CC BY
76
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, №3 (1), с. 103-1083
103
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517.925+518.61
О ВЫБОРЕ ПАРАМЕТРОВ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ПРИ РЕШЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
© 2014 г. О.Г. Антоновская, В.И. Горюнов
НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
olga.antonovsckaja@yandex.ru
Пд1тупила с оедакцию 03.02.2014
Решается вопрос о выборе параметров квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей условию ограниченности ее первой производной (первой разности) на заданном сечении.
Клюсесек 1лдса: математическая модель, непрерывная (дискретная) динамическая система, равновесное состояние, устойчивость, метод функций Ляпунова.
Введение
Метод функций Ляпунова [1], названный Н.Г. Четаевым прямым методом Ляпунова в теории устойчивости [2], находит все более широкие приложения к анализу разнообразных свойств математических моделей как непрерывных, так и дискретных динамических систем самой различной природы [3]. В то же время, продолжается развитие самого метода как математической теории. При этом основной является проблема расширения областей приложения метода функций Ляпунова, возникающая при решении конкретных задач [4].
Важное место в прямом методе Ляпунова занимает построение подходящей функции Ляпунова [1-3]. При определении устойчивости и получении качественных характеристик нелинейных непрерывных (дискретных) динамических систем, допускающих линеаризацию вблизи равновесных состояний, могут быть использованы функции Ляпунова квадратичного вида [3, с.120-132; 4, с. 33-45], построенные для соответствующих линеаризованных систем. При этом ставится не только задача построения квадратичной функции Ляпунова по ее первой производной (разности) [4-6], но и вопрос о построении квадратичных функций Ляпунова с некоторыми заданными свойствами, которые определяются особенностями исходной задачи, а именно: построение квадратичной функции Ляпунова, матрица которой имеет заданный спектр [7], построение квадратичной функции
Ляпунова с матрицей, у которой отношение наибольшего и наименьшего собственных чисел минимально [8, 9], и т.д.
При решении прикладных динамических задач интерес представляет изучение нелокальных свойств траекторий динамических систем, а следовательно, возникает задача выделения в пространстве состояний областей с подобным, в соответствии с определенным признаком, поведением траекторий. В частности, представляет интерес задача построения областей притяжения, которые траектория в дальнейшем не покидает. Для решения этой задачи также может быть использован метод функций Ляпунова [4]. В приложениях становится важным учет не только качественных, но и количественных характеристик системы, и поэтому возникает необходимость использования ограничений на свойства функций Ляпунова, позволяющих получать нужные оценки с заданной точностью [4, с. 94; 10]. В частности, такая ситуация возникает при численно-аналитическом способе оценивания областей притяжения асимптотически устойчивых множеств [3, с. 45-47; 4, с. 89-90] с помощью определения знака первой производной (первой разности) квадратичной функции Ляпунова V(х) на заданной поверхности уровня V(х) = V , а также в задаче нахождения момента окончания переходного процесса в системе, когда не только фиксируется момент попадания траектории в заданную окрестность равновесного состояния, но и гарантируется,
что в дальнейшем она этой окрестности не покинет [11]. Известно, что в математических моделях реальных систем рассматриваемая окрестность может быть неограниченным множеством фазового пространства системы [11]. В этом случае существенным является такой выбор параметров квадратичной функции Ляпунова, при котором выполнение неравенства V(х) < 0 (АV(х) < 0 ) обеспечивается с заданным (в том числе и максимальным [12, 13]) запасом.
В работе [14] обсуждается возможность такого выбора параметров квадратичной функции Ляпунова V(х), что выполнение неравенства
V(х) < 0 (АУ (х) < 0 ) обеспечивается с заданным (не обязательно максимальным) запасом для случая х е Rn, п е N, а также приводится доказательство того, что при п = 2 указанный выбор параметров V(х) может быть осуществлен с помощью явных соотношений. В настоящей работе уточняется методика выбора параметров квадратичной функции Ляпунова V (х) с помощью явных соотношений для случая п = 2 и предлагается методика выбора параметров при п > 2.
Построение квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничению на ее первую производную, для линейных дифференциальных систем
Согласно [14], для непрерывных динамических систем имеет место
Теорема. Пусть для системы дифференциальных уравнений вида
= 2у (" = 1,2,...,п)
симальное значение первой производной
п п
^д^ x2,..., хп) = 22 Ку (x¡xj + x¡xj) (3) "=1 у=1
на заданной поверхности уровня V (х1, х2,
...,хп) = V0 равно (где 2тах^еА;}<8<0),
■
если параметры функции Ляпунова удовлетворяют уравнению
Лп -8КП Л -8К.2 Л^ 5К„ "Л22 8К 22
Л,п -8Кщ Л2п -8К2п
А„ -8Кщ
Л2п -8К2п
Л„„ -8К„
= 0, (4)
(1)
х =2 аух"
у=1
корни А„А2,...,Ап характеристического уравнения, соответствующего состоянию равновесия х1 = х2 =... = хп = 0, имеют отрицательные действительные части. Тогда положительно определенная квадратичная форма
п п
v (Х1, x2,..., хп)=22 Кух>ху
"■=1 у=1
(Ку = Ку, У = 1,2,..., п) (2)
является функцией Ляпунова, для которой мак-
в котором
Лт = 2(К-а.т + Кла1т), к,т = 1,2,...,п . (5)
1=1
Для построения квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничению
тах^ / V) = 8 на ее первую производную, дос-
V =П
таточно воспользоваться данными приведенной теоремы. Действительно:
1. Предположим, что все корни характеристического уравнения действительны и различны: А1 <А2 <... <Ап. В этом случае всегда существует линейное невырожденное преобразование координат [1, с. 121]
х =2У (" = 1,2,...,п), (6)
у=1
приводящее систему (1) к каноническому виду
(■ = 1,2,..., п), (7) (столбцы матрицы В с элементами Ь у являются собственными векторами матрицы Л , соответствующими собственным значениям А1,А2,...,Ап). При этом квадратичные формы
V(x1, х2, ...,хп) и V(x1, х2,...,хп)перейдут соответственно в квадратичные формы &(^1, ^2,...,^) и &(£„ ^2,...,^), причем, согласно [13], тах^ / V) = тах(&/&),
У=У0 & =&0
тт^ / V) = тт(& / &), то есть можно строить
У=Уo
квадратичную функцию Ляпунова для канонической системы, для которой уравнения (5) суть
Лкт = (Ак +Ат)Ккт, к,т = 1,2,...,п , (8) а уравнение (4) имеет вид
(2А1 -8)К11 (А1 + А2 -8)К12
(А, +А, -
1 2 (2А 2 -8)К„
- 8)К12 2 22
(А1 + Ап -8)Кщ (А 2 + Ап -8)К2
(А1 + Ап -8)К1л (А 2 + Ап -8)К2п
(2Ап -8)Кпп
= 0,
(9)
О себдое паоаметодс ксадоатисбдй фубкции Ляпубдса пои оешебии дибамисе1ких задас
105
Заметим, что при п = 2, ввиду малой размерности, получается аналитическое решение задачи. Например, в случае действительных различных корней характеристического уравнения для канонической системы дифференциальных уравнений
(\ + Ь2 "8)^2 (2Ь2 "8)К22
V (%„ %2, £3) = КХ + К 22 %2 + + 2К 23^2^3 + К 33^2-
V (%„ ^2,-, %п ) =
i=1 .=1
(15)
+ Кп-1, п-1^И"1 + 2КП"1,П^П"1^П + Кпп%п
(К. = К^, 7,. = 1,2,..., п),
= 0, (10)
(2^1 "8)КП (Ь + Ь2 " 8)К1; а значит,
К,22 = (1 " ВД)КПК22, R(8) = (^ -Ь2)2(Ь + Ь2 "8)"2 (2Ь2 <8< 0). (11) При Кп = 1 по заданному К22 > 0 можно определить два значения К12 для функции с max(V / V) = 8. Можно также считать, что зада-
V
ны К11 = К22 > 0, тогда в силу (11) находятся
два значения К12 для функции с max(V / V) = 8.
V=^0
При этом найденным параметрам функции Ляпунова будут отвечать два корня уравнения вида (10), соответствующие наибольшему и наименьшему значениям первой производной на линии уровня, причем 81 +82 = 2(А,1 + Ь2), и
если 8тт = 8 , то 8ш« = 2(Ь1 + Ь2 ) " 8 .
При п = 3 решение задачи о нахождении параметров квадратичной функции Ляпунова по уравнению (9) с заданным 8 в общем случае становится намного более сложным [14]. В этом случае функцию V%2,%3) можно искать в виде
где
К-Щ = (1 " R(8))Kn"1,n"1Knn , (16)
R(8) = (Ьп-,-Ьп)2(^п-1 + Ьп "8)"2
(2^3п <8< 0).
В частности, условию (16) будет удовлетворять функция
V (%, ^2,..., % п ) = 2 КЛ2 +
7 = 1 (17)
+ Кп-1,п-1%п-1 + 2Кп-1,п%п-1%п + Кпп%п .
2. Связь между параметрами К11, К12, ..., Кпп в случае существования комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения является более сложной. Так, при п = 2, когда 2 = ц ± /V и система приведена к каноническому виду
% =м% %2 +ц%2, (18)
параметры функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничению max(V / V) = 8, связаны соот-
V
ношением
(Кп + К22 )2 = С(8)(КПК22 - К2), (19)
С(8) = (2ц-8)2V-2 + 4 (2ц<8<0). (20) При К11 = К22 > 0 для нахождения значений
где
(12) К12 получаем соотношение
Уравнение вида (9) принимает вид (13), и, следовательно, для получения квадратичной
функции Ляпунова с max(V / V) = 8 достаточно
V=^0
задать некоторое значение К11 > 0 и по нему выбрать К22 , К23 , К33 в соответствии с условиями
К 23 = (1 - R(8))Kзз К22, (14)
R(8) = (Ь2 - Ь3)2(Ь2 + Ь3 - 8)-2 (2Ь3 < 8 < 0), как в случае п = 2 .
В общем случае при п > 2 квадратичную
функцию Ляпунова с max(V / V) = 8 для кано-
V=^0
нической системы можно искать в виде
((2ц-8)2 V-2 + 4)К2 = (2ц-8)2 V-2К2 . (21) При п = 3 квадратичную функцию Ляпунова, удовлетворяющую заданному ограничению, можно искать в виде (12), где
(К33 + К22)2 = С(8)(К22К33 - К23), (22)
а Ь2 3 = ц ± /V .
При п > 2 квадратичную функцию Ляпунова с max(V / V) = 8 для канонической системы це-
V=Vo
лесообразно искать в виде
V (%1, %2 ,..., %п ) =22 Ку%7 % . +
7=1 .=1
+ Кп-1, п-1% и-1 + 2Кп-1,п%п-1%п + Кпп%
(23)
+
(2Ь - 8)КП 0 0
0
(2Ь2 - 8)К22 (Ь2 3 -8)КВ
0
(Ь2 3 -8)К23
(2Ь3 -8)К33
= 0
(13)
(Ку = Ку, ", У = 1,2,..., п),
где
(Кпп + Кп-1,п-1)2 = С(8)(Кп-1,п-1Кпп - К1щ), (24) а Ап-1,п =ц±™ , и в виде (17) где К"-1,"-1 = К а , если переменные соответствуют паре
комплексно-сопряженных корней, для которых
Яе А"-!," < Яе Ап-1,п.
Построение квадратичной функции
Ляпунова, удовлетворяющей ограничению на ее первую разность, для линейных точечных отображений
Согласно [14], для дискретных динамических систем имеет место следующая
Теорема. Пусть для точечного отображения вида
х=2у ("=1,2,...,п)
(25)
у=1
корни z1,z2,...,zn характеристического уравнения, соответствующего неподвижной точке х1 = х2 =... = хп = 0, лежат внутри круга единичного радиуса. Тогда положительно определенная квадратичная форма
п п
v (x1, x2,..., хп)=22 Кух'ху "=1 У=1
(Ку = К■, у = 1,2,., п) является функцией Ляпунова, для которой максимальное значение первой разности
АV (x1, x2,..., хп ) =
= V (х1, х2 ,..., хп ) - V (х1, х2 ,..., хп )
на заданной поверхности уровня V (х1, х2,
(26)
(27)
дует рассмотреть случаи действительных и комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
1. Предположим, что все корни характеристического уравнения действительны и различны: z1 < z2 <... < zn. В этом случае всегда существует линейное невырожденное преобразование координат [15]
х =2Ьу^ (" = 1,2,..., п), (29)
у=1
приводящее систему (26) к каноническому виду \ = z,■ ^ (" = 1,2,..., п), (30) и поэтому квадратичные формы V (х1, х2, ..., хп )и АV(x1, х2,..., хп) перейдут соответственно в квадратичные формы &^2,...,£,п) и
^2,..., £,п), причем, согласно [13], max(АV / V) =
v=v0
= тах(А&/Щ), min(АV/ V) = тЬ(АГ /Щ).
&=у0 v=v0 ш=ш0
Это позволяет построить квадратичную функцию Ляпунова для канонической системы, для которой уравнения (28) суть
Лкт = ^ - 1)Кт, к,т = 1,2,...,п, (31) а уравнение (4) имеет вид (32).
При п = 2 получается аналитическое решение задачи. Так, в случае действительных различных корней характеристического уравнения для канонической системы дифференциальных уравнений
-1 -8)КП (-1 -8)К1: (-1 -8)К12 (222 -1 -8)К22
= 0, (33)
а значит,
К2 = (1 - Л(8))КПК 2
...,хп) = V равно 8V0 (где тах{|zi| }-1 <8<0),
/
если параметры функции Ляпунова удовлетворяют уравнению (4), в котором
Лкт = 22 Кака,т -Кт, к,т = 1,2,...,п . (28)
=1 у =1
Данными приведенной теоремы можно воспользоваться для построения квадратичной функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничению max(АV / V) = 8 на ее первую разность.
v =П
При этом, как и для непрерывных систем, сле-
Л(8) = (1 + 8)(z1 - z2)2(-1 -8)-2
(z22 -1 < 8 < 0). (34)
Считая К11 = 1, по заданному К22 > 0 можно определить два значения К12 для функции с
max(АV / V) = 8 . Можно также считать, что зада-
V
ны К11 = К22 > 0, тогда в силу (11) находятся два
значения К12 для функции с max(АV / V) = 8 .
v ^0
При этом найденным параметрам функции Ляпунова будут отвечать два корня уравнения вида (34), соответствующие наибольшему и наи-
2 -1 -8)КП (2122 -1 -8)К12
(2122 - 1 -8)К12 (222 - 1 -8)К22
(212п - 1 -8)Кщ (222п - 1 -8)К2
(212п - 1 -8) Кщ (222п - 1 -8)К2п
(2„2 -1 -8)Кпп
= 0
(32)
О выборе параметров квадратичной функции Ляпунова при решении динамических задач
107
(zf -1 -8)KU 0 0
0
0
(zf -1 - 8)K22 (z2 z3 -1 - 8)K2 (Z2Z3 -1 -8)K2f3 (zf-1 -8)Кзз
= 0
(35)
меньшему значениям первой производной на заданной линии уровня, причем 81 + 82 =
= 212 + 2^ - 2 . Очевидно, что если 8т;п =8, то
8тах = 22 + 222 - 2-8 .
При п = 3 решение задачи о нахождении параметров квадратичной функции Ляпунова по уравнению (33) с заданным 8 в общем случае становится намного более сложным [14]. Однако функцию V£,3) можно по-прежнему искать в виде (12). Уравнение вида (33) в этом случае принимает вид (35), а значит, для получения квадратичной функции Ляпунова с
max(АV / V) = 8 достаточно задать любое зна-
V
чение К11 > 0 и выбрать по нему соответствующие К22, К23, К33, удовлетворяющие условиям
К223 = (1 - Л(8))К33 К 22, Л(8) = (1 + 8)(23 - 22)2(2322 -1 -8)-2
(232 -1 < 8 < 0). (36)
В общем случае п > 2 квадратичную функцию Ляпунова с max(АV / V) = 8 для канониче-V
ской системы можно искать в виде (15), где
Кп11,п = (1 - Л(8))Кп-1,п-1Кпп ,
Л(8) = (1 + 8)(2п - ^(2п2п_. -1 - 8)-2 (37) (2^2 -1 <8< 0). В частности, этому условию будет удовлетворять функция (17).
2. Связь между параметрами К11,К12,...,Кпп в случае существования комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения является более сложной. Так, при п = 2, когда 212 = ц ± /V и точечное отображение приведено к каноническому виду
= м4х -^2, |2 = + ц^, (38) параметры функции Ляпунова, удовлетворяющей ограничению max(АV / V) = 8, связаны со-
V=Vo
отношением (19), где
С(8) = (ц2 + V2 -1 - 8)(1 + 8)-1 V-2 + 4
(ц2 + V2 -1 < 8 < 0). (39)
При К11 = К22 > 0 для нахождения значений К12 получаем соотношение
((Ц2 + v2 -1 - 8)(1 + 8)-1 V-2 + 4)K2 = (40) = (ц2 + V2 -1 -8)(1 + 8)-1 V-2K222. ( )
При n = 3 квадратичную функцию Ляпунова, удовлетворяющую заданному ограничению, можно искать в виде (12), (39), где z2 3 = ц ± iv.
В общем случае n > 2 квадратичную функцию Ляпунова с max(AV / V) = 8 для канониче-
V=V0
ской системы можно искать в виде (15), (39), где z„-1,„ = Ц ±iv , и в виде (17), где Ki-1,i-1 = Ka,
если переменные соответствуют паре
комплексно-сопряженных корней, для которых
|zi-1,i| < \zn-1,n| .
Заключение
Результаты, полученные в настоящей работе, позволяют осуществлять выбор параметров квадратичной функции Ляпунова для непрерывных (дискретных) динамических систем произвольной размерности при учете ограничения величины ее первой производной (первой разности) и могут быть использованы при построении условно-экстремальной функции Ляпунова [16].
Список литературы
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Изд-во техн.-теор. лит., 1950. 472 с.
2. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1966. 207 с.
3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.
4. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983. 334 с.
5. Smith R.A. // Journal of Differential Equations. 1966. V. 2. № 2. P. 208-217.
6. Muller P.S. // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 18. № 3. P. 682-687.
7. Сарыбеков Р.А. // Сиб. мат. журн. 1977. Т. 18. № 5. С. 1159-1167.
8. Хусаинов Д.Я., Юнькова Е.А. // Укр. мат. журн. 1984. Т. 36. № 4. С. 528-531.
9. Комаров Ю.А., Хусаинов Д.Я. // Укр. мат. журн. 1983. Т. 35. № 6. С. 750-753.
10. Пропой А.И. // Автоматика и телемеханика. 2000. № 4. С. 51-60.
11. Антоновская О.Г., Горюнов В.И., Лобашов Н.И. // Динамика систем. Управление и оптимизация. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 59-72.
12. Антоновская О.Г. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 11. С. 1562-1563.
13. Антоновская О.Г. // Изв. вузов. Математика. 2004. № 2(501). С. 19-23.
14. Антоновская О.Г. // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 9. С. 1220-1224.
15. Неймарк Ю.И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. № 1. С.41-66.
16. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2006. Вып. 3(32). С. 110-117.
ON THE CHOICE OF PARAMETERS OF A QUADRATIC LYAPUNOV FUNCTION FOR SOLVING DYNAMIC PROBLEMS
O. G. Antonovskaya, V.I. Goryunov
The article considers the choice of parameters of a quadratic Lyapunov function satisfying the boundedness condition of its first derivative (difference) for a given section.
Keywords: mathematical model, continuous (discrete) dynamical system, equilibrium state, stability, Lyapunov function method.
References
1. Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustojchi-vosti dvizheniya. M.-L.: Izd-vo tekhn.-teor. lit., 1950. 472 s.
2. Chetaev N.G. Ustojchivost' dvizheniya. 3-e izd. M.: Fizmatgiz, 1966. 207 s.
3. Barbashin E.A. Funkcii Lyapunova. M.: Nauka, 1970. 240 s.
4. Kosyakin A.A., Shamrikov B.M. Kolebaniya v ci-frovyh avtomaticheskih sistemah. M.: Nauka, 1983. 334 s.
5. Smith R.A. // Journal of Differential Equations. 1966. V. 2. № 2. P. 208-217.
6. Muller P.S. // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 18. № 3. P. 682-687.
7. Sarybekov R.A. // Sib. mat. zhurn. 1977. T. 18. № 5. S. 1159-1167.
8. Husainov D.Ya., Yun'kova E.A. // Ukr. mat. zhurn. 1984. T. 36. № 4. S. 528-531.
9. Komarov Yu.A., Husainov D.Ya. // Ukr. mat. zhurn. 1983. T. 35. № 6. S. 750-753.
10. Propoj A.I. // Avtomatika i telemekhanika. 2000. № 4. S. 51-60.
11. Antonovskaya O.G., Goryunov V.I., Lobashov N.I. // Dinamika sistem. Upravlenie i optimizaciya. Gor'kij: Izd-vo GGU, 1989. S. 59-72.
12. Antonovskaya O.G. // Differencial'nye uravne-niya. 2003. T. 39. № 11. S. 1562-1563.
13. Antonovskaya O.G. // Izv. vuzov. Matematika. 2004. № 2(501). S. 19-23.
14. Antonovskaya O.G. // Differencial'nye uravne-niya. 2013. T. 49. № 9. S. 1220-1224.
15. Nejmark Yu.I. // Izv. vuzov. Radiofizika. 1958. T. 1. № 1. S.41-66.
16. Antonovskaya O.G., Goryunov V.I. // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2006. Vyp. 3(32). S. 110-117.
