Эффективная оценка применимости одного приближенного метода для сингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9.

ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА ПРИМЕНИМОСТИ ОДНОГО ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

© 2010 г. В.С. Пилиди1, А.В. Федий2

1Южный федеральный университет, 1Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

2Южно-Российский государственный 2С и ■ . ^ , ■ , 7 Т ■ ■.,

* r South Russian State lechmcal University,

технический университет, n , . с^тллг i i i ни л w

rr 7 0-, „ Prosvesheniya St., 132, Novocherkassk, 346428 ул. просвещения, 132, г. Новочеркасск, 346428

Для обратимого полного сингулярного интегрального оператора с непрерывными коэффициентами, действующего в пространстве L2 на окружности, рассматривается сильно аппроксимирующее этот оператор семейство АЕ, е0>0, получаемое путем вырезания в операторе сингулярного интегрирования Е-окрестности особенности ядра Коши. Ранее были получены необходимые и достаточные условия существования е0>0 такого, что семейство {As}0<s<s равномерно обратимо. Предложен алгоритм, позволяющий найти такое значение е0.

Ключевые слова: сингулярный интегральный оператор, равномерная обратимость, приближенный метод.

For an invertible complete singular integral operator with continuous coefficients in the L2 -space on the circle there is considered the family ae, е0>0 which strongly approximates this operator and is obtained by cutting out in the operator of singular integration of the е -neighborhood of singularity in the Cauchy kernel. Previously there were obtained necessary and sufficient conditions for existence of such е0>0 that the family {As }0<s<s is uniformly invertible. In the paper there is proposed an algorithm for finding such value of е0.

Keywords: singular integral operator, uniform invertibility, approximation method.

Пусть Г - единичная окружность в комплексной 1 f(т)

плоскости. Рассмотрим действующий в пространстве вующие в L2(r) по формуле (Ssf)(x) = ~ r{f^dT '

L (Г) полный сингулярный интегральный оператор „ „ „ s

2 t е Г . При любом s > 0 операторы Se ограничены;

A = aI + bS + T . Предполагается, что a , b — опреде- lA 0

^ " ^ при s ^ +0 они сходятся к оператору S в сильной

ленные на контуре Г непрерывные комплекснознач-

, ri г „ операторной топологии.

ные функции; l — компактный оператор в простран- t-.

1 ^ 7 X X X X I Inp ТТПЛ TTAWTJAf итл !

стве L (Г); S — оператор сингулярного интегрирова

Предположим, что оператор А обратим. Введем в рассмотрение семейство операторов, действующее в

ния, действующий по формуле (8/)(х) = -, пространстве ^(Г) : А= а + Ъ^ + Т , е> 0 . При

™ г т- ( е ^ +0 операторы А сильно сходятся к оператору А.

/ е Г , где интеграл понимается в смысле главного ^ А Г1 т-

' * Определение [1, гл. 2]. Говорят, что к оператору

значения по Коши. а применим приближенный метод по семейству опе-Определим шшур Ге(0 ( е> 0, /е Г ) Ге (0 = раторов А} при е^+0 , если существует такое = {т:те Г ,\т- /| > е}. Введем в рассмотрение интеграль- ^ > 0, что А обратимы при всех е , удовлетворяющие газаторы ^ (е > 0) с ^ж^жьш ядр^ дашст- щих условию 0 <е<е0 , и для любой функции

g е ¿2(Г) решения fse L2(r) уравнений Asfs= g , 0 <s <s0 сходятся при s — +0 по норме к решению уравнения Af = g.

Применимость приближенного метода равносильна тому, что для некоторого е1> 0 все A обратимы и

sup lA;1! < +: . В этом случае говорят, что семейство

0<s<si

{Ae}0<E<Ei равномерно обратимо.

Предложение 1 [2]. К обратимому оператору A применим приближенный метод по семейству операторов A} при s —^ +0 в том и только том случае, когда a(t) + Ab(t) ^ 0 для всех t е Г, Л е [l,-l].

В настоящей работе решается следующая задача. Предположим, что выполнены условия приведенного выше предложения. Требуется найти число sj, для которого семейство {As}0<s<si равномерно обратимо.

Будет указан алгоритм, позволяющий найти это число в каждом конкретном случае. При этом предполагается, что оператор T , входящий в определение оператора А, является интегральным. Дополнительные условия гладкости коэффициентов интегрального оператора и ядра оператора A будут указаны ниже, после формулировки вспомогательных утверждений. Следует отметить, что для применимости предлагаемого алгоритма нужно знать величину ||a_1|| , которая

входит в используемые оценки.

Приведем некоторые вспомогательные результаты. Дадим сначала оценку нормы оператора Ss. Не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что всегда выполняется неравенство 0 < s < 2 . Обозначим через P множество всех тригонометрических полиномов, определенных на Г функций вида f (t) = £ fntn,

n=—:

где коэффициенты f принимают комплексные значения и равны нулю, если n > N = N(f).

Пусть Л = {Лп }+"_„ — ограниченная последовательность комплексных чисел. Рассмотрим определенное на линейном многообразии P с L2 (Г) отображение

КЛ : £ fntn — £ Лп fntn, t е Г. Оно продолжается по

n=—: n=—:

непрерывности до линейного ограниченного оператора в пространстве L2 (Г), который мы также будем обозначать через K и называть оператором свертки с символом Л . Отметим, что ||КЯ|| = sup|^|. Введен-

n

ный выше оператор сингулярного интегрирования S является оператором свертки с символом {sign(2n + 1)}n:-„.

Определим на контуре Г функцию ке , s > 0

формулой ke (t) =

It-1 >е, t е Г,

2

1 -1'

0, It-1 <е, t е Г.

К (t) ~ 2 % т" , t е Г . Записывая введенный выше оператор Бе в виде (Бв/)(/) = — \к£| -I/, t е Г ,

ТП Г \т)

устанавливаем [3, с. 64, теорема 1.5], что он является

оператором свертки с символом \к<£ .

Лемма 1. Для всех £ , 0 <£ <2 выполняется

оценка Ц^Ц < 1.

Доказательство. По определению имеет место равенство

kf) = - J f

dt

Л Ге (1)

1 -1 t

(1)

Пусть S = S£) = 2arcsin — . При 0 <£ <2 выполняется оценка 0 <S < ж . Зададим окружность Г параметрическими уравнениями Г = je'» : —ж <в <ж} .

1 ж sin(ín + 2 Л

Тогда k£ = - J—VV 2 J Jd», n e Z, £ > 0.

n ж S ■ » S sin— 2

Покажем, что для всех указанных значений n и £ выполняется оценка \к<п£)\ < 1 , из которой следует

1

л —8

т.е.

11^1 < 1 . Учитывая, что к(е) = — J d0 =

Я s Я

0 < к(е) < 1, k^J = —k(sl, получаем, что достаточно ограничиться случаем n > 1. Воспользовавшись равенством [4, с. 380, формула 3.612.3]

Я sin((n + 2 Л 1 д sin[(n+2П

J vv / Jdв = я, получаем kJ = 1—J vv у Jdв .

0 „■ в Я 0 ■ в

Пусть k{e (n е Z) - ее коэффициенты Фурье:

2 2 Зафиксируем натуральное значение n и рассмотрим

* sin(ín +1 л г 1

функцию f (х) = J ——-~^JdB , * e [0, ж\, которая,

0 . в 0 sin— 2

очевидно, непрерывно дифференцируема на промежутке [0, ж\ . Покажем, что для х e [0, ж\

0 < f (х) < 2ж . Отсюда будет следовать — 1 < к(п£) < 1, и доказательство будет завершено.

Стационарные точки f на интервале (0, ж) имеют

вид х, = ——— , к = 0, 1, .... n . Оценим значения

к n +12

функции f в этих точках. Полагая * = 0 , для

*к sin^(n+2

1 < к < n находим f (*к) = J—^— J J de =

Х0 sin— 2

к—,x+1sin((n+2» к—,x1sin((n++e))

= И í fl2 J Jd» = Я 2 ^-Jd» =

j=0 x¡ j=0 0

sin-

2

sin

2

n

л

sinl 77 + | n +1 \в

k-1Ч I 1 2 1 I k-1

= 2 !—-' 2 de = 2(-1)Ч, где

j=0 0 . +o j=0

sin

2 1

ЧН1п + 2 0

а. = 1—^-^dв, 1 = 0, 1,..., к-1.

1 0 • х1 + в

81П —-

2

Когда величина в изменяется от 0 до х1, значения | п + 10 изменяются от 0 до п, и следователь-

1 2 \

но, числитель подынтегральной функции принимает во всех внутренних точках промежутка интегрирования положительные значения, а на его концах -нулевое. Знаменатель дроби всюду положителен, кроме 1 = 0, в = 0, где он обращается в нуль и функция имеет устранимую особенность. Кроме того,

х.,, +в х. +в

-> - для j = 0, 1,..., к -1, 0 <в< х .

2 2 1

Отсюда следует, что а0 > а > а >... > а*_1 > 0.

Применяя стандартную оценку для частичной суммы

к—1

ряда типа Лейбница, получаем 0 < X (—1)'а < а ,

7=0

k = 0, 1, ..., n-1.

Покажем, что an . Учтем, что

7 (n+1)sin

= I

n +1 \в ,

2 \ ^0 = 27(f1)sin((2n +1)x)dx ■ 0 0 sin x

Sin

2

7

и оценим сверху последний интеграл. Введем b = ■

2n +1

Разобьем оцениваемый интеграл на два: b sin((2n + 1)x)^ _ К2 sin((2n + 1)x)^ + b sin((2n +1)x)^ 0 sin X 0 sin X b/2 sin x

Слагаемые в правой части обозначим через ^ и

/2. Для оценки /¡ учтем, что функция

Sin x

убывает

на промежутке [о, ж/2]. Следовательно, для любого c , 0 < c < ж/2 имеет место неравенство sin c

sin x > ■

• x, 0 < x < с .

(2)

Подынтегральную функцию в Ii оцениваем, используя для знаменателя неравенство (2), полагая c = b¡2, а для числителя оценку sin x < x, справедливую при любом x > 0. Тогда

(2n +1)b . b

2 b _ ж 2

. В подынтеграль-

81П(Ь/2) 2 2 81П(Ь/2) ной функции 12 числитель оцениваем сверху единицей, знаменатель - снизу величиной Бшф/2). Тогда

, 1 Ь ^ 7 7 (к Л Ь/2 I, <-----. Окончательно I + I, < \ — + 1 I--—— .

2 вт(Ь/ 2) 2 12 ^ 2 ) 8т(Ь/2)

Функция

возрастает на промежутке

sin x

TT г- b 7

Для любого n > 1 — < —,

2 6

[0,7 2].

и следовательно,

b 2

■ <-

т/6

/1 + /2 <\7+ . От-

8ш(Ь/2) 8Ш(к/6) 3 сюда получаем искомую оценку а0 < 2к . Доказано, что в любой внутренней стационарной точке 0 < /(хк) < 2к . Учитывая, что /(0) = 0 , /(к) = к , получаем для любого х е [0, к] 0 < / (х) < 2к .

Лемма доказана.

Лемма 2. Если а, ре С и а±Х[5ф 0 для всех Ле[-1,1], то для любого 0 < е < 2 оператор а1 + р8Е обратим, и имеет место оценка

1

(а/ + ßSe)-1 <

min(a + Aß)

-1<A<1

Это утверждение легко выводится из леммы 1 путем рассмотрения коэффициентов Фурье ядра оператора свертки а1 + рБ!,.

В дальнейшем введенная в доказательстве леммы

е

1 функция 8 = 8(е) = 2агсзт— , 0<е<2 , будет использоваться без особых напоминаний.

Приведем одно утверждение об ограниченности интегральных операторов [5, с. 108, теорема 1.15].

Предложение 2. Предположим, что функция к(/, т) определена и измерима на множестве А х А и для некоторой константы М выполняются оценки: | |к (? ,т)||dí| < М почти для всех те Г,

Г

| |к(?, т)||dт\ < М почти для всех / е Г .

Г

Тогда интегральный оператор (КОСО = | к (г,т)/ (т)dт,

Г

/ е Г ограничен в пространстве ¿2 (Г) и имеет место оценка ||К|| < М.

Следствие. Предположим, что для некоторой константы М выполняется оценка |к(/,т)| < М почти для всех /, т . Тогда оператор К ограничен в пространстве ¿2 (Г) и для его нормы в этом пространстве имеет место оценка ||К|| < 2лМ.

Рассмотрим действующий в пространстве ¿2 (Г) интегральный оператор (К/ХО = / к (г, т)f (т^т,

Г

/ е Г . Будем предполагать, что функция к непрерывна на Г х Г и удовлетворяет условию Липшица по первой переменной равномерно по второй переменной. Введем константы М0 = шах{к(/,т): /, те Г},

M1 = sup<!

k,т) -k(t2,т)

t -1 t1 - t2

: tj, t2, те Г, tj ф t2

Оператор К является компактным, и следовательно, выполняется соотношение 11Ш|(^ - ^ )К| = 0.

В приведенных предположениях из предложения 2 и его следствия легко выводятся утверждения.

x

7

a

0

0

x

с

Лемма 3. Имеет место оценка ||(Б - Бе)Ц < 4^(£)(Мо + М1).

Лемма 4. Предположим, что функция р определена на контуре Г и удовлетворяет условию Липшица |р(т) -р(0| < M\т- -, т, t е Г . Тогда имеет ме-

4M

сто

оценка ||(S - Ss)çl -?(S — Ss)|| <-S(s).

n

Точки окружности Г будем представлять в виде

id

e , где в e R. Напомним определение [6], формулируя его применительно к рассматриваемым объектам. Пусть y=Ys}— конечное семейство подмножеств множества Г . Кратностью системы у в точке t e Г называется число r(t) элементов системы у , содержащих точку t. Наибольшее из чисел r (t) называется кратностью системы у .

Для измеримого множества F с Г через р обозначим оператор умножения на характеристическую функцию множества F , действующий в пространстве L2(Г).

Рассмотрим функцию а , определенную на отрез-

ке [0,l] условием a(x) = — J expl--1-

С 0 ^

dÇ , где

— ( с = J exp

0

1

Л

Ç(1 -Ç)

dÇ .

') =

Wk (eW ) =

Введенные объекты обладают следующими свойствами:

1) семейство {ик }к-° ( \ук }) является открытым покрытием контура Г кратности 3 (5);

2) семейство функций {рк}"к-10 является разбиением

единицы на контуре Г, причем все функции этого семейства являются бесконечно дифференцируемыми;

3) для любого к = 0, 1, ..., к -1 выполняются соотношения УкРк = Рк, Ркрик = Рк1, ¥крч = У к1, ик с ук.

Замечание. Для упрощения обозначений мы не отмечаем зависимость всех введенных объектов от числа к .

Нам потребуется одно обобщение утверждения из [7, с. 581, лемма 1.5]. Будем формулировать его применительно к рассматриваемому случаю - пространству ¿2 (Г), хотя оно может быть доказано и для рассмотренного в цитируемой статье случая пространств ¿2 (Г) , 1 < р <+» .

Предложение 3. Пусть {ик }Д и {ук }к-1° - семейства измеримых подмножеств контура Г, кратности которых не превосходят соответственно г и 5;

{Ак }к-1 - семейство линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве ¿2 (Г) . Тогда

имеет место оценка

л-1

2 PukAkPvk

к=0

< rs ■ max IUJ.

0<k<n-1 k"

Отметим свойства функции а :

1) для любого х е [0,1] а(х) + а(1 - х) = 1;

2) функция / , определенная на вещественной оси

0, х < 0,

И условием /(х) = <! а(х), 0 < х < 1, является беско-

1, х > 1, нечно дифференцируемой.

Выберем целое к > 2 и пусть 3 = т/к . Определим

семейства дуг {ик }к-°, {ук ^ контура Г и семейства

функций {рк}кк--10 , {у}П-о , определенных на Г следующим образом: для к = 0, 1, ..., п -1 ик = {еш : (2к -1)3 < в < (2к + 2)3}, у* = {ев : (2к - 2)3 < в < (2к + 3)3},

а((в- (2к -1)3)/3), если (2к -1)3 < в < 2к3, 1, если 2к3<в< (2к +1)3,

а(((2к + 2)3 -в)/3), если (2к +1)3 < в < (2к + 2)3, 0, для остальных точек контура Г. а((в- (2к -1)3 V 3), если (2к - 2)3 <в< (2к -1)3, 1, если (2к - 1)3<в< (2к + 2)3, а(((2к + 2)3-0)/3), если (2к + 2)3<в< (2к + 3)3, 0, для остальных точек контура Г. Определим также точки ^ = ехр(г((2к + 1)/2)3) , к = 0, 1, ..., п -1, являющиеся серединами соответствующих дуг и и у .

Перейдем к решению поставленной выше задачи. Рассмотрим полный сингулярный интегральный оператор А = а1 + ЪБ + Т в следующих предположениях: функции а и Ъ определены на контуре Г и удовлетворяют условию Липшица, оператор Т действует в пространстве Ь2(Г) по формуле (Т/)(х) = |к(-,т)/(т)dт ,

Г

- е Г, где к(-, т) определена и непрерывна на Г х Г и удовлетворяет условию Липшица по каждой из двух переменных равномерно по другой переменной. Предположим также, что оператор А обратим и выполняется условие а(-) + ЛЪ(-) ^ 0, - е Г, -1 <Л< 1. Введем обозначения: К = (шш{а(-) + ЛЪ(-) : - е Г, -1 <Л< 1}-1, А(-) = а(-)1 + Ъ(-)Бг для произвольной точки - е Г . Из леммы 2 следует, что все операторы А(-), - е Г, £ > 0 обратимы, и имеет место оценка (А£))-1 < К . Как было отмечено выше, в данном случае к оператору А применим приближенный метод по семейству операторов А = а1 + ЪБе + Т при £ ^ +0 .

Рассмотрим семейство операторов Яе =

к-1

= А-1 + Бе - А-1 АеБе, где Бе = (А- ))-1рк1, £ > 0 .

к=0

Число п будет выбрано и зафиксировано позднее. Учитывая предложение 3, получаем

1КН Ж^к А ))-1РкРик < 15 • шх| Ук А ))-1РкЦ < 15К.

Здесь учтены значения кратностей семейств {ик }к-1() и {ук }к-°. Отсюда следует равномерная ограниченность операторов Яе по всем значениям п и £ .

Обозначим через С верхнюю границу норм операторов Яе. Отметим, что она может быть эффективно

найдена, если известна величина Ца'Ц.

Выберем и зафиксируем произвольное q , 0 < д < 1. Покажем, что можно эффективно найти такое ех, что -1|| <д для всех е , 0 <е<е1 . Отсюда будет следовать, что все операторы А , 0 <е < е1 обратимы слева. Пусть дв = I -ЯеАе. Тогда (I - &)-1 ЯеАе = I и

•№-С -

I - Qe )-1*J<

Z Q,

ся соотношениями

RA -1 = A-\A - Ае\БеАе -I) = AMS - Se\BeA -I).

Обозначим q1 =

q

A 1 • maxl b(t

BSAS -I = Zvk (A(k)) -lVkAe-I =

Д? = Z^k(A?k))-1 pk(a -a(tk))I +

¿(tk Л-1 -

n-1 . .

+ Z wk (A2tk))-1 pk (b - b(tk )) S2 +

a(5) 2 '

свертки (S — Ss) и A(tk', k = 0,l,...n-1 коммутируют. Выберем и зафиксируем такое n, чтобы для всех k = 0,1,..., n — 1 выполнялись неравенства

sup a(t) — a(tk)| < qJ180K , supb(t) — b(tk)| < qJ180K .

tkeuk tkeuk

Пользуясь предложением 3, находим

n-1 . .

Z P^ (A2tk })-1PkPUk (a - a(tk))

< 15K •

qi _ q1

180K 12

т.е. семейство ле-

вых обратных {I - 1 равномерно ограни-

чено. Аналогично строится равномерно ограниченное семейство правых обратных к операторам А при 0<е<е2. Отсюда будет следовать, что семейство операторов Ае, 0 < е < ш1п{е1, е2} равномерно обратимо.

Вернемся к анализу операторов Де . Воспользуем-

+ (А?" ТпТ = %> +А(е

к=0

Для семейств {Се }е>0 и {Ое }е>0 линейных операторов, действующих в пространстве Ь2(Г) , Св& ВЕ, если для любого 8 > 0 можно эффективно найти такое число е > 0 , что С - | <8 для всех значений е, удовлетворяющих условию 0 <е < е1. В силу лемм 3, 4 имеют место соотношения (5 - Бе )Т « 0, (5 - )П « ф(Б - Бе). Отметим также, что операторы

Аналогично получаем оценку А^ < д /12. Подчерк

нем, что эти оценки являются равномерными по е

п-1

Далее имеем (5-Яв)Ав5) « Хп АУп(5-Бе)Т,

Zwk (A2tk))-1Pk (S - S2 )T

k=0

n-1 / л

Zwk (A(k y)-1pk

k=0 <

||(S -S2T < 15K •!|(S -S2T < qje

для всех достаточно малых е . Поэтому для всех достаточно малых (и находимых эффективно) значений е

будет выполняться оценка ||(5 - )А(2)|| = = 11(5 -5е)А®|| +11(5 -+11(5 -^А^Ц < ^/2.

и покажем, что

можно выбрать такие п и ех , чтобы для всех е , 0<е<е выполнялась оценка ||(5-)(ВА -1^ < Vд . Тогда будет справедлива искомая оценка

№л- III < д.

Учитывая вид оператора Ве, получаем

Перейдем к анализу операторов (S - S2) Д(,

f n-1

(S - S2 )Д1) = (S - S2)l Z¥k (A2tk ))-1PkA2tk) -1

V k=0 y

« Z¥k(A2tk))-1 A2tkPk(S -S2) - (S -S2) « 0.

k=0

Здесь учтено, что для всех k = 0,1,...,n -1 выпол-

pk }"n=l

явля-

={1ук (Ае'к))-1%Ае'к) -"Хп (А(ек)у1п (Ае - .

V к=0 \ к=0

Обозначим слагаемые в правой части соответственно через А(1) и А(.2) . В свою очередь, операторы семейства А(2) представим в виде

няется равенство , и семейство щк ¡к=0

ется разбиением единицы.

Таким образом, приведенная схема позволяет эффективно найти промежуток (0,е), для которого семейство является равномерно обратимым.

Отметим в заключение, что использованные приемы позволяют решать аналогичные задачи для других классов приближенных методов.

Литература

1. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., 1971. 352 с.

2. Пилиди В.С. О равномерной обратимости регулярных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 6. С. 1317-1320.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., 1965. Т. 1. 615 с.

4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963. 1108 с.

5. Интегральные уравнения / П.А. Забрейко [и др.]. М., 1968. 448 с.

6. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. М., 1973. 576 с.

7. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. Т. 29, № 4. С. 757-782.

Поступила в редакцию

13 ноября 2009 г.

k=0

k=0

k =0

n-1

k=0

k=0

n-1