Эффект Рашбы в кольце: структура энергетического спектра Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2010. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 621.315.592

Д. Е. Цуриков, А. В. Зубкова, А. М. Яфясов

ЭФФЕКТ РАШБЫ В КОЛЬЦЕ: СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

Введение. В последние десятилетия во многих лабораториях мира идёт активный поиск оптимальных конструкций полупроводниковых приборов, основанных на спиновых свойствах твёрдого тела. В этом направлении одним из наиболее привлекательных видов спин-орбитального взаимодействия в низкоразмерных полупроводниковых структурах является эффект Рашбы [1]. Сущность эффекта состоит в расщеплении энергетических уровней электрона в несимметричной потенциальной яме. В связи с широким распространением планарной технологии для современной наноэлектроники особый интерес представляет эффект Рашбы в двумерных квантовых системах. Их детальный теоретический анализ позволит предсказать рабочие характеристики приборов, а также оптимизировать их геометрию.

С точки зрения теории представляют интерес двумерные геометрии, для которых можно получить точные решения задачи, а также приводящий к ним процесс двуме-ризации носителей заряда. Это нашло отражение в ряде работ, посвящённых цилиндрическим [2], круговым [3, 4] и кольцевым [5, 6, 7] полупроводниковым структурам. В последнем случае детальный анализ поведения энергетических уровней носителей заряда в зависимости от ширины кольца и параметра Рашбы по-прежнему остаётся актуальным.

В настоящей работе рассмотрен эффект Рашбы в кольце. Расчёты, основанные на точном аналитическом решении задачи, позволили провести систематизацию энергетических уровней электрона, а также выявить ряд характерных особенностей их поведения в зависимости от ширины кольца и параметра Рашбы.

Решение в кольце. Рассмотрим идеальный электронный газ в полупроводнике, двумеризованный у его поверхности однородным электрическим полем. Выберем декартовы оси координат так, чтобы ось 3 была перпендикулярна поверхности. Тогда для проекций электрического поля имеем: Е\ = £2 = 0, £3 = const. В этом случае гамильтониан одноэлектронной задачи в полупроводнике содержит слагаемое Рашбы [8]:

Hr = i aR[o х р\3 = -mR[a х V]3, (1)

где aR := адо£з - параметр Рашбы, ago - константа спин-орбитального взаимодействия для данного материала, о - матрицы Паули, p - оператор импульса электрона.

По аналогии с работой [2] запишем безразмерную двумерную задачу для электрона в сформированном на поверхности полупроводника кольце шириной d с единичным внешним радиусом:

f (-Д - га[а х У]3МЬ,Ь) = MSi, € Г2; , >

|ф|ап = 0, := {(^ь^2)|1 - d < < 1},

где a := oir, := xa/R, X := E, m - эффективная масса электрона, R - размерный внешний радиус кольца, xa - размерные декартовы координаты в кольце

© Д. Е. Цуриков, А. В. Зубкова, А. М. Яфясов, 2010

(а = 1, 2), Е - размерная энергия электрона. В полярной системе координат (2) примет вид

-д2г ~ £ дг - 4г <92 +ае ^(дг - г± <9ф)

-ае+^(дг + <9ф) -д? - ± дг - ^ <92

Г ь г '-'(р)

V Г2" '

Х1 = X Х1

. Х2 _ . Х2 _

х(1 - й, ф) = 0 = х(1, ф), Ф € [0, 2п]; Х(г, 0) = Х(г, 2п), г € (1 - й, 1).

Разложим искомую функцию в ряд Фурье:

Ха(>,ф)= ^ Яка{г)^е^.

(3)

(4)

к=-ж

Подставляя (4) в (3), получим следующую задачу для коэффициентов разложения:

-д! - ± дг + К

Г ' г %

а (к±1 _|_ дг

0 - дг) -д1 -\дгЛ-

^+1)2

^к1

В-к+1,2

^к1

В-к+1,2

, к € Z;

(5)

Дк1(1 - й) = 0 = Дк+1,2(1 - й), Ек1 (1) = 0 = Дк+1,2(1).

Системе уравнений (5) удовлетворяют функции [2]

Дк1(г) = С17к (к+г) + С2 Ук (к+г) + сз Jk(к- г) + еАУк (к-г);

Як+1,2(г) = -С11к+1(к+г) - С2Ук+1 (к+ г) + cзJk+l(к-г)sgnX + (6)

+ С4Ук+1 (к-г) sgn X,

где к± :=

у/(а/2)2 + X ± а/2 . Используя для функций (6) граничные условия в задаче

(5), из условия разрешимости уравнения на коэффициенты С1,...,4 получим следующее уравнение на уровни энергии электрона в кольце:

Jk (к+) Ук (к+) Jk (к-) Ук (к-)

Jk(к+[1 - й]) Ук(к+[1 - й]) Jk(к-[1 - й]) Ук(к-[1 - й])

-Jk+l(к+) -Ук+1(к+) Jk+l(к-)sgnX Ук+1(к-^пХ

-Jk+l(к+[1 - й]) -Ук+1(к+[1 - й]) Jk+l(к-[1 - й]^пXУк+1(к-[1 - й]^пX

0. (7)

Можно показать, что, в частности при а = 0, секулярное уравнение принимает вид

Jl(к) У (к)

^г(к[1 - й]) ^1(к[1 - й])

0,

(8)

где к := [1 - уровень энергии электрона при отсутствии спин-орбитального взаимо-

действия.

Заметим, что с учётом свойств функций Бесселя J-k = (- 1)кJk, У-к = (- 1)к'Ук и свойств определителей уравнение (7) инвариантно относительно преобразования к ^ ^ -(к+1), а (8) - относительно преобразования I ^ —I. Тогда для дальнейшего анализа решений уравнений (7) и (8) примем соглашения: Хтк - ш-й корень к-го уравнения (7), ш,к = 0,1,...; цП1 - п-й корень 1-го уравнения (8), п - главное квантовое число, I - орбитальное квантовое число, п,1 = 0,1....

X

а

2

Анализ результатов. Для построения зависимостей Х от параметров задачи (2) ! и а проведём систематизацию уровней энергии электрона в кольце. В процессе численного решения уравнений (7) и (8) было обнаружено, что для X и ц выполняется правило:

Х2п,С

а—С

МпС; Х2п,Ь Х2п+1,—1

1=С ^ а—С

(9)

Выражение (9) устанавливает соответствие между квантовыми числами {т, к} и {п, I}. Оно формально описывает явление расщепления энергетических уровней электрона с I = 0 при наличии спин-орбитального взаимодействия. Их относительное расположение при малых а и фиксированном п также отражено в (9), что схематично можно изобразить следующим образом:

п = 0 : Хсс < Хс1 < '—— Хю < ХС2 < Хц < Хсз < '—— Х12 <

^00 Ц01 М02 ^03

п = 1 : Х2С < Х21 < N Х30 < Х22 < Х31 < Х23 < N Х32 <

Ц10 ^11 ^12 Ц13

п = 2: Х4С < Х41 < ' —^ Х50 < Х42 < Х51 < Х43 < у ^ Х52 <

^20 М21 ^22 И-23

(10)

Таким образом, систематизация энергетических уровней электрона в кольце показала, что их можно сгруппировать в серии. Серия - совокупность энергетических уровней с одинаковым главным квантовым числом п, входящим в индекс уровня согласно правилу (9). Расположение серий относительно друг друга зависит от значений а и !.

На рис. 1 изображены графики зависимости уровней энергии от ширины кольца при различных значениях параметра спин-орбитального взаимодействия. Здесь показано по десять компонент (одна нерасщепляющаяся, девять расщепляющихся при а = 0) в трёх нижних сериях. Очевидно, что при всех а серии смещаются вниз с ростом !, при этом их перекрытие усиливается. В случае малых а (рис. 1б) наблюдается спин-орбитальное расщепление компонент серии, поведение которых при изменении ! сходно со случаем а = 0 (рис. 1а). С ростом а (рис. 1в) происходит качественное изменение в поведении уровней - явление инверсии с ростом !. В случае больших а (рис. 1г) также проявляется ещё одна особенность - парное сближение уровней с ростом !.

Рассмотрим поведение уровней в сериях в зависимости от а для узких колец (рис. 2). Можно видеть, что при малых ! спин-орбитальное расщепление высших уровней в серии нарастает при малых а. На рис. 2б наблюдается усложнение структуры верхней части спектра: на уровни высших серий накладываются уровни низших. Так же, как и на рис. 1, здесь присутствует явление инверсии. В целом можно отметить, что наилучшая сепарация расщепившихся компонент спектра наблюдается при малых а в уровнях серии 0, находящихся вблизи дна серии 1.

Поведение энергетических уровней в зависимости от а в случае широких колец показано на рис. 3. Характерной особенностью здесь является сильное перекрытие серий, что с точки зрения эксперимента может затруднить наблюдение эффекта Рашбы. Также в рассмотренном диапазоне а на рисунке присутствует явление «схлопывания» уровней: уровни, возникшие из одной компоненты, с дальнейшим ростом а начинают вновь сближаться, а в ряде случаев между ними происходит инверсия. В пределе ! ^ 1 (рис. 3б) не обнаружено качественных изменений в поведении энергетического спектра по сравнению со случаем больших ! (рис. 3а).

б

а

104

101

1||ШШуШУШУнИи

0,6

0,3 0,6 0,9 0,3

Рис. 1. Уровни энергии в кольце при а = 0 (а), а =1 (б), а = 5 (в), а = 10 (г)

номер линии соответствует номеру серии

0,9 а

X

б

Рис. 2. Уровни энергии в кольце при d = 0,3:

а — участок с серией 0, б — участок с серией 1; номер линии соответствует номеру серии

в

г

а

Заключение. В настоящей работе было теоретически рассмотрено явление спин-орбитального расщепления уровней энергии электрона в кольце вследствие эффекта Рашбы. Предложена систематика спектра, устанавливающая соответствие между квантовыми числами рассмотренной задачи и задачи без учёта эффекта Рашбы. Это

X а б

Рис. 3. Уровни энергии в кольце при d = 0,8 (а), d ~ 1 (б): номер линии соответствует номеру серии

позволило провести детальный анализ поведения энергетического спектра в зависимости от ширины кольца и параметра спин-орбитального взаимодействия. К основным обнаруженным особенностям поведения уровней энергии можно отнести следующие явления: инверсия, парное сближение, «схлопывание». В работе показано, что с точки зрения теории наилучшие условия для экспериментального наблюдения эффекта Раш-бы реализуются при а « 1 для уровней серии 0, расположенных вблизи дна серии 1.

Литература

1. Bychkov Y. A., Rashba E. I. Oscillatory effects and the magnetic susceptibility of arriers in

inversion layers // J. Phys. C. 1984. Vol. 17. P. 6039-6045.

2. Цуриков Д. Е., Яфясов А. М., Павлов Б. С. Эффект Рашбы в полубесконечном цилиндре: точное решение, спиновое вырождение // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2008. Вып. 2. С. 17-26.

3. Bulgakov E. N., Sadreev A. F. Spin polarization in quantum dots by radiation field with circular polarization // Pis’ma v ZhETF. Vol. 73. 2001. P. 573-577.

4. Tsitsishvili E., Lozano G. S., Gogolin A. O. Rashba coupling in quantum dots: an exact

solution // Phys. Rev. (B). 2004. Vol. 70. P. 115316-(1)-115316-(11).

5. Lozano G. S., Sanchez M. J. Magnetic flux induced spin polarization in semiconductor multichannel rings with Rashba spin-orbit coupling // Phys. Rev. (B). 2005. Vol. 72.

P. 205315-(1)-205315-(5).

6. Meijer F. E., Morpurgo A. F., Klapwijk T. M. One-dimensional ring in the presence of Rashba spin-orbit interaction: derivation of the correct Hamiltonian // Phys. Rev. (B). 2002. Vol. 66. P. 033107-(1)-033107-(3).

7. Sheng J. S., Chang Kai. Spin states and persistent currents in mesoscopic rings: spin-orbit interactions // Phys. Rev. (B). 2006. Vol. 74. P. 235315-(1)-235315-(14).

8. Winkler R. Spin-orbit coupling effects in two-dimensional electron and hole systems. Berlin, 2003. 228 p.

Статья поступила в редакцию 9 сентября 2009 г.