CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
3. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.
4. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
5. Полякова К. В. О голономности поверхности проективного пространства // ХХХ науч. конф. проф.-преп. состава, науч. сотр., асп. и студ: Тезисы докладов. Калининград, 1999. Ч. 6. C. 7—8.
A. Kuleshov
STRUCTURE FORMS OF HIGHER ORDERS OF SUBMANIFOLDS
Smooth manifold and submanifold in it are considered. On the base of analytic apparatus for the manifold the apparatus for the submanifold is constructed, and relationship between them is found. It is shown that general formula for this forms in the case of surface of the projective space gives the formula coinciding with K. Polyakova's one.
УДК 514.75
Т. Ю. Максакова
(Российский государственный университет им. И. Канта)
ДВОЙСТВЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ Л-ПОДРАССЛОЕНИЯ ЙН-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Рассматриваются вырожденные трехсоставные распределения проективного пространства, которые названы кратко ШН-распределениями [3]. Введены двойственные нормальные связности в расслоениях нормалей 1-го и 2-го рода Л-подрасслоения данного ШН-распре-деления.
74
Т. Ю. Максакова
В работе используется следующая схема индексов: J,К,L,P,Q = 1п ; 1,К,I = рп ; p,q,s = 1г ;
u, V, м, х = г +1,п -1; а,в = т +1,п ; а,в = т +1, п -1;
I,],к,1 = г + 1,т ; и, V, М = г +1, п; А, В = (1, г; т +1,п).
1. Пусть п-мерное проективное пространство Рп отнесено к подвижному реперу Я = {А_1} . Деривационные формулы репера Я имеют вид:
с1А1 =®КАК , (1)
где формы Пфаффа С подчинены уравнениям структуры проективного пространства
_ _ _ п _
БаК = СЛаК , = 0 . (2)
1=0
2. Известно [3], что WH-распределение в репере 1-го порядка Я = {А_1} задается уравнениями:
сп = , С = Лпс, с = ла а, с=ла, с=к а, <=лара, (3) <=ла, ср=кРКа, с=¿„се.
Пусть WH-распределение оснащено в смысле Нордена — Картана [1]. Возьмем другой точечный проективный репер {В_1} , адаптированной нормализации {ур, у0р } Л-подрас-слоения:
Во = Ао, Вр = Ар +у°рАо, Bv = А, Вп = Ап +урпАр +Л\А , (4)
е Wnp + сСР = урпКаК,Уу°р +Ср = у°рКс0К,УЛ'п +С =ЛпКаК .
75
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Уравнения инфинитезимальных перемещений нового репера {Bj } имеют вид:
dBJ = qJbk . (5)
Дифференцируя соотношения (4) с использованием соотношений (1) — (5), выразим формы Qj через формы a® :
П0 = ®( -V (®P -vpo"0),
nq = +vyPpOnq -vXK-vpo"0),
Qp = - vPo;, Q" = ap -Vp(a" + vO;) + vOp ,
0 0 n 0 * q q n ^ q q 0 q 0'
Q0 = a0 -Л(, Qv = a" - Л"(a" + vV") + v"avn ,
0 0 n 0 * q q n ^ q q 0 q 0'
Q0 =o0n, Qn =a" -v"rn;, (6)
0 0' q q q 0' v ^
=a°-v° (ap-vpa"),
v v p V v n v
nn =®n0 +VnPo(P +Л>; -V^(vp( + A>vP -VnPVnqOqn -VnpЛ®),
np = ®p-vPo; , np = VnPjoJ +Л>р-VP (v(; +л;®; ),
Q = ®; - л;®; , np = ЛРК®0К + V;p®p - Л; (V®; + Л(;), q; =®p, q ; =®p+v®; +xn®;.
Говорят [6], что система форм
©0 = q + ГК , ©; = n; - ¿;Q0+ГК (7)
определяет центропроективную линейную связность V1 (нормальную центропроективную связность 1-го рода) в расслоении нормалей 1 -го рода, если она удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [2]:
D©; =©®Л©® + R0>Q®jPЛ®в, D©; =©®Л©® + %Рв®0рЛ®$ .(8)
Для того чтобы система форм (7) удовлетворяла структурным уравнениям Картана — Лаптева (8), необходимо и достаточно,
чтобы охваты компонент объекта связности {rj, Г;к } имели
следующий вид:
76
Т. Ю. Максакова
г0 = гv = г = г = гп = о г0 = г0 = х0Л0 Г0 = (х0)2
ир ир пр пп ир ' ип пи п и? пп V п/ '
гп = 2хи, г =г = 5ухи, г = 5уЛ0 +8УЛ0,
пп п ' ип пи и п> им и мм ж и?
гп = гп = Л0 г0 = Л0 Л0 + гп х0 г0 = гп х0
пи ип и' ии и V ии п' пр пр п '
1
(9)
0 0 * V *0 0 / р \п р д\ где х0 = V -Лп Лv V0 =--(< -Л ра^рК) , а в качестве тен-
зоров гпр, ги" можно взять любой из следующих охватов:
гп = 0 гп = Уп , ГУп 1 =
иу ? иу ии' I- ии J
уп Лп
У1] г в
0 Л
в
гп = 0 гп = -(Лп + А,0 +Лп Ла) + Ьп V4
х пр ^ пр 2^ рп р '-^ра.'-^п/ ' " рду п'
г; — (Лпрп +мр +Лпра Лп)+Ъ"пу1 ,
1
(10)
г; = -(Лпрп + нр +ЛпраЛп)+ърч V д, гпр = ър -ур + ър9у д,
гп = А0 -V0 +лп vд, гп = м0-v0 +л"уд,
пр р р др п? пр р р др п '
(11)
гп = н0 ^ + ъп Vд гп = С0 + 3В - 4V0 + 2Лп ^^д
^ пр "р ур~ирдуп■> ^ пр р р р ~ п-
9 10
гп = с0 - V" - Л" V д, г" = л° тд, Л" = 0.
" пр
рд п ■■
' пр
рд п
Ч рд]
Структурные формы (6) при охватах (10), (11) обозначим
5в 5в ___
соответственно ©0 , ©и , где 5 = 0,1; в = 0,10. Рассматривая попарные комбинации охватов (10), (11), получим 22 нор-
0е 1е
мальные связности V1, V1 .
00 00
Следуя работе [5], запишем выражения форм { ©0 , ©V/ },
00
определяющих связность V1 , в следующем виде:
г
77
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
00
©о = х+V ух; -к)+ЛОЛх + ЛО (хо° - л:Л;: ж,
00
©р =х + у„х0р +ЛХ-уОкХ +л;х-VI (уРкР +л;к )]+
+ х»0 + х„0( х0-Л л; ),
00
©и . л 0„ и \и . л0„ р\ ^и г О л 0„: , ,0 р
, = X +Л,®0 — Лп (Х + ЛуХо) -5У [х0 -Л:х0 -у рк —
(12)
-(х0 -У°рУРп -Л0: Л: )< ],
00
©р = лрХ +уРХ -л; (урхр +лх )+х°0(< -л,,®о" ),
00 00
©: = х + Л>0, ©п = к - х0 + лХ + у°р< + урРа"р + лрх +
+ (2 хи0-Л, ЛР-урур )Кр.
В силу соотношений (10) — (12) находим зависимости
5е 5е
между формами { ©И , ©И } и формами (12):
5е 00 5 5е 00 е
©0 = ©0+г; хрк -Л>о"), ©0 = ©0+г; хКх -уХ),
5е 00 5е 00
©И =©И, ©Р =©Р, (13)
8е 00 5 8е 00 е
©V = ©,+С (Х0 -Лирх0), ©р = ©р+г; (X -у0Х). В результате справедлива
Теорема 1. На оснащенном в смысле Нордена — Картана Л-подрасслоении данного ШЕ-распределения в расслоении его нормалей 1-го рода индуцируется 22 нормальные связности
0е 1е 5е 5е
71 ^ ......................©И.
V1, V1, определяемые системой слоевых форм {©И, ©И }, связанных зависимостями (13), причем для ШЕ-распределения с
84 85
полем симметрического тензора Лрр0 связности V1, V1 совпадают.
3. Пусть Л-подрасслоение ШН-распределения оснащено в смысле Нордена — Бортолотти. В силу наличия подмногооб-
78
Т. Ю. Максакова
__5е 5е
разия [4], двойственного WH, системам форм {©0, ©и/ }
5е 5е
соответствуют двойственные им системы форм { ©?, ©V }, ко-
_5_е
торые определяют нормальные связности V1 в расслоении нормалей 2-го рода, двойственные по отношению к связно-
5е
стям V1 относительно инволютивного преобразования 1 [4].
Формы { ©и0,©V } имеют следующие строения:
00
©У = VI +л; ла +л; (^ +л0v л )< + < + vgкg; 1,
00
©0 =С0 -АС-v0pсp + Vnp -Л>р -vVP(vрСоg + )] +
+ ^0[л>; + к0 +А0 лп К],
_00
©и = УГ [У +(лМп +лм )луу0-уп (ЛС +«;)] +
+л;л>и +55 [Л>; +vpс; + (^ +л; л; +v;v; ж +с ], _00
©п=уп (л;а-а), (14)
_00
©п = УПл>0К +л; +л0<)+л; )< +v;< ] +
_00
©пп = С - С0 + v;сnp - ЛVnСv" + Л°п®0и + v0pС0p +
+ (2^0 +л0 л; +v^v; к,
_5е 00 5
©у =©V +ги ^0[®0И + УГ (Лп;п +Л0; )с0],
5е 00 е
©п =©п+ гпд ^[«д +лдр (Лпрп +v0p )< ],
_5е _pp _5е _00 _5е _00 5
©и =©и, ©п =©п, ©п =©п+ги С + Упи; (Лп;п +л0; )с0 ],
5е 00 е
©пп =©п + гппд к +лдр (Лпрп +v°; )<], где = х0.
79
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
5s 5s
Каждая из систем форм { ©°, ©; } удовлетворяет соответствующим структурным уравнениям Картана — Лаптева [2]. Итак, справедлива теорема, двойственная теореме 1.
Теорема 2. На оснащенном в смысле Нордена — Бортолотти Л-подрасслоении данного WH-распределения в расслоении его нор-
_5s
малей 2-го рода индуцируются 22 нормальные связности V1, определяемые системой форм (14), причем для WH-распределения
_54 _55
с полем симметрического тензора Л"рд связности V1 и V1 совпадают.
Список литературы
1. Волкова С. Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов S-распределения / Балтийский военно-морской институт. Калининград, 2000. Деп. ВИНИТИ, № 343 — В2001. 09.02.2001.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. об-ва, 1953. Т. 2. С. 275—382.
3. Максакова Т. Ю. Вырожденные трехсоставные распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2005. Вып. 36. С. 59—64.
4. Максакова Т. Ю. Двойственный образ WH-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 59—65.
5. Столяров А. В. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ ЧР (Физ.-мат. науки). 1996. № 6. С. 9—14.
6. Чакмазян А. В. Связности в нормальных расслоениях нормализованного многообразия Vm в Pn // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 55—74.
T. Maksakova
DUAL NORMAL CONNECTIONS ON Л-SUBBUNDLE OF WH-DISTRIBUTION IN PROJECTIVE SPACE
Degenerate three-part distributions of the projective space are considered. We introduce dual normal connections induced in the bundles of the 1-st and 2-nd kind normals of Л-subbundle of the given WH-distribution.
80
