CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
O. Belova
THE GEOMETRICAL CHARACTERISTIC FOR INDUCED CONNECTIONS OF GRASSMAN-LIKE MANIFOLD OF CENTRED PLANES
Grassman-like manifold Gr*(m,n) of centred m-planes is considered in the projective space Pn. Analog of Norden's normalization is made. This analog induces the connection of 1-st and 2-nd types in the fibering associated with the manifold Gr* (m, n).
Geometrical interpretation of the connections of two types in the fibering over the Grassman-like manifold of centred m-planes is given by means of mappings and parallel displacements.
УДК 514.75
С. Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт им. Ф.Ф. Ушакова, г. Калининград)
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ S-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Продолжается изучение нормальных связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей 1-го и 2-го рода базисного л-подрасслоения данного S-распределения [1—5], оснащенного в смысле Нордена — Картана [2] и Нордена — Бортолотти [5—7]. Выясняются аналитические и геометрические условия вырождения различных подгрупп этих связностей в одну связность.
Схема использования индексов такова:
J,K = 1,n; J,K = 0,n; p,q,t = 1,r;
u, v, w = r + 1,n -1; a = m + 1,n -1; u,v = r + 1,m.
В данной работе мы применяем обозначения и охваты геометрических объектов, построенных в работах [1—5]. Кроме
18
С. Ю. Волкова
81 82 8к
того, если берется одна из связностей V1, V1,..., V1, то вво-
81 8к
дятся обозначения (V1 — V1), а если все эти связности выро-
81-к
ждаются в одну, то применяются обозначения V1 .
Б-распределения, удовлетворяющие одному из условий [4]:
а) пара (Л, Ф ) распределений сопряжена или взаимна [2];
б) пара (М, X) распределений сопряжена или взаимна;
в) распределение несет пару (Л, Х) сопряженных распределений;
г) Б-распределение является сильно взаимным распределением [6], назовем его кратко ^-распределением.
Наконец, теоремы, сформулированные для Б -распределения, т.е для двойственного образа Б-распределения, будем обозначать символом (*).
1. Пусть Л-подрасслоение Б-распределения оснащено в смысле Нордена — Картана [2] и в смысле Нордена — Борто-лотти [5—7]. Как известно [7], эти оснащения двойственны друг другу относительно инволютивного преобразования ^ [1]. Возьмем другой проективный репер {В^}, адаптированный нормализации {V р, Ур} Л-подрасслоения:
В0 = Л0, Вр = Лр +урл0, Ву= АV, Вп = Лп +УрАр +Л>у, где
Vvn +шп = у>К, Vvp +©р = Урк©К, VЛVn + шП = ЛЖ.
Уравнения инфинитезимальных перемещений нового репера имеют следующий вид: dBJ = ОкВк . Система форм {9?, 9^} где
еи = о0й + г0Ж©К, 9! = ои-8ио0 + Г^кОК, (1)
определяет нормальную центропроективную связность [8] V1 в расслоении нормалей 1-го рода Л-подрасслоения, если
19
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
охваты компонент объекта связности {ГК, ГК} имеют следующий вид:
г0 -Гп - О- Г0 -Г0 --Х0Т0 Г0 - (х0)2
1 ир _ 1 пр _ 1 ир _ 1 пп _ 1 ир _ 1 ип _ 1 пи _ Ап^и > 1 пп _ > '
рп _ ^ 0 _ _ ^ 0 _ 0 , ^^ Т 0 Л
1 пп - 2хп, 1 ип - 1 пи - 0ихп, 1 иш - -(0иЬш + 0шЬиЛ
р0 _ т 0 т 0 . рп 0 р0 _рп 0 рп _рп _ т 0
1 uv - ЬuЬv + 1 uvХп , 1 пр - 1 прХп , 1 пи - 1 ип - Ьи ,
где х0 -V0 -Л^Х0, V0 --—(Vр -Лп VрVя),
м п п п V ' п ^ пр ря п п
а в качестве тензоров Цп,, Щ, можно взять любой из следующих охватов:
1 2 —
р; - 0, 1; - -(л^ +А0 + ЛраЦп)+bрqvn,
—
2
—
2
гп -- (Лп +10 + Лп Ла) + Ьп vq
пр ~ У-1 *-рп р п / ' "ря п >
тр (Лпп + 1р + ЛраТ) + Ь^,
5 1
1п --(Лп + Ь0 +Лп Ла) + Ьп vq
пр 2 ^ рп р 1п/ ' "р^п'
Щр - ■2(лпрп + Ьр +Лпра Ьап)+bnq vn,
П1 -Лп + V0 +Лп Vq +Лп Ла
пр пр р ря п ра п'
8
1п - лп +v 0 + лп -V q + лп та
пр пр р ря п ра п?
9 10
1п -ь0 ^0 + Ьп vq 1п - А,0 ^0 +Лп Vq (2)
х пр ир ур^иряуп> х пр ур ^^яр п'
11 12
-10-V0 +Лп Vп -Ь0-V0 +Лп Vп
пр р р яр п' пр р р яр п'
20
С. Ю. Волкова
13 14
Гп = С0 + 3Б0 -4v0 + 2ЛП Vч, Гп = С0 -V0 -Л11 Vч, (3)
пр 0 0 0 Ю п' п0 0 0 Ю п' ^ '
15
г4 = л4 тч л4 = 0
ГП0 л04 Тп, Л[0Ч] 0-
Система форм (9?, 9Ц"} [5], двойственная системе форм (9Ц, 9^} [1], определяет нормальную центропроективную связность V1 в расслоении нормалей 2-го рода Л-подрасслоения, охваты компонент объекта связности (ГЦК, ГЦК} которой приведены в работе [5].
2. Докажем, что справедлива
Теорема 1. На голономном Л -подрасслоении или на взаимном Л -подрасслоении с полем симметрического тензора ЛрЧ, оснащенном в смысле Нордена — Картана, связность
810 812 814
(V1-V1) совпадает со связностью V1 тогда и только тогда, когда Л -подрасслоение оснащено соответственно полем нормалей 1-го рода (Р^} (х = 1,3) [4], при этом выбор нормалей
х
2-го рода произволен.
Действительно, учитывая (2) и (3), находим:
810 814
(V1 = V1) = А0 - V0 + ь>п = С0 - ь>п - V0« 1
« Vп =-ь^ЧС" - А,0) = Рч
^^ п ~ п V^0 У А п '
2 1
811 814
(V1 = V1)«10 - Vp + ь; V п = С0 - ь; V п - V 0«
1 ае£
«V п = -ьп0(С0 -10) = Рпч,
2 2
812 814
(V1 = V1)« Ь0 - V 0 + ь; vn = С0 - ьnoV п - V 0«
1 ёеГ
«V п = 1ьпч(С0 - и0) = Рпч.
2 з
В силу двойственности оснащенного 8-распределения [1; 5] имеет место двойственное предложение.
21
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Теорема 1*. На голономном Л-подрасслоении или на взаимном Л-подрасслоении с полем симметрического тензора Лрч, оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти, связ-
812 812 _814
ность (V1-V1) совпадает со связностью V1 тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение оснащено соответственно полем нормалей 2-го рода (Р00} (6 — 8), при этом выбор нор-
х
малей 1-го рода произволен.
Доказательство. Для взаимного Л-подрасслоения с полем симметрического тензора (Л10ч = ь0ч) или голономного Л-подрасслоения выполняются соотношения [5]:
N° = С0, ьп^ = ь0ч4 = Л^, Б0 = ь0 = А0 = -А00 = -ь0, (4)
(5)
Лрч = ь0ч = -ь0ч = -Лп0ч, Лп0а = Лп0а = 0, Л^ = Лп0п,
Vp =A1ЧoVп, Vnч = -Л0пчь0 =-ь0, К0 =-Ь0. В силу (4) и (5) имеем:
810 814
(V1 - V1)« Ар - V; + ъчпр у? = Ср - б;-ур «
«У0 = -2(Я0 +А00) = Р00, (6)
2 (1) 811 814 _ _ _
(V1 = V1) «10 - ур0 + ьчп0Упч = С00 - ьп0уп -у0 «
«V 0 = -2(С0 + 10)==Р00, (7)
2
812 814
^п ТГч _Т70
(V1 = V1)« Ь0 -у0+п = С0 - ью V4 -у0 «
«у0 = 1(С0 + Ь0) = Р00. (8)
3. Рассмотрим голономное Л-подрасслоение данного 8-расп-ределения или Л-подрасслоение с полем симметрического
22
С. Ю. Волкова
тензора Л"рч данного 8-распределения, для которых Л"ра = 0. Выясним условия, при которых любая пара нормальных связ-
81-2 87-8 810
ностей из рассматриваемой тройки связностей (V1, V1, V1)
80
совпадает со связностью V1 :
(V1 = V1 = V1) ö
^(Л11 + X0) + bn V4 = 0
,-у ^-pn П ' nq n ' 2 ö-
ЛПпп +V n + blq V n = 0
ö
61-2 ¿10
1 def
v n =- 1bnt(X.0t +Л1п) = мп,
2 1
1 def
V1 = >0-Лппп)^м1, 21
(9)
¿0
(V1 = V1 = V1) ö
1 / \n , 0 ч , Т.И q p.
2(Л pn +Vp) + bpqVn = 0,
ö
,0 0 , 7 n q p. Xp -Vp + bqp^ = 0
0 p
vp = mp
00 Vp = Mp .
67-8 610 60 |лп +v n + bn v n = 0
(v1 = v1 = v1) ö| nn n nq n , ö
lXn -vn + bnqvn = 0
v n = мп
nn 1
v n = mn.
Аналогично доказываем, что условием совпадения любой пары из рассматриваемых троек нормальных связностей
63-4 67-8 611 65-6 67-8 612 60
(V1, V1, V1), (V1, V1, V1) со связностью V1 является нормализация рассматриваемых Л-подрасслоений соответственно полями нормалей (Mp, M°^),(Mp, MjJ), где
2 2 3 3
def 1 def 1
Mn =- 1bnq(i0 +Лп), мп = -(in-лппп),
2 2 2 2
def 1 def 1
мп =- 1bnq(h0 +л;д Mp = 1(hn-лпрт). 3 2 3 2
(10)
Таким образом, справедлива
23
1
1
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Теорема 2. На оснащенном в смысле Нордена — Картана голономном Л-подрасслоении Б-распределения, а также на оснащенном в смысле Нордена — Картана Л -подрасслоении с полем симметрического тензора Лп,ч данного Б -распределения любые две нормальные связности из рассматриваемых троек
81-2 87-8 810 83-4 87-8 811 85-6 87-81 812
связностей (V1, V1, V1), (V1, V1, V1), (V1, V , V1)
80
совпадают со связностью V1 тогда и только тогда, когда Л -подрасслоение нормализовано соответственно полями нормалей (Мп, М£) (9), (10), где х = 13
х х
Выполняется двойственная
Теорема 2*. На оснащенном в смысле Нордена — Борто-лотти голономном Л -подрасслоении Б -распределения, а также на оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л -под-расслоении с полем симметрического тензора Лп,ч данного
Б -распределения любые две нормальные связности из рассматриваемых троек связностей
81-2 87-8 _810 83-4 87-8 _811 85-6 87-81 _812
(V1, V1, V1), (V1, V1, V1), (V1, V , V1) (11)
_80
совпадают со связностью V1 тогда и только тогда, когда Л -подрасслоение нормализовано соответственно полями нормалей (М0, М0), где х = 1,3.
х
Действительно, учитывая (5), имеем:
8^2 87-8 _80 (V1 = V1 = V1) «
^п +Ар) + ь0пчУпч = 0, «
Лпт +У0 +У0 + ^ У! = 0
X
24
С. Ю. Волкова
^-х0р) + V p = 0, 2 ^
лп + bn v4 +vр = 0
рп рЯ п р
V р = ±(*р-Лпрп) = Мр,
2 i
V п =- +Лп4п) = мп.
2i
Аналогично доказательство для остальных троек нормальных связностей (11).
Следствиями из теорем 2 и 2* являются, соответственно,
Теорема 3. На оснащенном в смысле Нордена — Картана голономном Л -подрасслоении Б -распределения, а также на оснащенном в смысле Нордена — Картана Л -подрасслоении
с полем симметрического тензора Л^ данного Б -распределения каждая четверка нормальных связностей
51-2 57-8 _510 _50 53-4 57-8 _511 _50 55-6 52-81 _512 _50
(V1, V1, V1, V1), (V1, V1, V1, V1), (V1, V , V1, V1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда Л-под-
V'
расслоение нормализовано полями нормалей (Мр, Мр) (9; 10)
x
при этом нормализация взаимна.
Теорема 3*. На оснащенном в смысле Нордена — Борто-лотти Л-подрасслоении S-распределения, а также на оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л-подрасслоении
с полем симметрического тензора Лnpq данного S -распределения каждая четверка нормальных связностей
Sl-2 S7-8 S10 _S0 S3-4 S7-8 _£ii _S0 55-6 57-8 _512 _50
(V1, V1, V1, V1), (V1, V1, V1 ,VX), (V1, V1, V1, V1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение нормализовано полями соответствующих нормалей (Mp,), при этом нормализация
x x
взаимна.
25
x
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Список литературы
1. Волкова С. Ю. Скомпонованные распределения проективного пространства // Изв. вузов. Математика. 2001. № 7. С. 69—72.
2. Волкова С. Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 8-распределения / Деп. в ВИНИТИ РАН. № 343-В2001. М., 2001.
3. Волкова С. Ю. Введение нормальных связностей на 8-распре-делении // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2005. Вып. 36. С. 18—25.
4. Волкова С. Ю. Нормальные связности на 8-распределения, ассоциированные с базисным л-подрасслоением // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. Вып. 5. С. 20—26.
5. Волкова С. Ю. Двойственные нормальные связности на 8-под-расслоении, ассоциированные с базисным л-подрасслоением // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. Вып. 38. С. 17—27.
6. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства / Деп. в ВИНИТИ РАН. № 1743-В 2003. М., 2003. 35 с.
7. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. Чебоксары, 1992.
8. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Ут в Рп // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 55—74.
S. Volkova
DUAL NORMAL CONNECTIONS OF S-DISTRIBUTION IN THE PROJECTIVE SPACE
The studying of normal connections induced in the bundle of the normals of the 1-st and 2-nd kinds of the basic A -subbundle of the given S -distribution, equipped in sense of Norden — Cartan and Norden — Bortolotti, proceeds. The analytical and geometrical conditions of degeneration of various subgroups of these connections into one connection are found out.
26
