ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА S-РАСПРЕДЕЛЕНИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С БАЗИСНЫМ L-ПОДРАССЛОЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

К. М. Буданов

Список литературы

1. Буданов К. М. Лифты функций и векторных полей в расслоение Вейля над алгеброй Вейля высоты 2 // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 14—18.

2. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань, 1985.

3. Султанов А. Я. Горизонтальные лифты линейных связностей на расслоениях Вейля второго порядка // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 133—140.

4. Султанов А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. вузов. Сер. Математика. 1999. №9. С. 64—72.

5. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points // J. Differential Geom. 1976. V. 11. №4. P. 479—498.

K. Budanov

LIFTS OF LINEAR CONNECTION AND FUNCTIONS

ON WEIL BUNDLE OVER SPECIAL WEIL ALGEBRA

Complete lift of linear connection to Weil bundle over special Weil algebra is considered and horizontal functions generated by differential forms on Weil bundle are constructed.

УДК 514.75

С. Ю. Волкова

(Балтийский военно-морской институт)

ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА 8-РАСПРЕДЕЛЕНИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С БАЗИСНЫМ Л-ПОДРАССЛОЕНИЕМ

Изучается специальный класс скомпонованных трехсоставных распределений проективного простран-

17

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

ства Pn, которые названы S-распределениями [1—3]. Рассмотрены нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей 2-го рода Л-подрасслоения данного S-распределения, оснащенного в смысле Нордена — Бортолотти [7]. Выясняются аналитические и геометрические условия совпадения различных подгрупп этих связностей, вырождения в одну связность.

Схема использования индексов такова:

1,К,... = 1,п ; 3,К = 0,п ; р,дД... = 1,г; а,Ь = г +1,п -1; й,У = г + 1,п ; 1, у,к = г +1, т ; а,в = т +1, п -1; а, - = т + 1,п ; Л,Б,... = (17;т+Г^п-Г); А,В = (1,г,т + 1,п) ; й,у, w, x = г +1,п -1; 8 = 0,1; е = 0,15 .

1. В работе [2] доказано, что преобразование I: агК [2; 3] форм соК проективного пространства Рп является инво-

лютивным, т. е. 3 = 3-1. Имея в виду эту инволютивность, будем говорить, что пространства Рп и Рп являются двойственными [7]. Дифференциальные уравнения регулярного ^ -распределения, двойственного данному регулярному 8-распре-делению, имеют вид (здесь в дальнейшем все формы и функции, ассоциированные с ^ -распределением, пишутся с чертой сверху):

Т^п _ ~\п А —а ~Га — К —1 ~Г1 —К

шР = Л -ш0 , а>„ = Л„кю , а>„ = Л„кю ,

Р рА 0 ' Р РК ' Р РК '

Щп = Цйшй , ша = ЦшК, ЩР = ЦШК, (1) ш:=нп4шЦ, шаа=нкшк , ша =и^к .

Известно [2; 3], что нормализация одного из регулярных скомпонованных распределений ^ с Рп или ^ с Рп равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащенных объектов связаны соотношениями

18

С. Ю. Волкова

V р = -Л^0, V0 = Лп Vя, V = -Еку°

п п ^ р Яр п ' п пк' . .

V0 = ¿"у" V1 = -Нвв V0 = Нв Vе 2

к г ^кг кп ' кп п г в а в ау п ■

Система форм {0^,9?}, двойственная системе {ОЦО?} [4],

определяет нормальную центропроективную связность V1 в расслоении нормалей 2-го рода Л-подрасслоения, если охваты компонент объекта связности {ГЦК, ГЦК имеют следующий вид (в силу (1), (2) и соотношений между двойственными функциями работы [2]):

Т^О _Т^у _Т^у _Т^у _Т^п _ Т^О _Т^О _ цО1~О

ир ир пр пп ир ' ип пи г*п и'

ир ир пр пп ир

Г0 = (и0)2, Гп = 2и°, Гу =Гу = ёуа0,

пп Уг^п' ' пп г^п 'и п п и и г^п '

т^у _ / , яУТО\ Г^п _ Г^п _ /"О

= \°и ¿ю + Л Г пи = Гип = — ¿и ,

Г0=Г01° +Гпи0 Г0 =Гпи0 X0 = и°

иу и у иуг^п' пр прг^п? п г^п'

(3)

где в качестве тензоров Гр, Г^у можно взять любой из следующих охватов:

_О О 1 1

Г п =Г п = О Г п =Ф п =-фп =-Г п (4)

1 иу ~ 1 иу ~ ^иу ~ ^иу ~ ^иу ~ ^иу ■> V1/

Гп =Гп = О,

пр пр

_1 1 _ _ _ _

Г^ = Лпрп + Лпр а Лап ) + ьV =

= 2^ +Лпрл"[Л"П-ЛпшНапР (Нпрп - О + VÍ0]-Л°р},

-2 1 1—1 п а

Гпр = ^ +ЛпрЛп[Лп-ЛпшНав(Нвп -ЛОв) + VÍ0]-Л°р}, _3 1

Гр = IV +Л1Лп [ЛI-ЛпшНапв(НПвп-Ь°в) + VÍ0] - Ир }, (5)

О

19

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

-4 1 -1—| п а

ГР = т УО + лпР лп [Лпы - лан ав(нвп -Л0в) + у0] - IР},

_5 1

ГР = 2ур +лпр лп [Л!-лпшнапв (Нвп - 4) + V0] - К}, _6 1

ГпР = +лпрлп [Лп-Лпшнав(нвп-Л0в)+VÍ0] - И°Р },

7

ГпР =ЛпРГу1+лпрЛп [л;-Лпшнав(н вп - 4)+VÍ0],

8

ГпР = лпу + ЛпР лСп [Лп - Лпшнапв(нвп -Л0в) + V0],

- - - 1

гпр = ьр - V + ьруч = - -—- %л*а (лпррлпгч( +

2(г+2)

+лпчл\<)-лп/п + ьпрчлчУ°, 10 10 Гп = 1°-У° + Лп V4 = -(Л0 -у0 +Лп Уч) = -Гп

пр лр р чР п Р Р ЧРп ' пр'

_п _ ___п

Гп = 10-У0 +Лп VС = -(10 +Лп V -V0) = -Гп (6)

1-пр р р др п \1Р^1^СРУп у р> *-пр? V"/

12 _ _ 12

Гп = И0-У0 +Лп ус = -(И0-У0 +Лп УС) = -Гп

Р Р Р СР Р Р СР Р

~П 1 5/ I П П П П

гпр = СР - 2(7+2)ЛрЬ"(Лпр(Рлпч +л"р(члп\{\рп))-

- 4Лп V44 + 2Лп АПчуП

ЧР п РЧ п п '

14 14

Гп = С0-У0-Лп Vе = С0-Лп Vе-у0 = Г п (7)

ПО 0 0 СО П 0 СО П 0 по> ^ '

ГпР = ЛПРС ТС = ЛРдТСС = ГПо, если Лп{ рЧ] = 0.

Структурные формы [вй ,вй} при охватах (3) — (7) обо-

8е 8е

значим, соответственно, вЩ, вV. Рассматривая попарные ком-

20

С. Ю. Волкова

бинации охватов (4) и (5) — (7), получаем 32 нормальные связности V1, V1, двойственные, соответственно, связностям

0е 1е

V1, V1 [4] относительно инволютивного преобразования I [2].

8е 8е

Для того чтобы найти выражения форм {в?, в/}, формы и функции с чертой, входящие в выражения этих форм, заменим на соответствующие формы без черты с использованием соотношений (1) — (7) и соотношений работы [2].

В результате получим: 00 _ _ _ вв = к -к)+Ь л0®о" -10 (Л0 л; + х0к =

=ф: у»:+л: лу;+л: (^ -ь л; к+к +у>: ],

00

в;0 = к + ьк -у°рк +ур [у°ркк + ь0к - V - ьк)]+

+£[лиК+(м0 - ьи л; к ],

00

в: = ог [с!Ф I+(ф I; -10: )л;ф >0 + ф (ьк -к)] + (8)

+л;ф + 8: [л:к + у к + (£+Ьл + у°ур к +к ],

00

в;=ф (л>;-к),

в: = фГ [Ы - Ь: ук - ьк ) + ^(ф":П ~ Ь )< +У°к ] +

= к-к +урпаП; +лк -ьк +уака+ (2^° -Ьл; +у0рурк,

=в0+г;у0к-лк) = вв+ г; + фг (ф":;-ь0: к],

8Е _00 Е _00 Е

% = 00+Г0 у0( к-упк;) = ё;0+ Г +лпр (л-й »0 +ур»0)],

(9)

00 8 _ 00 8 и —;

= в;+г; к - лик) = в;+г; к +фи: (ф:п - ь: к

_8Е _00 Е _00 Е

в;=в;+гп (к)=в;+гп к+лпр л-к +у р<)].

21

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

¿8 ¿8

Каждая из систем форм Щ0, в/} удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [7]:

¿8 ¿8 ¿8 ¿8 ¿8 ¿8 ¿8 ¿8 Вв* — Щ лЩ+Щъ < лЩ; ВЩ — Щ лЩ+Щ,д щ*

На голономном или взаимном с полем симметрического тензора Л"рд Л-подрасслоении в силу формул

Ь" — - Л" — -Ь" В о — Ь о — У — — /1° — -Ь° С о — С о

РЧ ~ рч ~ рч' пр~ир~л,р~ лр ~ ир ' р _ р'

К* — — Л"рф имеем:

Г" — Г" — - (Л" -Л°) + v0 — Г " - Г " ,

пр "р 2 р" "р "р

_3 _4 1 3-4 11

Г" — Г" — — (Л" -/0) + ^0 —Г " -Г " , (10)

" р "р ГК V р" р Л р " р "р ' V '

-5 -6 1

Г" — Г" — — (Л" - к0) + v0 —Г п-Г п ,

"р "р ^ ^ р" р' р "р "Р

5-6 12

7 8 78

р" _ "р ■р" "р — Л" +И +Л" У4 —Г п — Г " , р" р рЧ " "р "р '

9 10 9 1

— ■р" "р — -(Л° -у0 +Л" у4) —-Г " —-] р рч " ' "р

— Ц - V0 -Л" V ч —-(/0 -V0 +Л" ^^) Р РЧ " ^ Р р др " '

12 12 13 13 9-10 15 15

|-1 р " — -Г п р и _р и Т-1 ^ р п _ т-' "рр ' "р "р "рр' "р

^ 14 р " — С -V0-Л" V4 — С0-Л" Vч-V0 — Р ЧР " Р ЧР " Р

"р '

11

-Г "

"р '

(11)

"р

Отметим, что при выполнении хотя бы одного из условий:

а) пара (Л, Ф) распределений сопряжена или взаимна [1],

б) пара (М, Х) распределений сопряжена или взаимна,

в) 8-распределение является сильно взаимным распределением [6],

22

С. Ю. Волкова

г) ^-распределение несет пару (Л, Х) сопряженных распределений — тензор Лпра обращается тождественно в нуль:

Лп =Лп = 0

p a p а •

С учетом этих замечаний и соотношений (3) — (11) получаем теорему 1*, двойственную теореме 1 работы [5] (теоремы, двойственные соответствующим теоремам работы [5] обозначаем знаком (*)):

Теорема 1*. На оснащенном в смысле Нордена — Борто-лотти Л-подрасслоении данного S-распределения в расслоении его нормалей 2-го рода индуцируется 32 нормальные связно-

_Ss SE SE

сти (V1}, определяемые системой слоевых форм {6-, 6*}

(8), (9), причем:

1) в случае голономности Л-подрасслоения или взаимного Л-подрасслоения с полем симметрического тензора Л"рд, а

также когда М-подрасслоение или Н-подрасслоение голо-номно, совпадают связности

_£i _S2 A3 _S4 A5 A6 A7 A8

V1 =V1, V1 =V1, V1 =V1, V1 =V1, (i2)

3 _5io

V1=V1; (13)

2) в случае, если выполняется хотя бы одно из условий а) — г), то справедливы соотношения (12).

2. Выясним теперь некоторые условия совпадения нормальных связностей Л-подрасслоения, оснащенного в смысле Нордена — Бортолотти.

В силу формул (2) и формул (21) [5] получим

1 2

1 ___ _ def

V p = -1ЛХ (Лпш +10 +ЛпшЬап ) = H p, 2 2 2

23

V p = -~ЛпрК(Лпп +л: +ЛпшЛап) = H

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

1 _ _ _ _ йе/

V Р = -1 лх (К, +10 + каК) = Н Р, (14)

1 _ „ _ _ йе/

•» П » п -г а ч -

2'

V Р = --КЬп (Л1 + С +ли а К) = Н П,

1 _ _ _ _ йе/

V Р = -1 (Л"п + И0 + Ка Ли) = Н Р ,

1 _ _ _ _ йе/

Р = - 2 кръп (Л1 + +каьап) = н р

Таким образом, поле нормалей 2-го рода {V Р}(г = 1,6)

I

Л-подрасслоения совпадает с соответствующим полем нормалей {Н Р}, при этом выбор поля нормалей 1-го рода Л-под-

2

расслоения произволен. Следовательно, справедлива

82 8П

Теорема 2*. Нормальные связности V1 и V1 , индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л-под-расслоении, совпадают тогда и только тогда, когда поле

нормалей 2-го рода Н г-1 определяется соответствующим

2

полем квазитензора {Н Р} (14) второго порядка.

2

Из соотношения

_ йе/_ _ _ _

т; = ъор + ъV -К=п»т;=-т;=П (15)

следует

Теорема 3*. Индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л-подрасслоении нормальные связности

89 8П

V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда нормализация Л-подрасслоения является взаимной [5].

Учитывая взаимность нормализации (15) для Л-подрасслоения, следствием теоремы 3* является

24

С. Ю. Волкова

Теорема 4*. Если оснащенное в смысле Нордена — Бор-толотти Л-подрасслоение данного Б-распределения нормализовано полями нормалей Фубини {Фр, Ф* } [1; 5], а в случае, когда Л" ] — 0, — полями нормалей Вильчинского [1; 5], то нор-

¿9 _50

мальные связности V1 и V1 совпадают. Следствием теорем 2* и 3* является

Теорема 5*. Индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л-подрасслоении каждая тройка нор-

¿2 ¿9 ¿0

мальных связностей (V1 , V1 , V1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда поле нормалей 2-го рода

{V *} задано соответствующим полем квазитензора

2

{Н *} (14) и нормализация взаимна.

2

Заметим, что нормали 1-го рода {V р} , соответственно вза-

2

имные нормалям 2-го рода {Н *} (14), задаются квазитензо-

2

рами V * — Ьр(Н 0-Ь0).

2 2

3. По аналогии с работой [5] доказываются следующие теоремы:

Теорема 6*. Совокупности нормальных связностей

¿0 ¿10 ¿14 ¿0 ¿11 ¿14 ¿0 ¿12 ¿14

(V1 , V1 , V1), (V1 , V1 , V1), (V1 , V1 , V1) вырождаются

в одну связность тогда и только тогда, когда Л-подрасслое-ние нормализовано соответственно одной из пар полей квазитензоров {^ *,^ *}, {^ *, £ "*}, {^ *,{ *} [5].

Теорема 7*. На регулярном (| Л"рд 0) оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л-подрасслоении с полем симмет-

¿15 ¿0

рического тензора Л"'рд нормальные связности V1 и V1 сов-

25

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

падают тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение коин-цидентно.

Из формул (5), (6), получаем следующие зависимости

n I у n _9ТП

np np np '

n n n

np np np

n+Г" =2Г

np np

n+Г"=2Г

np np

(16)

n.t^n _ t г n t^n.t^n _ t г n

np np np ' np np np '

Из соотношений (16) следует, что точно в такой же зависимости (16) находятся соответствующие тройки нормальных связностей. Значит, справедлива

Теорема 8*. Индуцируемая на оснащенном в смысле Нор-дена — Бортолотти Л-подрасслоении тройка нормальных

57 810 7± m

51 7±

связностей (V , V , V ) вырождается в одну связность

тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают. Аналогичные утверждения имеют место для троек связностей

58

7±

510 52 57

± Y7± W Y7±

( V± , V± , V± ),( V

58 512 56

( V± , V± , V± ).

511

7 ±

53 58

7± \ /V7±

511 54 57

7± Y7± \ /V7±

512

±

55

7±

V± , V± ), ( V± , V± , V± ), ( V± , V± , V± ),

Список литературы

1. Волкова С. Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 8-распределения. Деп. в ВИНИТИ РАН, П9.П2. 2ПП1. №343-В2001.

2. Волкова С. Ю. О двойственных проективных связностях И(А,Ь)-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1993. Вып. 24. С. 28—37.

3. Волкова С. Ю. Скомпонованные распределения проективного пространства // Изв. вузов. Сер. Математика. 2001. №7. С. 69—72.

4. Волкова С. Ю. Введение нормальных связностей на 8-распре-делении // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 18—25.

26

С. Ю. Волкова

5. Волкова С. Ю. Нормальные связности на 8-распределении, ассоциированные с базисным Л-подрасслоением // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. Вып. 5.

6. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства. Калининград, 2003. Деп. в ВИНИТИ РАН, 29.09. 2003, № 1743 — В2003.

7. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. Чебоксары, 1992.

S. Volkova

DUAL NORMAL CONNECTIONS ON S-DISTRIBUTION, ASSOCIATED WITH BASIS A-SUBBUNDLE

Special class of composed three-part distributions of the projective space (S-distributions) is studied. Normal connections induced in the bundles of the 2-nd kinds normals of equipped in sense of Norden-Bortolotti for the A-subbundle of the given S-distribution are considered.

УДК 514.75

А. В. Вялова

(Калининградский государственный технический университет)

ТЕНЗОР ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ НА ТОЧЕЧНО-ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

На точечно-плоскостной поверхности в проективном пространстве построен объект, не являющийся тензором, но содержащий подтензор, названный тензором неабсолютных перенесений, или тензором параллельности. При сужении базы расслоения, ассоциирован-

27