ДВОЙСТВЕННЫЙ ОБРАЗ РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ SHM Текст научной статьи по специальности «Математика»

extremals of rotation (I.E.R) (along I.E.R. geodesic curvature is proportional to Gaussian curvature). It has been proved that only trivial rotary diffeomorphisms (geodesic diffeomorphisms) have a property of reciprocity.

УДК 514.75

ДВОЙСТВЕННЫЙ ОБРАЗ РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ SHm

С.Ю.В о л к о в а

(Калининградское ВВМУ)

Продолжается изучение регулярных касательно (г,/)-оснащенных гиперполос SHm [1]. Показано, что в дифференциальной окрестности 2-го порядка регулярная гиперполоса SHm индуцирует проективное пространство Рп двойственное исходному Pn(Vm) относительно некоторого инволютивного преобразования J, порождаемого гиперполосой SHm. Введен в рассмотрение двойственный образ гиперполосы SHm относительно преобразования J-нормально (/,г)-кооснащенная гиперполоса 8Ы m. Дано задание гиперполосы 8Ы m и описана ее геометрическая структура.

Во всей работе используются обозначения работ [1], [2], а также следующая схема индексов:

J,K,L,...= 1,п; p,q,r,s,t,..= 1,г; i,j,k,l,...= г + 1,т; ], К = 0, п; аДу,...= т + 1,п - 1; а, (3, у = т + 1,п; u,v,w,...= г + 1,п - 1; й, V,... = г + 1,п; А, В,С = 1,г, т + 1,п; a,b,c= 1,т, п.

1. Регулярная гиперполоса ^ называется касательно (^-оснащенной, если ее базисная поверхность Vm несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л^) распределений касательных r-плоскостей Л=Л(А) и касательных /-плоскостей L=L(A)(r+/=m) [1] таких, что в каждой точке Ае Vm:

[Л^]^, Л(A)nL(A)=A, (1.1)

где ^ - касательная гиперплоскость к Vm в точке А. Такие гиперполосы будем обозначать SHm. Известно [1], что в репере 1-го порядка R1={AJ} гиперполоса SHm задается уравнениями (соответствующие замыкания не выписываются):

©а=о, ©а=о, ©п=Л*ч ©© п=ц© J,

^а Аи а „а та„ J \1 „Ь

© р = Лрд© ^ , © 1 = ЬуШ -1, © р = ЛрЬ© ,

(1.2)

a _ N aq© , © a _ N aj®

©p=Lpb®b, ©a=n aq ©q, ©a = n a,®j.

где

ДП _ 0 ТП _ о да _ О та _ о

A[pq] _ U, btlj] _ U, д [pq] _ U, btlj] _ U,

N[apq] _ N[apsAqn]S _ о, Nj _ n[kAj]K _ U. .

Отметим, что условия

L°p _Anpi _ U, L[j _A[[p _ U (1.4)

необходимы и достаточны, чтобы касательные распределения A-плоскостей и L-плоскостей были сопряженными. Геометрически это означает, что при инфини-тезимальных смещениях плоскости одного семейства касательных плоскостей (A или L) вдоль интегральных линий другого семейства касательных плоскостей (L или A) эта плоскость не выходит из соответствующей касательной плоскости Tm базисной поверхности Vm гиперполосы SHm [3].

Семейство главных касательных гиперплоскостей t=t(A) порождает в каждой точке Ae Vm следующие две плоскости:

def

а) плоскость Ф _ Xn-r-1- характеристику семейства главных касательных гиперплоскостей {т}, полученную при смещениях гиперплоскости т вдоль интегральных линий A - распределения:

шUU _ о, шp ре, D0=едеo, v^p -цр (е° +ш°) _дре; (1.5)

def

б) плоскость ¥ _ Xn-z-1-характеристику семейства главных касательных гиперплоскостей {т}, полученную при смещениях гиперплоскости т вдоль интегральных линий L-распределения:

шA _ о, шo 1 е, Dе=едеv^1 1 (е° +ш°)+ це. (1.6)

Таким образом, с базисной поверхностью Vm^ SHm ассоциируюся два семейства плоскостей Ф и ¥ , которые назовем в дальнейшем Ф-распределением и ¥-распределением, причем в каждой точке Ае Vm выполняется соотношение:

def

Фп¥=хп-Г-1 _ х. (17)

Наконец, отметим, что условия

N[p _ N[ _ 0 (1.8)

означают, что при инфинитезимальных смещениях характеристики х (1.7) гиперполосы SHm вдоль интегральных линий Д-распределения (1.5) она остается в ¥-плоскости, а при инфинитезимальных смещениях характеристики х вдоль интегральных линий L-распределения (1.6) она остается в Ф-плоскости.

2. Для того чтобы воспользоваться двойственной теорией ^(A,L)-распределений [2] при исследовании гиперполосы SHm, необходимо вместо

тензора H[р [2], который для гиперполосы SHm просто не определен (ш[ = H[ршр , где ш[ =0 и шр =0), построить новый тензор такого же строения. Следуя работе [4], для гиперполосы SHm введем в рассмотрение невырожденный тензор b [ р и ему взаимный b [р, удовлетворяющий условиям:

vb а р+ь а о=ь а Рь ©Ь, ь аР ь ?=§а, vь а(- ь а3© о=- ь ау ь ? ьп

Ы = ёе

ь а п

у^Ь п

©

гО , Ь

Ф 0, ё1пЫ + (п-т-1)(©О + ©п) -2©а = ЫЬ©

vь а пь + 2Ь а пь © о+ь ап (© ь -лпьс © п) - о,

(1.9)

где

ЫЬ = ЬппЬ(ЗаЬ ■

В силу того, что

Л =

лп

ра

ф о, ь =

Тп

ф о,

(1.10)

можно ввести в рассмотрение обратные тензоры Лра и Л^, компоненты которого определяются из соотношений

(1.11)

Лра ла =5 р, Ы =5 к

и удовлетворяют уравнениям:

vЦ1 - Ц © о = -вдьпк1ь ©ь, vлInq - ЛР? © о = -лрп л? Л*ь

функции Л и L (1.10)- относительные инварианты 2-го порядка:

ё1пЛ = 2©р - г(©° +©п) + Л°Ь©

ё1пь = цац = 2© 1 -1(© ° +© п)+ь°Ь ©Ь,

(1.13)

где

= дра дп Л Ь = Л п Л ряЬ'

Ь° = ТЧТп ЬЬ = ЬпЬ1)Ь •

(1.14)

3. Введем в рассмотрение систему из (п+1)2 форм Пфаффа © ^ [2]

к

© § =© §, © ° =© о, © а = ©а = о, ©ап =©п = о,

© п =© п =

© п =

Лра © °

1 п ^ а :

©J =

п

^ © О

© п =

- ьра© °

©п =©п -

п + 1

ФЬ© © р = лп,а © п, © р = -дуъп ©

©р

= -д!ьап©а, ©п = -д1 ©а, ©° =©о -

ра

1 ФО©Ь

п +1

'Ь© о:

© р =© р +Лп дпарЬ© Ь -

п + 1

5 р ФЬ© оЬ, © о = Ц © п,

1

© к=© к+ькь]1Ь© ь - х

п + 1

5 коь © ь, © р = - ц лрп? © ?,

© г=- ць п п©п, © п=- ц © о, © а=Ьра© п,

а=-ЦХп©п, ©р =-лрпаь

ьп ©п

п ^п^ ч;

(1.15)

<

<

1

1

шр=шр + ЪРтЬПаЬшЬ --^5рФЬш

п +1

где

% = Ль + ^ь + Нь

фь =Л°Ъ + Ц + НЪ. (1.16)

Формы ш ^ удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства Рп и задают инфинитезимальные перемещения тангенциального репера

М: _

dтJ = ШК тж, (1.17)

где

^р^о^.Ап-^ Ъ^ЛАь.Ап-й (р=^^= ^

^Р^ [ AoAl...Aq-lAnAq+1...Ar, Ar+1...An-l],

я

п

Ра

п

)

Та=р^ Ьра [AoAl...AmAm+1...Ap-lAnAp+1...An-l],

Р

Используя формулы (1.2)-(1.4), (1.8)-(1.17) и следуя работам [2],[4], можно

К _к К

показать, что преобразование I: ш у ^ ш у форм ш у проективного пространства Pn по закону (1.15) является инволютивным, т.е. 1=1-1. Отсюда следует

Теорема 1. Регулярная гиперполоса 8Ит во второй дифференциальной окрестности ее образующего элемента индуцирует проективное пространство Р ), двойственное проективному пространству Рп(Ут) относительно инво-

лютивного преобразования I форм шК по закону (1.15) [4].

4. Определение. Регулярную гиперполосу Ит назовем нормально (/,г )-кооснащенной гиперполосой, если ее базисная поверхность Ут оснащена двумя полями нормальных плоскостей Кп-/ и Кп-г, т.е. в каждой точке Ae Ут выполняются соотношения:

К-/ П Кп-г=Кп-т,

где Н>т - нормаль 1-го рода гиперполосы Ит в смысле Нордена-Чакмазяна.

Дифференциальные уравнения регулярной гиперполосы БЫ т^ Р п, двойственной данной регулярной гиперполосе 8Ит ^Рп относительно инволютивного преобразования I (1.15), в силу теоремы 1 имеют аналогичный вид

ша = 0, ша = 0, шр = Л^ш4, шп = Цш J, шрр =Л,рчш ч, ша = Ьаш J, ш р = ЛрЬ шЪ, (1.18)

ш р=ьръ шь, ша = N ач шч, ш а= N а^,

где

ЛПР? = -дпр?, Ь = - Ц, Ла = -ЛП*ЬПп N п?,

ц = - цПкЬ пп N к, Л1рь = -ЛПрВДь, (1.19)

Ць = - Ц Лр? Л^, N рч = -Лрпьп пЛп?, ^ = - ь1кьп п ьпк,

(1.20)

Лпр? ] = о Ьш = о Лм = 0, = о

^ ар?]=N ар д?п]8=о, =N Лк л-п^=о.

Нормали N^1 и Кп-г пересекают касательную плоскость ^ соответственно по г-мерной плоскости Л и / -мерной плоскости L. В каждой точке Ае Vm, таким образом, определяются две плоскости Ф=[%^], ^=[%,Л], удовлетворяющие условиям:

^сЫп-1, ФсЫп-г.

При фиксации точки А плоскости Л^,%,¥,Ф,Кп-г,Кп-/ неподвижны, что приводит к заданию (1.18-(1.20) нормально (/,г)-кооснащенной гиперполосы БЫ m относительно тангенциального репера { т^ }. При этом условия (1.4), (1.8) данной гиперполосы SHm двойственны соответственно условиям:

дпр, =5=о =ч.=о о-2»

Nаp = о, N^1 = о. (1.22)

Геометрическая интерпретация (1.21) заключается в следующем: при инфините-зимальном смещении Ф-плоскости (^-плоскости) вдоль линий (1.5) [(1.6)] она проходит через соответствующую характеристику % гиперполосы БЫ m. Условия (1.22) означают, что при бесконечно малых смещениях плоскости БЫ m вдоль линий (1.5)[(1.6)] она проходит через L-плоскость [Л-плоскость]. Резюмируя, приходим к предложению:

Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка касательно (г,/)-оснащенная гиперполоса SHm (1.2), (1.3) порождает относительно инволютив-ного преобразования структурных форм по закону (1.15) двойственный ей образ

- нормально (/,г)-кооснащенную гиперполосу БЫ m , определяемую уравнениями (1.18), (1.20) относительно тангенциального репера (1.17).

Библиографический список

1. Волкова С.Ю. Касательно (г,1)-оснащенные гиперполосы проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып. 25. С.28-37.

2. Волкова С.Ю. О двойственных проективных связностях ^(Л,Ь)-распределения // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1993. Вып.24. С.28-37.

3. Акивис М.А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С.7-31.

4. Столяров А.В. Двойственная теория регулярных гиперполос и ее приложения. Чебоксары, 1994. 116 с.

S.Yu.Volkova DUAL IMAGE OF REGULAR HIPERSTRIP SHm

The study of regular tangentially-equipped hyperstrips SHm is continued. It is shown that in the differential neighborhood of the second order regular hyperstrip SHm induce a projective space, dual to the original with respect to some involute transformation, generated by the hyperstrip SHm. Dual image of the hyperstrip SHm is introduced with respect to an involute transformation i.e. normally skewequipped hyperstrip SH m. Representation of the hyperstrip SH m is given and described its geometric structure.

УДК 514.76+514.85

О РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С ИНТЕГРИРУЕМЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

А. А. З а й ц е в

(Калининградский государственный университет)

Рассматривается семейство римановых многообразий, обладающих свойством : в каждом из них уравнения геодезических допускают первый интеграл, выражающийся через метрику другого многообразия. Этого свойства достаточно для вычисления их метрик в предположении, что метрики диагональны. Уравнения геодезических в них интегрируются в квадратурах.

1. Рассмотрим множество Ьп п-мерных римановых многообразий, удовлетворяющих условию: Мп е Ьп, если уравнения геодезических в Мп допускают первый интеграл вида Б(х,х) = 1Ъу(х)х*х], причем в каждой точке Т(М): ёР(х,х)л ёТ(х,х)^ 0, Т(х,х) = *х] - кинетическая энергия в Мп (-

компоненты метрического тензора в Мп). Их исследованными случаями явля-

n Idx' I П / Л

ются многообразия Лиувилля с метрикой ds = v(x)^ V/ ', , v(x) = ^ v1( x1)

[1,с.170], [2,с.91]; эллипсоиды, уравнения геодезических на которых проинтегрировал Якоби [3], а также римановы многообразия с метрикой Штеккеля [2,с.93].

В [4] установлен следующий результат: если § ^ = §1к§-'1Ък1, то

§».оа тй№)_ §...(> а т§№ ) = 0, а ^ . (1)

ах