О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ*

Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными переменными с геометрическими ограничениями на управление и малым независимым возмущением начальных данных. Исследуется вопрос о разрешимости этой задачи и о зависимости времени быстродействия и оптимального управления от этих малых параметров.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача быстродействия, сингулярно возмущенные задачи, малый параметр.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о быстродействии для линейной автономной системы с быстрыми и медленными переменными в классе кусочно-непрерывных управлений, принимающих значения из компактного выпуклого ограничивающего множества и С Кг, содержащего точку и = 0 внутри себя:

y = Any + A12Z + B\u,

ЄІ = А21У + A22Z + B2U,

y(0) = y0 + ^y, z(0) = z° + ¿Z,

y(0) = 0, z(0) = 0, 0 —> min,

(1)

(2)

(3)

где £ > 0, ^ > 0 — малые параметры, y £ Rn, z £ Rm, u £ Rr.

Условие I. ReA(A22) < 0.

Условие II. Пара (A22; B2) вполне управляема, что эквивалентно условию [3]

rank [B2, A22B2,... , AT1^] = m.

Введем обозначения

x

x

y0

x

Ар

A

11

є-1A21

A12

є-1А

22

Вырожденная задача (при е = ^

y = Aoy + Bqm,

B£

0)

y(0)

B1

є-1В2

y0,

(4)

(5)

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 11-01-00679, 11-01-00073) и Программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-6249.2010.1).

0

z

у(0о) = 0, ©о —► min, (6)

где Ао = All — А12 А-1A21, Во = Bl — Ai2A-21B2, u(t) G U.

Условие III. Пара (A0; B0) вполне управляема.

Условие IV. Начальный вектор у0 выбран так, что задача (5), (6) разре-

шима.

Замечание 1. При выполнении условий II, III найдется е0 > 0 такое, что при всех 0 < е ^ е0 пара (Ае, В£) вполне управляема [6].

2. Доказательство разрешимости задачи (1)—(3)

Пусть £е(Т, ж0) — область достижимости системы (1)-(2) из начального состояния х0 к моменту времени Т [3, 8].

Приведенная система [8, гл. 3] имеет вид (5). Обозначим 20>у(Т, у0) С Кп — область достижимости приведенной системы. Опорная функция [15] этого множества записывается в виде [4]

т

р(^|-0,у(Т,у0)) = Р(еАоТф|{у0}) + /р(в0еА0"ф|и)

0

Лемма 1. Если пара (А0; В0) вполне управляема, то для любого момента времени Т > 0 найдется а > 0 такое, что для всех векторов ф Е Мп, ||ф|| = 1 выполняется

T

0

Здесь и далее || • || — евклидова норма в соответствующем конечномерном пространстве.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для некоторого момента времени Т > 0 найдутся последовательности {ап} и {фп}, такие, что ап ^ 0, ||ф„|| = 1 и

т

0 ^ [ ||В0еА08фп! < а„.

Не ограничивая общности, можно считать, что фп ^ ф0, при этом ||ф0|| = 1.

0<

В силу непрерывности функции |B0eA°s^| получаем

т

J ||£0*eA°^oI ds = 0. о

Следовательно, В0еА°8ф0 = 0, в Е [0, Т], что в силу вполне управляемости пары (А0; В0) означает ф0 = 0, а это противоречит тому, что ||ф0|| = 1. □

Теорема 1. Пусть U — выпуклый компакт, содержащий управление и = 0 в качестве своей внутренней точки. Тогда, если 0 £ S0.y(T0,y0), то для любого T > T0 выполняется 0 £ int S0.y(T, у0).

Доказательство. Из условия 0 £ S0.y(T0,y0) следует [4], что p^|S0.y(T0,y0)) ^ 0 для любого вектора ф £ Rn.

Поскольку 0 £ int U, то для некоторого а > 0 выполняется Sr [0, а] С U, здесь и далее Sr [0, а] — шар радиуса а с центром в точке 0 из пространства Rr. Принимая во внимание лемму 1, для произвольных ф, ||ф|| = 1 и AT > 0 получаем

To+AT

р(ф|Н0.„ (T. + AT, y0)) = p(eA«To+AT >ф|{у0}) + I р(В0*еА5'Ф|и) ds =

0

To+AT

= p(eATo (eA° ATф) |{y0}) + J p(ß0*eAo(s-AT> (eA° ATф) | U) ds =

0

0 To

= p(eA0ToФЖу0})+ ^ p(B0*eAn0i|U) dn + J p(B0eA0nф1^) dn =

-AT 0

o 0 o 0

= p(^i|H0.„(T0,y0))^ p(B0*eA«n^i|U) dn > | p(B0eA“nФ11U) dn =

-AT -AT

oAT oAT oAT

* s

J p(B0e^Ф|U) ds ^ у p(B0e osФ|Sr[0, а]) ds = а у ||B0ФН ds ^ аа> 0.

0 0 0

Тем самым, в силу выпуклости множества достижимости [3, с. 78], получаем 0 £ Ш Бо,у(То + АТ,у0). □

Обозначим 0о — оптимальное время быстродействия перевода системы (5) из состояния у0 в 0 £ Кга.

Следуя [8, с. 69], для любого у £ определим множество

Я(у) = - А221А21у + Я

где

Я = J вЛ223 В и ¿¿,

о

а и — множество допустимых управлений, и обозначим

5о(Т,х°) = |ж = ^ : у £ 5о,у(T,y0), ^ £ Я(уА . (7)

Множество Я — выпуклый компакт в пространстве [8], опорная функция для Я имеет вид [4]

+»

>* ~Л%

p^|R) = p(B2*eA22^|U)ds.

0

Лемма 2. Пусть пара (A22; B2) вполне управляема. Тогда

0 £ int Я.

Доказательство. Поскольку для некоторого а > 0 выполняется Sr [0, а] С U, то для произвольного ф £ Rm, ||ф|| = 1 имеем

+» + »

pWR) > J p^m[0,^])ds = а / К 00

+»

Функция ^(ф) := J |Я2eA22^||ds выпукла на и, значит, непрерывна на всем 0

Rm. Тогда найдется вектор ф0, ||ф0|| = 1, такой, что

Жф0) = min ^(ф) ^ 0-

IHM

+»

Предположим, что ^(фо) = / ||B2eA22Sф01ds = 0. Тогда еА225ф0 = 0, а это в си-

0

лу вполне управляемости пары (A22; B2) означает, что ф0 = 0. Пришли к противоречию с условием ||ф0|| = 1, следовательно, p(ф|Я) ^ я(ф) > 0 и 0 £ int Я. □

В [8, гл. 3, с. 70] доказано, что

limdn (S£, £0) = 0,

£—»0

где dn — метрика Хаусдорфа [15].

Напомним некоторые свойства хаусдорфова расстояния [15; 4]. Если Mj (i =1, 4) — выпуклые компакты, то

dn(Mi,M2) = sup |p(ф | Mi) - p^ | M2)| , (8)

11/1=1

dH(M1 + M2 , M3 + M4) ^ dH(M1, M3) + dH(M2, M4). (9)

Из равенства (8), в частности, следует, что если

lim dH(MV, M0) = 0,

V—0

то

lim0 „ inf 1 P(ф | MV) = ,, inf 1 P(ф | M0). (10)

V—0 / =1 / =1

В силу формулы Коши для системы (1), (2) справедливо равенство

“£(Т, x0 + px) = “£(Т, x0) + peAc TX, (11)

здесь матричная экспонента eAcT построена по матрице А£ (4). Из теоремы А. Б. Васильевой [5, т. 3.1, с. 55] следует, что при всех достаточно малых е мат-

AcT

рица eAcT ограничена равномерно по Т на конечном отрезке.

Лемма 3. Для рассматриваемых областей достижимости справедливо равенство

lim dH (“£(Т, x0 + pX), “0(T, x0)) = 0.

£,^—>0

Доказательство. В силу равенства (11), свойства (9) и равномерной ограниченности по е и Т матрицы eAc T справедливы соотношения

0 ^ dn (S£(T,x0 + pX), ^0(T,x0)) = dH (S£(T,x0) + peAcTX, E^T,x0) + {0}) ^

^ dH (S£(T,x°), ^0(T,x0)) + dH (peAcTX, {0}) —> 0.

£)(U—0

□

Теорема 2. При любых x0 и X существуют е0 > 0, p0 > 0 такие, что для любых е £ (0,е0), p £ (0,p0) задача (1)—(3) разрешима и

0(е,р) —► 00.

£,^—0

Доказательство.

1. Возьмем T = T0 + $ для произвольного $ > 0, тогда в силу теоремы 1

выполняется 0 £ int S0,y(Тг,y0), а значит, и Sn[0,r^] С S0,y(Тг,y0) для некоторого

гг. Считая, что для Гг выполняется Sm[0,гг] С R, и принимая во внимание вид множества “0 (T, x0) (7), имеем

Sn+m [0, гг] С ^0(Тг ,x0).

2. Докажем, что если 0 £ int S0(T,x0) для некоторого момента времени Тг, то существуют е0 > 0, p0 > 0 такие, что для любых е £ (0,е0), p £ (0,p0) выполняется 0 £ “£ (Тг, x0 + pX).

Пусть

Sn+m [0, гг] С ^0(Тг ,x0).

Тогда для любого ф £ Rn+m, ||ф|| = 1 выполняется

гг = р (ф | Sn+m [0, Гг]) ^ р (ф | Е^Тг, x0)) ,

что равносильно ( )

Гг ^ inf р(ф 1 “0(Тг,x0)) .

Imlf1

В силу леммы 3 и равенства (10) имеем

inf 1 р (ф 1 “£(Тг,x0 + px)) —► inf 1 р (ф 1 “0(Тг,x0)) ^ Гг > Гг.

1М1=1 £,м—0 у^у=1 2

Тогда найдутся такие е0, > 0, что при 0 <е<е0, 0 <^<^о выполняется

inf р (ф | 5£(Тй,ж0 + ^ж)) > ^,

IMI=i v 2

т. е.

0 е S [п Гг

n+ m

0- fj

С “£ (Тг ,x0 + px).

Отметим, что е0 и ß0 зависят от ö.

3. Задача быстродействия при таких е и ß разрешима [3, гл. 2, с. 138], и справедливо неравенство

0(e,ß) ^ Т = ©о + ö.

Отсюда следует, что

lim 0(е, ß) ^ lim 0(е, ß) ^ 0о + ö

£,^^0 £,^^0

или, переходя к пределу при ö ^ 0,

0 = lim 0(e,ß) ^ lim 0(e,ß) ^ 0о.

£,^^0 S,^^0

4. Предположим, что lim 0(e,ß) < 00, тогда найдется ö0 > 0 такое, что

£,^^0

0 < 00 — ö0.

Тогда найдется последовательность (en,ßn) ^ (0, 0) такая, что

0(en ßn) ----* 0 < 0 + ö0 < 00 (12)

п^<х>

и, начиная с некоторого номера,

0(en,ßn) ^ 0 + ö0. (13)

Для этих же (en,ßn) выполняется

0 е 5sn(0(en,ßn),x0 + ßnX). (14)

5. Отметим хорошо известный в теории оптимального управления [3] факт, что если 0 € и, управляемая система линейна X = А(£)х + В(£)м, и € и и 0 € 5(То, Хо) — области достижимости рассматриваемой системы к моменту времени То, то при всех Т > Т0 выполняется 0 € 5(Т1,Хо).

6. В силу предыдущего замечания из (13) и (14) получаем

0 € ^£п(0 + ¿о, хо + ^гах),

а значит, такое включение выполняется в силу леммы 3 и для предельного множества [15]

0 € ^о(0 + ¿о,х°)-

Отсюда следует, что в пространстве Rm

О £ ^о,у(0 + ¿о,у0)-

Поскольку в силу (12) выполняется 0 + ¿о < 0о, это противоречит тому, что 0о — время быстродействия приведенной системы. Значит, предположение п. 4 неверно и

lim 0(е, ß) = 0о.

£,^^о

□

Отметим, что с помощью аналогичных рассуждений можно установить непрерывность времени быстродействия 0(е,^) при фиксированном £ и ^ ^ 0.

В работе [9] для линейной задачи быстродействия с быстрыми и медленными переменными и многогранником в качестве ограничивающего множества доказано, что 0(£) ^ 0о при £ ^ 0.

3. О виде оптимального управления в случае единичного шара в качестве ограничивающего множества

Пусть теперь ограничивающее множество представляет собой единичный шар в пространстве Rr:

U : ||u|| ^ 1. (15)

В силу полной управляемости системы (1) (замечание 1) и вида U (15) принцип максимума Понтрягина [1] для задачи (1)-(3), (15) является необходимым и достаточным условием оптимальности управления. Сопряженная система имеет вид ф = —A*ф. Поэтому ф = eA(0£,M-i)r£;jU. Согласно принципу максимума, оптимальное управление u£)^(t) удовлетворяет соотношению

(^(i),B£u£jM(i)) = max (ф£(^),В£м) = max (B£* eA^(0£-i)r£;M, u) = ||B£* eA(0 ’M-i)r£;M|,

l|u||<1

здесь и далее (•, •) — скалярное произведение в соответствующем конечномерном пространстве. Тогда при £ таких, что Б*еА(0£,м-*)г£;М = 0, оптимальное управление имеет вид

Б *РА(е, ,м-*)г

и£'"(()=ЦБ* еАке,„-,)Г::„.

Любой из векторов г£;М, удовлетворяющих (16), будем называть вектором, порождающим оптимальное управление.

Известно [4, с. 171], что оптимальное управление в задаче (1)-(3), (15) единственно. Из (1)-(3), (16) получаем

A 0 , о ~N f eA£(0^-i)E£ E£* eA(0^-i)r£ „ ,

e £ £ (x + ^x) + -----.. —a*(0--t)-----------------------и-~ dt, (17)

J ||E* eA(0^-t)r£;J v 7

после замены переменной интегрирования по формуле т = 0£ — £ приходим

к эквивалентному равенству (17) соотношению

г рА£т в в * „А*т„

0 = 0£-(х0 + ^)+ / е ¿т. (18)

,, . е^тre ,ßII

0

Тем самым, вектор г£ , ß является вектором, порождающим оптимальное управление, тогда, и только тогда, когда г£ , ß удовлетворяет соотношению (18). Таким образом, исходная задача сводится к исследованию уравнения (18). Важным свойством данного уравнения является то, что в правой части стоит непрерывная функция. А именно, справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть V(t) — аналитическая матрицезначная функция, удовлетворяющая условию: если для вектора r существует такой интервал (a,ß), что V(t)r = 0 при t 6 (a,ß), то r = 0. Тогда отображение

i9

F(rtf)= / V*WV(t)r dt

F (r,Ö) J ||V(i)r|| dt

¿0

непрерывно в любой точке (r0 ,$0): r0 = 0, $0 > t0.

Доказательство. 1. Рассмотрим функцию <^(t) := ||V(t)r0 B. В силу условия леммы функция <^(t) на любом фиксированном отрезке имеет лишь конечное число нулей (в противном случае из аналитичности функции V(t) следовало бы V(t)r0 = 0, а значит, и r0 = 0). Пусть ti,... , tk — нули функции <^(t) на [t0, $], без ограничения общности будем считать, что t0 <t1 < ... < tk < $. Возьмем

1

0 < А min |ti - ti+i|

3 i€1,k-1

и рассмотрим представление функции F(r, $)

k ¿i+A

FM) = £ f ■ + FA(r, ^), (19)

i=1ti- A

где

1 ¿i+i-A ti-A

k 1 Л Л Л

FaM) = £ J ■ + J ■ + J

i 1 ¿i+A ¿o tfc+A

2. Рассмотрим интегралы в FA(r, $). На каждом из отрезков /0 := [t0, t1 — А], / := [ti + А, ti+1 — А], /k := [tk — А, $] запишем

||V (t)r || = ||V (t)r0 + V (^Аг||.

Поскольку функция ^(¿) непрерывна на каждом отрезке и не обращается в нуль на нем, то || V(£)г0|| ^ сДА) > 0, поэтому при всех Аг, удовлетворяющих условию ||Аг|| < сДА)/К, где К ^ IV(¿)|| (£ € /¿, г £ 0,к), выполняется

V*(£^(£)(го + Аг) 7 V*(£^(£)го «V («)(го + Аг) || 7 «V (£)го| ■

Тем самым, отображение Ед(г, $) непрерывно по г.

3. Поскольку

Мг11 ^ ||V*(£)| ^ Ко,

«V (i)r|

(i)V (i)r

€ 2fcKoA.

k ij+A

I V *(i)V (i)r , b UViiVII dT

i=1 ii- A

«V (i)r|

Пусть Arn ^ 0, тогда при достаточно больших n выполняется ||Arn|| € q(A)/K для всех i £ 1, k. Следовательно,

0 € lim ||F(r0 + Arn,$) — F(r0,$)|| € lim ||F(r0 + Arn,$) — F(r0,$)|| € akK0A

для некоторой постоянной a > 0. Теперь перейдем к пределу при A ^ 0 и получим, что

F(r0 + Arn,$) — F(r0,$) —> 0. (20)

4. Пусть теперь Arn ^ 0 и A$ ^ 0, тогда

||F(r0 + Ar„,^0 + A$) — F(r0,$0)|| €

€ ||F(r0 + Ar„,^0 + A#) — F(r0 + Ar„,#0)|| + ||F(r0 + Ar„,$0) — F(r0,#0)||-

Отсюда с учетом соотношений (20) и

||F(r0 + Ar„,^0 + A$) — F(r0 + Ar„,$0)|| € KA$ —> 0

следует непрерывность F(r, $) в точке (r0,$0). □

4. О пределе оптимального управления

Естественным образом возникает вопрос о связи между вектором r£;jU, удовлетворяющим уравнению (18), и вектором r0, порождающим оптимальное управление в вырожденной задаче (5), (6). Установим такую связь для системы (1) в случае A21 = 0 и единичного шара в качестве ограничивающего множества:

у = А0У + A12Z + Biu, ( )

(21)

ei = A22Z + B2M,

U : ||u|| € 1.

В силу теории А. Б. Васильевой равномерная асимптотика вАгТ (при А21 = 0) на любом ограниченном отрезке имеет вид

А т I еА0Т £ НА0Т^12А-1 + О (в-^7)) + О (в2) ' вАТ = I . т I , в ^ 0

0 вА227

при 0 ^ т ^ 01, 7 > 0. Считаем, что 01 > 0о. Тогда

. / вАоТВо + О (в-7т) + О (в) \

вАтВ£ = \ т , в ^ 0, 0 ^ т ^ 01. (22)

6 V в-1вА22 7 В2 ) '

Уравнение (18) положительно однородно относительно вектора г£;М, поэтому

будем считать, что ||г£ «|| = 1 и г£„ —> го, ||го|| = 1. Представим

’ ’ £,^^о

Теорема 3. Если гє,и — вектор, порождающий оптимальное управление в задаче (21), (2), (3), (15), ||г£ „|| = 1 и г£ и —► го, то

є , и^0

2

Го= о,

1

г0

1

и го есть вектор, порождающий оптимальное управление в вырожденной задаче (5), (6).

Доказательство. Умножим уравнение (18) скалярно на г£;М:

0= (вАо07-(уо + ^А,д) + О (в|| Г£)М ||) + О + I ||В* вАтг£;(и|| ¿т. (23)

о

Здесь О — асимптотический нуль относительно степенной асимптотической последовательности (вгаст}, т. е. У7 > 0 О = о(в7), (в ^ 0).

Предположим, что го= 0 (т.е. г£,м —> 0), тогда из (23) следует, что

£,^^о

/ ||Вє* е £ТГє,и|| —> 0.

J є є,и^0

о

Учитывая соотношение (22) и условие I, выполним преобразования

[ ||В* еАТГє,и II ^т =

(Во* вА0Т + о (в-77)) Г£;М +О (в) + в-1в2вА-7 Г£)М

о

©£,лУ£

(во вА06« + о (в-7«)) Г£;М +о (в) + в-1В2*еА-« Г£)М

¿т

©£,лУ 6

О (в) + В*вА22« Г

£,М

1 ©£,лУ£

^=/■ + / ■

о1

1

Поскольку каждое слагаемое неотрицательно, то / ||О (в) + В* в^22« г

£,М

о

£,^—»о

0.

Но О (в) + В* в^22« г£>м —> В* в^22« го равномерно по £ € [0,1]. Следователь-

£,^—о

но, / || В * в^22« г о || = 0 и В* в^22« г о = 0. В силу вполне управляемости пары

о

1

(А22,В2) отсюда следует, что го = 0. Тогда, учитывая предположение го = 0,

получаем ||го|| = 0, что противоречит равенству ||го|| = 1. Таким образом, 11

£,М

£,^—о

го= 0.

Рассмотрим первую группу из п уравнений в (18)

©?

0 = вАо©Еуо + О (в + ^) + / (вАоТВо + О (в-7?) + О (в))

В* вА?Тг

£,М

|В * вА

вА?' г

¿т. (24)

£,М |

Последний интеграл разобьем на сумму двух:

©? ,л

■, где 5 = вр, р € (0, 1).

Отметим, что

й ©Е ,Д

/ ■ + / ■

о й

О (1) ¿т = О (5) —о 0, о

(25)

(вАоТВо + О (в))

Во*вА°Т г£^ +О (в)

|Во*вАот г£+О (в)

¿т.

Поскольку Во*вАоТ г£+О (в) —> Во*вАоТ го равномерно вне сколь угодно малого

£,^—о

(по мере) открытого множества, содержащего нули функции ВовАоТ го (которых

в

й

а

© Е ,Л © Е , /Л

конечное число), то

©г ©0 1

Г _____ Г еАоТВоВ0*еА^Т го

У є,м^оУ II в*єА5т Гп II

г о |Вое 0 Го II

поэтому из (24) с учетом (25) получим, что

©о

¿т, (26)

Л©о..о , I еАоТВоВ„‘еА5Т Го

Ч7

0 = еА0©0уо + I - ~- ¿т, (27)

|ВпеА0Т го "

1

а это означает, что вектор го есть вектор, порождающий оптимальное управление предельной задачи.

Умножим равенство (24) скалярно на Гє,„ и перейдем к пределу при є, ^ 0, принимая во внимание соотношения (25)-(27), получим

вГ ([С'є(т)Гє,р]1,Гє,Л . 1 .

ИВ■ А-Т II ¿т —0- еА0©0у°,г„) , (28)

] |В^еЛ0Т Гє ,„|| є,„^0 \ /

где

С(т) := еАтВєВ^ еАт.

Далее запишем

©г г ©г

J ||В■ еАОт Гє ,„|| ¿т = J ■ +У ■, 6 = єр, р Є (0,1).

о о г

Поскольку

©Г([Сє(т)Гє,„]1, Гє,„} *?‘( [Сє(т)Гє.„]2, Гє,„

г

и в силу (28)

|Ве ^ = У ||В5е4>тГє„В Ч «В0*еА0т^,|| ¿т-

V ([Сє(г)Гє„]1. Гє„)

є V ) ' є,Ш 5 ' є,и / / , 1

■ АоТ-й—^ ¿т —► - (е 0©0У0, Го

|В^ еА0Т Гє,и| є,м^° \

©Г( [Сє(т)Гє,и]2, ГєЛ

У ||В0* еА0Т Гє,и| ¿т = O,

то

|Вє0 еАОтГє „II ¿т + /еА0©0У0, ГЛ —> 0.

’ \ / є,„^0

©г

©г

Тогда из равенства (23) следует, что

©й

|В° е гТГє,„| ¿т —> 0.

є,„^0

С другой стороны,

©й ©1 ©й/£

|В0 еАоТГє,„| ¿т = є|Вє0 еАОє«Гє,„| ¿Є + / є|В0 еАОє«Гє,„| С

о

а значит, и

©1

є||В0 еАОє«Гє,„| ¿Є = Ц0 (є) + В0 еА-« Гє,„ II 0.

є,„^0

2

Следовательно, В2 в^22« го = 0 ив силу вполне управляемости пары (А22,В2)

го = 0. □

Отметим, что в силу этой теоремы выполняется

и£,^(^) ^ «о(^)

£,^—о

равномерно на всех замкнутых множествах, не содержащих точек разрыва предельного управления.

Далее дополнительно сформулируем условие на пару (Ао, Во), при котором справедливо соотношение

Цг£,м|| = 1 =^ г^ —► го, ||го|| = 1.

£,м—о

Условие V. Пусть пара (Ао,Во) такова, что если Во вАо 1 г1 || Во вАо*г2 на некотором промежутке (а,в), то г1 || г2.

Отметим, что условие, близкое к условию V, рассматривалось ранее в [12].

Лемма 5. Пусть для пары (Ао,Во) выполнено условие V. Если /1 и /2 — векторы, порождающие оптимальное управление в задаче (5), (6), и Ц^Ц = ||/2|| = 1, то /1 = 12.

Доказательство. На любом промежутке, не содержащем нулей оптимального управления, справедливо равенство

во вАа (©о-*)/1 во вА о (©о-*)/2

(29)

|В0 еАо(©0-і)/Г|| IIВО еА 0(©0-і)/2|| ’

Умножив (29) скалярно на ВО еА°(©0 4)/Г, получим, что

||В0 еА0(©0-і)/і| ■ ||В0 еА0(©0-4)/2! = <В° еА0(©0-4)/2, В0 еА 0(©0-і)/і>

1

что эквивалентно соотношению

B eA0Tli || B eATl2.

В силу условия V найдется Л = 0, что /1 = Л/2. Тогда из (29) получим, что Л/|Л| = 1, т. е. Л > 0. Поэтому 1 = |/1| = Л||12|| = Л ■ 1, т. е. Л =1 и /1 = l2. □

Тем самым, при выполнении условия V нормированный вектор l0, порождающий оптимальное управление в предельной задаче (5), (6), единственный.

Следствие 1. Если для пары (A0,B0) выполнено условие V и ||г£)М|| = 1, то г£)М —► Го.

Список литературы

1. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понт-рягин [и др.]. — М. : Физматгиз, 1961. — 391 с.

2. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. — М. : Наука, 1968. — 476 с.

3. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. — М. : Наука, 1972. — 576 с.

4. Благодатских, В. И. Введение в оптимальное управление / В. И. Благодатских. — М. : Высш. шк., 2001. — 239 с.

5. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М. : Наука, 1973.

6. Kokotovic, P. V. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast models / P. V. Kokotovic, A. H. Haddad // IEEE Trans. Automat. Control. — 1975. — Vol. 20, № 1. — P. 111-113.

7. Васильева, А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Мат. анализ. Итоги науки и техники. — М. : ВИНИТИ, 1982. — Т. 20. — С. 3-77.

8. Дончев, А. Системы оптимального управления : возмущения, приближения и анализ чувствительности / А. Дончев. — М. : Мир, 1987. — 156 с.

9. Гичев, Т. Р. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия / Т. Р. Гичев, А. Л. Дончев // Приклад. математика и механика. — 1979. — Т. 43, № 3. — С. 466-474.

10. Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 1. — С. 3-51.

11. Данилин, А. Р. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий / А. Р. Данилин, А. М. Ильин // Техн. кибернетика. — 1994. — № 3. — С. 96-103.

12. Данилин, А. Р. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия / А. Р. Данилин, А. М. Ильин // Фундамент. и приклад. математика. — 1998. — Т. 4, № 3. — С. 905-926.

13. Данилин, А. Р. Асимптотика оптимального времени в сингулярно возмущенной линейной задаче быстродействия / А. Р. Данилин, О. О. Коврижных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 1. — С. 63-75.

14. Калинин, А. И. Асимптотический метод оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с многомерными управлениями / А. И. Калинин, К. В. Семенов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 3. — С. 432443.

15. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. — М. : Мир, 1973. — 472 с.