ВВЕДЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ РЕГУЛЯРНОЙ ПОЛОСЫ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

К. В. Полякова

2. Шевченко Ю. И. Касательные и соприкасающиеся пространства проективного расслоения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2007. Вып. 38. С. 143—150.

3. Полякова К. В. Поверхность в пространстве проективной связности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 127—136.

4. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

K. Polyakova

GENERALIZATION FOR DERIVATION FORMULAS OF PROJECTIVE SPACE

Generalization for derivation formulas of projective space is considered. Derivation formulas for the projective bundle with identified base points is obtained. This bundle is called special projective bundle with a connection in the attached bundle of projective frames.

УДК 514.75

Ю. И. Попов

(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)

ВВЕДЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ РЕГУЛЯРНОЙ ПОЛОСЫ Щт) ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Для регулярной полосы Пг(т) [1] вводятся инвариантные оснащения в смысле Нордена — Картана и в смысле Нордена — Бортолотти, а также двойственные нормальные связности в расслоении нормалей 1 -го и 2-го рода базисной поверхности Vr полосы Пг(т).

Во всей работе мы придерживаемся обозначений, замечаний работы [1] и следующей схемы индексов:

117

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

1,К = 1,и ; р, q,r,s,t = 1, г ; ¡,],к = г + 1,т; р,р = т +1, и-1;

и, V, х = г +1, и-1; и, V = г +1, п ; и, V = { 0; г +1, п-1} ; в = 0; 5; и,у = {¡,а } .

§ 1. Инвариантные оснащения полосы Пг(т)

Известно [1], что регулярная полоса Пг(т) в репере 1-го порядка задается следующими уравнениями (без соответствующих замыканий):

О = С = О = 0, сор = Лрр%, Ор = Лма1, ар = Лр^,

ар =Л01, с=л<> < =Л< с =Л<,

где

Лп = Л = 0 Лп = Лп = 0 Л1 Ли = 0 Л[pq] =Л[pq] = 0, Лр = ЛЛ = 0, Лу[рЛq]г = 0

Показано [1], что полоса Пг(т^ имеет двойственный образ ПГ(т) и нормализация одной из полос равносильна нормализации другой, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями

гр = -Л^У0 , г0 =ЛР И, У = -У,ку°,

п ^ р ^р и ' и и к'

г° = у"ук ур = -урру° У0 = уи И

, 'Ьг и' г и 'и к р> к р ' р р "и '

Под двойственной нормализацией [2] базисной поверхности у полосы Пг(т) понимается такая ее нормализация в

смысле Нордена [3], при которой в каждой точке А е У нормаль 1-го рода Ни-г(А0 ) содержит характеристику Фи-г-1(А0 ) главной касательной гиперплоскости Нп_/А ).

Поля нормалей 1 -го рода №п-г и 2-го рода Nг- базисной поверхности Уг определяются соответственно полями квази-

118

Ю. И. Попов

тензоров {ур} и {у°}, дифференциальные уравнения которых имеют вид

г? Р , р р а ° , ° ° а У У + ( = У ( У У + ( =У ( п п п^о? р р ра ° ■

Условием взаимности [3] нормализации полосы Уг с Пг(т)

2

относительно поля соприкасающихся гиперквадрик Qn _ [4]

Лп р а , о р п , Пп и V , V п , гг^ / пч2 ~ ° п

Арух^х^ + 2лрх^х + х + 2^х х + тп(х ) = 2х х является обращение в нуль тензора

п <^е/

гМг \ 1 , \п а ° Тр у) = Яр +Лрауп _ур,

где

Я = 1 Ла'Лп = 1 Л° Ъ =1 Лп Лра

г + 2 Л(др г + 2 р' Ъ г рд^п ,

У Яр _ Л^п + = О, Уbv + + (° _ Ъ^к^п = 0 •

Следуя работе [4], в третьей дифференциальной окрестности определим для полосы Пг(т) двойственные поля нормалей

Фубини {Фр, Фр} и Вильчинского {Жпр' Жр°}, которые нормализуют полосу Пг(т) взаимно.

Квазитензоры {Фр, Ф°р}, {Жп, Жр°} имеют следующее строение [4; 5]:

Ф Рп= 1 ЛРпа(Са_Аа), Фр =\(Ср +Ар),

жпр = срЖпЬ жр = лпр((_жп)+Яр,

где

уср + ср(°° + ЛрЧ(1 + (р= сра(°' с[ра] = 0 (1)

119

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Дифференциальные уравнения (1) получены путем замыкания уравнения [4; 5] й 1пСп +а>° -О = СрОр.

Определение. Будем говорить, что полоса Пг(т) оснащена в смысле Э. Картана [4; 5], если каждой точке А0еУг поставлена в соответствие плоскость Кп-Гразмерности п-г-1, не имеющая общих точек с касательной плоскостью Лг (Аз).

Плоскость Кп-Г-\(А)) зададим точками

0 0 р и

К =УуАо+А, Кп = УпАз+к Ар +УпА + Л>

где

^0,0 0 д ^ 0, р 0, у 0,0 0 д Ууу +О = Ууд®0, ^п + уп Ор + ХпО +Оп = УпдО0 ,

+ °п = УШд°), ^ +Ор=Урд°д. (2)

Охваты функций уЩ и можно построить следующим образом. Вводим в рассмотрение квазитензоры:

К = 1 ^рд^п? + ап = ^пд°Чо,

р 1 1 р Л др пр , р о р д К = 1Л рд^'п, УКп + Оп =Лпд°0,

К =-1 Лрр' + = ^д°од,

по 1 А р п1о о ,о д Аа=-~Лар> ула +°а=лад°о .

Теперь с помощью функций (3) находим

0о г -о -о 1 17^ , о 1о д к = К > Кр} УЯУ +Оу = АдО >

Кп = {Кп} +°п =Кпд°д.

Таким образом, охваты функций упу, уу0 имеют вид

(3)

(4)

120

Ю. И. Попов

О _ р V V ¡V = Л>; уп =Л].

Следовательно, оснащение полосы Пг(т) в смысле Э. Кар-тана равносильно заданию на полосе Пг(т) полей (2) геометрических объектов { vp}, {¡ру°'Я^}' при этом в каждой точке А оснащающая плоскость Кп_г -1(^0) пересекает характеристику Фп_г _1(Д)) по первой оси Кёнигса [4; 6]:

Кп_г _2(А° ) = Кп_г п Ф п_г _

Условия неподвижности оснащающей плоскости Картана Кп_г имеют вид

¡°°а + Яи (Яипа + у Л1ра) _ Урлграуур + яряп) = 0' ^ = 0' (5)

+ уС°5!р +ЯипЛиа _упУпЛга = 0, Лщ _Язр =0 • (6) Выполнение соотношений (6) является условием того, что при смещении точки А смещение плоскости Кп_г_2(А)) не выходит за пределы нормали 1-го рода Нп_г (А°) . По аналогии с работой [6] можно показать, что при г>1 оснащающая плоскость Картана Кп_гнеподвижна при любом смещении точки А0 тогда и только тогда, когда смещение плоскости Картана Кп_г_2(А0) не выходит за пределы нормали 1-го рода Ып_г (А°) •

Определение. Будем говорить, что полоса Пг(т) оснащена в смысле Э. Бортолотти [8], если каждой точке А0 базисной поверхности ¥г поставлена в соответствие гиперплоскость Вп_1(А0), не проходящая через точку А0. Зададим гиперплоскость Вп_1^^) уравнением

° р , ° V , ° п ° р.

Урхг + ¡¡х + ¡¡пх _х =0. (7)

121

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Функции {ур},{¡°}'{¡°г}' определяющие гиперплоскость Вп_1(А0), удовлетворяют уравнениям

У7°, 0 о а У7 о , 0 ° а /0ч

Уур +(р = УрсР°' У ¡и +(и = ¡исР°' (8)

л ° ° V ° р , ° ° а

УМ° _ ур(п +(° = ¡°а(о •

Из уравнений (8) следует, что в качестве функций ¡¡°

можно взять функции Я°° (4). Охват ¡¡° =Я° равносилен тому, что оснащающая гиперплоскость Вп_1(А0) проходит через первую ось Кенигса Кп_гполосы Пг(т).

Оснащение в смысле Э. Бортолотти полосы Пг(т) полем гиперплоскостей Вп_1 равносильно [6] оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа Пг(т) полем г-мерных плоскостей Кп_г_1(у) с первой осью Кенигса, определяемым полями объектов { уР}, ^пУ°'Яп1} :

de/ _ de/ de/

— р л р* ° ^)V тУГ 1° —о о

Условия неподвижности оснащающей гиперплоскости Бортолотти Вп_1^^) имеют вид

¡°р _ Яу(Я°°р + урЛр) _ у°р¡¡° + Я°Яп) = 0' Япа = 0' (9)

о \п , .V , о о ^ п лV IV хп р. пт ¡пЛра + ЯЛра + °р°а _°ра = 0' Лра _ ЯпЛра = 0 • (10)

Выполнение соотношений (10) является условием того, что при смещении точки А0 гиперплоскость Вп_1(А0) «вращается» вокруг нормали 2-го рода Ыт_1(А0) ■ При г>1 условий (10) достаточно для того, чтобы оснащающая гиперплоскость Бор-толотти Вп_1^^) была неподвижна.

122

Ю. И. Попов

Определение. Полосу Пг(т) назовем сильно оснащенной,

если она оснащена в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти одновременно. Полосу Пг(т) назовем согласованно оснащенной,

если она сильно оснащена и при этом в каждой точке А базисной поверхности Уг оснащающие плоскости Кп-Г-1(А0) и £п-1(Л0) инцидентны.

Если полоса Пг(т) оснащена согласованно, то определяющие плоскость Картана Кп-Г ^(А) точки

Ку = ^оЛз + Ау ? Кп = УоАо + УпрАр + ^пА— + Ап

принадлежат гиперплоскости Бп-1(А)) тогда и только тогда, когда обращается в нуль относительный инвариант [6]

гто о о о р ф м лгто , гто / о п^ р. Тп = Уп -Ип -УрУп -ЛА, &Тп + Тп (оо-Оп ) = 0.

Отметим, что согласованное оснащение полосы Пг(т) является сильным, однако обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

§2. Двойственные нормальные связности в расслоении нормалей 1-го и 2-го рода на базисной поверхности Уг полосы Пг(т)

Так как геометрия базисной поверхности Уг полосы Пг(т) получается из геометрии голономного Л-подрасслоения, ассоциированного с Н-распределением, то из двенадцати охватов тензора Гпр [8] для полосы Пг(т) подходят лишь те, которые определяются полями фундаментальных подобъектов

{Л-^ Л-'pqt,... }, К^д Л-^дХ...^ {Лид,...} полосы Пг(т) :

123

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

0 1 2 Гп - 0, Гп -Л -у° + Лп уд, Гп - I -у° + Л уд,

пр ' пр р р р^ ^ пр р р р^п^

3

Г п - к -У° +Л V (11)

Г пр кр ур + ЛряУ п , (11)

4 5

Тп _ о , \п с 'тЧ П —О

Г пр- с р ур + Лрсуп, Г пр~ Лрчтп , Л[ря] -

£_

Охваты тензоров Г гп\р, соответствующие охватам (11), определяются следующим образом [8]:

_0 1 1 2 2 1 3

Т~< п Г\ Т~> п Т~< п Т~< п Т~< п т-< п Т~< п /1

Г пр~ Г пр--Г пр, Г пр--Г пр, Г пр--Г пр, (12)

4 4 15

Т~< п Т~< п Т~< п Т~< п

Г пр--Г пр, Г пр--Г пр •

На оснащенной в смысле Нордена — Картана (Нордена — Бортолотти) базисной поверхности Уг полосы Пг(т) строение

слоевых форм не зависит от охвата тензора Г^. Таким образом, справедливы следующие два двойственных друг другу утверждения.

Теорема 1. На оснащенной в смысле Нордена — Картана базисной поверхности Уг полосы Пг(т) в расслоении нормалей 1-го рода индуцируются шесть нормальных связностей

е ±

V , определяемых системами слоевых форм

£ £ п° о о а пп п

в у- соу -УсЮ, в у- 0,

£

по о р о , 0у о о, а с 0у с с р пЛ ,

вп -®п + Уп Юр + ЛЮ - V с (у* + О + ЛЮ - упуп Юр) +

п ^п 1 'п^р 1 "п^у ' с\'п 1 ^о 1 "п^у ' п' п^ р)

ее е

, огп с пп п о , о р , р п , ги с ,-,-,4

+ уп ГрсfP>, вп-®п-Оо +ур<+ур®р +Гпс^ , (13)

е е

пи и г.Ы/ о о р\ пи -и с , р и м р п в у -Оу - 5у (®о - Ур^о ), вп- лп^о + уп юр - луп Юр •

124

Ю. И. Попов

В силу двойственной теории полосы Пг(т) [1], имеет место

Теорема 1*. На оснащенной в смысле Нордена — Борто-лотти базисной поверхности ¥г полосы Пг(т) в расслоении

нормалей 2-го рода индуцируются шесть нормальных связно-

л.1

стей V , определяемых системами слоевых форм

Е Е

п о Тгп г и , р иЛ тго о , о р , о и , в V = Ку(оп + Уп ОрX в п=Оп + УрОп + Лоп +

Е

, р/ о д , ф и о о дх , от^п д + Уп УрдОо + ЛиОр -урудсо ) + Мп Г пдОо,

Е

пи и , тги-^тгп д с-иг о р п\ /л л\

в и =Ои + Уп- V - 5у (°о - упр°р X (14)

Е Е

пу ТгУиг о р , о д «о о д^ пп в п= ^ (УрОи +Лид°о - Лиуд°оX в V

ЕЕ е

п п п о , о р , р п , "рп р в П=°П - Оо + Уроо + УрОр + Г прОр.

Из соотношений (11—14) следует, что для определения

0 0

двойственных связностей V и V достаточно задания нормализации базисной поверхности Vr полосы Пг(т) в смысле

1-61

Нордена [3], для определения остальных связностей V и

1-6

V требуется дополнительное оснащение соответственно в смысле Э. Картана или Э. Бортолотти.

е- Е-

Каждая из систем форм {в-}, {в -}удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [9]:

Е- Е— Е- Е- Е- Е — Е- Е-

Бв- = в%Лв% + Я^орлО , Бв и =в %Лв % + Я-рдСЛОд .

125

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

В о \ В о \ , 0% о о^п I Т^п / В .п ¡4 .(15) -уп[руд]-ЛпЛ%[руд]) + ЛпЛЧРУВ|д]-уп[Г п[рд]+Г nt(уnЛв[рдд] + ** '

е - ЕЕ-

Компоненты тензоров Я кривизны--кручения

Е1 Е±

двойственных связностей V и V имеют следующие строения:

Е Е

Г>о Л В о оо 0и яи о — Л

Курд= Лу[рУВ|д] - У Лу[рУд> Курд= -ду урд - Л[рЛ|v|д],

Е

по В о ^ В о /.п о В /.п \ о , В X /.п о

Кпрд=уп[ру1в1д] +уп(УnУt[pЛ|в|q] +уt уп[рЛ|в|д]) + ув (УпУпЛ1[руд] -

ЕЕ

'Ы Л%[руд]) + Лп Л%[ру в|д] -уп[Г п[рд]+ Г nt(уn

Е

+ чрк]] + Гпр8\] - у°о (упр8\] + ЛЧр8\]) + ^^упЛ"[р8\]],

Е /1/ / / /

Кпрд= уп[рЛуд] -ЛпУп[рЛИд] + ЛпЛи[рЛуд] +упупЛУ[рЛВ|д] +

Е П V I В V / У5И / Е у1 + Гп/Лп[р^д] + УпЛв[р^д] -ЛиУ??Л5[р^дКурд= 0

Е Е

рп _ t п о гп

Кпрд= уп[pЛ|t|д] - у[рд] - Г п[рд],

Е

Т>о —Т^п ( t В ли лп ли t ч К урд= Уиу(УпУпЛ[рЛ|в|д] - ^рУпду,

Е

~Г>о _ В о о, t о t ол t ✓ о лп

К прд= урipу|s|д] + уt (уу[рд] - уп[руд]) + упуп(Уя[рЛИд] -

Е

о о \п I о и \п \ о и t о I

у у[рЛЩд] + ЛиЛЬ[рЛ|t|д]) - %ЛЧрУ|п|д] + р Г |п|д]+

Е Е Е Е

^ о о о 7п , ф .и у п \ о { о

и— 1/. 1/г I.. п4- Л Л г I , , и » — " "

* ^ о у- п о от—I п \ 'о у п \ ^ ^ у-п

+ уп(Ур Г |п|д] у у[р Г |п|д]+ЛиЛ*[р г |п|д]) -/"п (у[р Г |п|д]+

Е Е

+ УпЛ/[р 1 |п|д] Г п[рд],

Е Е

Г) и /.п t -¡ти%ттп Л ■X т>п г\

К урд= -°у ЛЧру|п|д] - Уп ¥хуЛм[рЛЩд], К урд= 0 (16)

Е

Т>у _1/Уи( о Л , о о «о л о Л о

К прд= ' п (у[рЛ-д + Лиу[рд] + ЛгЛ*[рЛ|и|д] + Ли[руд] +

126

Ю. И. Попов

ее е

о Л т^п о т^п о о т^п \ + У Ли[р 1 \п\с]+ли[р 1 |п|с]- Лиу[р 1 |р|q]),

Е> п _ Ь дП о Т^п к прс~ Уп[рЛ\Ь\с] - У[рс] - 1 п[рс].

е е

Отметим, что функции Г рГ р, входящие в соотношения (15), (16), можно представить в виде:

0 п п 1 п г. 0 .п Ь .п Ь

1 п[рс]- 0, 1 п[рс]- Лрс] - Урс] + НрсУп + Л4У п\с],

2

т^п ! о , п Ь лп Ь 1 п[рс]- {рс] -у[рс] + Л4рсУп + Л4рУ\п\с],

3

гп , о .п Ь .п Ь

1 п[рс]- "[рс] - у[рс] + ЛЬ[рсУп + НрУп\с],

4 5

т^п п о \п Ь .п Ь гп .

1 п[рс]- С[рс] -у[рс] +Л1[рсУп +Лt[pV\n\q], 1 n[pq]-Лs[p1\n\q],

6И о п ? п

Гп[рс]- С[рс] + 3Л[рс] - 4у[рс] + 2Л[рсУп + Лп[рУп\с].

0 1112 13 "I—I п Л Т—1 п Т—1 п Т—1 п Т—1 п Т—1 п Т—1 п

1 п[рс]- 0, 1 п[рс]--1 п[рс], 1 п[рс]--1 п[рс], 1 п[рс]--1 п[рс], 4 4 1 5 16 1

"I—I п Т-1 п -I—I п -Г—>п -I—I п -I—I п -Г—>п

1 п[рс]- ^рс^ 1 п[рс]- n[pq], 1 п[рс] п[рс]- 61 п[рс] • е- е- е е Системы форм {ву}, {в у}, {ву}, {в у} задают соответст-

е е

венно подсвязности нормальных связностей V и V , где

е -

{в у} — формы нормальной связности, определенной в расе

слоении характеристик Фп_г{ву} — формы нормальной связности, определенной в расслоении направлений в характе-

е

ристиках Фр-г-1; {в и} — формы нормальной связности, за-

е

е

127

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Е

данной в расслоении касательных плоскостей Mm, [в V} — формы нормальной связности, определенной в расслоении направлений в касательных плоскостях Mm .

Список литературы

1. Попов Ю. И. Регулярные полосы проективного пространства, ассоциированного с ^-распределением // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2008. Вып. 39. С. 117—123.

2. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР. 1959. Т. 28, № 4. С. 151—157.

3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

4. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполостного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии/ ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

5. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределенный проективного пространства: монография. СПб., 1992.

6. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: монография. Чебоксары, 1992.

7. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spari; applicazione alla geometria metrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sce. Univ. Cagliari. 1933. Vol. 3. P. 81—89.

8. Попов. Ю. И. Двойственные нормальные связности базисного подрасслоения ^^-распределения проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. C. 137—144.

9. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. о-ва, 1953. Т. 2. C. 275—382.

Yu. Popov

INTRODUCTION OF DUAL NORMAL CONNECTIONS FOR THE REGULAR STRIP Пг(тЛ IN THE PROJECTIVE SPACE

128

Ю. И. Попов

Dual normal connections in the bundle of normals of the 1-st and 2-nd kind for the base surface of the strip nr(m) c Pn are considered.

УДК 514.76

Ю. А. Трофимов

(Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского)

О КАНОНИЧЕСКОЙ ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТИ НА РАССЛОЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ РЕПЕРОВ

Рассматриваются вопросы, связанные с канонической плоской связностью на расслоении линейных реперов. Вычисляются коммутаторы базисных векторных полей, компоненты тензоров кривизны и кручения, значения этой связности на векторных полях специального вида.

В работе [1] вводятся понятия линейного репера, расслоения линейных реперов, адаптированного репера на координатной окрестности.

Пусть Мп — связное, дифференцируемое класса Сш многообразие размерности п, Ь(М„) — расслоение линейных реперов над Мп, {и, х1} — координатная окрестность на Мп, {ж~1(Ц), (х', х'а)} — координатная окрестность на Ь(Мп) .

Пусть на Мп задана линейная связность V без кручения. Тогда мы можем построить лифты тензорных полей с базы в

д

расслоение Ь(М ) . Если {д } = {—-} и {dx1} — поля нату-

дх'

рального репера и корепера на Мп, то {дн,д( 01 )} и {(<3хг )У ,(<Лх' ')Не° } — поля адаптированного к связности V ре-

129