Двумерные поверхности в е 4, кривизна грассманова образа которых минимальна Текст научной статьи по специальности «Математика»

Двумерные поверхности в ЕА

УДК 513.81

К. О. Кизбикенов

Двумерные поверхности в е4, кривизна грассманова образа которых минимальна

Пусть F двумерная регулярная поверхность в Е4. В некоторой точке А поверхности касательные векторы е1, е2 задают бивектор <х, а нормальные

векторы е3

— бивектор у. Если точка А

пробегает всю поверхность F, то бивектор а опишет некоторую поверхность Г в Е6 — грас- сманов

образ поверхности F [1]. Поверхность Г является в большинстве случаев двумерным подмногообразием грассманового многообразия G\ двумерных плоскостей в Е4. Пусть к — секционная кривизна грассманова многообразия G\ по двумерной площадке а, у в точке поверхности Г, соответствующей точке А. Известно [1], что О < к < 2. Цель работы — выяснить, для каких поверхностей кривизна к — 0 или к = 2, а также выяснить особенности грассманова образа таких поверхностей. Ю.А. Аминов [1] вывел формулу для нахождения к

В окрестности точки А поверхности F введем полугеодезическую систему координат иV. Вектор е1 направим вдоль линии и, а вектор е2 Тогда производные вектор- функции ,задающей поверхность F, будут иметь вид

вдоль ЛИНИИ 1'.

г = г(и,г)).

Лт

Ли

— ТР1 йи — Л

— хе > Лм — е •

этом случае

где Кги = 2 ab — гауссово кручение, а Кд — а2 +/З2 — а2 — Ь2 — гауссова кривизна поверхности F, а а, (3 — координаты центра (вектора средней кривизны), а,6 — полуоси эллипса индикатрисы нормальной кривизны [2]. Очевидно, что к минимально тогда и только тогда, когда Кд — О и Кги = 0. Известно, что любой бивектор а (в частности, касательный) можно представить в виде суммы двух единичных векторов щ и п2, где конец вектора ш пробегает двумерную сферу Si, конец вектора п2 — двумерную сферу S2. Таким образом <т = -)=(щ + гг2). При этом Si лежит в трехмерной плоскости Е2, а S2 — в Е%. Объемлющее

пространство Е6 есть прямая сумма плоскостей Е\ и Е%. Нормальный бивектор

где i = 1...4, Лг = 1...4 и к ф i. По предположению а = е3 Л е4, у = е1 Л е2. Шесть бивекторов е* Л е1, i < — 1...4 образуют подвижный репер в Е6. Введем обозначения: координаты производных

векторов а, у в этом подвижном репере будут следующими:

сг«х(0, ап, — а13| а24, — <*23,0);

<М0, 014, ~013,024, ~023, 0);

7и(0. «23, «24. -«13, -«14,0);

7«(О,023, — 024, —013, ~/?14, о).

Выясним, в каких случаях грассманов образ поверхности F на сферах Si, S2 представляют собой некоторые кривые. Необходимым условием для этого является коллинеарность векторов

П1и И п2и ^ 7^2г

или

с/ = —8 /3 х2 62 + 8 0 х2 а2+ +24 х2 а2 Ь2-16х2 а3Ь—

-8/32 х2 а2 -8 хг а2 а2-—8 х2 а2 Ь2 — 16 х2 а 63+ + 16 /?2 х2 Ьа + 4 /З4 х2+

+4 х а +4 х а +

+4 64 х2 + 16 х2 а2 6 а = 0,

И = — 8 /З2 х2 Ь2 + 8 Р2 х2 а2+

+24 х2 а2 Ь2 + 16 х2 а3 6 — 8 02 х2 а2— —8 х2 а2 а2 — 8 х2 а2 62+

+16 х2 а 63 — 16 /?2 х2 6 а + 4 /З4 х2+ +4 х2 а4 4- 4 х2 а4 + 4 64 х2—

4

е

МАТЕМАТИКА

— 16 х2 а2 6 а =

0. или

</ = 4 х2 ((а + 6)2 — /?2 — а2)2 = 0;

О — Ах2 ((а — Ь)2 — /З2 — а2)2 = 0.

6 = 0, а = + 021

или ________

а = 0, 6 = \/а2 + /З2.

Решая этусистему уравнений, получим

Отсюда видно, что гауссовы кривизна и кручение

таких поверхностей равны нулю.

Верно и обратное утверждение, т.е. если грассманов образ поверхности есть сумма двух кривых ц 1 и /]-2, то такие поверхности имеют

минимальную кривизну грассманова образа к = 0 Докажем это. Пусть пх = (сой(их(<)) вт(1;1(<)),

сов(и! (<)) со«(VI (1)), ат(и! (<)), 0,0,0)

■ вектор-функция, задающая кривую'""1 , а

п2 = (0,0,0, С05(и2(в)) «т(и2(в)); еов(и2(в))со5(и2(в)),вт(и2(8))) вектор-

где и,, и,- —

И 2,

(7= 4- (щ +п2); кривую

1 , . ах Б',-. Тогда

7 = 72 _г*2)-

— 1 I (<»«■>«) («'.'Г.)*-(*«•>.)*

* -1 + •

Для вычисления к воспользуемся формулой

Легко убедиться, что в этом случае к = 0. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема. Кривизна грассманова образа регулярной поверхности F достигает минимума, равного 0, тогда и только тогда, когда Г есть сумма двух кривых, лежащих в Si и Кроме того, такие поверхности имеют нулевые гауссовы кривизну и

Литература

1. Аминов Ю.А. Определение поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве по ее грассманову образу // Мат. сборник. Вып. 117. 1982. N 2.

2. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональ

ном репере. М., 1960.

3. Кизбикенов К.О. Двумерные поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве с данным грассмановым образом. Деп. в ВИНИТИ АН СССР, рег. N 6568-83 от 5.12.1983.