Применение м–матриц для решения систем нелинейных неравенств специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2006. № 1. С. 12-14. ,.„., а

© P.O. Карелина, 2006 УДК 517Ш2 + 517'929'4

ПРИМЕНЕНИЕ М-МАТРИЦ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

P.O. Карелина

Омский государственный университет, кафедра математического моделирования

644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 16 декабря 2005 г.

The paper is concerned with systems of nonlinear inequalities end equations of a special kind. The properties of M-matrices and a method of simple iteration are used for solving these systems. As an example the system of the inequalities which right part contains unimodal function is studied. The proposed technique may be used for analysis the stability problem of steady-states for some delay differential equations.

1. Постановка задачи.

Пусть В - открытое выпуклое подмножество Ят с границей Б, В = В и Б - замыкание В. Неравенства между векторами и, ю € Кт будем понимать как неравенства между их компонентами. Запись и > 0 означает, что все компоненты вектора и положительны. Если и°,и<° € В, < и>°, то [м°,и>°] = {.г € Кт : и0 < х < ад0}. Введем функцию 1г(и,т), которая определена и непрерывна на множестве В х В и обладает следующим свойством монотонности: изотонна по и и антитонна по го, то есть /г(г(1,и>1) < /г(г(2,и>2) для всех пар (иг, ю1) € В х В, ¿ = 1,2, таких, что м1 < г(2, го1 > го2 .

Будем изучать следующую задачу: требуется найти пару и0, и<° € Кт , удовлетворяющую системе неравенств

(м°,и>°) ббхД и0 < го0,

и0 < 1г(и°, и<°), и>° > /г(и>°,«°), (1)

и такую, что система уравнений

= h(u,I

= /г (г

(и, -ш) € [и°, -ш0} х [и°, -ш0} (2)

имеет единственное решение. Эта задача возникает при исследовании устойчивости стационарных решений некоторых систем дифференциальных и интегральных уравнений, используемых в моделях биологических процессов [1,2].

2. Основной результат.

Для решения поставленной задачи используем стандартный подход, опирающийся на описанное выше свойство монотонности функции /г(м, го) [3,4]. Предположим, что существуют и0 ,

и<°, удовлетворяющие (1). Рассмотрим последовательности {■«"'}, {ш" }. заданные соотношениями

и" = Ци"-1,™"-1),

-ш" = Цы"-1, и"-1), п= 1,2,... (3)

Из (3) находим, что для ип, го™ выполнены неравенства

и0 < и1 < ... < ип < ...< wn ... w°.

п—>оо '' ■

Следовательно, существуют и* = lim w* = Цт„_юо wn, где и0 < и* < w* < w° и пара (u*,w*) является решением системы уравнений (2). Заметим, что каждая построенная пара (■u*,w*) определяет еще одно решение системы (2) в виде пары (w*,u*). Кроме того, равенство и* = w* является необходимым и достаточным для единственности решения системы (2).

Следуя [2], будем находить искомые и0, и<°, опираясь на решение х* вспомогательной системы уравнений

х = h(x, .г), х £ В.

(4)

Предполагая существование частных производных 1г(и, го) по всем аргументам, введем матрицу

= (счк), где

о-г к = dhi(x*,x*)/duk - dhi(x*,x*)/dwk > 0,

1 < i, к < т.

(5)

Наряду с А* рассмотрим расширенную матрицу

а: ах

А* =

AI

Решение систем нелинейных неравенств специального вида

13

полагая, что А£ = (а*к), А*2 = (Ъ*к), а элементы этих матриц таковы:

а*к = дк^х* ,х*)/дик > О,

Щк = —д1н{х*, х*)/д'Ш], > 0, 1 < г, к < т.

Заметим, что матрица (/ — А*) относится к матрицам специального вида, так как ее внедиаго-нальные элементы неположительны [5]. Предположим, что (1 — А*) является невырожденной М-матрицей. Тогда и расширенная матрица (1 — А*) также является невырожденной М-матрицей. Используя свойства таких матриц, получаем, что существует

Г е К2т, С = 2*)т, Г >о, {1-А*)С >о. (6)

Опираясь на результаты [2], можно сформулировать следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. Пусть .г* € В - решение системы (4), для которого функция /г(м, и>) имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности (.г*, х*) и (1—А*), является невырожденной М-матрицей. Тогда существует решение системы неравенств (6) такое, что пара и0 = .г* — ££, и<° = х* + удовлетворяет неравенствам (1) и система (2) имеет единственное решение.

Из теоремы 1 следует, что для нахождения вектора необходимо решить систему неравенств

(7-> о, ё>0, ёе Я2т. (7)

Решение (7) будем искать в следующем виде. Введем вектор г» £ В?т по правилу

£¿ = (0,... ,0,1,0,. ,.,0)т,

где на ьм месте стоит 1. Воспользуемся тем, что матрица (I — А* существует и имеет неотрицательные элементы, причем в каждой строке и в каждом столбце стоит хотя бы один положительный элемент. Пусть с» € (ОД), С» = (7 — ДТ1^, 1 < г < т. Тогда

га

¿=1

является решением системы (7).

Из (7) видно, что вектор £ находится с точностью до произвольного положительного множителя. Поэтому искомую пару (и0, и<°) можно строить в виде и0 = х* — г1, и<° = х* + г2, где вектор х = (Д,,г2)т задается как х = д£, д > 0 - некоторое число, подбираемое так, чтобы

) & В х В. Кроме того, необходимо обеспечить единственность решения системы (2). Здесь можно применить следующий способ. Число д > 0 выберем достаточно малым и зададим и0 = х* — и<° = х* + д£-2- Построим последовательности векторов (3), которые монотонно сходятся к и* и и>*. Если окажется, что и* = ю* = х*, то система (2) будет иметь единственное решение. В этом случае параметр д > 0 можно увеличить. Если же при выбранном д > 0 окажется, что и* ^ ю*, то этот параметр следует уменьшить. В обоих случаях вычисления повторяются заново, что дает возможность уточнить границы отрезка ад0]. При проведении расчетов необходимо следить за тем, чтобы хотя бы для одной из компонент векторов и0, и<° неравенства (1) были строгими. Примеры использования описанного итерационного процесса представлены в [2].

Рассмотрим частный случай. Пусть функция /г = /г(и) изотонна по и, а в качестве В выступает некоторый параллелепипед Р = {.г € Нт : 0 < XI < (¿¿, 1 < г < т}. Считаем, что /г(0) = 0. Будем искать решение системы неравенств

€ Р, > /г(и>°) (9)

такое, что система

и = /г(и), « 6 [0, ш°] (10)

имеет единственное решение.

Для нахождения и<° > 0, входящего в систему (9), используем схему доказательства из работы [1]. Так как Р - выпуклое множество, .г* = 0 -решение системы (10), 1г(и) > 0 для всех и € Р, то выберем и<° = х* + а х = а г, где а - число, £ € Кт . Обозначим через Ро = ие(х*)(~)Р некоторую окрестность точки х* € 6', понимая под ие(х*) е-окрестность х*. Будем считать, что все компоненты функции /г(м) имеют непрерывные частные производные первого порядка в Ро (включая саму точку .г*). Для фиксированного индекса 1 < г < т рассмотрим функцию Яг(сх) = к^ах), где а - независимая переменная, г - векторный параметр, причем аг € Ро. Можно записать, что

С}г(а) = С^^+а.С}'^ а) = (¡¿(а, Д а, 0 < ¿ц < 1,

га га

Д = = ^щк(а,

к=1 к=1 ац;(а, г) = аг)/дик > 0, 1 < ¿, к < т.

Подставляя и<° = а г в систему неравенств (9), получим, что ах > 1г(а г) = аА(а, г) г, где А(а, г) = (ац;(а, г)). Полагая а > 0, вектор .г будем находить из соотношений:

(/- А(а, г)) г > 0, г > 0. (11)

14

P.O. Карелина

Используя непрерывность частных производных функций /г.;(гг), 1 < г < т, получаем, что при а —>■ +0 имеет место сходимость: (/ — А(а, Д) —>■ (I — Ад), где матрица Ад = (а®к) имеет следующие элементы:

с4 = д}н{х*)/дик > 0, 1 < г, к < т. (12)

Примем, что (I — АЦ) является невырожденной М-матрицей. Тогда существует £ € Нт, £ > 0, такой, что (I — Ад) £ > 0. Вектор г, удовлетворяющий (11), будем искать в виде г* = д£, где д > 0 подбирается так, чтобы а г £ Рд. Обозначим (1-Ад) £ = г*. Имеем, что (1—А(а, г*)) г* = (1-А*д) + (А*д - А(а, ;*)) г* = д(г* + (А*0 -А(а, дО) О ■ При фиксированных д и £ имеет место сходимость А(а, д£) —>■ Ад при а —>■ +0. Так как г* > 0, то существует такое ад > 0, ад = скоС), чт0 {I ~ А(а, г*)) г* > 0 для любого 0 < а < ад. Задавая конкретное 0 < а < ад и соответствующий ему вектор г* , получим, что эти а и г* удовлетворяют (11). Тогда можно подобрать такие достаточно малые д > 0, ад > 0, что и<° = ад г* € Рд и верны неравенства (9).

Далее, следуя [1], можно показать, что найдется вектор та = ах* € Рд, удовлетворяющий (9), и такой, что система (10) будет иметь только одно решение ю* = х* = 0 на множестве Ра = {х & Р : 0 < х < №„} .

Опираясь на вышеизложенное, приходим к следующему результату.

ТЕОРЕМА 2. Пусть х* = 0 е в - решение системы (10), /г(м) имеет непрерывные частные производные первого порядка в Рд , (I — Ад) является невырожденной М-матрицей. Тогда существуют € Дт, Г > 0, (/ - До) Г > 0 и вектор и,о _ ^ такив5 чт0 выполнены неравенства (9) и система (10) имеет единственное решение.

3. Пример.

Рассмотрим систему неравенств и уравнений вида (9), (10), в которых

/гДич, и>2) = 7пи>2, /г2 (ич, и>2) = т2 / (ич), (15)

7 > 0, Т\ > 0, т2 > 0 - заданные параметры. Предполагается, что /(иД является неотрицательной, непрерывной при 0 < «ч < оо функцией и относится к так называемым унимодальным функциям. Это означает следующее: а) /(0) = 0; б) существует такая точка Х1 > 0, что на промежутке [0,.гД функция /('Ю1) монотонно возрастает, в точке XI достигает своего наибольшего значения и монотонно убывает на (,Г1,оо). Принимается также, что /(«ч) имеет непрерывную производную для всех 0 < «ч < Х1. Зададим параллелепипед Р = {.г £ К2 : 0 < XI < <¿1, 0 <

х-2 < с12}, где <¿1 = XI, 0 < с12 < оо - произвольное число. Имеем, что .г* = 0 является решением системы (10) для функции /г, заданной формулами (15). Применим теорему 2 для нахождения искомого вектора и<° . Запишем матрицу (I — Ад) в точке 'Ю = 0, используя формулы (12):

-г2/'(0) I17 )•

Опираясь на положительность главных миноров (I — Ад), получаем, что она будет невырожденной М-матрицей, если выполнено неравенство В = Д^2 7/'(0) < 1- Приведем результаты расчетов для рассматриваемой системы, в которой

/(иД = аи> 1 ехр(—Ь и>1 + си>Д

где 7 = 2, п = 1/3, т2 = 1/4, а = 2, Ъ = 4.8, с = 5. Тогда В = 1/3 < 1. Следовательно, условия теоремы 2 выполнены. Компоненты искомого вектора £ = (£1, £г)т таковы, что £2 = ¡'(0)Т21У/(1 -7ДГ2/'(0)) +1/, £2 =7Д£2 + *Л где V > 0 - любое число. Именно этот вектор £ используется в соотношениях

ад" = Ц-ш'"-1), п = 1,2,..., и>° = д£, (16)

где д > 0 - достаточно малое число. Варьируя параметры ь> > 0, д > 0 в итерационном процессе (16), получаем, что искомый вектор и<° имеет компоненты: и^ = 0.3149, и<2 = 0.2794 при V = 0.4695, д = 0.274. Для рассмотренной функции /г найденный вектор и<° удовлетворяет неравенствам (9), а система (10) имеет единственное решение х* = ю* = 0. Нетрудно показать, что аналитическое решение изучаемой системы неравенств приводит к такому же результату.

[1] Перцев Н.В. Применение монотонного метода и М-матриц к анализу поведения решений некоторых моделей биологических процессов // Сиб. журн. индустр. матем. 2002. Т. V. N. 4(12). С. 110— 122.

[2] Карелина P.O., Перцев Н.В. Построение двусторонних оценок для решений некоторых систем дифференциальных уравнений с последействием //Сиб. журн. индустр. матем. 2005. Т. 8. N. 4(24). С. 60-72.'

[3] Коллапщ Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

[4] Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

[5] Berman A., Plemmons R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York: Acad. Press, 1979.