CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Доказательство. В равенстве (17) введем обозначения
1п = Гц — XKrj -XJXj. Действуя оператором Д, получим, что объект
l = {1ц} является тензором: Д/ц = 0. Обращение в нуль тензора l определяет принадлежность групповой связности Г пучку 1 -го типа, объ-
1 01 1 ект которого обозначим Г , тогда Г еГ.
Список литературы
1. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933. № 3. C. 81 - 89.
2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.; Л., 1950.
3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000. 112 с.
4. Белова О.О. Связности трех типов в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2001. С. 3 - 5.
5. Скрягина А.В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный оснащением Бортолотти плоскостной поверхности // Там же. 2000. С. 35 - 38.
O. Belova
CONNECTIONS OF THREE TYPES IN THE BUNDLE OVER AREA OF THE PROJECTIVE SPACE
In the projective space the area described by a point is concidered. Over area there is a main bundle, standard fiber which one is a subgroup of a stationarity of a point. In this bundle preset fundamental-group connection on the Laptev. It is proved, that rigging of Bortolotti (the normalization of the Norden) considered area induces centerprojective connections of 3 types in associate bundle. The conditions of their coincidence are obtained. The geometrical interpretation of induced connection of 1-st type is given.
Работа поддержана грантом Минобразования РФ (СПб КЦФЕ), кандидатский проект М03-2.1К-550.
УДК 514.75
С.Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт)
26
С.Ю. Волкова
СКОМПОНОВАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Изучается специальный класс скомпонованных трехсо-ставных распределений проективного пространства Рп [1], который назван S-распределением [2]. Приведено задание Б-распределения в репере первого порядка R1. Дана геометрическая интерпретация голономности основных структурных распределений S-распределения. Рассмотрен двойственный образ регулярного -распределения и двойственные проективные связности, ассоциированные с 8-распределением. Введены в рассмотрение четыре новых класса регулярных гиперполос проективного пространства.
Во всей работе индексы пробегают следующие значения:
1,К,Ь = 1,п ; 1,К,Ь = 0,п; г,у,к,I = г + 1,т; р,д,5,t = 1,г;
о, (3,у = т +1,п — 1; и,V = г + 1,п — 1; й,у,а = г + 1,п;
ос,¡3,у = т + 1,п; а,Ь,с = 1,т; А = (1,г; т + 1,п); р,а,т = 1,п — 1.
1. Выделим специальный класс Н-распределений [1], для которых М-распределение скомпоновано [3], т.е. Л(Х)шЬ(Х) = X, [Л(Х),Ь(Х)] = М(X). Этот класс Н-распределений обозначается
символом Н(Л^) [1]. Кроме того, потребуем, чтобы а) характеристика Ф(Х) (Ф-плоскость) гиперплоскости Н(Х), полученная при смещении центра Х вдоль интегральных линий Л-распределения, проходила через плоскость L(X); б) характеристика Т(Х) (Т -плоскость) гиперплоскости Н(Х), полученная при смещении центра Х вдоль линий L-распределения, проходила через плоскость Л(Х), что в результате приводит к условиям
Ьр = 0, Л"р, = 0. (1)
Условия (1) выделяют специальный класс скомпонованных Н(Л,Ь)-распределений, которые назовем 8-распределениями [2]. Репер 1-го порядка выбираем так, что
X = А>, {Ар } сЛ(Ао), {А,} с Ь(Ао), Ао с х п—т—х(Ао) = Х(А),
27
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
где А0) (х-плоскость) - характеристика гиперплоскости Н(А0) при смещении центра А0 вдоль интегральных кривых М-распределения. Имеем
®р = НрК®К' ®а = Н'оК®К ' НИр = 0 ^ = (2)
В силу условий (1; 2) S-распределение в Рп относительно репера Rl задается следующим образом:
®пр =А"рА®А = м"® = Н®, ®п = ЦцА = м® = Н®, ©р = Аарк® К = мр® К, ®" = ЦК® К = мК® К, (3)
®р = лрК®К ' ® = Цк®К®р = Нр©®р = Н рК®К®а = Н'оК®К ■
Системы величин Г = {Л^,Ь"1й, АааК,Л^,Ь^,Нр} , Г2 = {Гь
НаК, лРрАК> ¿рйК> Ккь, ПрКЬ' Цкь 'Нр} образуют геометрические объекты [4] соответственно 1-го и 2-го порядков S-распределения. 2. Используем систему из (п+1)2 форм Пфаффа [5]:
— О 0 1 ЛЧ О К —р р —О О
®О = ®О--ФК®О , ®О = ®О, ®п = ®п,
р + 1
®ОР = ®р +лрр"л"да©ОО+лрдлрд©р, ®р = -лрп®О,
■тт' _ , ток Тр а т'к тп п — а _ а тт аРттп п ®О =®О+ ЬпЬка®О + ЬпЬкп ®О ' ®О ®О + Нп Нр®О '
тт' — г'к,,О —р _ т_тРа О — О _ Лп а —' _ лп т-'к п ®о =-Ьк®1°' ®р =-Н Р ®а' ®р =лдр®п ' ®р =-лар^к®1'
—" " 1 гТ. О ,,К — а _ ло тт ар п т^О _ тп
-Ф/Г®п , ®„ =-л„„Н„ н®'а, ®, = Ь1г®„ ,
®о =®о--7Ф К® О ' ®р л прН о ® Р' ®' = ^ко®о '
О +1 И
®р =®р + лплОпрК®К -^ярФК®К, ®Пр = -л"пр®1' (4)
=®1 +^,К®К-—¿ф0®, ^ =-ьпо>лрпп®пч, +1
— а _ ТО тт ар к —О _ т_го р —о _ го / ®о =-^иИ-о ®Р' ®а = Нра®о ' ®' = -Ь]'®О '
=-ЬпНра®к' ® а =-лРпНра®Р' ®а°=-Нра®0 '
2«
С.Ю. Волкова
Ю = юра + Н рИОкаК--7®К®оК.
7 п +1
Формы Ю3 удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства и задают инфинитезимальные перемещения тангенциального репера {т}, где Бту =ю^Кт^. В статье [5] доказано, что
преобразование 1: ю! ^ю! форм ю! проективного пространства по закону (4) является инволютивным, т.е. J = J-1. Имея в виду эту инволютивность, будем говорить, что пространства Рп и Рп являются двойственными [6]. Дифференциальные уравнения регулярного 5 -распределения, двойственного данному регулярному 8-распределению, имеют вид, аналогичный уравнениям (3), (только все формы и функции, входящие в уравнения (3), пишутся с чертой сверху). Доказана
Теорема 1. Регулярное скомпонованное S-распределенuе проективного пространства Рп во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует 1) проективное пространство Рп, двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инволютивного преобразования J форм ю1
по закону (4); 2) скомпонованное распределение 5 с Рп, двойственное исходному.
На основании работы [6] доказаны следующие три теоремы.
Теорема 2. На оснащенном в смысле Картана базисном Л-рас-пределении данного S-распределения индуцируется первая линейная
1
проективная связность у, определенная путем проектирования. 1 _
Слоевые формы ю | соответствующего пространства проектив-
1
ной связности Р ,г имеют вид
1 1
р р р п а а а п
юр =ю0р—vрюo, юр =юр — КЮр ,
1 1
0 0 0 V 0 п 0 0 0 V 0 п
ю р =юр — хЮр — /юр, ю0=ю0 — — /оЮn,
29
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
л 0 0 0 А V У7 0 . р 0 0 о . 0 0 К п £
где л0 = X0 -Х0Ап, + К^р -Г1 = М °к®0 • ПРи любом смещении центра S-расnределения оснащающая плоскость Сп_г_\ (ор) в смысле Картана Л-распределения не выходит из нормали 1-го рода тогда и только тогда, когда она неподвижна. При этом плоскость Сп_г_1 (ор) является плоскостью Кенигса
1
нормали ор, а пространство Рп г является плоским.
Теорема 3. Оснащенное в смысле Картана регулярное базисное Л-распределение данного S-распределения в Рп, кроме первой линей-
1
ной связности проективного типа у, в случае симметрии основного
2 3
тензора Лрс[ индуцирует еще две линейные связности у, у, проективного типа, определяемые соответственно системами форм
2 12 12 1 1 1
р р 0 0 Р Р . 7 tsг^п а , о
®0 = ®p, ®0=®0, Юр=Юр+ Ь„СпрЧю1+Ф ро а 0,
2 1 1 1 а0р = а0р + (ЬЩСПр^ + СПроП )а 0 + Ф\оЬ + КоП )а 00;
3 13 13 1 1 1
р р 0 0 t t , / ts г^п а , /-г* о /с\
а5 = а0, а0=а0, а р=а р + Ь„ С$рда0 + Сpоа0, (5)
3 1 1 1
ар = а р+ (Ь*С;А + « )а %+С^ + ЬУ1)а 0,
1 1 3
где ао =ао — Лп аЦ . При этом а) пространства Рпг и Р пг являются
1 2
двойственными; б) пространства проективной связности Рпг и Рпг двойственны тогда и только тогда, когда Ф^ = И + х0д'р = 0. В этом
1 2 3
случае все три пространства Рпг, Р п г, Р пг попарно двойственны между собой.
Теорема 4. Оснащение в смысле Картана а) регулярной г-мерной гиперполосы И (М), оснащенной полем касательных т-мерных плоскостей М, 2 <т <п — 1, б) регулярной г-мерной гиперполосы И (£), в) г-мерной полосы Уг(т) порядка т, оснащенной полем касательных гиперплоскостей Н, г) вырожденной центрированной
30
С.Ю. Волкова
распадающейся m-мерной гиперполосы ранга r индуцирует два про-
1 2
странства проективной связности P гг и P гг, ассоциированных с указанными многообразиями (а - г), причем эти пространства двойственны относительно преобразований (5).
3. а) Система уравнений соЦ = 0, ассоциированная [5] с S-рас-пределением, вполне интегрируема тогда и только тогда, когда обращается в нуль тензор неголономности базисного Л-распределения
1
слаивается 1) на (п-г)-параметрическое семейство регулярных гиперполос SHr (L) специального класса, 2) на (п-т)-параметрическое семейство вырожденных центрированных распадающихся m-мерных гиперполос Hrm ранга r [1].
rvpq =— (Лр -Лр. В этом случае проективное пространство Pn рас-
б) Система уравнений ®А = О, ассоциированная с S-рас-пределением (L-распределением), вполне интегрируема тогда и
А
только тогда, когда тензор неголономности Гу оснащающего М-рас-
пределения равен нулю и М-распределение несет двухкомпонент-ную сопряженную систему (л^) [2]. Проективное пространство Рп в этом случае расслаивается на (п-т)-параметрическое семейство т-мерных гиперполос Нт, базисная поверхность каждой из которых несет двухкомпонентную сопряженную систему (г, I) [2]. Такие гиперполосы мы называем касательно (г,1)-сопряженными [7] и обозначаем 5Нт . Имеет место
Теорема 5. Регулярная гиперполоса 5Нт во второй дифференциальной окрестности ее образующего элемента индуцирует проективное пространство Рп (Ут), двойственное проективному простран-
ству Pn(Vm) относительно инволютивного преобразования форм со-
[7].
Определение. Регулярную гиперполосу Нт назовем нормально (1,г)-кооснащенной гиперполосой ЫНт, если ее базисная поверхность оснащена двумя полями нормальных плоскостей Ип- (А) и N г (А) таких, что в каждой точке А еУт выполняется соотноше-
31
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ние Nn_l (A) ^ Nn_r (A) = Nn_m (A), где Nn_m (A) - нормаль 1-го рода гиперполосы Hm в смысле Нордена-Чакмазяна.
Теорема 6. В дифференциальной окрестности 3-го порядка касательно (r,l)-сопряженная гиперполоса SHm порождает относительно инволютивного преобразования структурных форм по зако-
_ def
ну Ji [7] двойственный ей образ SHm = NHm - нормально (1,г)-соп-ряженную гиперполосу NHm , определяемую уравнениями
ТгР n T^n ~Tn —q —n TnTrj —a ~Ta — q —i ~Ti —b
= 0, ap =Apqpq, a, = LvaJ, ^ = A?qVq, ap =Kp#v ,
aa = 0, vp = Lpm1, a? = LV, VP = Hpqa4, aP = H'pVJ
относительно тангенциального репера {tj }.
^исок литературы
1. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992. 172 с.
2. Волкова С.Ю. H(A, L)--распределения проективного пространства //
Диф. геом. многооб. фигур. Калининград: Изд-во КГУ, 1991. Вып. 22. С. 23 - 25.
3. Норден А.П. Теория композиций // Пробл. геометрии. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 10. С.118 - 145.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. моск. матем. о-ва. М., 1953. № 2. С. 275 - 382.
5. Волкова С.Ю. О двойственных проективных связностях H(A, L) -распределения // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград: Изд-во КГУ, 1993. Вып. 24. С. 28 - 37.
6. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары: Изд-во Чебоксар. гос. пед. ин-та, 1992. 290 с.
7. Волкова С.Ю. Двойственный образ регулярной гиперполосы SH //
Диф. геом. многооб. фигур / Калинингр. ун-т. Калининград, 1998. Вып. 29. С.16 - 21.
S. Volkova
THE COMPOSED DISTRIBUTIONS OF THE PROJECTIVE SPACE
32
С.Ю. Волкова
The special class of the composed three-compound distributions of the projective space is studied, which one is called as S-distribution. The task of S-distribution in a frame of 1-st order is adduced. The geometrical interpretation of a holonomicity of the main structural distributions of S-distribution is given. The dual image of regular S-distribution and dual projective connections, associate with S-distribution is considered. Four new classes regular hyperstrips of the projective space are entered into consideration.
УДК 514.75
М.А. Гаер
(Иркутский государственный университет)
ТЕОРИЯ КРИВЫХ И ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
В СЕМИМЕРНОМ КОНФОРМНО-ОКТАВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В семимерном конформно-октавном пространстве V проведена канонизация репера кривой и гиперповерхности. Дана геометрическая характеристика канонического репера и инвариантов в пространстве V. Найдены кривые и гиперповерхности, для которых полученные реперы нельзя построить.
Введение
Рассмотрим конформно-октавное семимерное пространство V с фундаментальной группой • (Я \ {0}), в котором с точностью до скалярного множителя определено векторное произведение [,]. Для октавного репера ё,1 = 1,7 выполняются соотношения
[ё15 ё2 ] = ёз, ^ ё4 ] = ё5, е4 ] = е6 , ^ 64 ] = 67, \еъ ё3 ] = -ё2,
^ ё5 ] = -ё4 , [e1, ё6 ]=-ё7 ,
^ ё7 ] = ёб , ^ ё3 ]= ё1, [ё2, ё5 ]= ё7 , [ё2, ё6 ]=-ё4 , [ё2, ё7 ]=-ё5 , [ё3, ё5 ]=-ё6 , [ё3, ё6 ]= ё5 , (1)
[ё3, ё7 ]=-ё4 , ^65 ]= ё1, [ë4, ё6 ]= ё2 , [ё4, ё7 ] = ё3 , ё6 ] =-ё3 , [ё5 , ё7 ]= ё2 , [ё6, ё7 ]=-ё1 .
33
