Данный факт обусловливает необходимость определения параметров деловой активности, оптимальных с точки зрения максимизации рентабельности.

Решение задачи максимизации рентабельности

Проблема максимизации рентабельности решается по аналогии с проблемой максимизации прибыли. С учётом принятых обозначений рассмотрим функцию рентабельности R (P):

( ) - P (t - kP)-L (t - kP)-FC - -kP2 +(t + kL) P-(tL + FC) R ( P )- P (t - kP ) " - kP2 + tP ' (15)

Рассмотрим график функции рентабельности R (P), полученный в (15) (рис. 2).

Рис. 2. График функции рентабельности R (P)

Как видно из графика (рис. 2), в области определения функция рентабельности R (Р) имеет точку максимума. При этом прямые Р = 0 и Р = t / k являются вертикальными асимптотами функции R (Р) (15), поскольку с учётом положительности t, ^ L, FC

lim

р^0

kP2 +(t + kL ) P -(tL + FC ) -kP2 + tP

- lim

„ t

kP2 +(t + kL) P -(tL + FC) -kP2 + tP

- -да.

(16)

k

Другими словами, по мере приближения к наиболее высокой или низкой возможной цене функция Я (Р) (15) имеет тенденцию к неограниченному сокращению.

В целях нахождения экстремумов функции Я (Р) (15) определим её первую производную по Р:

R' ( p ) =

P (t - kP)-L (t - kP)-FC P (t - kP)

k2LP2 - 2k(tL + FC)P +1(tL + FC)

P2 (kP -1)2

Уравнение R (P) = 0 будет иметь два корня - Pj и P2:

Ь + ЕС-Л /ЕСТЬ+ЕС) Р =-^-^; (18)

кЬ

Ь + ЕС + ЛI.ЕСШ+ЁС)

Р2 =-^-'. (19)

кЬ

С учётом того, что значения к, Ь, ЕС больше нуля, можно показать, что 0 < Р] < « / к < Р2. Следовательно, к области определения функции Я (Р) относится Р] (18) и не относится Р2 (19).

Для доказательства того, что Р1 является точкой максимума функции Я (Р), найдём её вторую производную:

Я" (Р) = -2к3ЬР3 + 6к2 (Ь + ЕС) Р2 - 6tk («Ь + ЕС) Р + 2«2 («Ь + ЕС)

( )= Р3 (кР - «)3 '

Подставив (18) в (20), получим

2k 3L4 (tL + FC) (tL + 2 FC - 2 JFCTl+FC) )

R" ( P1 )=---^-3--—--(21)

(tL + FC -J FC (tL + FC) ) (FC -J FC (tL + FC ) )

Поскольку t, k, L, FC положительны по определению, можно показать, что Я" (P1) < 0. Так как R (P1) = 0, P1 является единственной точкой максимума Pmax функции Я (P).

Подставив (18) в (1), получим значение объёма реализации Qmax, при котором рентабельность будет максимальна:

tL + FCFC {tL + FC) JFC (tL + FC) - FC

Qmax = t - k-Г7-=-;---(22)

kL L

Путём соответствующих подстановок можно определить максимальное значение рентабельности Rmax и прибыли п:

kL\ [FCitL + FC)

Я _ 1__у у_/_. (23)

max (tL + FC FC (tL + FC) FC (tL + FC) - FC)'

(tL + FC -JFCJtL + FC))(4¡FC (tL + FC) - FC) ,_

n = ^-—-^---'-^F^L+FC). (24)

Несколько проще задача максимизации рентабельности продаж решается в том случае, когда коэффициент маржинальной прибыли H = const. Отсюда получаем M = HP. Тогда с учётом принятых обозначений функция рентабельности Я (P) представляется следующим образом:

Я (P) (P - L)(t - kP)-FC _ HP (* - kP)-FC _ H FC

K ' P (t - kP) P (t - kP) P (t - kP )'

Аналогично выводу из (16) прямые P = 0 и P = t / k являются вертикальными асимптотами полученной в (25) функции Я (P), т. к. с учётом положительности t, k, L, FC

f

lim

P^0

H -. FC

V

= lim

P (t - kP)l I P (t - kP)

H-- FC

Л

= -да. (26)

/

p

Для определения экстремумов функции R (Р) (25) найдём её первую производную по Р:

R' (P )-

HFC

FC (t-2kP > (27)

P2 ( t - kP )

P - Pmax ~. (28)

Р (t - кР)

Решая уравнение R? (Р) = 0, получаем

t 2к

Отметим, что найденное значение Ртах (28) принадлежит области определения функции R (Р) (25) при любых t и к.

Для доказательства того, что Ртах (28) является точкой максимума функции R (Р) (25), найдём её вторую производную:

'Лг>2

2FC (3k2P2 - 3ktP +12)

I —____

р3 (kP -1)

Подставив (28) в (29), получим

R'' (P)--Л3---(29>

R " ( Pmax )-- ■ (30)

Так как t, k, L, FC положительны по определению, очевидно, что R" (Pmax) < 0. Поскольку R (Pmax) = 0, то Pmax (28) является единственной точкой максимума функции R (P) (25).

Отметим, что при H = const значение Pmax (11) совпадает со значением Pmax (28), поэтому для данного случая значения объёма реализации, прибыли и рентабельности идентичны (12), (13) и (14) соответственно.

Заключение

Таким образом, лица, принимающие решения, располагая достоверной информацией о зависимости спроса от цен на реализуемую продукцию, могут управлять прибылью и рентабельностью, используя обозначенные выше основные параметры деловой активности предприятия и окружающей его внешней среды.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Погонев С. В., Шендо М. В. Формирование и реализация механизма управления конкурентоспособностью предприятия // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Экономика. 2010. № 2. С. 81-88.

2. Васильева В. В., Гаврилова О. А. Методические подходы к интеграции систем управленческого учёта, бюджетирования и сбалансированных показателей как эффективных инструментов управления на предприятии // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Экономика. 2010. № 1. С. 36-46.

3. Дубинина Н. А., Карлина Е. П., Усков В. В. Подходы к выявлению и оценке внутрипроизводственных резервов на предприятии // Актуальные проблемы экономики и права. 2011. № 4. С. 137-142.

Статья поступила в редакцию 13.12.2017

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Кушнер Анна Алексеевна — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. экон. наук, доцент кафедры производственного менеджмента; ann-kushner@yandex.ru.

Кушнер Максим Александрович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. экон. наук, доцент кафедры производственного менеджмента; maksimkushner@yandex.ru.

A. A. Kushner, M. A. Kushner

ECONOMIC-MATHEMATICAL MODELING OF DECISION MAKING ON PROFIT AND PROFITABILITY MAXIMIZATION WITHIN CVP-ANALYSIS

WITH DEMAND RESTRICTION

Abstract. Solving the problem of financial results optimization with demand restriction for enterprises and companies activity is relevant for modern economics. The decision of this problem is based on the operation analysis through determining of existing interaction of production's volume and structure and cost and its influence on financial results of activity of national market subjects. In this case attention is paid for impossibility of boundless increasing of goods and services sales for optimum of business activity, and functional connection of sales and price as description of market condition with setting of interrelationship of demand and business activity parameters is given. Main steps for mathematic decision of stated optimization problem with CVP-analysis and calculus for firms and companies activity are described in detail. As a result, analytical values of business activity indicators for economic subjects in conditions for search of maximization of profit and profitability are defined, graphical analysis of functions which define profit and profitability, for the purpose of their compliance to mathematical interpretation and economic content, is executed, and optimality of obtained mathematical decision is proved. Resolution for practical implementation of achieved results for stated optimization problem in activity of different firms and organizations from different areas and activities is given.

Key words: operational analysis, decision-making, profit maximization, maximization of profitability, restriction of demand.

1. Pogonev S. V., Shendo M. V. Formirovanie i realizatsiia mekhanizma upravleniia konkurentospo-sobnost'iu predpriiatiia [Formation and realization of mechanism of management of the competitiveness of enterprises]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Ekonomika, 2010, no. 2, pp. 81-88.

2. Vasil'eva V. V., Gavrilova O. A. Metodicheskie podkhody k integratsii sistem upravlencheskogo ucheta, biudzhetirovaniia i sbalansirovannykh pokazatelei kak effektivnykh instrumentov upravleniia na predpriiatii [Methodological approaches to integration of the systems of management accounts, budgeting and balanced scorecards as effective instruments of enterprise management]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Ekonomika, 2010, no. 1, pp. 36-46.

3. Dubinina N. A., Karlina E. P., Uskov V. V. Podkhody k vyiavleniiu i otsenke vnutriproizvodstvennykh rezervov na predpriiatii [Approaches to determining and evaluating intraproductive working balances of enterprises]. Aktual'nye problemy ekonomiki i prava, 2011, no. 4, pp. 137-142.

Kushner Anna Alekseevna - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Economics; Assistant Professor of the Department of Industrial Management; ann-kushner@yandex.ru.

Kushner Maxim Aleksandrovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Economics; Assistant Professor of the Department of Industrial Management; maksimkushner@yandex.ru.

REFERENCES

The article submitted to the editors 13.12.2017

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS