Условия оптимальности для двухпериодной задачи управления запасами со стохастическим спросом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 1. С. 24-34.

УДК 519.86

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ДВУХПЕРИОДНОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ СО СТОХАСТИЧЕСКИМ СПРОСОМ

Т. Б. Бигильдеева", М. В. Сопкоь

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "tbig@csu.ru; ьSV-Mik@yandex.ru

Рассмотрены многопериодные задачи управления запасами в условиях стохастического спроса с целью максимизации суммарной ожидаемой прибыли в случае потери неудовлетворённого спроса и в случае, когда неудовлетворённый спрос откладывается. Показана связь между этими задачами и доказано существование их решений. Для двухпериодной задачи максимизации ожидаемой прибыли в случае, когда неудовлетворённый спрос откладывается, получены необходимые и достаточные условия оптимальности.

Ключевые слова: управление запасами, двухпериодная динамическая модель, стохастический спрос, максимизация суммарной ожидаемой прибыли, условия оптимальности.

На практике достаточно часто возникают задачи управления запасами в условиях стохастического высоко вариативного спроса, когда на первый план выходят проблемы, связанные с появлением дефицита. Такие задачи, в частности, возникают в деятельности торговых предприятий.

Рассмотрим задачу управления запасами предприятия с дискретным временем для Т периодов планирования с учётом динамики запасов. Пусть предприятие закупает N видов запасов, не подверженных порче, располагает собственными складскими помещениями в достаточных объёмах, затраты на содержание склада являются постоянными и не зависят от размеров запасов.

Будем предполагать, что проверка (контроль) запасов и размещение заказов осуществляются периодически и достаточно часто, заказ размещается в начале периода и поступает мгновенно. В этом случае затратами на хранение запасов можно пренебречь, потому что затраты на содержание склада не зависят от размеров запасов, а затраты, связанные с омертвлением капитала при коротких периодах планирования (день, неделя, месяц), существенно меньше потерь от дефицита. Затратами на оформление заказа также будем пренебрегать.

В данной ситуации затраты системы управления запасами будут включать в себя затраты на приобретение, транспортировку и потери от дефицита. В качестве целевой функции будем рассматривать прибыль предприятия за Т периодов, которую необходимо максимизировать.

Предположим, что каждый вид запасов закупается независимо от остальных (издержки на его доставку не зависят от размеров заказа остальных видов запасов), тогда прибыль от реализации всех видов запасов будет равна сумме прибыли от реализации каждого вида запасов и задача оптимизации суммарной прибыли распадается на N задач максимизации прибыли от реализации каждого вида запасов.

Пусть xt — величина заказа на пополнение запаса в периоде t, xt g [0, то), t = 1, T, где T — количество периодов планирования, x = (xi, x2,... , xt)' — вектор заказов за весь период планирования; £t — величина спроса в периоде t, £t g [0, то), t = 1, T, £ = (£ь £2,..., £T)' — вектор спроса за T периодов.

Обозначим yt — величину запаса (дефицита) на конец периода t, t = 1, T. Будем предполагать, что спрос, который в конце периода t удовлетворён не полностью, теряется, тогда динамика запасов описывается уравнением

yt = max{yt-i, 0} + xt - £t, t =1,T.

Будем далее предполагать, что y0 = 0.

Величина max{yt-i, 0} + xt — это величина запаса, имеющегося в наличии, поэтому в периоде t объём продаж равен min{max{yt-i, 0} + xt, £t}.

Пусть p — цена реализации единицы запаса. Тогда выручка от реализации в периоде t имеет вид p ■ min{max{yt-i, 0} + xt, £t} = p ■ min{yt, 0} + p ■ £t с учётом того, что yt = max{yt-i, 0} + xt - £t.

Если c — затраты на приобретение и транспортировку единицы запаса, тогда прибыль в периоде t будет nt(xt, £t) = p■ £t + p■ min{yt, 0} — c■ xt. Суммарная прибыль за T периодов планирования П(х, £) представляет собой величину

т т

п(х,£) = J^nt(Xi,£t) = ' £i + p ' min{y^ 0} — c ■Xi). t=i t=i

Задача управления запасами в случае потери неудовлетворённого спроса сводится к задаче определения наилучшего вектора заказов x* = x*(£) для заданного £ с целью максимизации суммарной прибыли следующего вида:

т

n(x, £) = Yl(p ■ £t + p ■ min{yt, 0} — c ■ xt) ^ max, t=i x

< yt = max{yt-i, 0} + xt — £t, (1) xt >_0,_

t = 1,T.

V 7

Заметим, что p ■ £t представляет собой величину выручки в случае полного удовлетворения спроса, слагаемое p ■ min{yt, 0} — величина упущенной выручки при неудовлетворённом спросе (в ситуации дефицита), поэтому n(x,£) — фактическая суммарная прибыль предприятия за T периодов с учётом упущенной выручки. Задача (1) — задача управления запасами в условиях потери неудовлетворённого спроса с целью максимизации прибыли.

Задачу (1) можно представить в виде

n(x, £) —> max,

x>0

т

где n(x,£) = Е (p ■ £t + p ■ min{xt(x,£)0} — c ■ xt), xi(x,£) = xi — £i; t=i

Xt+i(x,£) = max{Xt(x,£), 0} + xt+i — £t+l, t = 1,T — 1.

В случае когда неудовлетворённый спрос откладывается (переносится на следующие периоды), задачу управления запасами можно представить в виде

т

n(x,£) = E(p ■ £t + p ■ min{yt, 0} — c ■ xt) ^ max, t=i x

< yt = yt-i + xt — £t, (2) xt

t = 1,T.

V 7

В этом случае слагаемое 0} представляет собой штраф за дефицит, причём

дефицит, возникший в периоде переносится в следующие периоды и учитывается как в текущем, так и в последующих периодах. Заметим, что П(х,£) — реальная прибыль предприятия, а п(х,£) — прибыль предприятия со штрафом за дефицит специального вида. Очевидно, что п(х,£) < П(х, £) при всех х > 0, £ > 0, причём, п(х,£) = П(х, £) для таких значений х > 0, £ > 0, при которых дефицит не возникает (у > 0).

С учётом того, что yt = — Ck), t = 1,T при y0 = 0, задачу (2) можно

k=i

представить в следующем виде:

n(x,f) = ' Ct + Р ' min j(xk — Ck), oj — c ■ ^ max. (3)

Заметим, что целевая функция в задаче (3) является вогнутой кусочно-линейной функцией.

Если спрос является стохастическим, то при решении задач управления запасами осуществляется переход либо к оптимизации целевой функции при ожидаемых (прогнозных) значениях параметров, либо к оптимизации ожидаемого значения целевой функции [1].

Задача максимизации ожидаемой прибыли в случае потери неудовлетворённого спроса имеет вид

E(П(ж,£)) = E V(p ■ Ct + p ■ min{xt(x,C), 0} — c ■ xt) ^ max. (4)

\ L—' I х>0

\i=l / "

В случае отложенного спроса задача управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса может быть представлена в виде

Е(п(х, £)) = Е • £ + Р • тт|^(хй - £к), 0| - с • ^ тах. (5)

В задаче (4) в отличие от задачи (5) учитывается в более сложном варианте динамика запасов, когда (как это достаточно часто встречается на практике) неудовлетворённый спрос теряется. Заметим, что традиционно в существующих динамических моделях управления запасами в условиях стохастического спроса используются уравнения динамики в более простом варианте (как в задаче (2) и, соответственно, (5)).

Ответ на вопрос о существовании решения данных задач даёт следующая теорема.

Теорема 1. Пусть {£;};=гт _ независимые случайные величины с функциями плотности распределения /;(£;), £ = 1,Т, удовлетворяющими следующим условиям:

1) Жб) непрерывны на сегменте [0,£tmax1'

2) /;(£;) = 0, если £ £ [0,£Гх]. Тогда решение задач (4) и (5) существует,.

Доказательство. Задача (5) имеет вид

п(ж) = E (п(ж, £)) ^ max,

х0

где

оо оо

Т

*(*)= /.../£

и и . = 1

0 0 Г=1

р • £ + р • ШШ < ^(Жк - ), 0 > - С • ж*

. к=1

Т

п ...¿£т

4=1

является непрерывной функцией на множестве X = {ж е Ят|ж > 0}.

Рассмотрим множество Лебега Ха(п) = {ж € X |п(ж) > а} для а = п(0). Вектор ж = 0 принадлежит множеству Ха(п) по построению. Пусть

оо оо оо

Т

п(ж) = ... (р • (^1+6 + •••+£т) - с • (Ж1+Ж2 + •••+жт ))Ц жек^...^,

0 0 0 тогда в силу того, что

4=1

т

ш!п{ж1 - е1, 0} < 0, ш!п{ж1 - е1 + ж2 - £2, 0} < 0, ... , шт < ^(ж4 - £), 0 > < 0,

4=1

имеем п(ж) < п(ж) для всех ж € X, где

П(ж) = р • (£1 + £2 + ... + £т) - С • (ж1 + ж2 + ... + жт),

б = е(е) = у е. • же^е, г = 1,т.

—те

Множество Ха = {ж е X|п(ж) > а} является ограниченным, так как п(ж) — линейная функция, с > 0. Но Xa(п) с ^Са, поэтому множество Лебега Xa(п) непусто, замкнуто (в силу непрерывности п(ж)) и ограничено. Тогда согласно обобщённой теореме Вейерштрасса решение задачи (5) существует.

Рассмотрим задачу (4). Обозначим П(ж) = Е(П(ж,£)). Заметим, что П(ж) < п(ж) для всех ж € X, так как шт{х>(ж, £), 0} < 0, функция П(ж) непрерывна на X. Определив а = П(0), множество Xа(П) = {ж € X|П(ж) > а} и повторив рассуждения относительно функции п(ж) для П(ж), получим, что решение задачи (4) существует, что и требовалось доказать. □

Заметим, что функция п(ж) = Е(п(ж,£)) является вогнутой на множестве ж > 0 в силу свойств математического ожидания и вогнутости по совокупности переменных функции п(ж, £) на множестве ж > 0, £ > 0 как суммы вогнутых функций. Это означает, что любой локальный максимум в задаче (5) является глобальным. Решение (согласно теореме 1) задачи (4) также существует (глобальный максимум П(ж) на ж > 0 достигается), но найти его существенно сложнее.

Учитывая тот факт, что п(ж) < П(ж) для уж > 0, решение задачи (5) можно рассматривать как некоторое приближение решения задачи (4).

Один из подходов к решению многопериодных динамических задач в условиях стохастического спроса заключается в последовательном решении серии однопери-одных задач [2]. Однопериодная модель управления запасами в условиях стохастического спроса была рассмотрена в работах [3,4]. В этом случае задача (5) имеет вид

те

п(ж) = Е(п(ж £)) = / (р • £ + р • шт{ж - £ 0} - с • ж)/(£)^£ ^ ша^

J ж>0

0

где f (£) — функция плотности распределения вероятностей случайной величины £ на [0, то).

Заметим, что в случае одного периода задачи (4) и (5) совпадают. Сведение многопериодной динамической задачи управления запасами к последовательному решению однопериодных задач приводит к так называемым близоруким стратегиям, которые не учитывают информацию о возможных значениях спроса в будущих периодах, что в ряде случаев может повлиять на качество получаемых решений [5].

Решение многопериодной динамической задачи путём решения серии двухпери-одных задач со скользящим горизонтом планирования позволяет учесть возможные изменения спроса в будущем. Использование многопериодных моделей с большим количеством периодов является нецелесообразным в условиях высоковариативного спроса, так как с увеличением количества периодов планирования возрастает степень неопределённости.

Задача (5) в случае двух периодов будет иметь вид

те те

n(x) = / /(Р ■ (& + Ы + p ■min{xi - ft. 0} + p ■ - 6 + x2 - 6,0} -

0 0

- с ■ (xi + x2))fi(£i)f2(^ max, (6)

ж>0

где £t g [0, то), t = 1, 2, — независимые случайные величины с функциями плотности распределения f1(£1) и f2(£2) соответственно.

Теорема 2. Если p > с, {£t}t=1,2 — независимые случайные величины с функциями плотности распределения ft(£t), t = 1, 2, такими, что

1) ft(£t) непрерывны на сегменте [0, £tmax], t = 1, 2;

2) ft(£t) = 0 при > £тах, t =1, 2.

Тогда x является решением задачи (6) в том и только в том случае, когда выполняются условия

x1 > 0, G(x1, x2) = 0, Х2 ■ (F1(x1) - 1) = 0,

где Ft(£t) — функции распределения случайных величин £t, t = 1, 2,

С(ж1,ж2) = 2 ■ р - с - р ■ р ■ у £1 ■ /2(ж1 + ж2 - £2) ■ /:(1 -

о

¿шах

- р ■ J (^1 (XI + Х2 - £2) + (XI + Х2 - £2) ■ /1(^1 + Х2 - £2)) ■ /2(£2)^2. о

Доказательство. Доопределим функции плотности распределения случайных величин £2 следующим образом: /(£4) = 0, £ < 0, £ = 1, 2. Тогда

те те

п(х) = / /(р ■ (£I + 6) + р ■ ш,п{х1 - £ь 0} + р ■ шт{х, - 6 + Х2 - 0} -

оо

- с • (ж1 + ж2))/1 (£1)/2(£2)¿£1 ¿£2 = / (р • (£1 + £2)+ р • ш1п{ж1 - £1, 0} +

— оо —оо

+ р • шт{ж! - £1 + ж2 - £2, 0} - с • (ж1 + ж2))/1 (£1)/2(£2)¿£1 ¿£2 = р • (£1 + £2) - С • (ж1 + ж2) + Л(ж) + А2 (ж),

где

те

£4 = / г = 1,2,

А1(ж) = р • шЬ{ж1 - £1, 0}/1(£1)/2(£2)^£1^£2 = р • / (ж1 - бШбЖъ

— те —те

те те

А2(ж) = р • шт{ж1 - £1 + ж2 - £2, 0}/1(£1)/2(£2)¿£1 ¿£2 =

—те —те

те / те \

= р • I I I (ж1 - £1 + ж2 - £2) /1 (£1) /2 (£2) ¿£1 I ¿£2 =

— те \Ж1+Ж2-/

Яте \ те / те \

У (ж1 + ж2)/1 (£1)/2(£2)¿£1 I ¿£2-р У I I £1/1(6)^1 I /2(£2)¿£2 -

Х1+Х2—/ —те \Ж1+Ж2-?2 /

те / те \

- р I £2 I I /1(£1>^£11 /2 (£2) ¿£2.

—те \Ж1+Ж2— /

С учётом того, что

Л те \ те / те \

I £1/1(6)^1 I /2(£2)¿£2 = р У I I /2(£2)¿£2 I £1/1(6)^1,

Ж1+Ж2— / —те \Ж1+Ж2—/

те

А 2 (ж) = р • (ж1 + ж2) У (1 - ^1(ж1 + ж2 - £2))/2(£2)¿£2 -

—те

те те

- р • I £1 • (1 - *2(ж1 + ж2 - £1))/1(£1)^£1 - р • I £2 • (1 - *1(ж1 + ж2 - £2))/2(£2)¿£2.

—те —те

Заметим, что при выполнении условия 2) теоремы для функций плотности распределения спроса функции А1(ж), А2(ж) будут иметь вид

¿■шах

А(ж)= р • I (ж1 - £1)/1 (£1)¿£1,

Х1

шах

А2(ж) = р • (ж1 + ж2) У (1 - ^1(ж1 + ж2 - £2))/2(£2)¿£2 -

0

- Р -у 6 ■ (1 - F2(x1 + x2 - 6))f1(6)d£1 - p -у £2 ■ (1 - F1(x1 + x2 - 6))f2(6)d£2.

00 Функция n(x) является вогнутой, поэтому вектор x (x > 0) — решение задачи тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

дП ■ x1 = 0,

dxi 1 '

# <0= 0' (7)

axi — '

д^ < 0,

ax2 — '

где

дп = _ с + dAi(x) . dA2(x)

dxi dxi dxi ' дп = _c i dAi(x) + dA2(x)

dx2 dx2 dx2 '

По правилам дифференцирования интегралов, зависящих от параметра, с учётом непрерывности функций плотности распределения спроса на отрезках [0, £2ах] и [0, £2max] соответственно получим

^max

5A1(x) f . .. . ^ , .. 5A1(x)

- = Р ■ f1(6R1 = Р ■ (1 - F1(x1)), —^ = 0, dx1 J dx2

xi

max

^aax^ = Р '/ (1 - (x1 + x2 - £2))f2(-

- р -у (х1 + х2 - £2)/1(х1 + х2 - £2)/2(£2)^£2 + р ^ £1/2(х1 + х2 - £1)/1 (£1)^£1,

оо причём

дА2 (х) = дА2 (х)

в силу симметрии вхождения х1 и х2 в А2(х). Рассмотрим возможные случаи.

1. Пусть х1 = 0,х2 = 0, тогда условия оптимальности (7) будут иметь вид

0п = _ с + 0Лх(х) + ОЛМ < 0

0x1 0x1 0x1 — ' (8

р- = -с + — 0. (

0x2 дхх —

Заметим, что

dA1(x)

dx1

dA2(x)

= Р,

x=0

dx1

= Р - Р I F\(-£2)f2(£2)d£2 +

x=0

0

max max

+ Р/£,. + Р /

00

поэтому с учётом того, что р > с, имеем

дп дж1

дп

дж2

ж=0

ж=0

2р - с > 0, р - с > 0,

что означает, что ж = 0 не является решением задачи (условия (8) не выполнены). 2. Пусть ж1 = 0, ж2 > 0, тогда условия оптимальности принимают вид

дп дж1 дп дж2

дА1(х) + дА2(х)

дж1 дА^ж)

д < 0, дЖ1 — '

дж1

что эквивалентно условиям

С учётом того, что ж1 = 0, а

дА1(ж)

0,

дж1 — дА2(х) = с дж1

дА1(ж) дж1

ж1=0

= р > 0, получаем, что ж = (0,ж2) при

любом ж2 > 0 не удовлетворяет условиям оптимальности и не является решением задачи.

3. Пусть ж1 > 0, ж2 > 0, тогда необходимые и достаточные условия оптимальности имеют вид

дА1(ж)

дж1 д^ж)

дж1

Следовательно, ж1 > 0, ж2 > 0 — решение задачи в том и только том случае, когда

дп = - с + дА1(х) + дА2 (ж) = 0

дп дж1

дж2 с +

дАМ

дж1 0.

дА1(ж)

дж1 дАЦж) дж1

0, с.

Из условия дАд1(х) = 0 следует, что р • (1 - ^1(ж1)) = 0, то есть ^1(ж1) = 1, а условия

дж

оптимальности в целом принимают вид

или

^1(ж1)

дА2(ж) _ д11

^1(ж1) = 1,

дА1(ж) + дА2(ж) с дж1 дж1

0.

4. Пусть ж1 > 0, ж2 = 0, тогда условия оптимальности можно представить в виде

дп = дА1(ж) + дА2(ж) с дж1 дж1 дж1

дп _ дА2(ж) - с < 0

0,

дж

дж

что равносильно условиям

дА1 (ж) + дА2(ж) с дж1 дж1

а^М > 0.

дж1 —

В силу того что ^ = р • (1 - ^1(ж1)) > 0 для всех ж1, необходимое и достаточное условие оптимальности для ж1 > 0, ж2 = 0 принимает вид

дА1 (ж) 5^2 (ж)

+--~--с :

дж

1

5ж1

0.

Обозначим С(ж1, ж2) = ^ж^ + дААж(ж) - с и, объединив условия для случаев 3 и

ж ж1 □

11

дж1 1 дж1

4, получим утверждение теоремы.

0

1

с

0

Следствие 1. Если ж* = (ж1,ж2) > 0 _ решение задачи (6), то ^\(ж*) = 1.

Следствие 2. Для того чтобы вектор ж* = (ж*,0),ж* > 0 был решением задачи (6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

= о, (9)

где

g(xi) = G(xb 0) = 2p - p • FiOn) - p J Fi(xi - £2)/2(£2)d£2 -

0

imax imax

- p (xi - £2)fi(xi - £2)/2(£2)d£2 + p £if2(xi - Ci)/1(Cl)dCl - C

Решение задачи (6) согласно теореме 1 существует, поэтому если уравнение д(ж*) = 0 не имеет решения на множестве Ж1 > 0, то решение задачи (6) должно удовлетворять условию ^1(ж1) = 1, то есть ж* > £^ах.

Заметим, что функция ^(ж1) является невозрастающей для ж1 > 0, так как

^(ж1) = |~П , а функция п(ж) является вогнутой на множестве ж > 0, поэтому

Х1 Х2=0

^/(ж1) = |Х| < 0. Кроме того, ^(ж1)| =0 = р > 0. Это означает, что если д(£™ах) > 0, то уравнение (9) не имеет решения на отрезке [0,£тах].

Таким образом, для решения двухпериодной задачи управления запасами со стохастическим спросом (6) необходимо проверить условие д(£™ах) > 0. Если оно выполняется, то оптимальное значение ж* = £тах.

Если д(£Гх) < 0, то оптимальное значение ж* является решением уравнения д(ж 1) = 0, причём в силу монотонности функции д это решение существует и единственно.

Заметим, что при последовательном решении серии двухпериодных задач управления запасами (со скользящим горизонтом планирования) необходимо определить только значение жЦ — величину заказа в текущем периоде.

Решение задачи (9) в общем случае найти сложно, но эта задача может быть решена в частных случаях, если известны функции распределения случайных величин £1 и £2.

На практике, как правило, функции плотности распределения спроса £1 и £2 неизвестны, а известны лишь их фактические (наблюдаемые) значения в предыдущие периоды. Это даёт возможность построить эмпирические законы распределения случайных величин £1 и £2, аппроксимировать функцию д на отрезке [0, £^ах] и найти приближённое решение — оптимальную величину заказа в текущем периоде. Таким образом, полученные условия оптимальности дают основу для построения алгоритмов численного решения динамической задачи управления запасами со стохастическим спросом.

Список литературы

1. Rossi, R. Replenishment planning for stochastic inventory systems with shortage cost / R. Rossi [et al.] // Integration of AI and OR Techniques in Constrant Programming for Combinatorial Optimization Problems: Proc. of 4th Intern. Conf. CPAIOR 2007. Brussels, Belgium, May, 23-26. — Berlin ; Heidelberg : Springler-Verlag, 2007. — P. 229-243.

2. Юдин, Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования / Д. Б. Юдин. — М. : Сов. радио, 1979. — 392 с.

3. Сопко, М. В. О подходе к управлению однономенклатурными запасами торгового предприятия с высокой вариацией спроса / М. В. Сопко // Логистика и управление цепями поставок. — 2011. — № 6 (47). — С. 78-86.

4. Сопко, М. В. Задача управления однономенклатурными запасами торгового предприятия с неизвестными вероятностными характеристиками спроса / М. В. Сопко // Логистика. — 2012. — № 3. — С. 28-30.

5. Axsater, S. Inventory Control / S. Axsater. — 2nd ed. — Springer, 2006. — 336 p.

Поступила в 'редакцию 10.11.2015 После переработки 01.02.2016

Сведения об авторах

Бигильдеева Татьяна Борисовна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: tbig@csu.ru.

Сопко Михаил Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических методов в экономике, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: SV-Mik@yandex.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 1. P. 24-34.

OPTIMALITY CONDITIONS FOR THE TWO-PERIOD INVENTORY MANAGEMENT PROBLEM IN CASE OF THE STOCHASTIC DEMAND

T. B. Bigildeeva", M. V. Sopkob

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "tbig@csu.ru; bSV-Mik@yandex.ru

The multi-period inventory management problems in case of the stochastic demand in order to maximize the total expected profit in the case of loss and in the case of a pending unsatisfied demand are described. The relationship between these problems is shown and the existence of the solutions of these problems is proved. The necessary and sufficient optimality conditions for the two-period problem of expected profit maximization in the case of a pending unsatisfied demand are obtained.

Keywords: inventory management, two-period dynamic model, stochastic demand, total expected profit maximization, optimality conditions.

References

1. Rossi R. et al. Replenishment planning for stochastic inventory systems with shortage cost, Integration of AI and OR Techniques in Constrant Programming for Combinatorial Optimization Problems. Proceedings of 4th International Conference CPAIOR 2007, Brussels, Belgium, May, 23-26. Berlin, Heidelberg, Springler-Verlag, 2007. Pp. 229-243.

2. Yudin D.B. Zadachi i metody stokhasticheskogo programmirovaniya [Problems and methods of the stochastic programming]. Moscow, Sovetskoye radio Publ., 1979. 392 p. (In Russ.).

34

T. B. BHruntgeeBa, M. B. ConKO

3. Sopko M.V. O podkhode k upravleniyu odnonomenklaturnymi zapasami torgovogo predpriyatiya s vysokoy variatsiey sprosa [On approach to the management of trading enterprise one-nomenclative inventory with a high demand variation]. Logistika i upravleniye tsepyami postavok [Logistics and management of supplies chains], 2011, no. 6 (47), pp. 78-86. (In Russ.).

4. Sopko M.V. Zadacha upravleniya odnonomenklaturnymi zapasami torgovogo predpriyatiya s neizvestnymi veroyatnostnymi kharakteristikami sprosa [A problem of the management of trading enterprise one-nomenclative inventory with unknown probability characteristics of demand]. Logistika [Logistics], 2012, no. 3, pp. 28-30. (In Russ.).

5. Axsater S. Inventory Control. Springer, 2006. 336 p.

Article received 10.11.2015 Corrections received 01.02.2016