Эффективная поверхность рассеяния аксиально-симметричных двумерно неоднородных плазменных образований с немонотонным радиальным законом изменения концентрации электронов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.396

ЭФФЕКТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАССЕЯНИЯ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ДВУМЕРНО НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАЗМЕННЫХ ОБРАЗОВАНИЙ С НЕМОНОТОННЫМ РАДИАЛЬНЫМ ЗАКОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ

А.В. Тишуков, А.П. Ярыгин

На основе нетрадиционного подхода к решению уравнений характеристик эйконала в геометроптическом приближении с использованием метода эталонных функций получено аналитическое выражение для эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) осесимметричного двумерно неоднородного плазменного образования (ПО) с немонотонным радиальным законом изменения концентрации электронов и с произвольной гладкой угловой функцией, описывающей распределение концентрации электронов по угловой координате. Работоспособность полученной формулы проверена путем сравнения численного решения уравнений траекторий лучей и последующим вычислением по ним эффективной поверхности рассеяния

Ключевые слова: эффективная поверхность рассеяния, геометрическая оптика, плазменные образования

Ранее в работе [1] методом эталонной функции было получено аналитическое выражение для эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) плазменного образования (ПО) с немонотонным радиальным законом изменения концентрации электронов и с произвольной гладкой угловой функцией, описывающей распределение концентрации электронов по угловой координате, для случая облучения в направлении оси ПО.

Для немонотонного закона распределения концентрации электронов в плазменном образовании выражение, описывающее его диэлектрическую проницаемость, имеет вид:

s г,

= 1 -р

b-f в

■-а

b-f в

(1)

где а, /? - варьируемые параметры; / в - гладкая

монотонная выпуклая угловая функция, описывающая изменение диэлектрической проницаемости по угловой координате, нормированная так, что

f

' = 0

= 1.

Используемый в выражении (1) параметр а характеризует степень немонотонности и при (3 = 1 он изменяется в пределах -0.25 <а <0.

Однако проведенное численное решение дифференциальных уравнений для траекторий лучей показали, что значения ЭПР плазменного образования, полученные по аналитической формуле [1], на несколько порядков величины отличаются от расчетных численным методом. Так, например, при значениях /0 »5. ..9 и при значении параметра немонотонности а —> -0.25 отличие составляет в 5-9 порядков величины. Очевидно что, это отличие обусловлено не совсем адекватным процессу рефракции

Тишуков Андрей Владимирович - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», адъюнкт, e mail: [email protected]

Ярыгин Анатолий Петрович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 244-78-14

лучей выбором эталонной функции. В связи с этим была поставлена задача поиска более адекватной эталонной функции решения дифференциального уравнения для траекторий лучей с последующим выводом нового аналитического выражения для ЭПР рассматриваемого плазменного образования.

Для дальнейшего рассмотрения воспользуемся, как и в работе [1], приближением геометрической оптики. При этом рассмотрим тот же случай осевого облучения, когда плоская волна падает из бесконечности по оси плазменного образования. Тогда с учетом аксиальной симметрии плазменного образования уравнение эйконала для среды с диэлектрической проницаемостью (1) имеет вид:

1

dL_

~сШ

= 1-/3

f в

--а

/

. (2)

Особенность уравнения (2) состоит в том, что переменные в нем не разделяются, в связи с чем не представляется возможным получить в аналитической форме выражения для траекторий лучей, которые необходимы для последующего определения ЭПР образования. Поэтому, отступая от общепринятого метода расчета ЭПР, покажем, что в случае осевого облучения выражение для ЭПР можно получить, не прибегая к отысканию семейства лучей. Действительно, как показано в [1], при осевом облучении ЭПР ПО определяется выражением:

сг = 4;rlim

р-> О

(3)

где р-прицельныи параметр падающего луча относительно оси ПО; дг - угол отклонения этого луча

от осевого направления при выходе из неоднородного образования. Для нахождения ЭПР плазменного образования по формуле (3) воспользуемся уравнениями характеристик, которые соответствуют уравнению эйконала [3]. В гамильтоновой форме они имеют вид [3]:

2

2

2

Г

r

г

м_ = + 4в_

сіт г2 ’

(ідг д] | 1 сіє г, в

сіг г3 2 сіг

сіг

Тт=Ч-<1дв _ 1 сіє г,в сіт

(4)

сів

где

Чг =

І СІІ-і І ? 2/2 л

дв =| Чг +Чв Іг =є г,в .

В результате преобразования уравнения (2) с использованием (4) получим:

%

СІГ +г2ф...п „2 ,..2

с!дв

= +-

ґ^є г,в г1

сіє! ёв

(5)

& 2^8 г, в -д2в/г2

Учитывая симметрию задачи, а также выпуклость функций / в , отметим, что на оси неоднородного образования в = О

/ в =

= 0.

<и в

= 0 . Поэтому

для малых значении прицельного параметра, когда р —^ 0 , значение функции / в —> 0 и

Чв = ~ 0. Используя указанные предельные за-

ёв

висимости и устремляя р —> 0 , систему уравнений (5) преобразуем к виду

ё в!р | цд!р

- = +-

СІГ

^ ъ!р _+ /овр ( рь | аЪ2

сіг

2 г

(6)

где

= 1ІШ

р-> о

р

£п Г = Є Г, в

' = 0

= 1 -рЫг-аЪ2 !г2

/о" О =

ё2/ в

сів1

= 0

вторая произ

(7)

(8) (9)

причем для выпуклой функции /

водная /0 < 0.

Выражение (8) определяет диэлектрическую проницаемость на оси рассматриваемого плазменного образования.

Переходя от системы уравнений (6) к уравнению 2-го порядка, получим следующее дифференциальное уравнение

ё г2 Г~—МР , /оч Г ръ аЪ2 Л

СІГ 1 л ' 0 ’ ёг 4єи г 2 г г2 V У

= 0.(10)

Особенность этого уравнения состоит в том, что его решение относительно в г в соответствии

с формулой (3) позволяет найти выражение для ЭПР неоднородного образования в виде:

9р

• (П)

'г —» со

Далее, не ограничивая общности, примем р = 1 при этом параметр а , характеризующий степень немонотонности, изменяется в пределах -0.25 < а < 0 .

Проведем замену переменных в уравнении

(10):

Г

г'=~ъ-

^=ь-вР

(12)

Из соотношений (12) следует:

г = к -Ь , в = — .

1 р Ъ

(13)

С учетом соотношений (13) исходное дифференциальное уравнение (10) принимает вид:

А.

ёгг

■сів.

р і

ҐЛ

о ^р\

± + а | = 0. (14)

Анализ уравнения (14) показывает, что дифференциальное уравнение

ёв.

рі

ёг.

•\/і + /о •'

(15)

является решением уравнения (14), когда сомножитель

(16)

Причем следует заметить что, дифференциальное уравнение (15) является решением для любого вида функции £0 /; , используемой в уравнении (14).

В этой связи уравнение (15) следует рассматривать как эталонное уравнение для определения вида эталонной функции при решении исходного дифференциального уравнения (14). При этом варьируемым параметром, как следует из анализа исходного уравнения (14), должен быть выбран параметр /0 , значения которого заменяется на /0эф . Для определения параметра /0эф заметим, что рефракция в основном происходит вблизи области £ = 0 на расстоянии гх = г1эф . В результате дифференциальное уравнение (14) перепишем в виде:

ё_

ёг

■СІ6,

р!

ё

Л А

р 1

\эф

+ а

(17)

а соответствующее ему уравнение (15) преобразуется к виду:

г

г

ёв.

рі

1 + /о

1эф

+ а \-в

рі

ёк

г" 4е

(18)

'1 г

Сравнивая уравнения (15) и (18), получим значение йф :

ЛэФ=Л\^г + а\-

1э ф

(19)

Тогда с использованием (19) уравнение (15), являющееся решением дифференциального уравнения (17), следует записать в виде:

У1+/о"эф 'е\\

ёв.

РІ

ёк

>\2ур-

(20)

В уравнении (20) переменные разделяются и его решение может быть найдено в аналитической форме:

иР1

ёв.

рі

ёгх

ё

0 ^1 + /оэф'вр1

.^0 Г1 с гг

где гы - есть размер плазменного образования по уровню критической концентрации электронов, при котором /;0 г1кр = 0. Величину г1кр найдем, используя выражение (8), записав его с учетом замены переменной г на г в соответствии с соотношением (13), где г1кр определяется как наибольший корень квадратного уравнения

(21)

I =0,

гі

(22)

а именно:

1 + л/Г4^ . (23)

Заметим, что входящие в соотношение (21) интегралы по радиальной координате описывают нормированную на г2кр величину ЭПР плазменной сферы с диэлектрической проницаемостью £0 1\ [2]

а = л

сф

ёк

Из формулы (24) следует

V ^

Чщ, Г\ ^ ^

Используя (25), перепишем (21) в виде:

ёв.

рі

: = 2-

й2

Оэ ф ир\

(24)

(25)

(26)

Интеграл, записанный в левой части уравнения (26), является табличным [4]:

ёв.

(

рі

Ф+\л 1

г агет/г

0 эф I ‘ ®р\

^\/оэф | ^4 • |/оэф |

2‘/о

0 эф "р 1

•^| /0эф |

arcsh

^/о

Оэ0 I ' ^р1

Приравнивая правые части уравнений (26) и (27), запишем:

л- 1

I <х

2-

г агет/г

>/І^°

0э$ | ^р\

(28)

Далее из вьфажения (28) получим

рі •

(

рі

^\/оэф |

^/г

ІОэф •7Г

<7

сф

(29)

Подставим (29) в выражение (11) для ЭПР плазменного образования с учетом соотношений (12). После соответствующих преобразований получим формулу для величины ЭПР плазменного образования с немонотонным законом распределения концентрации электронов по радиальной координате:

4 71 -Ь

(

^\/оэф |

-5/г

/о эф •л

а

сф

(30)

3Оэф -ж

а

сф

Выполним нормировку на критический радиус

= — 1 + -\Д - 4 а 2

(31)

который получается из выражения (23) при условии замены безразмерной величины г на г в соответствии с соотношениями (12):

_ атм _ /•" I ^

2 2 \^0эф\

(

'1кр

/Оэф ■ 71

СТ

сф

~л

(32)

где г1кр определяется выражением (23), а /0эф соответственно выражением (19).

Значение гъф, входящее в (19), выбирается из

условия совпадения численных расчетов с эталонной функцией хотя бы в одной точке. При правильном выборе эталонной функции и при подстановке в неё выбранного параметра г1э^ , эталонная функция

дает правильное решение при любом значении /0эф .

С этой целью заметим, что рефракция в основном происходит вблизи области є = 0 на расстоянии гх = г1эф. В соответствии с выше указанным правилом выбором эталонной функции значение

ГЪф

В результате конечное выражение для нормированной величины ЭПР плазменного образования с

1

о

1

2

2

2

2

г

кр

Г

кр

н

-2

к

0

немонотонным законом распределения концентрации электронов примет вид:

(7Н — ■

нем

4 л ■ /0 • л/тг 12 +а

Г{кр-*>г 2 ^л- /0 • /2 +а сф.нем.

(33)

где нормированная величина ЭПР сферы сгисфтм ределяется в соответствии с [2] выражением:

<7

сф.нем.

'и,. Ь-

1-24а / 1-2« 1/,

1 кр

оп-

(34)

В графической форме зависимость <тИсфтм параметра а представлена на рис. 1.

от

Рис. 1. График зависимости нормированной величины ЭПР плазменного шара от параметра а , определяющего степень немонотонности изменения концентрации электронов

Проведенный анализ работоспособности полученной формулы (33) показал, что в отличие от выражения, приведенного в работе [1], она с высокой точностью описывает зависимость величины ЭПР плазменных образований с немонотонными законами изменения концентрации электронов, причем в широких пределах изменения параметров а и /0 .

В частности, для случая, когда функция / в ,

описывающая распределение концентрации электронов по угловой координате, имеет вид:

/ в =

ҐЛ ҐЛ ТС

сое ти при и <-------------------.

2т

1 о ^

1 при и >--------------------.

2т

т = 0,1,2,3... ,(35)

результаты расчетов представлены на рис. 2, на котором в графической форме показаны зависимости нормированной величины ЭПР плазменного образования от параметра а, определяющего степень немонотонности плазменного образования, и параметра т , определяющего величину второй производной /0 = /и2 . Штрихпунктирной линией отмечены

результаты, полученные численным моделированием траекторий лучей с последующим вычислением на их основе величины ЭПР, а сплошной - результа-

ты, полученные на основе аналитического выражения (33).

Рис. 2. Нормированное значение ЭПР с новой корректной эталонной функцией Как видно из рис. 2, приведенные графические зависимости совпадают практически с графической степенью точности, что указывает на достаточно высокую точность полученной формулы (33). В то же время из рис. 3, на котором представлены графики тех же зависимостей, но полученные по аналитической формуле работы [2], наглядно видно, что расхождение в значениях величин ЭПР составляет более 6 порядков величины, когда параметр т - 3

,0 = 9 ) и параметр а 0 .

(|/.Т

Рис. 3. Нормированная величина ЭПР с некорректной эталонной функцией ВЫВОД. В геометроптическом приближении на основе нетрадиционного подхода к решению уравнений характеристик эйконала и с использованием метода эталонных функций получена новая формула для двумерно неоднородного плазменного образования (ПО) с немонотонным радиальным законом изменения концентрации электронов и с произвольной гладкой угловой функцией, описывающей распределение концентрации электронов по угловой координате, которая по сравнению с ранее из-

вестной формулой [2], дает значительно более точные результаты расчета значений ЭПР для таких образований. А именно, ранее полученная формула в работе [2] вносила расхождение результатов значений ЭПР плазменных образований для /0 «0...9 и при значении параметра немонотонности и —> -0.25 на 1-6 порядков величины ЭПР соответственно. Результаты, полученные на основе численного моделирования и выведенной формулы (33), практически совпадают, что говорит о высокой достоверности полученной аналитической формулы (33).

Литература

1. Марьин Н.П. Об эффективной отражающей поверхности ионизированной области, имеющей форму шара Радиотехника электроника. 1965. Т.10. №2. 235 с.

2. Ярыгин А.П. Эффективная поверхность рассеяния аксиально-симметричных неоднородных образований с немонотонным законом изменения диэлектрической проницаемости. Радиотехника. 2002. №10. 93-99 с.

3. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. 304 с.

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1978. 228 с.

Воронежский государственный технический университет ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

EFFECTIVE SURFACE SCATTERING OF AXIAL-SYMMETRIC BI-DIMENSIONAL IN-HOMOGENEOUS PLASMA FORMATIONS WITH НЕМОНОТОННЫМ RADIAL LAW OF VARIATION OF THE ELECTRON CONCENTRATION

A.V. Tishukov, A. P. Yarygin

Based on the non-traditional approach to solving equations of the characteristics in geometropticheskom eikonal approximation using the standard functions, an analytical expression for the effective of the surface cross section (RCS) of the axisymmetric two-dimensional inhomogeneous plasma formation (PO) with nonmonotoniction law radial variation of the concentration of electrons and arbitrary smooth function of angle, which describe the distribution of the electron density in the angular coordinate. The efficiency of this formula is tested by comparing the numerical solution of the ray paths and further evaluate them effective scattering surface

Key words: effective surface scattering, geometric optics, plasma formations