CC BY
38
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 517.977
А. Е. Голубев
ГЛОБАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ОЦЕНКЕ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 1
Рассмотрена задача стабилизации положений равновесия нелинейных динамических систем с управлением при помощи обратной связи по оценке состояния системы экспоненциальным наблюдателем. Приведены основные методы построения экспоненциальных наблюдателей для нелинейных систем с управлением. Показана справедливость глобального принципа разделения для класса нелинейных систем. Построен закон управления, стабилизирующий заданное положение гибкого однозвенного робота-манипулятора при измерении только углового положения вала двигателя.
При решении задач управления динамическими системами полный вектор состояния системы часто неизвестен, а измерению доступны лишь некоторые функции переменных состояния — выходы системы. Одним из путей решения проблемы неполноты измеряемой информации о состоянии системы является получение оценки вектора состояния на основе данных о значениях выходов с помощью наблюдателя — специальной динамической системы, состояние которой с течением времени достаточно быстро приближается к состоянию исходной системы. Основная проблема при построении наблюдателя состоит в том, чтобы обеспечить заданную динамику уменьшения ошибки наблюдения. Обычно желательным является ее экспоненциальное по времени убывание.
Предположим, что для задачи стабилизации положения равновесия динамической системы найдено решение в виде обратной связи и(х) по состоянию и известна оценка X состояния х системы, получаемая с помощью наблюдателя. Тогда можно рассмотреть управление, кото -рое получается из обратной связи заменой состояния системы на его
1Работа выполнена при поддержке гранта Российского Фонда фундаментальных исследований №02-01-00704, гранта государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2094.2003.1 и гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Министерства образования России №А03-3.16-208
оценку. Ошибку е = х — х оценки состояния системы с помощью наблюдателя можно интерпретировать как возмущение, действующее на систему через управление и(х) = и(х + е). Возникает вопрос, будет ли полученное таким образом управление в виде обратной связи и(х) по оценке состояния системы решением задачи стабилизации.
Для линейных стационарных систем ответ на этот вопрос положителен и соответствует известному принципу разделения [1]: если для линейной стационарной системы построен экспоненциальный наблюдатель и найдена линейная обратная связь, глобально асимптотически стабилизирующая заданное положение равновесия при известном векторе состояния, — то при соответствующей обратной связи по оценке вектора состояния глобальная асимптотическая устойчивость положения равновесия сохраняется. Для нелинейных систем в общем случае ответ на этот вопрос отрицателен: известны примеры нелинейных систем, к которым принцип разделения неприменим [2]. Причина этого — возможное явление неограниченного возрастания решений системы с управлением и(х) за конечное время, прежде чем ошибка е = х — х оценки состояния системы с помощью наблюдателя сойдется к нулю [3].
Справедливость локального нелинейного принципа разделения показана в работе [4] для класса детектируемых систем с непрерывной правой частью, асимптотически стабилизируемых непрерывной обратной связью по состоянию. Более поздние результаты [5, 6] касаются асимптотической стабилизации в большом локально липшицевых нелинейных систем с использованием так называемых наблюдателей с высокими коэффициентами усиления [7]. Глобальная асимптотическая стабилизация аффинных систем, допускающих построение экспоненциальных наблюдателей с помощью геометрического метода [8-10], подробно рассмотрена в работе [11].
В настоящей работе рассматривается задача глобальной стабилизации заданного положения равновесия х = х*, и = и* нелинейной динамической системы с управлением, имеющей вид
х = f(х, и), у = Н(х), (1)
где х Е И" — вектор состояния системы; и Е — управление; у Е Кр — измеряемый выход системы; f (•, •) и Н(-) — достаточно гладкие функции своих аргументов, f (х*, и*) = 0.
Получены условия глобальной асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем вида (1) с управлением и = и(х + е), где и(х) — обратная связь по состоянию, глобально стабилизирующая заданное положение равновесия системы, е — асимптотически убывающее по времени возмущение. Установлен класс нелинейных динамических систем вида (1), для которых выполняется глобальный принцип
разделения. Принцип разделения позволяет решать задачу стабилизации системы при неполном измерении состояния в два этапа. Сначала строится стабилизирующая обратная связь по состоянию. Затем на основе информации о значениях выхода системы строится наблюдатель. В результате подстановки состояния наблюдателя вместо состояния системы в стабилизирующую обратную связь получается управление, являющееся решением рассматриваемой задачи стабилизации при выполнении принципа разделения.
Для примера применения полученных теоретических результатов решена задача стабилизации заданного положения гибкого однозвен-ного робота-манипулятора при измерении только углового положения вала двигателя.
Экспоненциальные наблюдатели для нелинейных динамических систем с управлением. В настоящее время известны следующие основные подходы к построению глобальных экспоненциальных наблюдателей для нелинейных систем с управлением.
Рассмотрим сначала случай, когда нелинейная динамическая система (1) является аффинной по управлению и имеет вид
т
х = А(ж) + В3(ж)и, у = Л,(ж), (2)
3 = 1
где ж Е И" — вектор состояния системы; А(ж) и В3(ж), ] = 1,т, — гладкие векторные поля на И"; у Е Кр — выход системы, Л,(ж) = = {^(ж), ..., ЬДж)}, Нг(ж) Е С~(К"), г = Т7Р; и = К ..., Пт)т Е Е Ит — векторное управление. Так называемый геометрический метод построения наблюдателя основывается на преобразовании системы (2) к специальному каноническому виду [9, 12]
XX =
/А1 0 0 А2
0 0
^ 0 0 ... Ар /
X +
ФАхП^ Ф2(х11,
. , хпр ) ^
хр ) ' ч А"« )
V ФЛх"
+
. , хга„ ) /
+
3=1
( Ь13 (х.
Ь2 3 (х"1
\ (х"1
1
"15 •
I хпр )
хр ) ? Апп /
хр )
ч Апр )
из = Ах + Ф(хПг
. . 1 хпр) +
т
+ ^Вз(х"1 ,...,хПр)из1 у = н(хП1 ,...,хПр); (3)
3=1
здесь п = (п, ...,пр) — мультииндекс наблюдаемости [12]; хк =
= (х",,..., х"к)т, к = — пк-мерные вект°ры; х = (х1,..., хр)т;
Лк = (ак), к = 1,р, — квадратные матрицы порядка пк c элементами ак = 1, если % — ] = 1, и ак = 0, если г — ] = 1. Отметим, что, в частности, векторные поля В^, ] = 1,т, в системе (3) могут быть постоянными.
Если отображение у = Н (х",,..., х"р) обратимо, т.е. (х",,... ... ,х"р)т = Н-1 (у), то экспоненциальным наблюдателем для системы (3) является динамическая система
х = Лх + ьс (х — х) + Ф (х",,..., хрпр) + X] 4 (х",,..., хрпр )и,
¿=1
(х", ,...,х"р )т = Н-1(у), (4)
где С = (Су), % = 1,р, ^ = 1,р, — блочная матрица с элементами С^ = С, С — матрицы-строки длины п. Если % = ^, то С = (0,..., 0,1). Если % = , то Су = О-?, где О-? — нулевая матрица-строка. В системе (4) матрица Ь размерности пхр определяет динамику ошибки оценки состояния.
Для дальнейших построений в этом случае можно использовать методы, применяемые при построении линейных наблюдателей, и обеспечить экспоненциальное убывание ошибки по крайней мере в канонических координатах. Действительно, уравнение ошибки е = х — х оценки наблюдателем (4) состояния системы (3) при любом (но одинаковом) управлении в системах (3), (4) имеет вид
е = (Л + ЬС )е, (5)
где матрица Ь коэффициентов усиления наблюдателя выбирается так, что матрица Л + ЬС имеет собственные числа только с отрицательными действительными частями. Следовательно, ошибка оценки состояния не зависит от управления и экспоненциально стремится к нулю. Функция Ляпунова для системы (5) имеет следующий вид [13]:
^(е) = етРе, ^(е) = —етде < — Лт1п|е|2,
где |-| — евклидова норма в И"; матрицы Р = Рт > 0, д = дт > 0 удовлетворяют уравнению Ляпунова (Л + ЬС)тР + Р(Л + ЬС) = —д, решение которого существует в силу указанного выше выбора спектра матрицы Л + ЬС. Здесь через Лш1п(-) обозначено минимальное по модулю собственное значение матрицы. Далее будем также использовать обозначение Лтах(•) для максимального по модулю собственного значения матрицы.
Подробно геометрический метод построения наблюдателя для нелинейных динамических систем без управления рассмотрен в работах [8-10], а для систем с управлением, например, в работе [12].
Отметим, что глобальность результатов обеспечивается в случае, когда соответствующие замены переменных определены глобально, отображение у = Н(х",,..., х"р) обратимо во всем пространстве состояний и при некотором управлении и любое решение х(£) системы (3) определено при всех I > 0.
Аналогичный подход может быть развит для нелинейных динамических систем вида (1), не являющихся аффинными по управлению. Предположим, что существует замена переменных, преобразующая систему (1)к виду
х = Лх + Р(у, и) у = Сх, (6)
где х Е И"; Л Е К"х", С Е — постоянные матрицы; пара (Л, С) детектируема; р(-, •) — достаточно гладкая функция своих аргументов. Экспоненциальный наблюдатель для системы (6) имеет вид
х = Лх + ЬС (х — х)+ Р(у,и) у = С х, (7)
где Ь Е К"Хр — матрица коэффициентов усиления наблюдателя.
Уравнение ошибки е = х — х оценки наблюдателем (7) состояния системы (6) при любом (но одинаковом) управлении в системах (6), (7) имеет вид (5), где матрица Ь коэффициентов усиления наблюдателя выбирается так, что матрица Л + ЬС имеет собственные числа только с отрицательными действительными частями.
Другая методика позволяет строить глобальные экспоненциальные наблюдатели для нелинейных динамических систем вида (1), в правой части которых помимо нелинейных функций выхода и управления присутствуют равномерно по управлению глобально липшицевые функции состояния и управления [14-16]. Рассмотрим нелинейную динамическую систему с управлением, имеющую вид
х = Лх + f (х, и) + р(у, и), у = Сх; (8)
здесь х Е И" — вектор состояния системы; Л Е К"х", С Е КрХ" — постоянные матрицы; пара (Л, С) детектируема; у Е Кр — выход системы; и Е — управление; отображения р: Кр х ^ И", f: И" х х ^ И" локально липшицевы, причем функция f (х, и) глобально липшицева по х равномерно по и с константой 7/, т.е.
^ (х1, и) — f (х2, и)| < 7/ |х1 — х2| для любых х1,х2 Е И".
Наблюдатель для системы (8) строится в виде
ж = Ax + — y) + f (ж, u) + p(y, u), (9)
где L E RnXp — матрица коэффициентов усиления наблюдателя. Урав-нение ошибки e = ж — ж оценки состояния системы (8) наблюдателем (9) имеет следующий вид:
e = (A + LC)e + (f (ж + e, u) — f (ж, u)). (10)
Построение наблюдателя сводится к поиску матрицы L коэффициен-тов усиления, при которой положение равновесия e = 0 системы (10) при любом управлении u и произвольном решении ж(£) системы (8) с данным управлением глобально асимптотически устойчиво. Известна следующая теорема [14].
Теорема 1. Предположим, что при некотором управлении u любое решение ж(^) системы (8) определено при всех t > 0. Пусть в наблюдателе (9) матрица коэффициентов усиления L выбрана таким образом, что выполнено неравенство yf < Amin(Q)/(2Amax(P)), где P и Q — положительно определенные симметрические матрицы, удовлетворяющие уравнению Ляпунова (A + LC)тP + P(A + LC) = —Q. Тогда положение равновесия e = 0 системы (10) при управлении u и произвольном решении ж^) системы (8) с данным управлением глобально экспоненциально устойчиво, т.е. существуют такие константы а > 0 и ß > 0, не зависящие от u и ж^), что для всех t > 0, e(0) выполнено неравенство |e(t)| < ß|e(0)| exp(—at).
При доказательстве теоремы 1 в качестве функции Ляпунова для системы (10) уравнений ошибки оценки состояния рассматривается положительно определенная функция W(e) = exPe.
Отметим, что теорема 1 позволяет только проверить устойчивость системы (10) при конкретной выбранной матрице L и не дает ответа на вопрос, каким образом найти L, так как, во-первых, не существует явной зависимости между собственными значениями матрицы A + LC и значением Amax(P), а во-вторых, изменение Amax(P) может быть не связано с изменениями собственных значений матрицы A + LC [15]. Численные процедуры нахождения матрицы L коэффициентов усиления наблюдателя (9), обеспечивающей устойчивость положения равновесия системы (10) уравнений ошибки оценки состояния, рассмотрены в работах [15, 16].
В случае, когда система (8) имеет вид
/
х =
х2
хз х"
\
/
+
\ а" (х) /
Ь1 (х1, и) &2 (х1 ,х2, и)
— 1 (х 1, ..., х"-1, и)
V
Ь"(х, и)
/
= а(х) + Ь(х,и), у = Сх, (11)
где С = (1, 0,..., 0), функция а^х) глобально липшицева, а функции Ь,(х, и), % = 1,п, глобально липшицевы по х равномерно по и, глобаль-ный экспоненциальный наблюдатель для системы можно представить в следующем виде [7]:
х = а(х) + Ь(х, и) — 5 Ст(Сх — у).
(12)
В выражении (12) матрица 5 > 0 является единственным положительно определенным решением матричного уравнения
0 = —в5 — Лт 5 — 5Л + Ст С;
(13)
здесь в > 1 — некоторая положительная константа [7]; Л = (а,,), % = 1,п, ] = 1, п, — матрица с элементами а,, = 1, если ] — % = 1, и а,;, = 0, если ^ — % = 1. Уравнение ошибки е = х — х оценки состоя-
ния системы (11) наблюдателем (12) имеет вид
е = Ле + Г(х, х, и) — 5—1СтСе,
(14)
где Г,(х,х,и) = Ь,(хс1,...,х,,и) — Ь,(х1,...,х,,и), % = 1,п — 1, ) = Ь"(х,и) — Ь"(х,и) + а^х) — а^х). Согласно работе [7] положение равновесия е = 0 системы (14) глобально экспонен-циально устойчиво при любом управлении и, таком что решения х(£) системы (11) при данном управлении определены для любых начальных значений х(0) при всех £ > 0, и при произвольном решении х(£) системы (11) с данным управлением. Отметим, что в качестве функции Ляпунова для системы (14) рассматривается положительно определенная функция W(е) = вет5е.
В работе [17] рассмотрено построение глобальных экспоненциальных наблюдателей для нелинейных динамических систем с управлением вида
х = Лх + Сф(Нх) + р(у, и), у = Сх; (15)
здесь х Е И" — вектор состояния системы; Л Е К"х", С Е К"Хг, Н Е КгХ", С Е КрХ" — постоянные матрицы; пара (Л, С) детекти-
руема; у Е Кр — выход системы; и Е Ит — управление; отображения р: К х Ит ^ Кп, ф: Кп ^ К локально липшицевы. Нелинейная функция ф (Нж) представляет собой г-мерный вектор, каждая компонента которого является функцией от линейной комбинации переменных состояния
фi = ФЛУ Нзжз , г = 1,Я,
и удовлетворяет неравенству
, фгС£1>—^фг(£2) . , ^ _ „ , (16)
а < - < Ь уг1, г2 Е К, г1 = г2. (16)
¿1 - ^2
При а = 0, Ь = то соотношениями (16) задаются неубывающие функции, а при —а = Ь = 7 — глобально липшицевые функции. Наблюдатель для системы (15) находится в виде
ж = Аж + Ь(Сж — у) + Сф(Нж + К(Сж — у)) + р(у, и), (17)
где Ь Е ИпХр и К Е — матрицы коэффициентов усиления на-
блюдателя, подлежащие определению. Уравнение ошибки е — же ж оценки наблюдателем (17) состояния системы (15) имеет вид
е = (А + ЬС )е + £(ф (ад) — ф(у)), (18)
где V = Нж, ад = Нж + К (Сж — у). Предполагается, что скалярные компоненты вектор-функции ф(-) удовлетворяют неравенствам (16) при а = 0.
Если а = 0, то всегда можно определить новую функцию -(V) = = (ф^^, ..., фг(^))т, координатные функции фi^) = фi(vi) — avi, г = 1,г, которой удовлетворяют неравенствам (16) при а = 0, Ь = Ь — а, и представить систему (15) в виде
ж = Аж + Сф(Нж) + р(у, и), у = Сж,
где А = А + а£Н.
Из неравенств (16) следует, что
фi(ш,) — ф^) = ^— Vi), г = 1, г;
здесь 8i (£), г = 1,г, — скалярные функции времени, принимающие значения на отрезке [0, Ь]. Следовательно,
ф (ад) — ф (V) = Д(£)(ад — V),
где Д(£) = diag(J1(t), ..., (£)). С учетом обозначения п = ^ — V систему (18) представим в следующем виде:
е = (Л + ЬС )е + СД(£)п, п = (Н + КС)е. (19)
Построение наблюдателя состоит в поиске матриц К и Ь коэффи-циентов усиления, при которых линейная нестационарная система (19) глобально асимптотически устойчива.
Теорема 2 [17]. Предположим, что при некотором управлении и любое решение х(£) системы (15) определено при всех £ > 0. Если найдутся матрица Р = Рт > 0 и константа V > 0 такие, что
((Л + ЬС)тР + Р(Л + ЬС) + VI РС + (Н + КС)т \ 0 (20) V СтР + (Н + КС) Б ) < 0, (20)
где I — единичная матрица, Б = diag(—2/Ь, ..., — 2/Ь), то положение равновесия е = 0 системы (19) при произвольном решении х(£) системы (15) с данным управлением глобально экспоненциально устойчиво, т.е. существуют такие константы а > 0 и в > 0, не зависящие от х(£), что для всех £ > 0, е(0) выполнено неравенство |е(£)| < в|е(0)| ехр(—а£).
Отметим, что при доказательстве теоремы 2 в качестве функции Ляпунова для системы (19) уравнений ошибки оценки состояния рассматривается положительно определенная функция W(е) = етРе, где Р = Рт > 0 удовлетворяет уравнению Ляпунова
(Л + ЬС )тР + Р (Л + ЬС) = —VI.
Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием наблюдателей. Отметим, что в общем случае для нелинейных динамических систем вида (1) глобальный принцип разделения не выполняется, так как решения системы с управлением и = и(х) = и(х + + е) могут неограниченно возрастать за конечное время прежде, чем ошибка е = х — х оценки состояния системы с помощью наблюдателя сойдется к нулю, даже если система с управлением и = и(х) глобаль-но экспоненциально устойчива [2, 3]. Таким образом, в общем случае для рассмотренных систем с управлением и = и(х) не выполняется условие определенности решений при всех £ > 0.
Рассмотрим ошибку е = х — х оценки состояния системы с помощью наблюдателя как возмущение, действующее на систему через управление и(х) = и(х + е). Заметим, что если для любых начальных условий х(0) любому локально ограниченному возмущению е(£) соответствует локально ограниченное решение х(£) системы с управлением
u = u(x + e), то решения системы c управлением u = u(x + e) не могут неограниченно возрастать за конечное время и для любых начальных условий x(0) определены при всех t > 0.
Далее рассмотрим задачу стабилизации положения равновесия x = x*, u = u* нелинейной динамической системы с управлением, имеющей вид (1).
Предположение 1. Отображение f: Rn х Rm ^ Rn непрерывно дифференцируемо и глобально липшицево по ж равномерно по u с константой Yf, т.е.
|f (xi, u) - f (Ж2, u)| < Yf |xi - X2 |
для любых ж1,ж2 G Rn.
Предположение 2. Система (1) допускает построение экспоненциального наблюдателя X = g(X, h(x), u), такого что уравнение ошибки e = x — x оценки наблюдателем состояния системы имеет вид
e = g(x + e, h(x), u) — f (x, u) = F(e, u, t), F(0, u, t) = 0 Vu G Rm, Vt > 0, (21)
где отображение F: Rn х Rm х R+ ^ Rn кусочно непрерывно по t, локально липшицево по u и глобально липшицево по e равномерно по u и t с константой yf. При любом управлении u, таком что решения x(t) системы (1) при данном управлении для любых начальных значений x(0) определены при всех t > 0, и произвольном решении x(t) системы (1) с данным управлением положение равновесия e = 0 системы (21) глобально экспоненциально устойчиво с квадратичной функцией Ляпунова W(e) = exPe, P = Pт > 0, производная которой в силу системы (21) удовлетворяет при любом e G Rn неравенству
W(e) < — 11e |2, 1 = const > 0. (22)
При управлении u, таком что некоторое решение x(t) системы (1) с данным управлением определенo только на конечном интервале времени t G [0, T), T > 0, решения e(t) системы (21) при данных u и x(t) для любых начальных значений e(0) также определены на данном интервале времени и удовлетворяют неравенству (22).
Отметим, что для системы (3) предположения 1 и 2 выполняются в случае, если, например, векторные поля Bj, j = 1,m, постоянны, вектор-функция -ф(-) глобально липшицева, отображение y = = H(хПх,...,Хпр) обратимо во всем пространстве состояний. Для систем вида (8) с непрерывно дифференцируемой правой частью и вектор-функцией p(y, u), глобально липшицевой по y равномерно по u,
в случае существования матрицы Ь коэффициентов усиления, удовле-творяющей условиям теоремы 1, и для систем вида (11) с непрерывно дифференцируемой правой частью предположения 1 и 2 выполняются автоматически. Заметим, что для системы (15) предположения 1 и 2 выполняются, когда правая часть системы непрерывно дифференцируема, вектор-функция ф(•) глобально липшицева, вектор-функция р(у, и) глобально липшицева по у равномерно по и, линейное матричное неравенство (20) разрешимо относительно Р, РЬ, К и V.
Решения рассматриваемой задачи стабилизации найдем в классе локально липшицевых управлений вида и = и(х) = и(х + е) (здесь х — оценка состояния х системы с помощью наблюдателя), обеспечивающих для любых начальных значений х(0) и е(0) определенность при всех £ > 0 решений х(£) системы (1) с управлением и = и(х + е).
Справедливы следующие утверждения, которые представляют собой принцип разделения для рассматриваемого класса систем.
Теорема 3. Пусть для системы (1) выполнены предположения 1, 2 и существует непрерывно дифференцируемая обратная связь и(х) по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующая положение равновесия х = х* ,и = и* системы. Тогда система (1) при управлении и = и(х) = и(х + е) глобально асимптотически устойчива в точке х = х .
Доказательство. Рассмотрим систему
х = /(х, и(х + е)), е = ^(е, и(х + е),£), (23)
составленную из уравнений системы (1) с управлением и = и(х + е) и уравнения (21) ошибки е = х — х оценки состояния с данным управлением. Предположим, что управление и = и(х + е) принадлежит рассматриваемому классу управлений, т.е. для любых начальных значений х(0) и е(0) решения х(£), е(£) системы (23) определены при всех £ > 0. Тогда согласно предположению 2 положение равновесия е = 0 системы е = ^(е, и(х + е),£) при произвольном решении х(£) системы (1) с управлением и = и(х + е) глобально экспоненциально устойчиво с функцией Ляпунова W(е) = етРе, Р = Рт > 0, удовлетворяющей неравенству (22).
Поскольку по условиям теоремы система (1), замкнутая обратной связью и(х), глобально экспоненциально устойчива в точке х = х* и правая часть системы (1) без выхода непрерывно дифференцируема, то согласно теореме Н.Н. Красовского [13] существует функция Ляпунова V (х — х*), такая что для любых х Е И" выполнены соотношения
С1|х — х*|2 < V (х — х*) < С2 |х — х* |2,
д VI (ж — ж*)
д ж
< Сз|ж — ж*|, (24)
(ж — ж*Ь/ / ^ ^ I 12 (25) ---/(ж,и(ж)) <—С4|ж — ж*| , (25)
дж
где с1; с2, с3, с4 — некоторые положительные константы. Линейная замена переменных
ж = ж — е, е = е (26)
преобразует систему (23) к виду
ж = /(же — е,и(ж)) + Р(е, и(ж),^), е = Р(е, и(жс),^). (27)
Рассмотрим следующую положительно определенную функцию:
V(ж — ж*, е) = — ж*) + У(е) > 0, (ж — ж*, е) = 0;
здесь к — положительная константа, подлежащая определению. Производная V в силу системы (27) имеет следующий вид:
^ дУ1(ж — ж*) ч
V (ж — ж,е) = к-—-же + уУ (е) =
д ж
,дVI(ае — ж) ,,дVI(же — ж) /.ч ,ч т-тт, ч
= к---/(же — е, и(ж)) + к---Р(е, и(ж), £) + IV(е) =
дж дж
= к-дж-/(же, и(ж)) + к-дж-/ ^ — е, м(ж)) — /(ж, и(ж))) +
дV. (же — ж) / „ч ч • / ч
+к 1(п —--Р(е, и(ж), *) + IV(е).
дж
Из неравенств (22), (24), (25) с учетом замены ж на ж и условий теоремы 3 следует, что
V(ж — ж*, е) < — кс4|ж — ж*|2 + (кез7/ + ксз7^)|е||е — ж*| — 11е|2 =
= — ж.| — С37/2"^4С37Г|е|)2 — ( — к) |е|2.
(28)
При к < 4е4//(е37/ + с37^)2 производная V(ж — ж*,е) отрицательно определена в пространстве Я" х Я". Далее, раскрыв квадрат разности в правой части (28), представим неравенство (28), в следующем виде:
V(ж — ж*, е) <
< -
(l - k (C37/ +c4C3YF^ |e|2 - (ксз7/ + fcc37F)|e||X - ж*| +
+kc4|X — ж*|
2
* 1
- k (W + C3YF)2 |e|2. 4c4
Выделив в выражении, стоящем в квадратных скобках, полный ква-дратпо |e|, можно показать, что при k < 2c41/(c3Y/+c3yf)2 справедлива оценка
V(ж - ж*, e) < - Л|(жт - ж*,ет)т| 2, (29)
где (жт - жт, ет)т G R2n, Л > 0 — некоторое положительное число.
Заметим, что функция W(e) = етPe является квадратичной формой и удовлетворяет характерным оценкам
Лшщ(P)|e|2 < W(e) < Лтах(Р)|e|2, j^^W^| < 2Лтах(P)|e|. (30)
С помощью неравенств (30) и (24) (с учетом замены ж на ж) для функции V(Ж - x*,e) получим следующие оценки:
V(Ж - ж*, e) = Щ(Ж - ж*) + W(e) < < kc2|ж - ж*|2 + Лтах(P)|e|2 < c21 (жт - ж^, ex)т|2,
V(ж - ж*^) > kci |ж - ж*| + Лтт(Р)|e| > > c11 (жст - жт, ex)x|2,
(31)
(32)
дV(ж - ж*, e)
д ж
< kc3|ж — ж*| + 2Лтах (P)|e| <
< с3|(жт - ж*, ex)т|, (33)
где с1 = ш1п{кс1, АШ1П(Р)}, С2 = шах{кс2, Ашах(Р)}, с3 = шах{кс3, 2Атах(Р)}. Из полученных неравенств (29) и (31)—(33) согласно работе [13] следует, что решение ж = ж*, е = 0 системы (27) глобально экспоненциально устойчиво.
Поскольку замена переменных (26) линейна, то положение равновесия ж = ж*, е = 0 системы (23) также глобально экспоненциально устойчиво. Воспользовавшись этим фактом, получаем следующую оценку для произвольного решения ж(£) системы (1) с управлением и = и(ж) = и(ж + е):
|ж(£) — ж*| = |ж(£) — ж(£) + ж(£) — ж*| < |ж(£) — ж*| + |ж(£) — ж(£)| <
< |(жт(Ь) — ж*, ет(Ь))т| + |е(Ь)| < в1 ехр(—«1^)|(жт(0),ет(0))т—
— (ж*, 0т)т| + в2 ехр(—а2Ь)|е(0)|;
здесь а1, а2 > 0 и в1, в2 > 0 — константы. Для этого решения выполнено неравенство
|ж(Ь) — ж*| < вехр(—аЬ) УЬ > 0,
где в = шах{в2|е(0)|, вЖж7(0), ет(0))т — (ж*, 0т)т|}, а = ш1п{а1, а2}. Следовательно, система (1) с управлением и = и(ж+е) глобально асимптотически устойчива в точке ж = ж*, что завершает доказательство теоремы 3.
Замечание. Использованное при доказательстве теоремы 3 предположение о том, что управление и(ж + е), где и(ж) соответствует формулировке теоремы 3, обеспечивает существование при всех Ь > 0 решений ж(Ь), е(Ь) системы (23) для любых начальных значений ж(0) и е(0), верно всегда при выполнении условий теоремы 3.
Действительно, если некоторое решение ж(Ь), е(Ь) системы (23) определено только на конечном интервале времени Ь е [0, Т), Т > 0, то соответствующее решение ж(Ь), е(Ь) системы (27) в силу замены переменных (26) также определено на данном интервале времени. Согласно предположению 2 для е(Ь) при любом Ь е [0,Т) выполнены неравенства (22), (30). Тогда для решения ж(Ь), е(Ь) системы (27) при любом Ь е [0,Т) справедливы неравенства (29) и (31)-(33). Следовательно, данное решение ограничено при всех Ь е [0,Т) ив силу замены переменных (26) решение ж(Ь), е(Ь) системы (23) также ограничено на данном интервале времени. Это означает, что для любых начальных условий ж(0) любому локально ограниченному возмущению е(Ь), генерируемому системой (21) с управлением и = и(ж + е), где и(ж) соответствует формулировке теоремы 3, отвечает локально ограниченное решение ж(Ь) системы (1) с управлением и = и(ж + е). Следовательно, решения системы (1) с данным управлением и = и (ж + е) не могут неограниченно возрастать за конечное время и для любых начальных условий ж(0) определены при всех Ь > 0.
Утверждение. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда система (1) с управлением и = и(ж + е), где и(ж) соответствует формулировке теоремы 3, обладает устойчивостью отображения вход-состояние [18] по отношению ко входу е, генерируемому системой (21) с управлением и = и(ж + е), т.е. для любого ж(0) и произвольного решения е(Ь) системы (21) при управлении и = и(ж + е) решение ж(Ь) системы (1) с управлением и = и(ж + е) существует при всех Ь > 0 и удовлетворяет неравенству
|ж(Ь) — ж*| < в(|ж(0) — ж*|,Ь) + а( эир |е(т)|) У > 0 (34)
0<т <
где в(в, Ь) и а(в) — некоторые непрерывные функции своих аргументов, строго возрастающие по в е Я+, а(0) = 0, в(0,Ь) = 0 УЬ > 0, причем имеем в (в, Ь) ^ то при в ^ то для любого фиксированного Ь > 0, а для любого фиксированного в е имеем в (в, Ь) ^ 0 при Ь ^ то.
Доказательство. Рассмотрим систему (23). Линейная замена переменных (26) преобразует систему (23) к виду (27). Подсистема уравнений относительно же системы (27) имеет вид
ж = /(ж — е, и(ж)) + Р(е, и(ж), Ь) = /(же, е). (35)
Отметим, что правая часть системы (35) явно от времени не зависит, так как согласно предположению 2 имеет вид /(ж, е) = д(ж, Л-(ж — е), и(ж)). В качестве функции Ляпунова для системы (35) с возмущением е рассмотрим функцию V(ж—ж*) = ^(ж — ж *), где ^(ж — ж*) — функция Ляпунова для системы (1), замкнутой управлением и(ж), удовлетворя-ющая неравенствам (24) и (25). Произведя в неравенствах (24), (25) замену ж на ж, с учетом полученных неравенств производную V в силу
системы (35) можно записать следующим образом:
^ д ^(ж — ж *)
V(же — ж*) =-—-/(же, и(ж)) +
дже
+ д^жж ж*) (/(ж — е, и(ж)) — /(же, и(ж))) +
дV!(же ж*) , / ^ \ \ | л ,2
+---г (е, и(ж), Ь) < —С4|ж — ж | +
дже
+ (сз7/ + сз7^) | е || ж — ж* |.
При |ж — ж*| > к|е|, к > 0, справедлива следующая оценка:
V(ж — ж*) < —(с4 — ^ — |ж — ж*|2 < 0 (36)
при к > (сз7/ + Сз7^)/с4.
Cогласно предположению 2 любое решение е(Ь) системы е = Р(е, и(ж + е),Ь) определено по крайней мере на некотором конечном интервале времени Ь е [0, Т), Т > 0, и на этом интервале непрерывно и ограничено. Неравенства (36) и (24) (с учетом замены ж на ж) означают, что при любых ж(0) любому ограниченному возмущению е(Ь) соответствует ограниченное решение же(Ь) системы (1) и, следовательно, ограниченное решение ж(Ь) системы (1) с управлением и = и(ж + е), где и(ж) соответствует формулировке теоремы 3. Следовательно, для любых начальных значений ж(0) решения ж(Ь) системы (1) c управлением и = и(ж + е) определены при всех Ь > 0, и любое решение е(Ь)
системы (21) с данным управлением u = u(x + e) определено при всех t > 0. Тогда в силу замены переменных (26) для любых X(0) решения X(t) системы (35) также определены при всех t > 0.
Из неравенств (36) и (24) (с учетом замены x на X) следует, что согласно работе [18] система (35) обладает устойчивостью отображения вход-состояние по отношению ко входу е, генерируемому системой (21) с управлением u = u(x + e), и можно показать аналогично тому, как это сделано в работе [18], что для любого X(0) и любого решения e(t) системы (21) с управлением u = u(x + e) решение X(t) системы (35) при всех t > 0 удовлетворяет неравенству
|X(t) — X | /—|X(0) — X | exp (-----3YFt ) +
v Ci v 2kC2 J
+fcw — sup |e(r)|.
V Ci 0<T<t
Воспользовавшись соотношениями (26) и неравенствами |x — x* + +e| > |x — x*| — |e| и |x — x* + e| < |x — x*| + |e| V(x — x*) G Rn, Ve G Rn, получаем, что для любого x(0) решение x(t) системы (1) при управлении u = u(x + e), где u(x) соответствует формулировке теоремы 3, удовлетворяет неравенству (34), где в(s, t) = у/(c2/c1 )s х X exp(—(fcc- — C37/ — Сз7^)/(2kc2)t), a(s) = (k^^/^ + д/C2/C1 + 1)s, s G R+, что завершает доказательство утверждения.
Отметим, что часто удается достичь экспоненциальной устойчивости замкнутой системы в одних переменных, а построить экспоненциальный наблюдатель для системы, записанной в других переменных. В связи с рассматриваемой задачей стабилизации отметим следующие два свойства преобразованной системы. Если две динамические системы £ = /1(^,t) и n = f2(n, t) связаны заменой переменных £ = H(п), где H — диффеоморфизм пространств Rn = {п} и Rn = {£}, то глобальная асимптотическая устойчивость положения равновесия £* первой системы эквивалентна глобальной асимптотической устойчивости соответствующего положения равновесия n* = H-1(£*) второй системы. Если же отображения H и H-1, к тому же, глобально липшицевы (например, это линейные отображения), то аналогичное утверждение верно для глобальной экспоненциальной устойчивости этих положений равновесия. Последнее следует из неравенств
|n(t) — n*| = |H-1(£(t)) — H-1 (£*)| <
< Y11£(t) — £* | < Y1 в exp(—at)|£(0) — £*| = = 71в exp(—at)|H(n(0)) — H(n*)| < 7172вexp(—at)|n(0) — n*|,
где в, а, 7ь y2 — соответствующие положительные константы.
Основываясь на доказанном выше утверждении и известных результатах по стабилизации каскадных систем [19], сформулируем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть
1) для системы (1) выполнено предположение 1;
2) построен асимптотический наблюдатель ж = д(ж, Л,(ж), и), такой что уравнение ошибки е = ж — ж оценки наблюдателем состояния системы (1) имеет вид (21), где отображение Р: Я" х Я™ х Я+ ^ Я" кусочно непрерывно по Ь и локально липшицево по е и и, (е, и, Ь) | < < р(|е|) Уи е Я™, УЬ > 0, р(в) — некоторая непрерывная строго возрастающая функция от в е Я+, р(0) = 0, р(в) ^ то при в ^ то;
3) при любом управлении и, таком что решения ж(Ь) системы (1) при данном управлении для любых начальных значений ж(0) определены при всех Ь > 0, и при произвольном решении ж(Ь) системы (1) с данным управлением положение равновесия е = 0 системы (21) с рассматриваемой правой частью глобально асимптотически устойчиво; при управлении и, таком что некоторое решение ж(Ь) системы (1) с данным управлением определено только на конечном интервале времени Ь е [0, Т), Т > 0, решения е(Ь) системы (21) с рассматриваемой правой частью при данных и и ж(Ь) для любых начальных значений е(0) также определены на данном интервале времени и ограничены на нем;
4) существует непрерывно дифференцируемая обратная связь и(ж) по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующая положение равновесия ж = ж *,и = и * системы (1).
Тогда система (1) при управлении и = и(ж) = и(ж + е) глобально асимптотически устойчива в точке ж = ж .
Доказательство теоремы основано на факте устойчивости отображения вход-состояние системы (1) при управлении и = и(ж + е), где и(ж) соответствует формулировке теоремы, по отношению ко входу е, генерируемому системой уравнений ошибки е = ж — ж оценки состояния с управлением и = и(ж + е). Действительно, производную V функции V (ж — ж *) = У1 (ж — ж*), где Ц(ж — ж*) — функция Ляпунова для системы (1), замкнутой управлением и(ж), удовлетворяющую неравенствам (24) и (25), в силу системы (35) с рассматриваемой правой частью
можно представить следующим образом:
^ д ^(ж — ж *)
V(же — ж*) =-—-/(же, и(ж)) +
дже
+ д^Жж ж*) (/^ — е, и(ж)) — /(ж, и(ж))) +
д ^(ж — ж*) ^^ л 2, +---^ (е, и(ж), ь) < —С4 |ж — ж* | +
+Сз7/ |е||ж — ж* | + сз р(|е|)|ж — ж* |.
При |ж — ж*| > к/5(|е|), где ¿0(5) = 7/в+р(в), в е И+, к > 0, справедливо неравенство
Далее, аналогично доказательству утверждения, можно показать устойчивость отображения вход-состояние системы (1) с управлением и = и(ж + е), где и(ж) соответствует формулировке теоремы, по отношению ко входу е, генерируемому системой уравнений ошибки е = ж — ж оценки состояния с управлением и = и (ж + е). Поэтому для любого ж(0) решения ж(Ь) системы (1) при управлении и = и(ж + е) удовлетворяют неравенству (34). Тогда согласно условиям теоремы положение равновесия е = 0 системы (21) с управлением и = и(ж + е) глобально асимптотически устойчиво. Следовательно, согласно работам [18, 19] положение равновесия ж = ж* системы (1) при управлении и = и (ж + е) глобально асимптотически устойчиво.
Следствие. Пусть для нелинейной динамической системы вида (1) выполнено предположение 1 и найден закон управления в виде непрерывно дифференцируемой обратной связи и(ж) по состоянию, глобально экспоненциально стабилизирующей заданное положение равновесия. Если е — некоторое асимптотически (в частности, экспоненциально) убывающее по времени возмущение, удовлетворяющее системе уравнений е = Р(е), где вектор-функция Р(•) локально липшицева, Р(0) = 0, (е)| < р(|е|), р(в) — некоторая непрерывная строго возрастающая функция от в е , р(0) = 0, р(в) ^ то при в ^то (в частности, вектор-функция Р(•) глобально липшицева), а положение равновесия е = 0 системы е = Р(е) глобально асимптотически (в частности, экспоненциально) устойчиво, то система (1) с управлением и = и(ж+е) глобально асимптотически устойчива.
Пример. Рассмотрим гибкий однозвенный робот-манипулятор, уравнения движения которого имеют вид [20]
где ж1,ж2 — угловая координата и угловая скорость звена манипулятора; ж3,ж4 — угловая координата и угловая скорость вала двигателя; и — управляющий момент, создаваемый двигателем. Константы М1, Ь1, к1, к2, 7 положительны, причем М1 = МдЬ//, к1 = к/1, к2 = к/7, Ь1 = 7, где 1, 7 — моменты инерции звена манипулятора и ротора двигателя соответственно; к — жесткость передаточного механизма;
ж1 = ж2, ж2 = — М1 эт ж1 — к1(ж1 — ж3),
ж3 = ж4, ж4 = —Ь1ж4 + к2 (ж1 — ж3) + и/7, у = ж3, (37)
d — коэффициент демпфирования; M — масса звена манипулятора; MgL sin x? — момент сил тяжести, действующий на звено манипулятора.
Предполагается, что измерению доступна только угловая координата x3 вала двигателя. Необходимо построить управление u в виде обратной связи, использующей только значения выхода системы, стабилизирующее положение равновесия x = 0, u = 0 системы (37).
Построим для системы (37) наблюдатель и управление в виде обратной связи по оценке состояния замкнутой системы построенным наблюдателем. При построении наблюдателя для системы (37) используем для удобства новые переменные
Xi = Хз, Х2 = Х4, Хз = k2Xi - fc2X3 - biX4,
Х4 = k2biXi + fc2x2 + fc2biX3 + (b^ — fc2)x4. (38)
Замена переменных x = Ф(х), Ф(0) = 0, определяемая соотношениями (38), является линейной и задает диффеоморфизм пространств R4 = {х} и R4 = {x}. В новых переменных х систему (37) можно представить следующим образом:
ХХ i = Х2, Х 2 = Хз + u/J xх 3 = Х4 — bi u/J
Х 4 = 0.4 (х) + (Ь? — k2)u/J, y = Xi, (39)
где 04(х) = — bikiX2 — (ki + ^2)Х3—biX4 — k:MiSÍn((k2Xi + biX2+X3)/^2).
Система (39) является частным случаем систем вида (11), и, следовательно, глобальный экспоненциальный наблюдатель для системы
(39) можно построить, например, в виде
X = О(Х) + Bu — S-1Ст (C X — y); (40)
здесь а(Х) = ;3, Х4,а4(Х))т; B = (0,1/J —bi/J (bi — k2)/J)т;
C = (1, 0, 0, 0); квадратная матрица S > 0 порядка 4 является решением матричного уравнения (13). Далее, поскольку определяемая соотношениями (38) замена переменных x = Ф(х) линейна, то система
(40), записанная в переменных X = Ф(Х), является глобальным экспоненциальным наблюдателем для системы (37) и имеет вид
Xi = X2 + ^k3 + li + (X3 — X3),
k2 k2
X2 = —Mi sin Xi — ki(Xi — X3) + (^ + /2 + ^ (X3 — X3),
k2 k2
X3 = X4 + /i(X3 — x3), X4 = —biX4 + k2(X^i — X3) + /2(X3 — x3) + —, (41)
Ju
где (li, /2,1з, /4)т = — S-1Ст = (-40, —602, —403, —04)т.
Заметим, что для системы (37) и наблюдателя (41) выполнены предположения 1 и 2. Управление в виде обратной связи по состоянию, гло-бально экспоненциально стабилизирующее заданное положение равновесия x = 0, u = 0 аффинной системы (37) (без выхода), можно найти, например, с помощью метода нелинейной стабилизации, предложенного в работе [21], поскольку эта система во всем пространстве состояний эквивалентна регулярной системе канонического вида, также определенной во всем ее пространстве состояний. Преобразование аффинной системы (37) к каноническому виду определяется функцией <(x) = x1. Дифференцируя эту функцию в силу системы (37), находим новые переменные для записи системы канонического вида:
¿1 = x1, ¿2 = ¿1 = x2, ¿3 = ¿2 = —M1 sin x1 — k1 (x1 — x3),
z4 = ¿3 = —M1 x2 cos x1 — k1x2 + k1x4. (42)
В переменных ¿ = {z1, ¿2,¿3,¿4} система (37) (без выхода) имеет канонический вид
k1u
¿1 = ¿2, ¿2 = ¿3, ¿3 = ¿4, ¿4 = f (z) + -J, (43)
где f (z) = —k2M1 sin z1 — M1 cos z1(z3 + b1z2) + M1 ¿2 sin z1 — (k1 +
+ ki)¿3 — ¿2&1 — &1¿4.
Соотношение ¿ = p-1(x), задаваемое формулами (42), разрешимо относительно x, x = p(¿), и задает отображение, являющееся диффеоморфизмом пространств R4 = {¿} и R4 = {x}, причем ¿ = p-1(x) и x = p(¿) таковы, что р-1(0) = 0 и
|¿| = |^-1(x)| < Y1 |x|, |x| = |p(¿)| < 72Í¿| V¿ G Rn, Vx G Rn,
где 71, y2 — некоторые положительные константы. Поэтому задача глобальной экспоненциальной стабилизации положения равновесия x = 0, u = 0 системы (37) эквивалентна аналогичной задаче для положения равновесия ¿ = 0, u = 0 системы (43). Непрерывно дифференцируемой обратной связью, глобально экспоненциально стабилизирующей положение равновесия ¿ = 0, u = 0 системы (43), является
—f (¿) — XX ,
u*(¿) = Jfc-M —f (¿) — > ^ Ki¿i+1 , (44)
где к — постоянные, г = 0, 3. Замкнутая этим управлением система (43) принимает вид
¿1 = ^2, Z2 = ^3, Zз = Z4, Z4 = —KoZl — К^2 — KзZз — K4Z4.
Постоянные к8, в = 0, 3, выбираются таким образом, чтобы г1 = = ¿2 = ¿з = z4 = 0 было асимптотически устойчивым решением замкнутой системы.
Переходные процессы системы (сплошные кривые) и наблюдателя (штриховые кривые) для XI(а), х2(б), х3(в), х4(г)
Как уже отмечалось, из глобальной экспоненциальной устойчивости положения равновесия системы (43), замкнутой управлением (44), следует глобальная экспоненциальная устойчивость соответствующего положения равновесия х = 0, и = 0 системы (37), замкнутой управлением и(х) = и*(х)). Следовательно, согласно теореме 3 управление и(Х) = и*(^-1 (X)), где X — оценка вектора состояния системы (37), получаемая с помощью наблюдателя (41), будет глобально асимп-тотически стабилизировать положение равновесия х = 0, и = 0 системы (37).
Замечание. Глобальный экспонециальный наблюдатель для системы (37) можно построить также, например, в виде (9) или (11).
Результаты численного моделирования систем (37) и (41) с управлением и = и* (^-1 (X)) представлены на рисунке для следующих значений параметров и начальных данных рассматриваемой системы и наблюдателя: М1 = 26 рад • с-2; к1 = 230 с-2; к2 = 1783 с-2; &1 = 1,75 с-1; 3 = 0,004 кг • м2; в = 50; (х1 (0),Х2(0),хз(0),Х4(0))т = = (1,5; 0,02; 1,41; 0,01)т; (х1 (0),х2(0),хз(0),х4(0))т = (0, 0, 0, 0)т.
Заключение. В настоящей работе показана справедливость глобального принципа разделения для класса нелинейных динамических систем достаточно общего вида. Рассматриваемый класс включает системы, для которых строятся глобальные экспоненциальные наблюдатели с помощью основных известных в настоящее время методов их построения для нелинейных динамических систем с управлением. Однако, как показывают результаты численного моделирования системы гибкого однозвенного робота-манипулятора, даже при выполнении глобального принципа разделения замена вектора состояния системы в стабилизирующей обратной связи по состоянию на его оценку может привести к резкому возрастанию амплитуды колебаний переходного процесса системы, что нежелательно. Одним из путей решения данной проблемы является, например, введение ограничений управления и переформулировка полученных результатов для случая стабилизации в большом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Машиностроение: Энцикл. Автоматическое управление. Теория. T.1-4. -М., 2000.
2. Freeman R. Global internal stabilizability does not imply global external stabilizability for small sensor disturbances // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1995.
- V. 40. - № 12. - P. 2119-2122.
3. K r s t i С M., Kanellakopoulos I., KokotoviC P. Nonlinear and Adaptive Control Design. - N. Y.: John Wiley and Sons, 1995.
4. T s i n i a s J. A generalization of Vidyasagar's theorem on stabilizability using state detection // Systems and Control Letters. - 1991. - № 17. - P. 37-42.
5. A t a s s i A. N., K h a l i l H. K. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1999. - V. 44. - № 9.
- P. 1672-1687.
6. T e e l A., P r a l y L. Global stabilizability and observability imply semi-global stabilizability by output feedback // Systems and Control Letters. - 1994. - № 22. -P. 313- 325.
7. Gauthier J. P., Hammouri H., Othman S. A simple observer for nonlinear systems. Applications to bioreactors // IEEE Trans. Autom. Contr. - 1992. - V. 37. -№ 6. - P. 875-880.
8. K r e n e r A. J., I s i d o r i A. Linearization by output injection and nonlinear observers // Systems and Control Letters. - 1983. - № 3. - P. 47-52.
9. Krener A. J., Respondek W. Nonlinear observers with linearizable error dynamics // SIAM J. Control and Optimization. - 1985. - V. 23. - № 2. - P. 197-216.
10. Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Нелинейные k(x)-двойственныесистемы // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 2. - С. 21-34.
11. Голу бев А. Е., Крищенко А. П., Ткачев С. Б. Принцип разделения для аффинных систем // Дифференц. уравнения. - 2001. - T. 37. - № 11. - C. 14681475.
12. Крищенко А. П., Ткачев С. Б. Нелинейные k(x)-двойственные системы и синтез наблюдателей // Дифференц. уравнения. - 1999. - T. 35. - № 5. -C. 648-663.
13. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.:
Физматгиз, 1959.
14. T h a u F. E. Observing the state of non-linear dynamic systems // Int. J. Control. - 1973. - № 17. - P. 471-479.
15. R a g h a v a n S., H e d r i c k J. K. Observer design for a class of nonlinear systems // Int. J. Control. - 1994. - V. 59. - № 2. - P. 515-528.
16. Rajamani R. Observers for Lipschitz nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1998. - V. 43. - № 3. - P. 397-401.
17. A r c a k M., Kokotovic P. V. Observer-based control of systems with slope-restricted nonlinearities // IEEE Trans. Autom. Contr. - 2001. - V. 46. - № 7. - P. 11461150.
18. S o n t a g E. D. Smooth stabilization implies coprime factorization // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1989. - V. 34. - P. 435^43.
19. K h a l i l H. K. Nonlinear systems. - N. Y.: Prentice-Hall, 1996.
20. M a r i n o R., T o m e i P. Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive and Robust. - London: Prentice-Hall, 1995.
21. Крищенко А. П. Стабилизация программных движений нелинейных систем // Изв. АН СССР. Сер. Технич. кибернетика. - 1985. - № 6. - С. 103-112.
Статья поступила в редакцию 31.01.2003
Алексей Евгеньевич Голубев родился в 1978 г., окончил в 2002 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор трех научных работ в области стабилизации нелинейных динамических систем обратной связью по выходу.
A.Ye. Golubev (b. 1978) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2002. Post-graduate of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 3 publications in the field of output feedback control of nonlinear dynamical systems.
УДК 519.872
В. В. Чаплыгин
СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ЗМ/МЗРД/г1
Рассмотрена однолинейная система массового обслуживания с полумарковским входящим потоком, марковским процессом обслуживания и накопителем конечной или бесконечной емкости. Для этой системы с помощью метода построения вложенной цепи Маркова найдены стационарные распределения основных характеристик обслуживания.
Описание системы. Рассмотрим систему массового обслуживания ЯМ/МЯР/1/г (г < оо) с накопителем емкости г.
1Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №02-07-90147).
......^ —^ ) W
1 L
