CC BY
41
Д. В. Ефимов, А. Л. Фрадков
УСЛОВИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ ПО ЯКУБОВИЧУ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ*
1. Введение
Понятие колебания как процесса, обладающего той или иной степенью повторяемости, претерпело за время существования значительные изменения. На рубеже Х1Х-ХХ веков выяснилось, что линейных моделей колебаний недостаточно для описания новых явлений и процессов в физике и технике. Потребовалось развитие соответствующего математического аппарата — теории нелинейных колебаний, основы которого были заложены в работах А. Пуанкаре, Б. Ван-дер-Поля, А. А. Андронова, Н. М. Крылова и
Н. Н. Боголюбова [1, 2, 3]. Важнейшим в теории нелинейных колебаний является понятие устойчивого предельного цикла — периодической траектории, к которой сходятся все другие траектории (по крайней мере, траектории с близкими начальными условиями).
В прикладных задачах, однако, периодичность часто оказывается слишком сильным требованием, и возникает необходимость в разработке удобной для практики теории непериодических колебаний. Этапами развития такой теории явились теория почти-периодических функций Х. Бора и теория рекуррентных функций Дж. Биркгофа и А. Пуанкаре. Еще более широкое определение колебательности было предложено В. В. Немыцким в 1963 г. [4]. Однако эффективных критериев существования колебаний в смысле Немыцкого до сих пор получено не было [3].
Удобный и практически полезный подход к изучению сложных колебательных режимов основан на понятии колебательности (автоколебательности), введенном в 1973 г. В. А. Якубовичем [5]. В рамках этого подхода получены частотные условия колебательности для класса так называемых систем Лурье, состоящих из номинальной линейной части и нелинейности в цепи обратной связи [3, 5-8]. Для исследования системы использовались функции Ляпунова на основе квадратичной формы переменных состояния линейной части системы. Полученные критерии колебательности были распространены на импульсные системы [9, 10] и системы с неограниченными решениями [8]. Среди применений можно отметить задачи анализа колебаний в системах регулирования [6], фазовых системах [3, 8], хаотических системах [11]. Хотя в первых работах свойство колебательности понималось как нежелательная альтернатива устойчивости, в дальнейшем область применений расширилась. Например, развитый аппарат был применен В. А. Якубовичем к интересной задаче Смейла — исследованию возможности возникновения колебаний при соединении нескольких неколебательных (асимптотически устойчивых) систем (клеток) [7, 12, 13].
При изучении многих физических и механических процессов более естественной является декомпозиция системы не на линейную и нелинейную части, а на две или несколько нелинейных частей. При этом функции Ляпунова при исследовании систем строятся на основе функций энергии подсистем, которые, вообще говоря не являются квадратичными. Условия колебательности и методы синтеза колебаний для такого класса систем были предложены в работах [14, 15]. В настоящей работе усиливаются некоторые результаты [14, 15].
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00869).
© Д. В. Ефимов, А. Л. Фрадков, 2006
2. Колебательность по Якубовичу
Рассмотрим систему вида
* = П X ), (1)
где х € Кп —вектор состояния; f — непрерывная и локально липшицевая вектор-функция. Для начальных условий хо € Кп пусть х( Ь, хо) —единственное максимальное решение системы (1), определенное на интервале [0, Т). Если для всех хо € Кп выполнено Т = +то, то говорят, что система (1) наделена свойством продолжимости решений.
Напомним, что непрерывная функция а : К+ ^ К+ принадлежит классу К, если она строго возрастающая и а (0) = 0; она принадлежит классу Кто, если она принадлежит классу К и радиально неограничена; говорят, что непрерывная функция в : К+ х К+ ^ К+ принадлежит классу КЬ, если она принадлежит классу К по первому аргументу для любого фиксированного значения второго и строго убывает до нуля для возрастающего второго аргумента при любом фиксированном значении первого.
Определение 1. Для а, в € К и а < в функция ф : К ^ К называется (а, в)-колебательной при Ь ^ + то, если ф( Ь) ограничена и выполнены следующее соотношения:
Ит ф{Ь) > /3, Цщ ф{Ь) < а.
4^+ оо 4^+ оо
Функция ф : К ^ К называется колебательной по Якубовичу для Ь ^ + то, если существуют некоторые константы а и в такие, что ф( Ь ) является ( а, в )-колебательной при Ь ^ + то.
Система (1) называ,ется колебательной по Якубовичу по выходу ф = г/( х) если для
почти всех хо € Кп решения х( Ь, хо) системы ограничены и для почти всех начальных
условий выполнено
Ищ ф(х(г,х0))< Ит ф(х(^х0)). (2)
4^+ оо 00
Для векторной функции выхода ф система (1) называется колебательной, если колебательным является хотя бы один компонент выхода. Аналогичным образом вводится колебательность при Ь ^—то. Выполнение свойства (2) требуется для почти всех решений, поскольку в прикладных задачах возможно наличие исключительного множества начальных условий нулевой меры, для которых соответствующее решение системы (1) не будет колебанием.
Отметим, что в первоначальных формулировках [5, 7] вместо условия ограниченности траекторий требовалась диссипативность системы (существование ограниченного множества, в которое сходятся все траектории системы). Следующее утверждение является вариантом «простейших критериев колебательности» [5, 7], возникающим при замене диссипативности по Левинсону на ограниченность. Оно доказывается аналогично [5].
Теорема 1. Пусть f(х) = Ах + Ву>(у), у = Сх (здесь А, В, С —матрицы соответствующих размерностей, <р : Кр ^ Кт — непрерывно-дифференцируемая функция), все решения системы (1) ограничены. Пусть все матрицы Цу = А + В д(р( С Ху )/<9у, где Ху —решения уравнения Ах + Вс£>(Сх) = 0, имеют хотя бы одно собственное число с положительной вещественной ча,стью и не имеют чисто мнимых собственных чисел. Тогда система является колебательной по Якубовичу. Если все собственные числа матриц Цу имеют положительные вещественные части, то множество начальных условий К, для которых решения не являются колебаниями по выходу у при £ —> + то, имеет вид К = { х : х = Ху }.
Свойство колебательности по Якубовичу для системы (1) означает, что вспомогательный выход ф = п( х) ограничен, но не стремится ни к какому постоянному значению. Например, для систем Ван-дер-Поля
Х1 = Х2;
Х2 = £ (1 — Х2 ) Х2 — Х1, £ > 0 ,
или Лоренца
Х1 = а (Х2 — Х1 ), а > 0 ;
Х2 = ГХ1 — Х2 — Х1 хз, г > 0;
Хз = —Ьхз + Х1 Х2, Ь> 0 ,
в качестве п( х) можно выбрать любую из координат вектора состояния х* (г = 1, 2 для системы Ван-дер-Поля и г = 1, 2, 3 для системы Лоренца). В этом случае почти для всех начальных условий (за исключением единственного положения равновесия этих систем) решения стремятся либо к предельному циклу, либо к странному аттрактору. Для системы Ван-дер-Поля константы а и в будут соответствовать размаху предельного цикла по координате х*, а для системы Лоренца эти константы будут определять геометрический размер странного аттрактора.
Для маятника
Х1 = Х2 ;
Х2 = —ш2 вт( х1 ), ш € К,
любая из координат также может быть выбрана в качестве колебательного выхода при следующем ограничении на множество начальных условий:
Н(Х1 (0),Х2(0)) < 2ш2,
где Н(Х1,Х2 ) = 0.5 х2 + ш2(1 — сов( Х1)) —функция энергии (гамильтониан) этой системы. Данное ограничение охватывает множество положений равновесия, задаваемое уравнениями Н(Х1(0),Х2(0)) = 0, Н(Х1(0),Х2(0)) = 2ш2 и имеющее нулевую меру по Лебегу, стартуя с которого решения не являются колебательными. Для Н(Х1 (0), Х2 (0 )) > 2 ш2 решения этой системы являются неограниченными и, следовательно, система не удовлетворяет требованиям определения 1.
Отметим, что в теореме есть ограничительные условия. В частности, требование неустойчивости положений равновесия не позволяет применить теорему 1 к система с особыми точками типа «центр», например, к классическому осциллятору Дуффинга з
Х1 = Х2 , Х2 = Х1 — Хз1 , имеющему три положения равновесия, для двух из которых матрица Якоби имеет чисто мнимые собственные числа.
3. Условия колебательности для нелинейных систем общего вида
Предложенные в [3, 5, 6] и ряде других работ результаты позволяют получить частотные условия колебательности для класса систем Лурье, состоящих из номинальной линейной части и нелинейной обратной связи по выходу. Однако при изучении многих физических и механических процессов возникает необходимость анализа систем, допускающих декомпозицию на две нелинейные части (например, механические системы с функцией энергии, выполняющей роль функции Ляпунова одной из подсистем). Требование существования единого колебательного выхода для всех начальных условий также сужает возможность данного подхода для анализа колебаний в сложных нелинейных системах. Представляет интерес развитие методов анализа и синтеза колебаний на такой класс систем. Один из вариантов такого развития представлен ниже [14, 15].
Определение 2. Решение х( Ь, хо, 0)схо Є Кп системы (1) называется [п-,п+ ]-колебанием по выходу ф = п( х), где п : Кп К —непрерывная функция, если решение определено для всех і > 0 м выполнено условие Пт ф(Ь) = 7г~; Ит ф(Ь) =
4^+ оо оо
п+; —то < п- < п+ < + то. Решение х( Ь, хо) для хо Є Кп системы (1) называется колебательным, если для него существует выход ф такой, что это решение является [п-,п+ колебанием по выходу ф для некоторых —то < п- < п+ < + то. Система (1) называется колебательной, если для почти всех хо Є Кп решения системы х( Ь, хо) колебательные. Система (1) и( Ь ) = 0,Ь > 0 называется равномерно колебательной, если существуют непрерывная функция п : Кп ^ К и константы — то < п- < п+ < + то такие, что для почти всех хо Є Кп решения х( Ь, хо) являются [ п-,п+ ] -колебаниями по выходу ф = п( х ).
Отметим, что константы п- и п+ являются точными минимальным и максимальным значениями выхода ф( Ь) в асимптотике. Следовательно, для вычисления этих величин необходимы точные оценки на решения системы, получение которых затруднительно для системы общего вида. Однако, информации о границах величин п- и п+ достаточно для получения оценок на амплитуду колебаний в системе. Отметим также, что для равномерно колебательных систем величины п- и п+ не зависят от начальных условий.
Как и в случае определения 1, для систем Ван-дер-Поля и Лоренца в качестве колебательного по определению 2 выхода ф = п( х) можно выбрать любую координату вектора состояний. Для маятника координата Х2 будет являться колебательным выходом системы для почти всех начальных условий. Действительно, при ограничении Н(хі(0),х2(0)) < 2ш2, как и ранее, координаты хі и Х2 являются колебательными выходами системы. При Н(хі(0),х2(0)) > 2ш2 неограниченно возрастает только координата хі, а координата х2 удовлетворяет всем условиям колебательности. Кроме того, системы Лоренца и Ван-дер-Поля являются равномерно колебательными в смысле определения 2, а маятник — просто колебательной. Действительно, для первых двух систем для всех начальных условий любая из координат вектора состояния будет являться колебательным выходом системы с общими верхним и нижним пределами, не зависящими от начальных условий. Для маятника координата х2 также является общим выходом для всех начальных условий, но значения констант п- и п+ по этому выходу зависят от начальных условий.
Условия существования колебаний в системе (1) сформулированы в следующей теореме, уточняющей результат [14].
Теорема 2. Пусть существуют две непрерывные и лока,льно липшицевые функции Ляпунова VI : Кп+1 ^ К+, V! : Кп+1 ^ К+, удовлетворяющие для всех х Є Кп, Ь Є К+неравенствам и і ( | х |) < VI ( х,Ь ) < и2 ( | х |), и3 ( | х |) < V2( х,Ь ) < и4 ( | х |), иі,и2,из,и4 Є Кто; дVl/дt + Ь{( x)Vl( х,Ь) > 0 для 0 < |х| < Хі, х Є 2,Ь > 0;
д Т/2/дЬ + Ь{(:х)У2( х, Ь ) < 0 для |х| > Х2, х Є 2, Х1 < и-1 о и2 о и-1 о и4( Х2 ) Ь > 0, где 2 С Кп — некоторое множество нулевой меры, не содержащее целых траекторий системы. Если множество
П = { х : и-1 о и1( Х1 ) < |х| < и-1 о и4( Х2 ) }
не содержит положений равновесия системы х = f (х), область притяжения которых имеет положительную меру, то система (1) является колебательной.
Подчеркнем, что для непрерывных и локально липшицевых функций VI и V соответствующие производные определены почти всех Ь > 0.
Доказательство теоремы 2. При анализе свойств системы х = f(х) ограничимся множеством начальных значений вектора состояния, не содержащим положения равновесия системы (которые образуют множество 2). Тогда согласно условиям теоремы решения системы определены как минимум локально, и из условия У2 < 0 для |х| > Х2 следует глобальная ограниченность решений системы (определенных в этом случае для всех Ь > 0). В силу ограниченности траектории х( Ь), Ь > 0, для нее существует не пустое компактное и замкнутое ш-предельное множество, содержащееся в множестве П. Действительно, функция У2( Ь) асимптотически удовлетворяет неравенству У2( Ь ) < и^( Х2 ) при | х( Ь ) | < и—1 ои4( Х2 ). Используя аналогичные рассуждения, можно показать, что функция У1( Ь) ограничена сверху и ее значения удовлетворяют оценке У1( Ь ) > г>1( Х1), откуда | х( Ь ) | > и—1ои1( Х1). По предположению, множество П не содержит положений равновесия замкнутой системы. Следовательно, ш-предельное множество траектории х( Ь) также не включает в себя таких инвариантных подмножеств. Тогда существует индекс г, 1 < г < п такой, что решение является [ п-,п+ ]-колебанием по выходу ф = | Хг | для и—1 о Ц>1( Х1 ) < п- < п+ < и—1 о и4( Х2 ). Предположим, что не существует такого выхода. Это означает, что для всех 1 < г < п для ф = | Хг | выполнено равенство п- = п+. Однако подобное может быть выполнено только для положений равновесия, которые по предположению исключены из множества П, что является противоречием. Следовательно, для почти всех начальных условий существует колебательный выход, что по определению 2 означает колебательность системы (1). Теорема доказана.
Как и в работе [6], в качестве функции У для определения свойства локальной неустойчивости системы в нуле можно использовать функцию Ляпунова линеаризованной в окрестности начала координат системы. Далее, требование существования функции Ляпунова У2 может быть сведено к свойству ограниченности решений системы х( Ь ) с известной верхней границей, которая может быть оценена с использованием других подходов, не касающихся анализа свойств производной по времени функций Ляпунова. В этом случае утверждение теоремы 2 может быть приближено к результату теоремы 1. Дополнительно, условиям теоремы 2 удовлетворяют такие системы как осциллятор Дуффинга. Действительно, решения системы ограничены, ее линеаризация в начале координат имеет собственное число с положительной вещественной частью, а два других положения равновесия не имеют областей притяжения, т. е. система колебательна по Якубовичу в смысле определения 2.
В теореме 2 формулируются достаточные условия колебательности системы (1). Оказывается, что для равномерно колебательной системы эти условия являются также и необходимыми.
Теорема 3. Пусть система (1) является равномерно колебательной по выходу ф = п( х) где п : Кп ^ К — непрерывная функция, удовлетворяющая неравенствам
Х1( |х|) < п( х ) < Х2 ( |х| ), Х1,Х2 €КЖ,
а множество начальных условий, для которых система 2 = {0} не колебательная. Тогда существуют две непрерывные и локально липшицевые функции Ляпунова У : Кп+1 ^ К+ и У2 : Кп+1 ^ К+, для всех х € Кп и Ь € К+ удовлетворяющие неравенствам
и1 (| х |) < У1 ( х,Ь ) < и2 ( | х |), из ( | х |) < У2( х,Ь ) < и4 (| х |), иьи2,из,и4 € Кто; дУ1/дЬ + Ь{(х,о)У1(х,Ь) > 0 для 0 < |х| <х—1(п- );
дУ2/дг + Lt (XQ) V2( x,t) < 0 для |x| > x-1( n+ ).
Доказательство основано на применении следующих двух лемм.
Лемма 1. Пусть существует константа r > 0 такая, что для решений системы (1) выполнено свойство
0 < |xo| <r ^ |x( t, xo)| > r, t > Tx0, 0 <Tx0 < +ж.
Тогда существует функция У1( x,t) — непрерывная и лока,льно липшицевая по первому аргументу и непрерывно дифференцируемая по второму аргументу, такая, что для всех x € Rn, t > 0
ui ( | x |) < Vi( x,t) < U2 ( | x |), ui,u2 € Кж,
и для всех t > 0, 0 < |x| < r выполнено
dVi/dt + Lf(x)Vi(x,t) > 0.
По условиям леммы 1 для всех начальных условий xo, удовлетворяющих ограничению 0 < |xo| < r, решения x( t, xo) системы (1) локально неустойчивы. В этом случае, согласно результату леммы, у системы (1) необходимо существует функция Ляпунова с положительно определенной полной производной по времени.
Доказательство леммы 1. Для |xo | < r введем в рассмотрение следующую функцию:
v( xo )= inf |x( t, xo)|.
o<t<Tx0
По условиям леммы будет выполнено v(0) = 0 и v(x) > 0 при 0 < |x| < r. Кроме того, для 0 < |x| < r верно неравенство |v(0) — v( x )| < v( x) < |x| = |0 — x|,
означающее непрерывность функции v в нуле. Для функции v на множестве |x| < r также верно соотношение
S( |x|) < v( x) < |x|,
где S( s ) = s (1 + s )-i inf v( x ) —непрерывная и строго возрастающая функция,
|x| >s
S(0) =0. Отметим, что по построению
v( xo )= o<<n<T |x( ^ x0)|, T > Txo .
Тогда свойство локальной липшицевости функции v на множестве 0 < |x| < r следует из выполнения следующих неравенств для любых xi, x2 из этого множества и некоторых L > 0, M > 0, T = max{ Txi ,Tx2}:
|x( t, xi) — x( t, x2)| < M|xi — x2|, ||x( t, xi)| — |x( t, x2)|| < L|xi — x2|, t < T;
L.if|x(^xi)|— .if|x(^x2)|| < sup ||x(^xi)| — |x(^x2^;
o<t<T o<t<T o< tKT
|v( xi ) — v( x2 )| = | o<in<T |x( t, xi)|—o<in<T |x( t, x2 ) || <
< sup ||x( t, xi)| — |x( t, x2)|| < L |xi — x2| .
o t T
Для |x| > r доопределим функцию v так, чтобы для всех x € Rn функция v : Rn ^ R+ была непрерывна и локально липшицева, и для всех x Rn удовлетворяла неравенствам
Ui ( | x |) < v( x ) < U2 ( | x |) ,
где ui, U2 € Кж и ui( s ) < S( s), s < U2( s ) для s < r. По построению для начальных
условий |xo| < r выполнено
v( t) = v( x( t, xo)) > v(x( 0, xo)) = v( 0 ),
тогда Dv( x) f (x) > 0 для |x| < r. Выберем Vi( x,t) = v( x) k( t), где k : R+ ^ R+ — непрерывно дифференцируемая функция со следующими свойствами для всех:
«i < k( t) < «2, 0 < k1 < к2 < + ж; dk/dt > 0.
Например, в качестве функции k( t) можно выбрать следующую:
, «i + «21 . «2 — «i
t(,) = —! *(<) = (T+Tp
Тогда для всех x Rn и t > 0 выполнено
Ui (| x |) < Vi( x,t) < U2 ( | x |), ui( s ) = «iUi( s ), U2( s ) = «2U2( s );
dVi/dt + Lf (x)Vi( x,t) > 0 для 0 < |x| <r, t > 0.
Лемма 2. Пусть существуют константы R > 0,Tr xo > 0 такие, что для решений системы (1) выполнено:
|xo| >R ^ |x( t, xo)| <R при t > Tr,x0 .
Тогда существует функция V2( x,t) — непрерывная и локально липшицевая по первому аргументу и непрерывно дифференцируемая по второму аргументу, такая, что для всех x € Rn, t > 0
из ( | x |) < У2(x,t) < U4 (| x |), U3,U4 € Кж,
и для всех t > 0, |x| > R выполнено
dV2/dt + Lf (x)V ( x,t) < 0.
По условию леммы 2 множество A = { x : |x| < R } — глобально притягивающее и
инвариантное для решений системы (1) при нулевом входе.
Доказательство леммы 2. Для |xo| > R введем в рассмотрение следующую
функцию:
v(xo ) = sup |x( t, xo)|. t>o
По условию леммы при |x| > R будет выполнено v( x) > R. Кроме того, в силу
непрерывности решений системы (1) по начальным условиям для любого е > 0 существует S > 0 такое, что для tmax = max{ Tr,xi , Tr,x2 } справедливо соотношение xi €Rn, x2 €Rn, |xi — x2 | < S ^|x( t, xi) — x( t, x2 )| < e, t < tmax.
Очевидно, что sup |x( t, x*)| = sup |x( t, x^)|, i = 1, 2. Тогда для любых таких
tmax >t>o t>o
начальных условий |xi — x2| < S, |xi| > R, |x21 > R выполнено
|v( xi ) — v( x2 )| =
sup |x( t, xi)|— sup |x( t, x2)
tmax t o tmax t o
< 2 е,
что означает непрерывность функции v для |x| > R. На множестве |x| > R для
функции v также верно соотношение
|x| < v( x) < S( |x|),
где S( s ) = s + sup v( x ) —непрерывная и строго возрастающая функция. Свойство
|x| <S
локальной липшицевости функции v на множестве |x| > R следует из выполнения
следующих неравенств для любых xi, x2 из этого множества и некоторого L > 0:
||x( t, x i ) | |x( t, x2 )|| < L|xi — x2 |, t < tmax,
|v( xi ) — v( x2 )| =
sup |x( t, xi)|— sup |x( t, x2)
tmax t o tmax t o
<
<
sup {|x( t, xi)| — |x( t, x2)|}
tmax>t>o
< L |xi — x2| .
Для |x| < R доопределим функцию v так, чтобы для всех x € Rn функция v : Rn ^ R+ была непрерывна и локально липшицева, и для всех x Rn удовлетворяла неравенствам
u3 ( | x |) < v( x ) < U4 (| x |),
где U3, U4 € KO и s < из( s), U4(s) < S( s) для s > R. По построению для начальных условий |xo| > R выполнено
v( t) = v( x( t, xo)) < v (x( 0, xo)) = v(0).
Следовательно, Dv( x) f (x) < 0 для |x| > R. Выберем V2 ( x,t) = v( x) k( t), где k : R+ ^ R+ — непрерывно дифференцируемая функция со следующими свойствами:
«3 < k( t) < «4, 0 < «3 < «4 < + ж; dk/dt< 0.
Например, в качестве функции k( t) можно выбрать k( t) = «3 +( «4 — «з ) e-t, k( t) =
(«з — «4 ) e-t. Тогда для всех x € Rn и t > 0 выполнено
U3 (| x |) < У2( x,t) < U4 ( | x |), из( s ) = «зиз( s ), U4( s ) = «4U4( s );
dV2/dt + Lf (x)V2( x,t) < 0 для |x| > R, t > 0.
Доказательство теоремы 3. Равномерная колебательность системы (1) по выходу ф = n( x) означает, что почти для всех начальных условий существуют такие константы — ж < п- < < + ж, что
lim ?y(x(t,x0)) = lim ф(1) = тт~; lim rj(x(t,x.0))= lim ф(1)=гк+.
В силу свойств функции п это означает, что все регулярные решения системы стремятся в область П = { х : х—1( п- ) < х < х—1( п+ ) }. Тогда существуют постоянные Х1 <
X- (п- ) и Х2 > х- (п+ ) такие, что выполнены условия лемм 1 и 2 для г = Х\ и К = Х2, откуда следует существование функций Ляпунова У и У.
Для равномерно колебательных систем с единственным положением равновесия в начале координат теоремы 2 и 3 дают необходимые и достаточные условия колебательности. Как уже отмечалось, примерами равномерно колебательных систем с единственным положением равновесия служат системы Ван-дер-Поля и Лоренца. Продемонстрируем на этих примерах применимость предложенного подхода.
4. Примеры
1. Рассмотрим модель Ван-дер-Поля. Согласно теореме 2 для проверки этой системы на наличие свойства колебательности необходимо построить две функции Ляпунова, позволяющие установить локальную неустойчивость и глобальную ограниченность решений системы. Так как данная система имеет только одно положение равновесия в начале координат, то множество О не будет содержать данное положение равновесия. Проанализируем свойства следующих функций Ляпунова:
У (х) = 0.5 (х\ + х2 )
У2( х) =0.5 (е-1х2 - 2XI + 1/3х1 )2 + 1/12х4,
чьи полные производные по времени, взятые в силу уравнений системы, имеют вид
У
£ X — £ Хп X
22
2х1
У = -
2
2-4
х1-
Х2
7^\
2
х4
3 £
2
Н—
£
Функция VI является строго положительной для всех 0 < | Х1 | < 1 и Х2 =0, однако подмногообразие Х2 =0 не содержит инвариантных решений системы вне положения равновесия в начале координат, следовательно, У( £) > 0 для почти всех £ > 0, таких, что 0 < | (^) | < 1 и | х | < Х\ =Ф У > 0, где Х\ = 1. Отметим, что схожие
выводы были получены в [16] для Х\ = а/3. Локальная неустойчивость также может быть обоснована с использованием свойств линеаризованной системы, чьи собственные числа всегда имеют положительную вещественную часть для £ > 0:
А
1,2
± л/е2 -4 2 '
Исследуя функцию У можно получить неравенство
Х2 <
т
В этом примере функции и1( в ) = и2 ( в ) = 0.5 в2, функции из( в ) и и4 ( в ) могут быть построены численно для данного значения £. Отметим, что функция Ляпунова, аналогичная У2 для доказательства ограниченности решений уравнения Ван-дер-Поля была предложена также в [17], где, однако, она не является гладкой.
2. Рассмотрим модель системы Лоренца с параметрами а = 10, г = 97 и Ь = 8/3. Известно, что у выбранной модели при заданных значениях параметров наблюдается хаотический режим движения. Проверим условия теоремы для этой системы. С этой целью отметим, что матрица линеаризованной в начале координат системы
А
-а а 0
г -1 0
0 0 Ь
2
2
х
1
£
£
2
2
3
имеет при выбранных значениях параметров одно собственное число с положительной вещественной частью. Следовательно, система локально неустойчива. Проанализируем полную производную по времени от функции
откуда следует глобальная ограниченность траекторий системы Лоренца. Все требования теоремы 2 удовлетворены и данная система является равномерно колебательной в смысле определения 2.
5. Индексы возбудимости
Свойство колебательности, сформулированное в определении 2, представлено для нулевого входа и произвольных начальных условий в системе (1). Нижеследующее определение развивает свойство колебательности на случай ненулевого входа для заданных начальных условий [14, 15, 18].
Рассмотрим управляемую систему вида
где х € Кп, и € Кт, у € Кр —векторы состояния, входа и выхода соответственно; f — непрерывная и локально липшицевая равномерно по и векторная функция. Пусть вход и( Ь) является измеримой по Лебегу и локально ограниченной почти везде функцией и : К+ ^ Кт. Символом ||и||[ 1о 1 ] обозначим обозначим норму и(Ь ):
Если Т = + то, то будем просто писать У и ||. Обозначим через Ы^т множество всех таких измеримых по Лебегу входов и со свойством || и || < + то. Для начальных условий хо Є Яп и входа и Є Ы^т пусть х( Ь, хо, и) —единственное максимальное решение системы (1), определенное на интервале [0,Т). Если для всех хо Є Яп и и Є Ы^т выполнено Т = +то, то говорят, что система (3) наделена свойством продолжимости решений.
Определение 3. Пусть и Є Ы^т, хо Є Яп такие, что решение х( Ь, хо, и) системы (3) определено для всех І > 0. Тогда функции х—( 1 ),Х+ (1), называемые нижним и верхним индексами возбудимости системы (1) в точке хо по выходу ф = п( х), где п : Яп ^ Я — некоторая непрерывная функция, определяются для 0 < ^ < + то следующем образом:
Нижний и верхний индексы возбудимости по выходу ф для системы (3), наделенной свойством продолжимости решений, определяются как
V ( х,у, г ) = 0.5 ( а 1х2 + у2 + (г — г )2 ) ,
которая для рассматриваемой системы примет вид
V = —х2 + ху — у2 — Ьг2 + гЬг < —0.5х2 — 0.5у2 — 0.5Ьг2 + 0.5Ьг2,
х = f(х, и),
(3)
І|и||[ І0,і ] = еЭ8 Эйр {\ и( І ) | , І Є [ Іо,Т ] } .
Е(7)
и||<7
Аналогичным способом можно ввести индексы возбудимости по произвольному векторному выходу ф = n( x). При этом индексы будут векторами той же размерности. Последнее свойство было введено только для фиксированных начальных условий в силу того, что для произвольных начальных условий индексы возбудимости могут иметь сложную форму зависимости от нормы входа.
Для ненулевого входа значение х+ ( Y ) — х- (Y ) соответствует максимальной (на заданном множестве входов У u У < y) асимптотической амплитуде сигнала ф(х(Ь)). Следовательно, индексы возбудимости характеризуют способность системы к вынужденным или управляемым колебаниям, вызванным входом, ограниченным величиной 7.
Стоит подчеркнуть целесообразность вычисления оценок значений х- ( Y ) и х+ ( Y ) для всех величин 0 < y < + го. Действительно, пусть для данной системы максимальная амплитуда колебаний достигается для некоторого уровня входного сигнала Y* и для всех y > Y* амплитуда колебаний убывает. Индексы х- ( Y) и х+ ( Y) в этом случае для
Y > Y* сохранят свои значения. Следовательно, для определения критического уровня y* входного воздействия, необходимо построить полные графики функций х— ( Y ) и х+ ( Y ). Полученная характеристика оказывается тесно связана с исследованным недавно в работе [19] (для задачи подавления колебаний) коэффициентом Коши (Cauchy gain). Действительно, п+ — п-, или х+Хо ( u) — х- Хо ( u) являются асимптотическими амплитудами сигнала ф( t) в смысле [19] для случаев нулевого и отличного от нуля входа u, в то время как х+ (Y) служит оценкой коэффициента Коши для системы (3).
С другой стороны индексы возбудимости характеризуют робастность свойства колебательности, введенного в определении 2. Действительно, если для некоторых 0 < Y*<Y< + го выполнено х— (Y ) = х+( Y), то это означает потерю системой свойства колебательности для входных сигналов с амплитудой большей y*. Однако отсюда не следует, что любой вход (с амплитудой большей Y*) разрушает колебания в системе в силу того, что в определении 3 ищется максимум по всем входам. Аналогичный вывод верен для случая х+ (Y ) = + го.
Продемонстрируем связь между колебательностью и индексами возбудимости системы.
Следствие 1. Пусть для системы (3) при u = k(x) выполнены все условия теоремы 2 и решение x( t, xo, u), xo G Rn, u = k( x )(k : Rn ^ Rm —непрерывная функция) является [ п-,п+ ]-колебанием относительно некоторого выхода ф = n( x ) в смысле определения 2. Тогда
п+ — п- < и-1 ° и4( Х2 ) — V-1 О Vl( X1 ) ,п+ — п- < х+,х0 ( Y ) — х-,х0 ( Y ^ где y У Y*, Y* = SUP I k(x) |, Г = и-1 о v4 (max {X2, | x0 |} ).
I x |<r
Таким образом, для вычисления оценок индексов возбудимости достаточно найти некоторое управление k для системы (3), гарантирующее колебательность в замкнутой системе. Для построения «возбуждающей» обратной связи k(x) можно использовать, например, метод скоростного градиента [20].
Доказательство следствия 1. Согласно результатам теоремы 2 решение системы (3) с обратной связью k удовлетворяет ограничению | x( t) | < Г для всех xo G Rn и t > 0. Тогда вход u = k( x) ограничен сверху величиной y *, и результат следует из определений 2 и 3.
Развитие результатов этого раздела на случай динамических нелинейных систем с запаздыванием получено в работе [21].
6. Заключение
В работе рассмотрено свойство колебательности по Якубовичу. Уточняются известные результаты и формулируются необходимые и достаточные условия равномерной колебательности по Якубовичу для нелинейных систем. Приводятся оценки области колебаний для нелинейных динамических систем со статической нелинейностью в цепи обратной связи.
Summary
D. V. Efimov, A. L. Fradkov. Conditions of Yakubovich oscillatority for nonlinear systems.
The known results are improved and the necessary and sufficient conditions of Yakubovich oscillatority for nonlinear systems with feedback are presented. The oscillation region for systems with static nonlinearity in a feedback loop is evaluated.
Литература
1. Андронов А. А., Витт А., Хайкин С. Е. Теория колебаний. М.: Наука, 1959.
2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
3. Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый А. И. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992.
4. Немыцкий В. В. Колебательные режимы многомерных динамических систем // Труды Междунар. симп. по нелинейным колебаниям. Киев, 1963. T. 2. C. 308-314.
5. Якубович В. А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной стационарной нелинейностью // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. №5. С. 1100-1129.
6. Якубович В. А. Частотные условия колебаний в нелинейных регулируемых системах с одной однозначной или гистерезисной нелинейностью // Автоматика и Телемеханика. 1975. №12. С. 51-65.
7. Томберг Э.А., Якубович В. А. Условия автоколебаний в нелинейных системах // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. №4. С. 180-195.
8. Буркин И. М., Леонов Г. А. Неограниченная колебательность нелинейных регулируемых систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1975. №7. C. 23-28.
9. Гелиг А. Х. Условия автоколебательности нелинейных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1985. №1. С. 10-15.
10. Гелиг А. Х. Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1993. 268 с.
11. Fradkov A. L., Pogromsky A. Yu. Introduction to control of oscillations and chaos. Singapore: World Scientific, 1998.
12. Pogromsky A., Glad T., Nijmeijer H. On diffusion driven oscillations in coupled dynamical systems // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 1999. Vol. 9. N 4. P. 629-644.
13. Томберг Э.А., Якубович В. А. Об одной задаче Смейла // Сибирск. математ. журн. 2000. Т. 41. №4. С. 926-928.
14. Ефимов Д. В., Фрадков А. Л. Условия колебательности нелинейных систем со статической обратной связью // Автоматика и телемеханика. 2005. №2. С. 92-107.
15. Efimov D. V., Fradkov A. L. Excitation of Oscillations in Nonlinear Systems under Static Feedback // Proc. IEEE CDC 2004. Bahamas, 2004. P. 2521-2526.
16. Hayachi C. Nonlinear oscillations in physical systems. New York: McGraw-Hill, 1964.
17. Ласалль Дж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.
18. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003.
19. Sontag E. D. Asymptotic amplitudes and Cauchy gains: A small gain principle and an application to inhibitory biological feedback // Systems and Control Letters, 2002. Vol. 47, p. 167179.
20. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. Сер. «Анализ и синтез нелинейных систем». СПб.: Наука, 2000.
21. Efimov D. V., Fradkov A. L. Oscillatority Conditions for Nonlinear Systems with Delay. Proc. IEEE DCD-ECC 2005. Seville, 2005. P. 6245-6249.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2006 г.
