Двусторонние оценки на решения интегральных моделей некоторых систем с обратными связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 1. С. 13-18.

УДК 517.929.4 Р.О. Карелина

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НА РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ С ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ

The paper is devoted to construction of estimates of a lower and upper bounds for solutions of the mathematical model describing dynamics of some multicomponent system with feedback. The properties of nonsingular M-matrixes and a monotonous method are used for solving this problem.

Постановка задачи.

Рассматривается математическая модель, описывающая динамику некоторой многокомпонентной системы с обратными связями:

да t

x(t) = IR(a)p(t - a)da + jR(a) f (%t-a)da, t > 0, (!)

t 0

да

x(t) = jR(a)ip(t - a)da, t e I = [-0,0]. (2)

0

В уравнениях (1), (2) x(t) = (x1(t),..., xm (t ))T является искомой функцией, диагональная матрица R(a) = diag(R1(a),...Rm (a)), функция

Ф) = (ф (*),--.,%, (s))r , отображение f(x) = (f1( xtfm (xt ))T и параметр со считаются заданными. Для конкретного 1 < i < m переменная xt (t) отражает количество элементов i -го вида, входящих в моделируемую систему. Символ x при фиксированном 0 < t < да определяет функцию xt (s) = x(t + s), s e I, которая учитывает влияние на x(t) не только

текущих, но и предшествующих значений, распределенных по промежутку [t -о, t], 0 < о < да.

Функции ф (t - a) задают скорости производства исходных элементов i -го вида на промежутке времени t - a < 0, а функции fi (xt) - скорости производства новых элементов i -го вида при t > 0 . Функции R. (a)

описывают процессы естественного старения исходных и вновь появившихся элементов i -го вида и интерпретируются как доли элементов, доживших до возраста a > 0 после своего появления в системе. Соотношения (2) указывают на количество исходных элементов при t < 0.

© Р.О. Карелина, 2007

Для уравнений (І), (2) приняты следующие основные соглашения. Пусть C (I, D) -

множество непрерывных функций z: I ^ D с нормой ||z|l = maxiz(s)|, где 1-І -

II ІЮ sei II II

одна из норм векторов в Rm , D - выпуклое, открытое подмножество R'm .

Для каждого 1 й i й m существует такая константа т. > 0, что функция R.(a)

не возрастает и положительна на \0, т. ), Rj (0) = 1, Rt (a) = 0 при ті й a < да. Функции pi (s) неотрицательны и непрерывны на \-ті ,0], для s є (-да,-т. ] они доопределяются по правилу p. (s) = p (-т.) . Параметр а выбран таким, что а й шіп(т1 ,... тт).

Уравнения (І), (2) рассматриваются при следующем основном предположении, которое отражает отрицательные и положительные обратные связи, описывающие скорости производства элементов, входящих в моделируемую систему. Полагаем, что для любых z є C(I, D) имеет место представление f (z) = g (z, z), где непрерывное отображение g(x, y): C(I, D) x x C(I, D) ^ R+1 изотонно по x и антитонно по y , т. е. g(xl,у1) й g(x2,у2) для любых пар (xl, yl) є C(I, D) x C(I, D), i = 1,2 , таких, что x1 й x2, y1 > y2.

Здесь и далее неравенства между векторами из R m понимаются покомпонентно; запись u > 0 означает, что все компоненты вектора u є R m положительны.

Решением системы (І), (2) будем называть такую функцию x , что

да

xt є C(I, R+”), x0 (s) = |R(a)p(s - a)da, s є I

0

и x(t) удовлетворяет (І) на некотором промежутке \0,5), 5 > 0 .

В цели настоящей работы входит построение двусторонних оценок на решения x(t) системы (І), (2) и нахождение достаточных условий существования 1іШ x(t) = x *. Полученные результаты при-

t ^+да

меняются к исследованию решений модели регуляции физиологических процессов.

Основные результаты.

Обозначим:

да

х0(і) = |Я(а)р(і - а)<іа, і > 0, (3)

0

да

і//(і) = |Я(а)р(і - а)ёа, і є I, (4)

0

ЛТ= diag(тl,...,тm), (5)

да

0 < Ті =|Яі (a)da < да, 1 < і < т. (6)

0

Формулы (3)-(6) показывают, что х 0(і) определена, неотрицательна, непрерывна на промежутке [0, да) и все ее компоненты представляют собой невозрастающие функции; \у(і) определена, неотрицательна и непрерывна на промежутке I. Определим оператор і

Н(х, у)(і) = х°(і) +1 Я(а)g(х,-а, у-а)da, і > 0,

0

где функции х = х(і), у = у(і) со значениями в О определены и непрерывны при - со < і < да.

Оператор Н(х, у)(і) обладает следующими свойствами: 1) если функции

хк = хк (і) со значениями в О, к = 1,2 определены, непрерывны при - со < і < да и для всех -о<і <да верно х'(і)<х2(і),

У1 (і) >У2(і), то Н(х1,У)(і) <Н(х2,у2)(і),

0 < і < да ; 2) если функции х = х(і), у = у(і) со значениями в О определены, непрерывны при - о< і < да и существуют ііш х(і) = и є О, Ііт у(і) = V є О , то суще-

1 ^+да і ^+да

ствует Ііш Н(х, у)(і) = ЛTg(и, V).

1 ^+да

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполнены все предположения относительно функций Я, р, /, входящих в систему (1), (2), существует пара (и0, V0) є О х О, удовлетворяющая неравенствам

0 < и0 < V0, и0 <Н(и0,^0)(і) ,

V0 >Н(V0,и0)(і), і > 0, (7)

и начальная функция ^(і) такова, что и0 < ^(і) < V0, і є I. Тогда для любого

0 < Т <+да система (1), (2) имеет решение х(і) , определенное на промежутке

1 є [0, Т], причем и0 < х(і) < V0.

ТЕОРЕМА 2. В условиях теоремы І решение x(t) системы (І), (2) определено на полуоси t є \0,+да) , и справедливы оценки

u * й lim inf x(t) й lim sup x(t) й w *,

t ^+да t ^+да

где (u *, w*) - решение системы

u = ATg(u, w), w = ATg(w, u),

u0 й u, w й w0. (В)

Если, кроме того, решение (u*,w*)

* * *

системы (В) единственно, то u = w = x и существует lim x(t) = x *.

t ^+да

Доказательство этих теорем опирается на монотонный метод, свойства невырожденных М-матриц [І-3] и ранее полученные результаты относительно систем дифференциальных и интегральных уравнений со смешанной монотонностью правых частей [4-6].

Решение (u *, w *) системы (В) подробно изучалось в работах [S; Т], где установлены способы нахождения решений систем неравенств и уравнений относительно

0 0 * * тт

векторов u , w , u , w . Из теоремы 2 видно, что поведение решений x(t) системы (І), (2) связано с решением систем неравенств (?) и уравнений (В). Для нахождения решений этих систем рассмотрим два случая.

Случай 1. Ищем решение в виде u0 = 0, w0 = w > 0 . Полагая в (Т) u0 = 0, w0 = w > 0, получим систему вида w > 0 , H(0, w)(t) > 0, w > H(w,0)(t), t > 0 .

Очевидно, что неравенство H(0, w )(t) > > 0, t > 0, верно для любого w є D . Для нахождения w , удовлетворяющего неравенству w > H(w,0)(t), t > 0, можно использовать различные оценки на оператор H(x, y)(t). Нетрудно показать, что для всех t > 0 имеет место оценка:

H(w,0)(t) й ц/(0) + ATg(w,0),

откуда получаем соотношение для нахождения w :

у/(0) + Azg(w ,0) й w , w є D.

Предположим теперь, что w является корнем уравнения w = Azg(w,0), w є D. Обозначим p = A^^1 w. Положим, что

p(s) й p, s є (-да,0].

Тогда справедливо следующее неравенство:

H(w,0)(t) < ATg(w,0) = w .

Таким образом, w может быть найдено как решение системы:

w = ATg(w,0), ф) < A^w, w e D, s e (-да,0].

Обозначим (pmx = sup (p(s). Тогда

se(-да,0]

можно получить, что

да

H(w,0)(t) < jR(t + s)[Pmax -g(w,0)]ds + ATg(w,0).

0

Поэтому w можно искать следующим образом:

w e D , Pmax < g (w ,0) ,

s e (-да,0], ATg (w ,0) < w .

Случай 2. Ищем решение системы неравенств (7), отличное от и0 = 0, w0 = w > 0 . Для этого используем соотно-

0 * 0 т”>

шения, связывающие и , x , w . В качестве x* выберем одно из стационарных решений уравнений (1), (2), т. е.

x * = ATf (x *) , x *e D ,

p(s) = p*(s) = f (x*).

Нетрудно проверить, что x(t) = x* удовлетворяет (1), (2) на промежутке

[0, да) при выборе p(s) = p*(s). Неравенства (7) можно переписать в следующем виде

(и0, w0) e D хD, 0 < и0 < x*< w0,

да

и0 < j R(s +1)[p(s) - g(и0, w0)]ds + ATg(u0, w°),

0

да

jR(s +1)[p(s) - g(w0, и 0)]ds + ATg(w0, и0) < w0.

0

Следовательно, если p(s) - g(и0, w0) > 0 , то

и0 < ATg(и0,w0), и если p(s)-g(w°,и0)< < 0, то w0 > ATg(w0,и0). Таким образом, получаем систему:

(и0, w°) e D х D, 0 < и0 < x*< w0, (9)

и0 < Aтg(u0, w0), w0 > ATg(w0,и0), (10)

g(и0, w0) <p(s) < g(w0,и0), s e (-да,0]. (11)

Далее, используя разность p(s) - p* (s), неравенства (7) могут быть приведены к следующему виду:

(u0,w°) є DxD, 0 йu0 й x* й w0,

да

u0 й jR(s +1)\p(s)-p*(s)]ds + A^'g(u°,w°),

0

да

w0 > jR(s + t)\p(s)-p*(s)]ds + AJ.g(w0,u0).

0

Таким образом, u0 > 0, w0 > 0 можно находить из системы (9) - (ІІ) либо из следующей системы:

(u0, w0) є DxD, 0 й u0 й x*й w0, (І2)

u0 й 4g(u0, w0) + Jp(t), w0 й ^g(w0,u0) + Jp(t), t > 0, (ІЗ)

да

где Jp (t) = jR(s + t)\p(s) - p* (s)]ds .

0

Неравенства (І І), (ІЗ) требуют определенной малости отклонения p(s) от функции p* (s) , которая задает стационарное решение x(t) = x*= const системні (І), (2). При определенных условиях «малые» отклонения функции p от p* обеспечивают существование таких решений x(t) системы (І), (2), что lim x(t) = x*. Степень отклонения

t ^+да

функции p от p* можно описать через величину ||p = max {p.}, где p = max |p.(s)| .

11 11 j=1,...,m J j 5є\-Tj ,0] j I

Будем говорить, что решение x * > 0 системы (І), (2) является асимптотически p-устойчивым, если для любого (малого) е > 0 найдется 5 > 0 такое, что из неравенства

p - p* I < 5 следует, что |x(t) - x* | < е при всех 0 й t < да и существует lim x(t) = x*.

t^+да

ТЕОРЕМА З. Пусть существуют u0, w0, удовлетворяющие неравенствам (Т), а система (В) имеет единственное решение. Тогда стационарное решение x* системы

(І), (2) является асимптотически p -

устойчивым.

В ряде случаев задача нахождения решений систем неравенств (9)-(І І) и уравнений (В) может быть сведена к решению линейных неравенств и уравнений, задаваемых с помощью М-матриц. Примем, что функция g (u, w) имеет не-

прерывные частные производные в некото-

рой окрестности (x*, x*). Составим матрицу

ao=a), где a\j=dgi(x *, x * v Duj -

- 3gi (x*, x* )Jdwj > 0.

Пусть Q = E - ATA'a, где E - единичная матрица. Положим, что Q является невырожденной М-матрицей. Тогда, используя результаты [5], можно показать, что найдется пара (и0, w0) e D х D, удовлетворяющая соотношениям (9)-(11), а также такая, что система (8) имеет единственное решение и * = w* = x*.

Пример. Рассмотрим модель, которая возникает при описании регуляции ряда физиологических процессов, протекающих в живых организмах. Пусть переменная x1 = x1 (t) означает концентрацию некоторого вещества в организме, которое вырабатывается со скоростью f1 (xt) = yx2 (t - о2), у = const > 0. Переменная x2 = x2 (t) означает концентрацию гормонов, необходимых для выработки рассматриваемого вещества. Гормоны вырабатываются со скоростью f2( xt) =

= r(x1 (t - о1)). Запаздывания со., i = 1,2

отражают определенные временные задержки, связанные с протеканием процессов, явно не учитываемых в модели, о = max{ffl1,®2} . Предполагается, что r(w1) является неотрицательной, непрерывной при 0 < w1 < да функцией и относится к так называемым унимодальным функциям.

Это означает следующее: существует такая точка x1 > 0, что на промежутке

[0, x ) функция r(w1 ) монотонно возрастает, в точке x1 достигает своего наибольшего значения и монотонно убывает на (x1, да) (см. рис. 1).

Принимается также, что r(w1) имеет непрерывную производную для всех 0 < w1 < да. Будем полагать, что R. (a),

p. (a) имеют общий вид, описанный выше. Для нахождения стационарных решений системы (1), (2) с указанными функциями fi (xt ) необходимо решить уравнение

x1 = f1f2Yr(x1), x1 > 0 . (14)

О

X,

Рис. 1. Пример унимодальной функции

Очевидно, что одно из стационарных решений - нулевое. Оно подробно исследовано в работе [6]. Рассмотрим стационар* , г\ * ^ —

ное решение X Ф 0, для которого х1 > х1.

Имеем, что компоненты функции g(xt,х,) имеют вид: g 1(х1,х1) = ^х2(?-®2), g 2(х,, х,) = г (х1(? -01)). Так как у> 0, то g1( х,, у,) = ух2(, -ю2). Для построения g 2( х1, у 1) используем унимодальность функции г(х1). Можно записать, что г(х1) = шт{ (х1), Г2 (х1 )}, где

( \ \г(x1), г1(х1)л V (хД

0 < х1 < х1, х1 > х1,

г2( у1) =

г(хД 0 < у1 < х1,

[г(Уl), у1 > xl,

что представлено на рис. 2. Тогда

g2 (хі, у,) = ШіП { (х1 (? - Г2 (у1 (і - °1)) }.

Так как х* > х1, зададим О = {и є Я2: d1 < и1 < d2, 0 < и2 < dз}, где d1 = х1, d2, d3 < да - произвольные числа. Имеем, что g1(u, V) = уи2,

g2(и, V) = г(^1). Тогда, составляя матрицу и привлекая матрицу Лт, находим, что

Опираясь на положительность главных миноров Q, получаем, что она будет невырожденной М-матрицей, если выполнено неравенство

В = Тг2^г'(х*)| < 1. (15)

( 1

Q =

-т г'(х*)

Т1УЛ

1

Следовательно, при В < 1 решение х(,) = х *, для которого х* > х1, является асимптотически р -устойчивым. Но данное неравенство не дает явной оценки на границу изменения функции р, при которой х(,) ^ х* при , ^ +<» . Для нахождения такой оценки необходимо изучить решения систем неравенств и уравнений (10), (11) и (8). Записывая эти системы, получаем

(и°, и°) е О, (м^0, w20) е О, и<0 < ^0 , и0 < ,

.0 0>

2 /

и0 > 0 , и0 > 0 , Ц1 > 0, ^0 > 0, и0 < т1уи2,

/2° <Т2 г (^10), < >TlУwl,

> Т2 г (и0).

и2 < т2г(^ ), w1 >т1yw2

•2-2Ч»,/' (16)

и1 = Г1/и2 , и2 = т2г(wl) , wl = r1YW2

w2 =т2 г(и1) , и10 < и1, w1 < w1<)

и0 < и 2, w2 < w° .

(17)

„ 0 — 0 Положим, что и1 = Т1у и 2

wl° •

Отсюда получаем, что

и10 < Т1 Т2 Г г К° ) , < > ТТгУ г (и0 ) ,

й 1 < и°, < й2. (18)

Вместе с (18) рассмотрим уравнения и1 = Т1Т2У г(м!1), ^1 = ТТУ г(и1),

й1 < и1 < w1 < й2. (19)

Перепишем неравенства (18) и уравнения (19) в виде:

и0 <т1т2у г^т# г (и0)), й1 < и° < й2. и = Тт2/ г(Т^/г(и1))

d1 < и1 < d 2

(20)

(21)

Так как В < 1, то решением (20) является любое число и0 е [а1, х*), где а1 = й1 = х1, если (21) не имеет на [х1, х*) положительных корней, или

а1 = и1 е [х1, х*) - ближайший к х* положительный корень (21). Аналогично можно рассмотреть неравенство относительно w10 и уравнение относительно ^’1:

^10 > ТТу г(т^у г^1°)), < w^l < й2. (22)

Wl = Т1Т2Г гТТгУ г(Wl)), ^1 < Wl < й2. (23)

Таким образом, решением (22) является любое число w10 е (х*, а2], где а2 = й3,

если (23) не имеет на (х*, й 3] положительных корней, или а2 = w1 е (х*, й3 ] - ближайший к х* положительный корень (23).

Выбирая а1 < и10 < х*, и 0 = и0 /(т1у), х* < w10 < а2, w° = w101(т1у), получаем, что система (17) имеет единственное решение

* * * * * * Г|-\

и1 = w1 = х1 , и2 = w2 = х2. Тогда, если уи°0 < р(5) < YW° , 5 е [-Т,0], г(Wl0) < р(5) < г(и10) , 5 е [-^2,0] , (24)

то x(t) ^ x* при t ^ +да, и решение x* будет асимптотически p -устойчивым.

[1] Красносельский М.А. и др. Приближенное ре-

шение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

[2] Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

[3] Berman A, Plemmons R.J. Nonnegative Matrices

in the Mathematical Sciences. N. Y.: Acad. Press, 1979. 316 p.

[4] Перцев Н.В. Об ограниченных решениях одного

класса систем интегральных уравнений, возникающих в моделях биологических процессов // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 6. С. 831-836.

[5] Карелина Р.О., Перцев Н.В. Построение двусторонних оценок для решений некоторых систем дифференциальных уравнений с последействием // Сиб. журнал индустр. математики. 2005. Т. 8. № 4(24). С. 60-72.

[6] Перцев Н.В., Карелина Р.О. Об асимптотической устойчивости нулевого решения интегральных моделей некоторых самовоспроиз-водящихся систем // Системы управления и информационные технологии. 2006. № 1(23). С. 89-94.

[7] Карелина Р.О. Применение М-матриц для ре-

шения систем нелинейных неравенств специального вида // Вестник Омского университета. 2006. № 1. С . 12-14.