CC BY
17
УДК 517.968
ПРИМЕНЕНИЕ М-МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
И.В. Перцев, Б.Р. Кеменгеров
We consider mixed monotone technique for study stability of steady-states of one class delay differential equations. The sufficient conditions for stability of steady-state susing properties of M-matricies are established.
1. Постановка задачи
Дифференциальные уравнения е последействием широко применяются при построении математических моделей сложных процессов и систем. Особенностью некоторых моделей является их высокая размерность, наличие различных запаздываний, большое число параметров, что вызывает трудности при исследовании устойчивости положений равновесия и оценке их областей притяжения. Во многих случаях уравнения математических моделей могут быть записаны в виде
x(t) = g(xt,xt) - Xx(t), 0, (1)
x(t) = ip(t), Гщ sC t sC 0, (2)
где x{t) = col(xi(t), x2(t),,,,, xrn{t)) - искомая вектор-функция, x{t) - ее правосторонняя производная, ф(ф) = со1(ф\^),ф2^), ...,фт(£)) - начальная функция,
xt = (x(t), x{t — ид), ...,x(t — соп)), 0 < uik ^ гш, 1 ^ k ^ n,
A = diag(Xi, A2,..., ATO), A^ > 0, 1 ^ i ^ m,
g(xt,xt) = col(gl(xt,xf),g2(xt,xt), ...,gm(xt,xt)).
Принято, что x(t) E D, 0 ^ t < 00, где D - выпуклое, открытое подмножество Rm, ф(£) : [—гш,0] -Д D, g(x,y) : Dn+l х Dn+l Rm - непрерывные вектор-функции. Здесь Dn+l = D x D x ... x D, x = (x°, x1,..., xn) G Dn+l, У = (у°, У1, Уп) £ Dn+1. Обозначим также й = (и, и,..., и) Е Dn+1. В дальней-
шем неравенства между векторами из Rm понимаются как неравенства между
© 2001 Н.В. Перцев, Б.Р. Кеменгеров
E-mail: pertsev@univer.omsk.su
Омский государственный университет
Омский государственный педагогический университет
их компонентами. Запись z > 0, z £ Rm означает, что все компоненты этого вектора положительны. Для х £ Dn+1, у £ £)"+1 полагаем, что х ^ у, (у ^ х), если х° ^ у0, х1 ^ у1,---, хп ^ уп. Относительно функции д(х,у) принимаются следующие дополнительные предположения: Н1) д(х,х) удовлетворяет на Dn+l условию Липшица; Н2) для всех (х1,у1), (х2,у2) £ D”+1 х £)”+1 таких, что х1 ^ х2, у1 ^ у2 верно д(х1, у1) ^ д(х2, у2).
Указанные предположения использованы в работах [1,2], в которых получены достаточные условия существования ограниченных решений x(t) системы уравнений (1) с начальным условием (2) и их предела при / —>• +оо. Кроме того, там рассмотрен вопрос об устойчивости положений равновесия х* системы (1), которые находятся как решения системы уравнений 0 = д(х*,х*) — Ах*, х* £ D. В основу исследования положен монотонный метод [3-5], на основе которого получены следующие результаты.
Теорема 1. Пусть существует пара (u°,w°) £ D х D, удовлетворяющая неравенствам
u°^w°, 0 ^ g(u°, w°) — A u°, 0 ^ g(w°, u°) — A w°. (3)
Тогда, если u° ^ ф(£) ^ w°, —гш ^ t ^ 0, то справедливы утверждения: а) система (1) с начальным условием (2) имеет единственное решение x{t), определенное на [0,+оо), причем, и,0 ^ x{t) ^ w°, 0 ^ t < оо, б) имеют место
неравенства и* ^ lim inft^+0C) x{t) ^ limsupt^+0C) x{t) ^ uf, в которых пара (u*,w*) является, решением системы уравнений
0 = g{u, w) — А и, 0 = g{w, й) — A w, и,° ^ и ^ w°, и,° ^ w ^ w°, (4)
причем, и* = Hindoo ип, w* = Hindoo wn, где
ип = A-lg(un-l,wn-1), wn = A-lg(wn-l,un-1), п = 1,2,...,
и0 ^ и1 ^ ... ^ и11 ^ ... ^ и* ^ W* ^ ... ^ wn... ^ U}1 ^ w°,
в) если,, кроме того, решение (и*, и)*) системы (4) единственно (это эквивалентно равенству и* = w*), то существует limt^+0C) x{t) = х*, где X* = и* = w* - одно из положений равновесия, системы (1). ■
Теорема 2. Пусть существует пара (и,0, w°) £ D х D, удовлетворяюищя, неравенствам (3), и та,кая, что система, (4) имеет единственное решение (u*,w*). Тогда: а) система, (1) имеет на множестве и,0 ^ х ^ w° только одно положение равновесия, х* = и* = w*, б) это положение равновесия, является, асимптотически устойчивым по Ляпунову, в) для, любой начальной функции ф(£) такой, что и,0 ^ ф(£) ^ w°, —гш ^ t ^ 0, существует limt^+0C) x{t) = х*. ■
Аналогичные результаты получены для некоторых систем дифференциальных уравнений нейтрального типа [6], а также интегродифференциальных и интегральных уравнений, возникающих в моделях динамики популяций [7]. Заметим, что сформулированные условия устанавливают свойства решений x(t)
независимо от величины запаздываний од, 1 ^ к ^ п. Кроме того, множество Ф* = {ф Е Rm : u° ^ ф ^ w0} служит оценкой границ области притяжения положений равновесия х*, т,е, совокупности всех начальных функций ip(t), для которых существует lim, , . х ./•(/) = х*.
Практическое применение теорем 1, 2 сводится к поиску решений системы неравенств (3) и исследованию единственности решения системы (4), Существование и единственность указанных решений тесно связаны с задачам нахождения решений нелинейных систем уравнений с изотопными и антитонными функциями (см,, например, [4, 5]), Изучению этих вопросов с помощью невырожденных М-матриц посвящена настоящая работа,
2. Основной результат
Определим функцию h(x,y) : D х D —>• Rm по следующей формуле:
h{x, у) = А-1ц(£, у), (х, у) Е Dn+l х Dn+l. (5)
Очевидно, что h(x, у) является непрерывной функцией и удовлетворяет условию монотонности: h(xl,yl) ^ h(x2,y2), если только х1 ^ х2, у1 ^ у2, (.хк, ук) Е I) х I). к = 1.2. Перепишем условия теорем 1, 2 в терминах функции h(x,y). Во-первых, требуется найти такую пару (u°,w°) Е D х D, что
u°^w°, u°^h(u°,w°), w° ^ h(w°, u°). (6)
Во-вторых, следует получить условия единственности решения (u*, w*) системы уравнений
х = h{x,y), у = h(y,x), и0 ^ х ^ w°, и0 ^ у ^ w°. (7)
Пусть X* Е D - одно из положений равновесия системы уравнений (1), Тогда X* удовлетворяет уравнению х* = h(x*,x*). Будем искать векторы u°,w°, входящие в (6), так, чтобы и0 ^ х* ^ w°. Пользуясь тем, что D - выпуклое множество их* - внутренняя точка /). выберем и0 = х* — az, w° = х* + az, где a ^ 0 - числовой параметр, г Е Rm, z > 0, причем а и z таковы, что (u°,w°) Е D х D. Примем, что функции hi(x,y) имеют непрерывные частные производные первого порядка во всех точках (х, у) Е D* х D* некоторой окрестности пары [х* ,х*), причем в этих точках dhi(x,y)/dxk ^ 0, dhi(x,y)/dyj ^ О, 1 ^ г, к, j ^ гп, D* С D.
Для фиксированного индекса 1 ^ i ^ m рассмотрим функции
Pi(a) = hi{x* — az, х* + az), Qi{a) = hi{x* + az, x* — az),
в которых a рассматривается как независимая переменная, а г как векторный параметр, причем (х* — az, х* + az) Е D* х D*. Можно записать, что
Pi(a) = Pi(0) + Р-(ща) а = х* + pi(a, z) а,
Qi{а) = Qi{0) + Ql(nia) а = х* + щ(а, z) а,
где 0 < щ, щ < 1. Здесь использованы следующие соотношения:
m
pi (a, z) = dhi(x* — щаг, x* + viaz)/dxk • (—zk) +
k=1
m m
+ x* - ViOiZ,x* + Vi(xz)/d%yj • Zj = z) + bik(a,z)) zk,
j=1 k=1
cpk (a, z) = dhi (x* — ViOtz, x* + щаг)/dxk ^ 0,
bik(a, z) = —dhi(x* — ViOtz, x* + ViOtz)/dyk ^ 0, 1 ^ i, k ^ m.
Аналогичным образом записываются qi(a, z):
m
Qi (a,z) = dhi (x* + fpctz, x* — • 5Д +
fe=i
m m
+ ^2dhi(x* + щаг,х* - p,iaz)/dyj • (-Zj) = ^2(cik(a, z) + dik(a, z)) zk,
j=i fe=i
с^(о:,г) = dhi{x* + piazyx* — p,iaz)/dxk 'Д 0,
dik(a, z) = —dhi(x* + ^аг, т* — piaz)/dyk ^ 0, 1 ^ i, k ^ m.
Подставляя u° = т* — n;. гс° = т* + az в систему неравенств (6), приходим к соотношениям
х* — az ^ h(x* — az, х* + az) = х* — аАг(a, z) z,
х* + az ^ /г(т* + az, х* — az) = х* + аМ2(а:, г) г,
которые с учетом неравенств а ^ 0, z > 0 можно переписать в виде следующей системы
az ^ aAi(a, z)z, az ^ аА2(а, z)z, а ^ 0, z > 0. (8)
Матрицы Ai(a, z) = {a\k{a, z)), А2(а, z) = (a%k(a, z)), входящие в (8), имеют следующие элементы: a]k(a, z) = aik(a, z) + bik(a, z), afk(a, z) = cik(a, z) + dik(a, z), 1 ^ i, k ^ m. Поскольку эти элементы неотрицательны, а ^ 0 и г > 0, то решение системы неравенств (8) будем искать из системы
az ^ aAs(a, z)z, а ^ 0, z > 0, (9)
где матрица As(a,z) = (a^k(a,z)) такова, что
a%k(a,z) = max{a]k(a,z),a?k(a,z)}, 1 ^ i, k ^ m.
Полагая а > 0, вектор г будем находить из соотношений
понимая под I единичную матрицу. Используя непрерывность частных производных функций h{(x, у), 1 ^ i ^ т, получаем, что при a —>• +0 имеет место сходимость: (J — A3{a,z)) -Д (/ — И*) (поэлементно). Матрица А* = (о^) имеет следующие элементы:
Щк = dhi(x*, х*)/dxk — dhi(x*, х*)/dijk ^ 0, 1 ^ i, к ^ m. (11)
Матрица (/ — . 1 *) относится к матрицам специального вида, так как имеет неположительные внедиагональные элементы. Примем в дальнейшем, что (I — Л, } является невырожденной М-матрицей (см,, например, [5, с,57-61], [8, ч.б]). Тогда существует £ Е £, > 0. такой, что (/ — А*) £ > 0, Вектор г, удовлетворяющий (10), будем искать в виде г* = q£, где q > 0 - некоторое число, подбираемое так, чтобы (х* — п;. х* + az) Е D* х D*. Обозначим (I — А*) 4 = г* > 0. Имеем, что
(I - A3(a,z*)) z*
(I — A*) z* + (А* — A3(a, z*)) z* q {г* + (-4* — A3(a, q£)) £).
При фиксированных q и £ имеет место сходимость: A3(a, q£) At. при а —>• + 0 (поэлементно). Поскольку г* > 0, то найдется такое «о > 0 (зависящее от q и £), что при всех 0 < а ^ «о будет верно {I — A3{a,z*))z* > 0, Задавая конкретное 0 < а ^ «о и соответствующий ему вектор z*, получаем, что эти а и г* удовлетворяют (10), (9) и (8), Тогда можно подобрать такие (достаточно малые) q > 0, а0 > 0, что u° = х* — a0z* Е D*, w° = х* + a0z* Е D* и верны неравенства и0 < иР, и0 < h(u°,w°), up > h(w°,u°) (покомпонентно), В итоге получаем, что указанные и0, иР являются решением системы неравенств (6), Покажем далее, что найдется пара (//,,. wa), иа = х* — n r\ wa = х* + az*, которая лежит в D* х D*, удовлетворяет (6) и такая, что система (7) будет иметь только одно решение (и*, w*) = (х*, х*) на множестве иа ^ х, у ^ wa. Обозначим v = col(u,w) Е D х D, F(v) = col(h(u,w),h(w,u)) и рассмотрим систему уравнений
v = F(r), (12)
Пусть Па = {v Е D х D : иа ^ и ^ гса, иа ^ w ^ wa}. Заметим, что при а —>• +0 множество 11,, преобразуется в точку г* = col(x*, х*). Следуя вышеизложенному, зададим пару (иа, wa), удовлетворяющую системе неравенств (6), Исходя из свойств векторов иа, wa получаем, что если v Е Па, то F(v) Е Па, Иначе говоря /•’ : II,, -д Па, Используя [9, с,651], оценим ||С?((г)||, понимая под F'v(v) производную отображения F(v) по векторной переменной v. Исходя из структуры F(v), получаем, что F'v{v) можно представить в форме следующей матрицы
КД
dh(u,w)/d х dh(u,w)/dy dh(w,u)/dy dh(w,u)/dx
где dh(u, w)/dx, dh(u,w)/dy, dh{w,u)/dy, dh(w, u)/dx - квадратные матрицы, состоящие из частных производных функций ф по переменным ац, yj, взятых в точках (и, w) и (w, и), 1 ^ г, к, j ^ т. В точке v = v* матрица F'v(v) будет иметь вид
КД) = (
dh{x* ,x*)/dx dh{x* ,х*)/ду dh(x* ,х*)/ду dh(x*,x*)/dx
Если в матрице /•’!(>*) сложить по строкам или по столбцам модули элементов матриц dh(x*,x*)/dx и dh(x*, х*)/ду, то в результате будет получена матрица А*, что следует из (11). Для этой матрицы имеем, что £ = A*£ + г*, откуда А* £ = £ —г* < ц. Рассматривая последнее неравенство для каждой компоненты, получим, что
которое учитывает «весовые множители» в так называемой преобразованной норме матрицы А*. Из (13) и (14) следует, что ||А*||я = // < 1- Отсюда получаем, что норма матрицы F'v{v*), задаваемая по аналогии с (14), будет равна \\K(v*)\\ и = // < 1. Используя непрерывность частных производных, входящих в матрицу /•’)(>)• получаем, что найдется такая окрестность 11* точки v*, во всех точках которой будет верно неравенство ||Д((г)||я ^ 0* < 1- Кроме того, эту окрестность можно выбрать так, что /•’ : II* -д 11*. Отсюда следует, что система (12) имеет в П* единственное решение, а именно точку v*. Опираясь на вышеизложенное, можно сформулировать следующий результат.
Теорема 3. Пусть х* Е D - положение равновесия системы (1), для, которого выполнены следующие условия: 1) функция h{x,y), определенная соотношением (5), имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности пары (х*,х*), 2) матрица А*, заданная, формулой (11), такова, что (I — А*) является, невырожденной М-матрицей. Тогда, положение равновесия, х* является, асимптотически устойчивым по Ляпунову и существует вектор £* Е Rm, £* >0, (I — А*) С > 0, такой, что для, любой начальной функции ф{б) Е Ф* = {ф Е Rm : х* — £* ^ ф ф х* + С*}, ф t ф 0, Пт/ . х ./•(/) = X*. я
Практическое применение теоремы 3 к исследованию системы (1) с начальным условием (2) предполагает несколько этапов. На первом этапе необходимо построить функцию g(xt, xt) так, чтобы д(х, у) удовлетворяла приведенному выше условию монотонности. Отметим, что для конкретной системы с конкретной правой частью такое представление может быть не единственным. На втором этапе требуется получить условия, при которых Q* = (I — А*) является невырожденной М-матрицей. Здесь, в частности, можно использовать следующие эквивалентные критерии: а) все главные миноры Q* положительны, б) существует такой у Е Rm, у > 0, что Q* у > 0, в) матрица Q~x существует и имеет неотрицательные элементы, г) все собственные числа матрицы Q* имеют положительные действительные части (иначе, матрица — Q* устойчива). Третий этап связан с построением вектора £*, задающего границы множества Ф*. Для этого следует решить систему неравенств QtX > 0, £, > 0. £ Е Rm. Затем нужно выбрать такое число q > 0, чтобы при £* = множество Ф* х Ф* содержалось
%'l£l + %2 £2 + ... + %'jCj + ■■■ + ajrn Cm < Cj; 1 Ф j Ф m. (13)
Следуя [4, с.175], норму матрицы А* будем задавать соотношением
т
(14)
k=1
бы в D* х D* и для всех точек v = col(u, из) £ Ф* х Ф* выполнялось неравенство ||-Р^(^)||я ^ ц* < 1. При вычислении этой нормы в качестве весовых множителей выбираются компоненты вектора С ■ Вместо оценки указанной нормы можно применить другой, по-видимому, более конструктивный численный способ. Он состоит в следующем. Число q > 0, как и ранее, выберем достаточно малым и зададим и0 = х* — q£, w° = х* + q£. Построим последовательности векторов
ип = h(un-\wn-1), wn = h{wn-1,un~1), п = 1,2,,,,, (15)
которые монотонно сходятся, соответственно, к векторам и* и из*. Если окажется, что и* = из*, то тогда х* - асимптотически устойчивое положение равновесия и множество Ф,; = {г У Rm : х* — q£, ф ф ф х* + q£,} служит оценкой области притяжения х*. В этом случае параметр q > 0 можно увеличить. Если же при выбранном q > 0 окажется, что и* ф из*, то этот параметр следует уменьшить, В обоих случаях вычисления повторяются заново, что дает возможность получить границы множества Ф*. Заметим, что при реализации описанного способа следует учитывать разрядность используемой ЭВМ и особенности выполнения арифметических операций,
3. Пример
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
xi(t) = 7x2(t - ш2) - Ai Xi,
x2(t) = f(xi(t - wi)) - X2x2, ПфО, (16)
Xi(t) = фхф) ф 0, x2(t) = ф2ф) ф 0, — max{wi, из2} ф t ф 0,
которая возникает при описании регуляции ряда процессов, протекающих в живых организмах. Переменная ад = Xi(t) означает концентрацию некоторого вещества в организме, которое вырабатывается со скоростью r'fx2(t — из2). Скорость распада этого вещества описывается слагаемым XiX\. Переменная х2 = x2(t) означает концентрацию гормонов, необходимых для выработки рассматриваемого вещества. Гормоны вырабатываются со скоростью f(xi(t — од)) и распадаются со скоростью \2х2. Здесь у > 0, Ai > 0, А2 > 0 - заданные параметры. Запаздывания ид > 0, из2 > 0 отражают определенные временные задержки, обусловленные протеканием процессов, не учитываемых в модели (16), Предполагается, что /(ад) является неотрицательной, непрерывной при 0 С a'l < х: функцией и относится к так называемым унимодальным функциям, Это означает следующее: а) /(0) = 0; б) существует такая точка ад > 0, что на интервале (0,ад) функция /(ад) монотонно возрастает, в точке ад - достигает своего наибольшего значения и на интервале (ад, оо) - монотонно убывает. Принимается также, что /(ад) имеет непрерывную, ограниченную по модулю производную на всем промежутке 0 ад < оо. Типичным примером такой функции служит /(ад) = аад/(Ь + а;"), ад ^ 0, о > 0, b > 0, п > 1 [10],
Перейдем теперь к обозначениям, принятым для системы (1), Имеем, что
где щ(ад,ад) = yx2(t - ид), g2(xt,xt) = f(xi(t - ид)). Так как у > 0, то получаем, что gi(xt,yt) = yx2(t — ui2). Для построения g2(xt,yt) используем подход, опирающийся на унимодальность функции /(ад). Можно записать, что /(ад) = пшД/Дац), f2(xi)}, где
Отсюда получаем, что g2(xt,yt) = mm{fi(xi(t — ид)), f2(yi(t — ид))}. Следовательно, функция /г(ад, ад, а/i, у2) = col{h\{x\, х2, у\, у2), /д(ад, ад, у\, у2)), заданная формулой (5), будет иметь вид
1 1
h(xi,x2,yi,y2) = — дад, h2(xi,x2,yi,y2) = — пшД/Дац), /2(2/1)}-Л1 л2
Пусть X* = col(xl, х2) - положение равновесия системы (16) е неотрицательными компонентами. Эти компоненты находятся как решения системы уравнений
Применим теорему 3 к исследованию асимптотической устойчивости положения равновесия х*, у которого ад < а/, В окрестности точки (х*, х*) имеем, что hi(xi,x2,yi,y2) = дад/Аь /д(ац, ад, уь у2) = /(*/i)/A2, так как по условию выбираются ад > ад, у\ > ад, Матрица П* имеет следующий вид:
Установим условия, при которых (/—А*) будет невырожденной М-матрицей. Для этого найдем решение системы неравенств относительно вектора
g(xi,xt) = col(gi(xt,xt), g2(xt,xt)),
Xi = 7x2fAi, x2 = f(xi)/A2, ад ^ 0, x2 ^ 0.
Отсюда получаем, что
£ = col (Cl, 6), £1 > 0, £2>0, (I — A*) £ > 0.
Рассматривая эту систему покомпонентно, получаем
£i-(t/Ai)£2>0, ~(\f(x*)\/А2)£1 + £2 > о, £1 > о, £2 > о.
Данная система имеет решение при условии, что \f(xl)\ < Л1Л2/7, которое и означает, что (I — А*) является невырожденной М-матрицей, Компоненты искомого вектора £ таковы, что Д > 0 - любое число, £2 = (7/^1) Д + А гДе £ > О - любое число. Именно этот вектор £ может быть использован в соотношениях (15) для построения приближенных границ области притяжения рассматриваемого положения равновесия.
х2
Рис. 1. Графическое представление положений равновесия системы (16).
В завершение приведем результаты расчетов для системы (16) с функцией f(xi) = осХ\ ехр(—о,х\ + b%i), где a > 0, a > О, b > 0 - некоторые параметры, выбираемые так, что эта система имеет три положения равновесия с неотрицательными компонентами. Графическое представление этих положений равновесия показано на рие,1. Примем, что параметры системы (16) равны: 7 = 2, Ai = 3, Л2 = 4, a = 2, о = 4,8; b = 5, Тогда Х\ = 0,675; х*13 = 0,727; х*3 = 1,09. Получаем, что \f'(x*l3)\ = 2,618 < Л, Л2/ - = 6 верно. Следовательно, указанное положение равновесия является асимптотически устойчивым. Подбирая вектор £ = со((Д, £2), параметр q > 0 и используя соотношения (15), получаем, что множество Ф* имеет следующий вид: Ф* = {ф Е R2 : 0,456 Д фг ф 0,997; 0,632 ф ф2 ф 1,548}. Тогда, если фф) Е Ф* при всех —гш ф t ф 0, то x{t) -Д х3 при t -д +оо.
Литература
1. Дьери И., Перцев Н.В. Устойчивость положений равновесия систем функционально-дифференциальных уравнений, обладающих свойством, смешанной монотонности. Применение к моделям биологических процессов: Препринт № 126. М.: ОВМ АН СССР, 1986.
2. Дьери И., Перцев Н.В. Об устойчивости положений равновесия функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего типа, обладающих свойством смешанной монотонности // ДАН СССР. 1987. Т.297, .\'".1. С.23-25.
3. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. М.: Наука, 1969.
4. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.
5. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем, уравнений со многими неизвестным,и. М.: Мир, 1975.
6. Gvori I. Global attractivity in delay differential equations using mixed monotone technique // J. of Math. Anal, and Appl. 1990. V.152, .V". 1. P.131-155.
7. Перцев Н.В. Об ограниченных решениях одного класса, систем, интегральных уравнений, возникающих в моделях биологических процессов // Дифф. уравнения. 1999. Т.35, Ж6. С.831-836.
8. Berman A., Plemmons R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York: Acad. Press, 1979.
9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
10. Mackey М.С., Glass L. Oscillations and chaos in physiological, control, system,s j j Science. 1977. V.197. P.287-289.
