Научная статья на тему 'О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров'

О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
118
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / ЗАДАЧА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ / СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ / МАЛЫЙ ПАРАМЕТР / OPTIMAL CONTROL / TIME-OPTIMAL CONTROL PROBLEM / SINGULAR PERTURBATION PROBLEMS / SMALL PARAMETER

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Данилин Алексей Руфимович, Коврижных Ольга Олеговна

Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными переменными с геометрическими ограничениями на управление и малым независимым возмущением начальных данных. Исследуется вопрос о разрешимости этой задачи и о зависимости времени быстродействия и оптимального управления от этих малых параметров.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

A time-optimal control problem is considered for a linear system with fast and slow variables and geometric constraints on the control and independent small perturbation of the initial data. The solvability of this problem is prooved. For the optimal time and optimal control, the dependence of these small parameters is investigated.

Текст научной работы на тему «О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров»

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ*

Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными переменными с геометрическими ограничениями на управление и малым независимым возмущением начальных данных. Исследуется вопрос о разрешимости этой задачи и о зависимости времени быстродействия и оптимального управления от этих малых параметров.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача быстродействия, сингулярно возмущенные задачи, малый параметр.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о быстродействии для линейной автономной системы с быстрыми и медленными переменными в классе кусочно-непрерывных управлений, принимающих значения из компактного выпуклого ограничивающего множества и С Кг, содержащего точку и = 0 внутри себя:

y = Any + A12Z + B\u,

ЄІ = А21У + A22Z + B2U,

y(0) = y0 + ^y, z(0) = z° + ¿Z,

y(0) = 0, z(0) = 0, 0 —> min,

(1)

(2)

(3)

где £ > 0, ^ > 0 — малые параметры, y £ Rn, z £ Rm, u £ Rr.

Условие I. ReA(A22) < 0.

Условие II. Пара (A22; B2) вполне управляема, что эквивалентно условию [3]

rank [B2, A22B2,... , AT1^] = m.

Введем обозначения

x

x

y0

x

Ар

A

11

є-1A21

A12

є-1А

22

Вырожденная задача (при е = ^

y = Aoy + Bqm,

0)

y(0)

B1

є-1В2

y0,

(4)

(5)

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 11-01-00679, 11-01-00073) и Программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-6249.2010.1).

0

z

у(0о) = 0, ©о —► min, (6)

где Ао = All — А12 А-1A21, Во = Bl — Ai2A-21B2, u(t) G U.

Условие III. Пара (A0; B0) вполне управляема.

Условие IV. Начальный вектор у0 выбран так, что задача (5), (6) разре-

шима.

Замечание 1. При выполнении условий II, III найдется е0 > 0 такое, что при всех 0 < е ^ е0 пара (Ае, В£) вполне управляема [6].

2. Доказательство разрешимости задачи (1)—(3)

Пусть £е(Т, ж0) — область достижимости системы (1)-(2) из начального состояния х0 к моменту времени Т [3, 8].

Приведенная система [8, гл. 3] имеет вид (5). Обозначим 20>у(Т, у0) С Кп — область достижимости приведенной системы. Опорная функция [15] этого множества записывается в виде [4]

т

р(^|-0,у(Т,у0)) = Р(еАоТф|{у0}) + /р(в0еА0"ф|и)

0

Лемма 1. Если пара (А0; В0) вполне управляема, то для любого момента времени Т > 0 найдется а > 0 такое, что для всех векторов ф Е Мп, ||ф|| = 1 выполняется

T

0

Здесь и далее || • || — евклидова норма в соответствующем конечномерном пространстве.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для некоторого момента времени Т > 0 найдутся последовательности {ап} и {фп}, такие, что ап ^ 0, ||ф„|| = 1 и

т

0 ^ [ ||В0еА08фп! < а„.

Не ограничивая общности, можно считать, что фп ^ ф0, при этом ||ф0|| = 1.

0<

В силу непрерывности функции |B0eA°s^| получаем

т

J ||£0*eA°^oI ds = 0. о

Следовательно, В0еА°8ф0 = 0, в Е [0, Т], что в силу вполне управляемости пары (А0; В0) означает ф0 = 0, а это противоречит тому, что ||ф0|| = 1. □

Теорема 1. Пусть U — выпуклый компакт, содержащий управление и = 0 в качестве своей внутренней точки. Тогда, если 0 £ S0.y(T0,y0), то для любого T > T0 выполняется 0 £ int S0.y(T, у0).

Доказательство. Из условия 0 £ S0.y(T0,y0) следует [4], что p^|S0.y(T0,y0)) ^ 0 для любого вектора ф £ Rn.

Поскольку 0 £ int U, то для некоторого а > 0 выполняется Sr [0, а] С U, здесь и далее Sr [0, а] — шар радиуса а с центром в точке 0 из пространства Rr. Принимая во внимание лемму 1, для произвольных ф, ||ф|| = 1 и AT > 0 получаем

To+AT

р(ф|Н0.„ (T. + AT, y0)) = p(eA«To+AT >ф|{у0}) + I р(В0*еА5'Ф|и) ds =

0

To+AT

= p(eATo (eA° ATф) |{y0}) + J p(ß0*eAo(s-AT> (eA° ATф) | U) ds =

0

0 To

= p(eA0ToФЖу0})+ ^ p(B0*eAn0i|U) dn + J p(B0eA0nф1^) dn =

-AT 0

o 0 o 0

= p(^i|H0.„(T0,y0))^ p(B0*eA«n^i|U) dn > | p(B0eA“nФ11U) dn =

-AT -AT

oAT oAT oAT

* s

J p(B0e^Ф|U) ds ^ у p(B0e osФ|Sr[0, а]) ds = а у ||B0ФН ds ^ аа> 0.

0 0 0

Тем самым, в силу выпуклости множества достижимости [3, с. 78], получаем 0 £ Ш Бо,у(То + АТ,у0). □

Обозначим 0о — оптимальное время быстродействия перевода системы (5) из состояния у0 в 0 £ Кга.

Следуя [8, с. 69], для любого у £ определим множество

Я(у) = - А221А21у + Я

где

Я = J вЛ223 В и ¿¿,

о

а и — множество допустимых управлений, и обозначим

5о(Т,х°) = |ж = ^ : у £ 5о,у(T,y0), ^ £ Я(уА . (7)

Множество Я — выпуклый компакт в пространстве [8], опорная функция для Я имеет вид [4]

>* ~Л%

p^|R) = p(B2*eA22^|U)ds.

0

Лемма 2. Пусть пара (A22; B2) вполне управляема. Тогда

0 £ int Я.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Поскольку для некоторого а > 0 выполняется Sr [0, а] С U, то для произвольного ф £ Rm, ||ф|| = 1 имеем

+» + »

pWR) > J p^m[0,^])ds = а / К 00

Функция ^(ф) := J |Я2eA22^||ds выпукла на и, значит, непрерывна на всем 0

Rm. Тогда найдется вектор ф0, ||ф0|| = 1, такой, что

Жф0) = min ^(ф) ^ 0-

IHM

Предположим, что ^(фо) = / ||B2eA22Sф01ds = 0. Тогда еА225ф0 = 0, а это в си-

0

лу вполне управляемости пары (A22; B2) означает, что ф0 = 0. Пришли к противоречию с условием ||ф0|| = 1, следовательно, p(ф|Я) ^ я(ф) > 0 и 0 £ int Я. □

В [8, гл. 3, с. 70] доказано, что

limdn (S£, £0) = 0,

£—»0

где dn — метрика Хаусдорфа [15].

Напомним некоторые свойства хаусдорфова расстояния [15; 4]. Если Mj (i =1, 4) — выпуклые компакты, то

dn(Mi,M2) = sup |p(ф | Mi) - p^ | M2)| , (8)

11/1=1

dH(M1 + M2 , M3 + M4) ^ dH(M1, M3) + dH(M2, M4). (9)

Из равенства (8), в частности, следует, что если

lim dH(MV, M0) = 0,

V—0

то

lim0 „ inf 1 P(ф | MV) = ,, inf 1 P(ф | M0). (10)

V—0 / =1 / =1

В силу формулы Коши для системы (1), (2) справедливо равенство

“£(Т, x0 + px) = “£(Т, x0) + peAc TX, (11)

здесь матричная экспонента eAcT построена по матрице А£ (4). Из теоремы А. Б. Васильевой [5, т. 3.1, с. 55] следует, что при всех достаточно малых е мат-

AcT

рица eAcT ограничена равномерно по Т на конечном отрезке.

Лемма 3. Для рассматриваемых областей достижимости справедливо равенство

lim dH (“£(Т, x0 + pX), “0(T, x0)) = 0.

£,^—>0

Доказательство. В силу равенства (11), свойства (9) и равномерной ограниченности по е и Т матрицы eAc T справедливы соотношения

0 ^ dn (S£(T,x0 + pX), ^0(T,x0)) = dH (S£(T,x0) + peAcTX, E^T,x0) + {0}) ^

^ dH (S£(T,x°), ^0(T,x0)) + dH (peAcTX, {0}) —> 0.

£)(U—0

Теорема 2. При любых x0 и X существуют е0 > 0, p0 > 0 такие, что для любых е £ (0,е0), p £ (0,p0) задача (1)—(3) разрешима и

0(е,р) —► 00.

£,^—0

Доказательство.

1. Возьмем T = T0 + $ для произвольного $ > 0, тогда в силу теоремы 1

выполняется 0 £ int S0,y(Тг,y0), а значит, и Sn[0,r^] С S0,y(Тг,y0) для некоторого

гг. Считая, что для Гг выполняется Sm[0,гг] С R, и принимая во внимание вид множества “0 (T, x0) (7), имеем

Sn+m [0, гг] С ^0(Тг ,x0).

2. Докажем, что если 0 £ int S0(T,x0) для некоторого момента времени Тг, то существуют е0 > 0, p0 > 0 такие, что для любых е £ (0,е0), p £ (0,p0) выполняется 0 £ “£ (Тг, x0 + pX).

Пусть

Sn+m [0, гг] С ^0(Тг ,x0).

Тогда для любого ф £ Rn+m, ||ф|| = 1 выполняется

гг = р (ф | Sn+m [0, Гг]) ^ р (ф | Е^Тг, x0)) ,

что равносильно ( )

Гг ^ inf р(ф 1 “0(Тг,x0)) .

Imlf1

В силу леммы 3 и равенства (10) имеем

inf 1 р (ф 1 “£(Тг,x0 + px)) —► inf 1 р (ф 1 “0(Тг,x0)) ^ Гг > Гг.

1М1=1 £,м—0 у^у=1 2

Тогда найдутся такие е0, > 0, что при 0 <е<е0, 0 <^<^о выполняется

inf р (ф | 5£(Тй,ж0 + ^ж)) > ^,

IMI=i v 2

т. е.

0 е S [п Гг

n+ m

0- fj

С “£ (Тг ,x0 + px).

Отметим, что е0 и ß0 зависят от ö.

3. Задача быстродействия при таких е и ß разрешима [3, гл. 2, с. 138], и справедливо неравенство

0(e,ß) ^ Т = ©о + ö.

Отсюда следует, что

lim 0(е, ß) ^ lim 0(е, ß) ^ 0о + ö

£,^^0 £,^^0

или, переходя к пределу при ö ^ 0,

0 = lim 0(e,ß) ^ lim 0(e,ß) ^ 0о.

£,^^0 S,^^0

4. Предположим, что lim 0(e,ß) < 00, тогда найдется ö0 > 0 такое, что

£,^^0

0 < 00 — ö0.

Тогда найдется последовательность (en,ßn) ^ (0, 0) такая, что

0(en ßn) ----* 0 < 0 + ö0 < 00 (12)

п^<х>

и, начиная с некоторого номера,

0(en,ßn) ^ 0 + ö0. (13)

Для этих же (en,ßn) выполняется

0 е 5sn(0(en,ßn),x0 + ßnX). (14)

5. Отметим хорошо известный в теории оптимального управления [3] факт, что если 0 € и, управляемая система линейна X = А(£)х + В(£)м, и € и и 0 € 5(То, Хо) — области достижимости рассматриваемой системы к моменту времени То, то при всех Т > Т0 выполняется 0 € 5(Т1,Хо).

6. В силу предыдущего замечания из (13) и (14) получаем

0 € ^£п(0 + ¿о, хо + ^гах),

а значит, такое включение выполняется в силу леммы 3 и для предельного множества [15]

0 € ^о(0 + ¿о,х°)-

Отсюда следует, что в пространстве Rm

О £ ^о,у(0 + ¿о,у0)-

Поскольку в силу (12) выполняется 0 + ¿о < 0о, это противоречит тому, что 0о — время быстродействия приведенной системы. Значит, предположение п. 4 неверно и

lim 0(е, ß) = 0о.

£,^^о

Отметим, что с помощью аналогичных рассуждений можно установить непрерывность времени быстродействия 0(е,^) при фиксированном £ и ^ ^ 0.

В работе [9] для линейной задачи быстродействия с быстрыми и медленными переменными и многогранником в качестве ограничивающего множества доказано, что 0(£) ^ 0о при £ ^ 0.

3. О виде оптимального управления в случае единичного шара в качестве ограничивающего множества

Пусть теперь ограничивающее множество представляет собой единичный шар в пространстве Rr:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

U : ||u|| ^ 1. (15)

В силу полной управляемости системы (1) (замечание 1) и вида U (15) принцип максимума Понтрягина [1] для задачи (1)-(3), (15) является необходимым и достаточным условием оптимальности управления. Сопряженная система имеет вид ф = —A*ф. Поэтому ф = eA(0£,M-i)r£;jU. Согласно принципу максимума, оптимальное управление u£)^(t) удовлетворяет соотношению

(^(i),B£u£jM(i)) = max (ф£(^),В£м) = max (B£* eA^(0£-i)r£;M, u) = ||B£* eA(0 ’M-i)r£;M|,

l|u||<1

здесь и далее (•, •) — скалярное произведение в соответствующем конечномерном пространстве. Тогда при £ таких, что Б*еА(0£,м-*)г£;М = 0, оптимальное управление имеет вид

Б *РА(е, ,м-*)г

и£'"(()=ЦБ* еАке,„-,)Г::„.

Любой из векторов г£;М, удовлетворяющих (16), будем называть вектором, порождающим оптимальное управление.

Известно [4, с. 171], что оптимальное управление в задаче (1)-(3), (15) единственно. Из (1)-(3), (16) получаем

A 0 , о ~N f eA£(0^-i)E£ E£* eA(0^-i)r£ „ ,

e £ £ (x + ^x) + -----.. —a*(0--t)-----------------------и-~ dt, (17)

J ||E* eA(0^-t)r£;J v 7

после замены переменной интегрирования по формуле т = 0£ — £ приходим

к эквивалентному равенству (17) соотношению

г рА£т в в * „А*т„

0 = 0£-(х0 + ^)+ / е ¿т. (18)

,, . е^тre ,ßII

0

Тем самым, вектор г£ , ß является вектором, порождающим оптимальное управление, тогда, и только тогда, когда г£ , ß удовлетворяет соотношению (18). Таким образом, исходная задача сводится к исследованию уравнения (18). Важным свойством данного уравнения является то, что в правой части стоит непрерывная функция. А именно, справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть V(t) — аналитическая матрицезначная функция, удовлетворяющая условию: если для вектора r существует такой интервал (a,ß), что V(t)r = 0 при t 6 (a,ß), то r = 0. Тогда отображение

i9

F(rtf)= / V*WV(t)r dt

F (r,Ö) J ||V(i)r|| dt

¿0

непрерывно в любой точке (r0 ,$0): r0 = 0, $0 > t0.

Доказательство. 1. Рассмотрим функцию <^(t) := ||V(t)r0 B. В силу условия леммы функция <^(t) на любом фиксированном отрезке имеет лишь конечное число нулей (в противном случае из аналитичности функции V(t) следовало бы V(t)r0 = 0, а значит, и r0 = 0). Пусть ti,... , tk — нули функции <^(t) на [t0, $], без ограничения общности будем считать, что t0 <t1 < ... < tk < $. Возьмем

1

0 < А min |ti - ti+i|

3 i€1,k-1

и рассмотрим представление функции F(r, $)

k ¿i+A

FM) = £ f ■ + FA(r, ^), (19)

i=1ti- A

где

1 ¿i+i-A ti-A

k 1 Л Л Л

FaM) = £ J ■ + J ■ + J

i 1 ¿i+A ¿o tfc+A

2. Рассмотрим интегралы в FA(r, $). На каждом из отрезков /0 := [t0, t1 — А], / := [ti + А, ti+1 — А], /k := [tk — А, $] запишем

||V (t)r || = ||V (t)r0 + V (^Аг||.

Поскольку функция ^(¿) непрерывна на каждом отрезке и не обращается в нуль на нем, то || V(£)г0|| ^ сДА) > 0, поэтому при всех Аг, удовлетворяющих условию ||Аг|| < сДА)/К, где К ^ IV(¿)|| (£ € /¿, г £ 0,к), выполняется

V*(£^(£)(го + Аг) 7 V*(£^(£)го «V («)(го + Аг) || 7 «V (£)го| ■

Тем самым, отображение Ед(г, $) непрерывно по г.

3. Поскольку

Мг11 ^ ||V*(£)| ^ Ко,

«V (i)r|

(i)V (i)r

€ 2fcKoA.

k ij+A

I V *(i)V (i)r , b UViiVII dT

i=1 ii- A

«V (i)r|

Пусть Arn ^ 0, тогда при достаточно больших n выполняется ||Arn|| € q(A)/K для всех i £ 1, k. Следовательно,

0 € lim ||F(r0 + Arn,$) — F(r0,$)|| € lim ||F(r0 + Arn,$) — F(r0,$)|| € akK0A

для некоторой постоянной a > 0. Теперь перейдем к пределу при A ^ 0 и получим, что

F(r0 + Arn,$) — F(r0,$) —> 0. (20)

4. Пусть теперь Arn ^ 0 и A$ ^ 0, тогда

||F(r0 + Ar„,^0 + A$) — F(r0,$0)|| €

€ ||F(r0 + Ar„,^0 + A#) — F(r0 + Ar„,#0)|| + ||F(r0 + Ar„,$0) — F(r0,#0)||-

Отсюда с учетом соотношений (20) и

||F(r0 + Ar„,^0 + A$) — F(r0 + Ar„,$0)|| € KA$ —> 0

следует непрерывность F(r, $) в точке (r0,$0). □

4. О пределе оптимального управления

Естественным образом возникает вопрос о связи между вектором r£;jU, удовлетворяющим уравнению (18), и вектором r0, порождающим оптимальное управление в вырожденной задаче (5), (6). Установим такую связь для системы (1) в случае A21 = 0 и единичного шара в качестве ограничивающего множества:

у = А0У + A12Z + Biu, ( )

(21)

ei = A22Z + B2M,

U : ||u|| € 1.

В силу теории А. Б. Васильевой равномерная асимптотика вАгТ (при А21 = 0) на любом ограниченном отрезке имеет вид

А т I еА0Т £ НА0Т^12А-1 + О (в-^7)) + О (в2) ' вАТ = I . т I , в ^ 0

0 вА227

при 0 ^ т ^ 01, 7 > 0. Считаем, что 01 > 0о. Тогда

. / вАоТВо + О (в-7т) + О (в) \

вАтВ£ = \ т , в ^ 0, 0 ^ т ^ 01. (22)

6 V в-1вА22 7 В2 ) '

Уравнение (18) положительно однородно относительно вектора г£;М, поэтому

будем считать, что ||г£ «|| = 1 и г£„ —> го, ||го|| = 1. Представим

’ ’ £,^^о

Теорема 3. Если гє,и — вектор, порождающий оптимальное управление в задаче (21), (2), (3), (15), ||г£ „|| = 1 и г£ и —► го, то

є , и^0

2

Го= о,

1

г0

1

и го есть вектор, порождающий оптимальное управление в вырожденной задаче (5), (6).

Доказательство. Умножим уравнение (18) скалярно на г£;М:

0= (вАо07-(уо + ^А,д) + О (в|| Г£)М ||) + О + I ||В* вАтг£;(и|| ¿т. (23)

о

Здесь О — асимптотический нуль относительно степенной асимптотической последовательности (вгаст}, т. е. У7 > 0 О = о(в7), (в ^ 0).

Предположим, что го= 0 (т.е. г£,м —> 0), тогда из (23) следует, что

£,^^о

/ ||Вє* е £ТГє,и|| —> 0.

J є є,и^0

о

Учитывая соотношение (22) и условие I, выполним преобразования

[ ||В* еАТГє,и II ^т =

(Во* вА0Т + о (в-77)) Г£;М +О (в) + в-1в2вА-7 Г£)М

о

©£,лУ£

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(во вА06« + о (в-7«)) Г£;М +о (в) + в-1В2*еА-« Г£)М

¿т

©£,лУ 6

О (в) + В*вА22« Г

£,М

1 ©£,лУ£

^=/■ + / ■

о1

1

Поскольку каждое слагаемое неотрицательно, то / ||О (в) + В* в^22« г

£,М

о

£,^—»о

0.

Но О (в) + В* в^22« г£>м —> В* в^22« го равномерно по £ € [0,1]. Следователь-

£,^—о

но, / || В * в^22« г о || = 0 и В* в^22« г о = 0. В силу вполне управляемости пары

о

1

(А22,В2) отсюда следует, что го = 0. Тогда, учитывая предположение го = 0,

получаем ||го|| = 0, что противоречит равенству ||го|| = 1. Таким образом, 11

£,М

£,^—о

го= 0.

Рассмотрим первую группу из п уравнений в (18)

©?

0 = вАо©Еуо + О (в + ^) + / (вАоТВо + О (в-7?) + О (в))

В* вА?Тг

£,М

|В * вА

вА?' г

¿т. (24)

£,М |

Последний интеграл разобьем на сумму двух:

©? ,л

■, где 5 = вр, р € (0, 1).

Отметим, что

й ©Е ,Д

/ ■ + / ■

о й

О (1) ¿т = О (5) —о 0, о

(25)

(вАоТВо + О (в))

Во*вА°Т г£^ +О (в)

|Во*вАот г£+О (в)

¿т.

Поскольку Во*вАоТ г£+О (в) —> Во*вАоТ го равномерно вне сколь угодно малого

£,^—о

(по мере) открытого множества, содержащего нули функции ВовАоТ го (которых

в

й

а

© Е ,Л © Е , /Л

конечное число), то

©г ©0 1

Г _____ Г еАоТВоВ0*еА^Т го

У є,м^оУ II в*єА5т Гп II

г о |Вое 0 Го II

поэтому из (24) с учетом (25) получим, что

©о

¿т, (26)

Л©о..о , I еАоТВоВ„‘еА5Т Го

Ч7

0 = еА0©0уо + I - ~- ¿т, (27)

|ВпеА0Т го "

1

а это означает, что вектор го есть вектор, порождающий оптимальное управление предельной задачи.

Умножим равенство (24) скалярно на Гє,„ и перейдем к пределу при є, ^ 0, принимая во внимание соотношения (25)-(27), получим

вГ ([С'є(т)Гє,р]1,Гє,Л . 1 .

ИВ■ А-Т II ¿т —0- еА0©0у°,г„) , (28)

] |В^еЛ0Т Гє ,„|| є,„^0 \ /

где

С(т) := еАтВєВ^ еАт.

Далее запишем

©г г ©г

J ||В■ еАОт Гє ,„|| ¿т = J ■ +У ■, 6 = єр, р Є (0,1).

о о г

Поскольку

©Г([Сє(т)Гє,„]1, Гє,„} *?‘( [Сє(т)Гє.„]2, Гє,„

г

и в силу (28)

|Ве ^ = У ||В5е4>тГє„В Ч «В0*еА0т^,|| ¿т-

V ([Сє(г)Гє„]1. Гє„)

є V ) ' є,Ш 5 ' є,и / / , 1

■ АоТ-й—^ ¿т —► - (е 0©0У0, Го

|В^ еА0Т Гє,и| є,м^° \

©Г( [Сє(т)Гє,и]2, ГєЛ

У ||В0* еА0Т Гє,и| ¿т = O,

то

|Вє0 еАОтГє „II ¿т + /еА0©0У0, ГЛ —> 0.

’ \ / є,„^0

©г

©г

Тогда из равенства (23) следует, что

©й

|В° е гТГє,„| ¿т —> 0.

є,„^0

С другой стороны,

©й ©1 ©й/£

|В0 еАоТГє,„| ¿т = є|Вє0 еАОє«Гє,„| ¿Є + / є|В0 еАОє«Гє,„| С

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

а значит, и

©1

є||В0 еАОє«Гє,„| ¿Є = Ц0 (є) + В0 еА-« Гє,„ II 0.

є,„^0

2

Следовательно, В2 в^22« го = 0 ив силу вполне управляемости пары (А22,В2)

го = 0. □

Отметим, что в силу этой теоремы выполняется

и£,^(^) ^ «о(^)

£,^—о

равномерно на всех замкнутых множествах, не содержащих точек разрыва предельного управления.

Далее дополнительно сформулируем условие на пару (Ао, Во), при котором справедливо соотношение

Цг£,м|| = 1 =^ г^ —► го, ||го|| = 1.

£,м—о

Условие V. Пусть пара (Ао,Во) такова, что если Во вАо 1 г1 || Во вАо*г2 на некотором промежутке (а,в), то г1 || г2.

Отметим, что условие, близкое к условию V, рассматривалось ранее в [12].

Лемма 5. Пусть для пары (Ао,Во) выполнено условие V. Если /1 и /2 — векторы, порождающие оптимальное управление в задаче (5), (6), и Ц^Ц = ||/2|| = 1, то /1 = 12.

Доказательство. На любом промежутке, не содержащем нулей оптимального управления, справедливо равенство

во вАа (©о-*)/1 во вА о (©о-*)/2

(29)

|В0 еАо(©0-і)/Г|| IIВО еА 0(©0-і)/2|| ’

Умножив (29) скалярно на ВО еА°(©0 4)/Г, получим, что

||В0 еА0(©0-і)/і| ■ ||В0 еА0(©0-4)/2! = <В° еА0(©0-4)/2, В0 еА 0(©0-і)/і>

1

что эквивалентно соотношению

B eA0Tli || B eATl2.

В силу условия V найдется Л = 0, что /1 = Л/2. Тогда из (29) получим, что Л/|Л| = 1, т. е. Л > 0. Поэтому 1 = |/1| = Л||12|| = Л ■ 1, т. е. Л =1 и /1 = l2. □

Тем самым, при выполнении условия V нормированный вектор l0, порождающий оптимальное управление в предельной задаче (5), (6), единственный.

Следствие 1. Если для пары (A0,B0) выполнено условие V и ||г£)М|| = 1, то г£)М —► Го.

Список литературы

1. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понт-рягин [и др.]. — М. : Физматгиз, 1961. — 391 с.

2. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. — М. : Наука, 1968. — 476 с.

3. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. — М. : Наука, 1972. — 576 с.

4. Благодатских, В. И. Введение в оптимальное управление / В. И. Благодатских. — М. : Высш. шк., 2001. — 239 с.

5. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М. : Наука, 1973.

6. Kokotovic, P. V. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast models / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Automat. Control. — 1975. — Vol. 20, № 1. — P. 111-113.

7. Васильева, А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Мат. анализ. Итоги науки и техники. — М. : ВИНИТИ, 1982. — Т. 20. — С. 3-77.

8. Дончев, А. Системы оптимального управления : возмущения, приближения и анализ чувствительности / А. Дончев. — М. : Мир, 1987. — 156 с.

9. Гичев, Т. Р. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия / Т. Р. Гичев, А. Л. Дончев // Приклад. математика и механика. — 1979. — Т. 43, № 3. — С. 466-474.

10. Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 1. — С. 3-51.

11. Данилин, А. Р. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий / А. Р. Данилин, А. М. Ильин // Техн. кибернетика. — 1994. — № 3. — С. 96-103.

12. Данилин, А. Р. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия / А. Р. Данилин, А. М. Ильин // Фундамент. и приклад. математика. — 1998. — Т. 4, № 3. — С. 905-926.

13. Данилин, А. Р. Асимптотика оптимального времени в сингулярно возмущенной линейной задаче быстродействия / А. Р. Данилин, О. О. Коврижных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 1. — С. 63-75.

14. Калинин, А. И. Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями / А. И. Калинин, К. В. Семенов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 3. — С. 432443.

15. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. — М. : Мир, 1973. — 472 с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.