CC BY
4
Т. Ю. Максакова
УДК 514.75
Т. Ю. Максакова
(Балтийский военно-морской институт им. Ф. Ф. Ушакова, г. Калининград)
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ ЮН -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Выясняются аналитические и геометрические признаки вырождения (совпадения) различных подгрупп нормальных связностей WH -распределения [1 — 3] в одну связность.
Схема использования индексов такова:
p, q, t = 1, r; i, j = r +1, m; а в = m +1, n -1; ¡5 = m +1, n; u,v, w = r +1,n - 1;u,v = r + 1,n; A = (1, r; m +1, n); K,L = 1,n;
J,K = o,n; s = 0,11; 5 = 0,1; x = 1,3; 5 = m - r.
Теоремы, двойственные исходным, обозначаем символом (*), а геометрические объекты, функции, формы двойственного WH -распределения [2] — черточкой сверху.
1. Известно [1 — 3], что относительно репера 1-го порядка R1 = {Aj} WH -распределение задается уравнениями (без соответствующих замыканий):
„n \n 5 n \n 5 а да р
©1 = Лi, Cа=ЛapC0, ©1 = л©0 ,
© =лп ©A, ©p =лр.©А, < = ла©A,
p pA 0 ' 1 A 0 ' p pA 0
©а=ЛРсА©05, ©p =Лрк©к, =Kok©k .
Пусть WH -распределение оснащено в смысле Нордена — Картана и Нордена — Бортолотти [4]. Выберем другой точеч-
79
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
ный проективный репер {В7}, адаптированный нормализации
{V Р, V р } базисного Л-подрасслоения:
Во = Л, Вр = АР +V(VАо, Ви = Аи, Бп = Лп +vvnAv + ЛпЛи,
где
VvР + < , VVp0 +ш°р ^рКаК, УАП + < = А^.
Уравнения инфинитезимальных перемещений нового репера {Ву} имеют следующий вид: dBJ = 0 КВк. Система форм
= 00 +г10К©К,
и иК 0 '
= о и -8; о0 +г;к оК
и и о иК о
определяет нормальную центропроективную связность 1-го рода V1 [3; 5] в расслоении нормалей 1-го рода базисного Л-подрасслоения, если охваты компонент объекта связности {г?к, гК } имеют следующий вид:
гр =г; =г; =г; =гп = 0 г0 =г0 = х0а0 г° = (т0)2
;р ир пр пп ир ' ип пи п и? пп V п / '
гп = 2хи, г; = гу = 8;хи, г; = 8;л0 +8;а0,
пп п> ип пи и п' им и м м и'
гп = гп = л0 = л0 л0 + гп х° = Гп х°
пи ип и? и; и ; и; п' пр пр п'
где
сМ
х0 = v0 -а;л0
V0 = -Лп vpvq).
п У пр ра п п/'
В качестве тензоров Г^р, Г^ можно взять любой из следующих охватов:
г!=0, г1=, [V ]=
у; Ав
0 Л^
(1)
г
Г"пр = 0, г пр = 2(лпрп + % +Лпра л п)+,
80
Т. Ю. Максакова
г =-(л; +У0+л;ал:)+ь-му9п ,
1 2
3 п 1
Г = ^(л; +ир +лпрал:)+ь-пу1 , (2)
Гпр =л +< +л;уп +А"аУа
5 п 6п
г = Ь0+ Ьп и г = + Ап V9
I пр -Ьр Ур+ Ьр^п , 1 пР - Лр Ур+ 1УцрУп ,
ГI = к -у°р + А у:, г пр = ир -у°р + ь;9у1 ,
9 п 10 п
Г пр = С 0 + 350 - 4У0 + 2а "у9 , г пр = ср - v0 - а1v9
(3)
(4)
р р р 9р пр^ г р р р9 п '
10 п
гпр = а пТ, а^ = 0. (5)
Рассматривая попарные комбинации охватов (1) тензора с охватами (2) — (5) тензора Гпр, получим 24 нормальные
88 _ _
связности V1 (8 = 0,1; 8 = 0,11), индуцируемые в расслоении нормалей 1-го рода базисного Л-подрасслоения.
Известно [2], что Т4Н — распределение есть двойственный образ WH -распределения, а оснащенное WH -распределение в смысле Нордена — Бортолотти является двойственным образом оснащенного WH -распределения в смысле Нордена — Картана [4]. Резюмируя, приходим к двойственным друг другу теоремам.
Теоремы 1 (1*). На оснащенном в смысле Нордена — Картана (Нордена — Бортолотти) Л-подрасслоении данного WH -распределения в расслоении его нормалей 1-го рода (2-го рода) индуцируются двадцать четыре нормальные
88 _8е1
связности V1 [V ], причем для Л-подрасслоения с полем
81
п
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
85
симметрического тензора Ар связности V1 и
86 85 86
V1[V1 и V1 ] совпадают.
2. Выясним некоторые условия вырождения (совпадения) подгрупп нормальных связностей Л-подрасслоения в одну связность.
8е __80
Условием совпадения нормальных связностей V1 (е = 1,11) и V
е
является обращение в нуль тензора ГПр (2) - (5).
81 80 1
V1 - V10 -(Лпрп + Л0 + лПрал п)+ьрV = 0, (6)
82 80 1
Vx=Vxо-(Лq + V +Лп Л ") + Ъ"V" = 0, (7)
2 4 рп р ра п ' р" п ' V /
83 80 1
Vx=Vxо-(Л™ + й0 +Л" Л ") + bnvq = 0, (8)
2 4 рп р ра п ' р" п ' ^ '
84 80
V1 -V1 о Лпрп + vp + Ап^1 + лрх = 0,
85 80
V1-V1о Ь0-V0 + Ьqvq = 0, (9)
р р р" п '
86 80
71 Т71 ^ 10 -.0
-vp +лу: = о, (10)
S7 S0
Vх = Vх о vp -vp +л"V = о, (11)
(12)
58 SO
Vх = Vх о h0p-vp +Л V = 0,
59 SO
Vх = Vх о C0 + 3B0 - 4v0 + 2Л" vq = 0, (13)
p p p qp " '
510 50
Vх = Vх о Cp -vp - Л>П = 0, (14)
511 50 def
Vх = Vх о л;чт = 0 о Tnp = Wnp + Fnp = 0. (15) Свертывая (6) — (8) с тензором ЬПР, получим
82
Т. Ю. Максакова
1 Се/
V: =-т ьпр (Апрп + 4 +АпраАап) = нп, 1 2 1
1 Се/
V =-т ьпр (Апрп +v0р +Апра а п) = н1, (16)
2 2 2 п 1 Се/
vq =-тьпр(Апрп +Н0 +апра а п) = н' •
3 2 3 п
Таким образом, поле нормалей 1-го рода {V1 }(х = 1,3) Л-под-
х п
расслоения совпадает с соответствующим полем нормалей {И1} (16), при этом выбор поля нормалей 2-го рода Л-
хп
подрасслоения произволен.
8х 80
Теорема 2. Нормальные связности V1 и V1, индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена — Картана Л-подрасс-лоении совпадают тогда и только тогда, когда поле нормалей
1-го рода N определяется соответствующим полем квази-
х п-г
тензора {И1 } (16), при этом выбор поля нормалей 2-го рода
хп
Л-подрасслоения произволен. В силу формул из [4; 6]
Vр = -аpqv0 V0 =ап V"
п п ^ р "р п
и формул (16), получим
1 _ _ _ _ Се/
V =-т АпЬ (АПп +4° +лал а) = Нр, 1 2 1 1 _ _ _ _ Се/
р=-2 лпь (лпп +у:+ла лп)=нр, (17)
V; =--АпРь"^(Апп +у; +АпшАап) = Н 2 2 2 1 _ _ _ _ Се/
vр = —лрь А +н: +АпаАп) = Н.
32 3 р
Итак, поле нормалей 2-го рода {V р} Л-подрасслоения сов-
падает с соответствующим полем нормалей {Н °} (17); при
х р
83
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
этом выбор поля нормалей 1-го рода Л-подрасслоения произволен. Следовательно, справедлива
5х _50
Теорема 2*. Нормальные связности V И V1, индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л-под-расслоении, совпадают тогда и только тогда, когда поле
нормалей 2-го рода N определяется соответствующим по-
х г-1
лем квазитензора {Н0} (17); при этом выбор поля нормалей
X р
1-го рода произволен.
3. Из соотношения (9) следует
Т0 *=Ьр + Ьпруп-У0р = 0. (18)
В силу двойственности WH -распределения [2; 3] из (18) получаем
_ ¿е/_ _
т° = ь° + Ьпу"-у0 =-Г° = 0 (19)
р р р9 п р р
Согласно (18), (19) получаем две двойственные друг другу Теоремы 3 (3*). Индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена — Катрана (Нордена — Бортолотти) Л-подраслоении нор-
85 80 _55 _80
мальные связности V1 И V1 [V1 И V1 ] совпадают тогда и только, когда нормализация Л-подрасслоения является взаимной.
Следствиями теорем 2 (2 ) и 3 (3 ) являются следующие предложения.
Теоремы 4 (4*). Если оснащенное в смысле Нордена — Кар-тана (Нордена — Бортолотти) Л-подрасслоение нормализовано полями первых аналогов нормалей Фубини {Фр, Ф°р }, где
е 1 1
фр = 2ьр9(С00 + 350 - 4Ь0); фР = 2(С; + 35р -2Ь0),
а в случае, когда ААм] = 0 полями нормалей Вильчинского [4; 6],
85 80 _55 _80
то нормальные связности (V1 И V1) [V1 И V1 ] совпадают.
84
Т. Ю. Максакова
Теоремы 5 (5*). Индуцируемая на оснащенном в смысле Норде-на — Картана (Нордена — Бортолотти) Л -подрасслоении каж-
8х 85 80 8х 85 80
71 Т71 Т71\ Г?71 Т71 ?711
дая тройка нормальных связностей (V, V, V) [V, V, V] вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда поле нормалей 1-го рода {Vр} [2-го рода {Vр}] задано полем квази-
тензора {Ир } (16) [{Н0} (17)] и нормализация взаимна.
хп
р
4. Пусть ЛАрд] ф 0 и выполняется одно из условий
6 10 7 10 8 10
(г пр = г ппр = 0), (гПр = ГпПр = 0), (г Пр = ГпПр = 0), тогда соответст-
венно, находим:
14 -v,p +4пуп = 0,
[с р V -а;•р^: = 0
о
1 Се/
= -1 л;р (С;0 -4;0) = I< р,
2 1 п
1 Се/
= ■2(с0 + 4/р ;
(20)
IУ0 -V0 +Лп V" =0
I р у р^^рр^п
|С0-V0-Аnvq =0 1 р р ;р п
о
1 Се/
Vp =—л "р (С0 - У0) = ¥р
2 2 п
Се/
vр = |(с 0+Ур0) = £
(21)
\к-V+л =о,
С -VI - лqpVqq=о
о
1 Се/
vp =1Л ;р (С;0 - И0) = I р,
2 3п
V0 = 1(С0
р 2 р
Се/
1) = Р° .
3 р
(22)
Квазитензоры (20) — (22) можно получить непосредственно также из соотношений (10) — (12), (14). В результате, в силу соотношений [4; 6]
10
10
ГП _ ГП . ГП _ ГП • ГП _ ГП * Г П _ ГП
пр пр пр пр пр пр пр пр
(23)
выполняются двойственные предложения:
85
X
х
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Теоремы 6 (6*). Каждая из совокупностей нормальных связностей
86 810 80 87 ¿10 ¿0 88 810 80 (V1, V1, V1 ),(У1, V1, V1 ),(У1, V1, V1)
_86 _810 _80 _87 _810 _80 _88 _810 _80
[(V1, V1, V1 , V1, V1 , V1, V1)]
вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение нормализовано, соответственно, одной из пар полей квазитензоров (20) — (22).
5. На Л-подрасслоении с полем симметрического тензора А" имеем
РЧ
(р р = -рр -ЬР"Ь0; = -Жр + ЬМЬ0) ^
V п п п ^ п п п ^ (24)
ТР = рР + Жр = -ГР
п п п п '
Из соотношений (15), (24) вытекают два двойственных друг другу предложения:
Теорема 7 (7*). На регулярном, оснащенном в смысле Нор-дена — Картана (Нордена — Бортолотти), Л-подрасслоении с полем симметрического тензора Л" нормальные связности
811 80 _511 _80
(V1 и V1) ([V1 и V1 ]) совпадают тогда и только тогда, когда Л -подрасслоение коинцидентно.
С помощью формул (2) — (3) получаем следующие соотношения
46 147 248 3
Гп + Гп = 2Гп • Гп + Гп = 2Гп • Гп + Гп = 2 Гп (25)
1 пр^1 пр ^пр'1 пр^1 пр ^пр'1 пр^1 пр пр • У^)
В силу зависимостей [4; 6]
1 6 _2 2 7 _3 3 8 _4 4
Г пр = гп_ - П.; Г_п_ = П_ - Г1; Г_п_ = П. - Г1, Г_п_ = Г_п_
пр пр пр пр пр пр пр пр пр пр
и формул (25) находим, что
Г;+Г6пр = 2Г;; Г;+Г; = 2Г;; Г;+Г; = 2Г3пр. (26)
86
Т. Ю. Максакова
Из (25) и (26) следует, что в точно такой же зависимости (как (25) и (26)) находится соответствующие тройки нормальных связ-ностей. Значит, справедливы следующие двойственные друг другу Теоремы 8 (8*). Индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена — Картана (Нордена — Бортолотти) Л -под-
S4 S6 S1
расслоении тройка нормальных связностей (v1, v1, v1 )
_£4 _£6 _S1
[v1, v1, v1 ] ) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают. Аналогичное утверждение имеет место для троек связностей
84 87 S2 S4 88 S3 _S4 _S7 _S2 _8_4 _88 _83
(V1, V1, V1 ), (V1, V1, V1 ) [(V1, V1, V1 ),(V1, V1, V1 )].
Список литературы
1. Максакова Т. Ю. Вырожденные трехсоставные распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2005. Вып. 36. С. 59—64.
2. Максакова Т. Ю. Двойственный образ WH -распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2006. Вып. 37. С. 59—65.
3. Максакова Т. Ю. Двойственные нормальные связности Л-под-расслоения WH -распределения проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. Вып. 38. С. 74—81.
4. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Монография. 2-е изд. Чебоксары, 1992.
5. Чакмазян А. В. Нормальная связность геометрии подмногообразий. Монография. Ереван, 1990.
6. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. Монография. Л.: Изд-во ЛГУ, 1992.
T. Maksakova
DUAL NORMAL CONNECTIONS OF WH -DISTRIBUTION
Analytical and geometrical signs of degeneration (coincidence) of different subgroups of normal connections for WH -distribution into one connection are explored.
87
