О двумерных поверхностях в четырехмерном евклидовом пространстве с переменным эллипсом индикатрисы нормальной кривизны и переменным вектором средней кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

О двумерных поверхностях

УДК 513.81

А.М. Ломшаков

О двумерных поверхностях в четырехмерном евклидовом пространстве с переменным эллипсом индикатрисы нормальной кривизны и переменным вектором средней кривизны

движения репера Т определяются формулами

В работе рассматриваются двумерные поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве с переменными осями и переменными координатами центра эллипса индикатрисы нормальной кривизны (э.и.н.к.). Исследуется вопрос существования такого рода поверхностей методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Картана.

Пусть I2 - двумерная регулярная поверхность в Е4. Пусть векторы е1 (гг, г>), Є (и, у), е3(и,у), е4(и,у) образуют подвижный ортонор - мированный репер Г на I2, такой, что векторы е1 и е2 лежат в касательной

v являются внутренними которые будем считать

поверхности Р-, и и координатами на Р, полугеодезичес- кими.

Векторы е1 и е2 подвижного репера направим вдоль координатных линий ииу. Тогда ясно, что ги(и,у) = же1, Ту(и,у) — е2 [1]. Векторы е3 и е4 направим вдоль главных осей э.и.н.к. в некоторой точке М Е Р. Пусть а(и>у)> Ъ(и,у) - переменные полуоси, а(и,у), 0{и,у) -переменные координаты центра э.и.н.к. в нормальной плоскости относительно базиса М, е3, е4. Скорости

Гауссова кривизна К = a2 — а2 + 0 — b2 [2]. Гауссово кручение Kp = “Jab [2].

Необходимые условия интегрируемости системы (1)

Одним из достаточных условий являются

А = 2Ь&, (йГ — па - Ь2) - 2bvfi(a + аа) -f bfj((a -f a) + /? )v

Ді = - а«)(п + a)(b2)‘u - і(а„ + а„)(а - a)(b2)'v + і ((а + а)2 + /32)|,((а - а)2 + 02)'и -

Р2ЬиЬу - Ь2

Д2 = (62)„(а2 — Ь2 + /З2 — act) — a(a + а)((а — а)2 + /32)и + 2b2(a -f а)(а« — аи); Дз = aj3v ((а — a)2 + 02)и — 2abubv/3 (а„ + av)/3(b2)u — 2b~(ciu аи)(Зи;

Д4 = 2а&(/?„/?„ — bubv) + 2 abv(au — а„)(а + а) — Ь(аи — а„)((а + а)2 + /?2)„ + b(av + а,

Рассмотрены случаи, когда среди компонент а, Ь, а, 0 встречаются постоянные (не более трех). В некоторых из них система (3) будет иметь сокращенный вид

а) - а, а - переменные, 6, 0 - постоянные; а - переменная, 6, а, 0- постоянные;

а- переменная, а, Ь, 0 - постоянные, в этих случаях Дз = 0.

б) при а — а = О, Дз = Д4 = 0, Кр — 2аЬ = 0, система (3) будет иметь вид.

выполнение условия Д2 ф 0 не обязательно.

плоскости, а векторы е3 и е4 в нормальной плоскости

МАТЕМАТИКА

Рассмотрены также случаи, когда либо = О, либо 2 = О, либо = Д2 = О. Справедливы теоремы:

Теорема 1.Компоненты скорости движения репера Т : х, aij, bij, удовлетворяющие условиям (2) (3) определяют двумерную поверхность и только одну при заданном на чальном положении репера Т.

Теорема 2.Если а = Ь= 0, то а2 + /?2 = const, х

Cicosi/or2 + j32v + C^siny/а2 + где Су,

С2 не зависят от переменной v.

Если С I2 + С22 = const, то поверхностью изо-

метрична либо двумерной сфере либо двумерной поверхности постоянной положительной кривизны.

УДК 5:

Теорема 3 .Если а = Ь = а = 0, то р- п стоянное, х —

CicospSv + C2sinp3v, где Q, C2i зависят от переменной v.

Если С 2 i + С22 — const, то поверхноа

изометрична, либо двумерной сфере, либо дв мерной поверхности постоянной положительн: кривизны.

Аналогично теореме 3 формулируется теор ма для случая, когда а = b = р = 0.

Доказательства данных теорем основав на интегрировании системы дифференциальны

уравнений в частных производных (1) с начав: ными условиями (2) и (3).

1. Кизбикенов К.О. Двумерные поверхности в СССР, per. п. 6568-83 от 5.12.1983 г., 28 с. четырехмерном евклидовом пространстве с данным 2. Картан Э. Риманова геометрия в ортом

грассмановым образом. Деп. в ВИНИТИ АН нальном репере. М., 1960.