Об одном способе оценки области притяжения асимптотически устойчивого решения системы дмфференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2015

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ISSN 2410-6070

УДК 517.926

О.Г. Антоновская

К.ф.-м.н., доцент Общетехнический факультет, кафедра математики Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

г. Нижний Новгород, Российская федерация

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ОЦЕНКИ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДМФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

В настоящей статье описывается прикладная методика оценивания области притяжения асимптотически устойчивого движения на основе применения прямого метода Ляпунова.

Ключевые слова

Динамическая система, пространство состояний, состояние равновесия, область притяжения

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследование структуры пространства состояний и зависимости ее от основных параметров системы является основной задачей качественного изучения динамики систем [1,2]. Решение этой проблемы позволяет ответить на ряд практически важных вопросов, таких, как определение характера установившихся движений в системе при произвольных начальных возмущениях, нахождение области устойчивости системы по начальным отклонениях и т. д.

Изучение макроструктуры пространства состояний непрерывных динамических систем по существу связано с исследованием их устойчивости в некоторых смыслах, и прежде всего, устойчивости «в малом», когда исследуется устойчивость равновесного состояния в некоторой малой его окрестности, и устойчивости «в большом», когда определяются или оцениваются размеры области притяжения равновесного состояния [3]. Область притяжения асимптотически устойчивого движения является одной из важнейших его количественных характеристик. А потому актуальны задачи не только точного ее построения, но даже ее оценивания [4]. Интерес к этому вопросу можно объяснить прежде всего потребностями для приложений и, в частности, необходимостью решения задач нахождения длительности переходных процессов в системах. При этом следует отметить, при решении задачи исследования устойчивости «в большом» нельзя пользоваться линейными моделями системы, т.к. факт их устойчивости не зависит от начальных отклонений. А значит, для изучения макроструктуры пространства состояний целесообразно использовать прямой метод Ляпунова, когда область притяжения оценивается множеством, ограниченным поверхностью уровня некоторой функции Ляпунова) [5].

В настоящей статье описывается один из способов оценивания областей притяжения устойчивых состояний равновесия непрерывных динамических систем на основе применения прямого метода Ляпунова.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть нелинейная непрерывная динамическая система задана системой дифференциальных уравнений

Xi = fi(Xl,X2> — *n), (i = (1)

Имеющей асимптотически устойчивое состояние равновесие Xi = X2 = ... = Xn = 0 . И пусть

функции fi имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Запишем (1) в виде [6]

11

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»

№9/2015

ISSN 2410-6070

Xi = ai1x1 + ai2x2 +...+ ainxn + Oi(x1,x2,...fxn), (i = 1,2,...n) (2)

- постоянные, равные значениям частных производных функций fi при

гДе aij =

Г м л

\дх,

\ j Jo

Xi = X2 = ... = Xn = 0, a - остаточные члены второго порядка в разложении по формуле Тейлора

1 n n д2 f

Ц( X1,X2,...Xn) = ~Z Z- ' xjxk

2 j=1k = 1dxj dxk

(i = 1,2,... n)

(3)

В силу непрерывности вторых производных для остаточных членов (3) на любом ограниченном множестве, содержащем неподвижную точку, можно указать оценку

где

д 21г

dXjdxk

Di(x1,x2,...xn)\ < C(x] + x2 +... + x2), C = Mn/2, (i = 1,2,... n) (4)

< M (i,j,k = 1,2,...n).

Требуется оценить размеры области притяжения асимптотически устойчивого состояния равновесия методом функций Ляпунова, ограничиваясь рассмотрением заданного множества |x; | < bi

(i = 1,2,...n).

3. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Рассмотрим положительно определенную квадратичную форму

v(x1,x2,...Xn) = Z ZKjxixj (Kn = K.n,i,j =1,2—,n).

i=1j=1

Jf

(5)

Лемма 1. Наибольшее значение координаты Xi на поверхности уровня V(X1,X2,...,Xn) = Vo функции (5) равно -\JVoAjj / det K , где Лц - алгебраическое дополнение элемента Кц в матрице K = (Kjj) , а det K - определитель матрицы K.

Доказательство. Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим случай переменной x1 . В качестве функции Лагранжа выберем

Тогда получим, что

dL

dx1

n n

L(x1,x2,...Xn,A) = X1 + Л( ZZ Kijxixj -Vo).

i=1J=1

1 + 2AZKjXj ,

J=1

dL

dx

к

2AZKjXj, J=1

n

n

(к = 2,...n)

dL

дЛ

n n

Z ZKjXiXj - Vo .

i=1j=1

Решая систему, получим, что

X1 + 2ЛVo = 0,

Л = ± 1

Ц

A11

V0 det K ’

(6)

(7)

(8)

(9)

12

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2015 ISSN 2410-6070

откуда, выбирая точку максимума, получим Xj max = VqAjj / det K . Случай других Xj рассматривается аналогично.

Непосредственно из леммы 1 следует следующее утверждение.

Лемма 2. Поверхности уровня V(Xj,X2,---Xn)= V> функции (5), вписанной в |x;| < bj

2

(i = j,2,...n), соответствует значение V>m = min{ bj det K / Ajj}.

i

Замечание. Утверждение леммы 2 получается приравниванием Xjmax = bt.

4. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

Выберем функцию Ляпунова в классе положительно определенных квадратичных форм (5) так, чтобы она была функцией Ляпунова соответствующей (2) линеаризованной системы

Xj = ajJXJ + aj2X2 + ... + ajnXn , (i = j,2,...n) (10)

и удовлетворяла при этом условию [7,8] maX(V/V) = —8 (2maX{ReAj} < —8 < Q), где

V=Vq j=j,n

n n

V(Xj,X2,...,Xn) = ZZKij(XiXj + XiXj) (11)

j=jj=j

первая производная (5) в силу линеаризованной системы, а Aj, A2,..,A , Aj < Q (j = 1,2,... n) -

собственные числа матрицы системы А = (ajj). В [9] показано, что выбор коэффициентов (5),

удовлетворяющей этому условию, можно осуществить с помощью простых явных соотношений.

Оценим первую производную такой функции Ляпунова для нелинейной системы (2) подобно [6].

Следует отметить, что, согласно лемме 1, в точках поверхности уровня V(Xj,X2,...,Xn) = Vq имеют место неравенства

|x,-| < CjJVQ, Cj =7Ajj /detK . (j = 1,2,...n)

Но тогда, согласно (4),

\Oj(Xj,X2,...Xn)<MjVQ, Mj = C(C1 + Cj +... + C2). (j = 1,2,...n)

Следует отметить, что первая производная (5) в силу нелинейной системы (2) будет иметь вид

~ n n

V(X1,X2,...,Xn) = V(Xj,X2,...Xn) + Z ZKjj(Xi°j +Xjni) ,

i=1j=1

(12)

(13)

(14)

где V(X1,X2,...Xn) есть первая производная (5) в силу уравнений линейной системы. А т.к. на сечении V(Xj,X2,...,Xn) <—8Vq, то, учитывая ограничения (12), (13), получаем, что

~ n n

V <—8Vq +ZZ K„(C,M. + C,Mi)VjyQ.

(15)

i=1j=1

Значит, неравенство V < Q будет обязательно выполняться, если

n n

— 8 + Z Z Kj\(C,Mj + CjMj ).V> < Q,

i = 1j = 1

поскольку VQ > Q . Т е. при

(16)

13

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»

№9/2015

ISSN 2410-6070

о <Jv0 <s (z Z|Ki\(c,Mj + CjMi))-' (17)

i=lj=1

первая производная в силу нелинейной системы будет отрицательной. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Область

Sy = \(x1,X2,...,xn):V(x1,X2,...rxn) < min{Vom,Voy}\,

где

n n

Voy = S2(z Z Kj (C/Mj + CjMi))-2,

(18)

(19)

i=1j=1

является оценкой снизу области притяжения асимптотически устойчивого состояния равновесия X1 = X2 = ...= Xn = 0 системы дифференциальных уравнений (2).

5. ИНТЕРЕСНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

Пусть все корни характеристического уравнения, соответствующего состоянию равновесия X1 = X2 = ..Xn = 0, действительны и различны, причем Л1 < Л2 < ... < Лп< < 0. В этом случае всегда существует линейное невырожденное преобразование координат, приводящее систему (10) к каноническому виду (столбцы матрицы преобразования координат являются собственными векторами

матрицы A, соответствующими собственным значениям Л1, Л2,...,Лп соответственно).

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

Xi = ?iiXi + Qi(X1,X2,...Xn), (i = 1,2,... n) (20)

Следует отметить, что согласно [8], квадратичную функцию Ляпунова для Системы (20) можно выбрать в виде

n — 2

v(Z1,Z2....4„) = Z Kdf + Kn.1n.1Sh + 2K„—y„Sn—A, + Kn„S2 , (21)

i =1

где

Kh,n = (1 — R(S))K„—,„—Km, R(S) = (Л—1 — л„)2(Л„—1 + л, — S)-2

(2Л3п <S<0).

(22)

Здесь Kii > 0, i = h2, ...n Kn —1, n —1Knn — Kl—1. n > 0 . Тогда

Ln—1,n

в силу доказанной теоремы,

получим

Следствие. Область

Sy ={(X1,X2,...,Xn):V(X1,X2,...Xn) < min{V0m, V0y } },

где

n

(23)

V0y = S2 (2(ZlKiCM + \K„—1,n\(C,„Mn—1 + Cn—Mn))-2, (24)

i=1

2 2 2 а V0m = min{bi Kii,i = 1,2,..., — 2,R(S)bn—1Kn—1 n—1,R(S)bnKnn, является оценкой

снизу области притяжения асимптотически устойчивого состояния равновесия X1 = X2 = ... = Xn = 0 системы дифференциальных уравнений (20).

14

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2015 ISSN 2410-6070

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Следует отметить, что доказанная выше теорема дает аналитическую оценку снизу области притяжения устойчивой неподвижной точки точечного отображения (2) и может применяться в задачах определения момента окончания переходного процесса в системе, описываемой системой вида (1). Однако полученное значение Vq для ее границы V = Vq может быть существенно занижено в сравнении со

значением Vq для сечения, реально вписанного в область притяжения. При необходимости для

расширения полученной оценки можно применять численные методы, отображая точки границы полученной области обратным ходом траекторий системы.

Список использованной литературы

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

2. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 336 с.

3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М. Наука, 1970. 240 с.

4. Горбунов А.В. Методы построения областей притяжения для нелинейных динамических систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 2009. 19 с.

5. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). М.: Высшая школа, 1981. 241 с.

6. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 207 с.

7. Антоновская О.Г. О построении квадратичной функции Ляпунова с заданными свойствами // Дифференциальные уравнения. Т.49, № 9. С. 1220-1224.

8. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. О выборе параметров квадратичной функции Ляпунова при решении динамических задач // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород: Изд -во ННГУ, 2014, 3(1). С. 103-108.

© Антоновская О.Г., 2015

УДК 614

Е.Г.Ковалева

к.т.н., ст. преподаватель кафедры «Защита в чрезвычайных ситуациях»

С.А.Кеменов

доцент кафедры «Защита в чрезвычайных ситуациях» Белгородский государственный технологический университет

им. В.Г. Шухова

А.И.Кудинова

преподаватель кафедры «Огневая подготовка» Белгородский юридический институт МВД России имени И.Д. Путилина

г. Белгород, Российская Федерация

ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЙ

Аннотация

Прогноз и предупреждения чрезвычайных ситуаций в настоящее время осуществляется в значительной мере на основе плохо формализуемых и вообще неформализуемых знаний, которые являются результатом многолетних наблюдений, опыта работы и интуиции специалистов.

В статье рассматривается блок-схема типичной экспертной системы и возможность её применения для прогнозирования чрезвычайных ситуаций.

15