ДВОЙСТВЕННЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ ГИПЕРПОЛОСЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Т.Ю. Максакова

(Балтийский военно-морской институт)

ДВОЙСТВЕННЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ ГИПЕРПОЛОСЫ СЩ

Приведена структура построения двойственных аффинных связностей и их тензоров кривизны центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы СИгт [1] проективного пространства Рп (1<г<ш<п-1). Исследуются попарные совпадения этих связностей.

Во всей работе схема использования индексов такова:

J, К, Ь = 0, п; р, д, г, 5, t, Н, / = 1, г; г, _/, к, I = г +1, т; а, /3,у = т +1, п — 1; и, V, w = г +1, п — 1; р, д, г, 5,1, Н, / = 0, г; р,т = г +1, п.

1. Известно [1], что в репере 1-го порядка Я1 дифференциальные уравнения гиперполосы СИгт с Рп имеют вид:

п г\ V ъ п г\ а г\ п г\

щ0 = 0, щ0 = 0, щ = 0, щ = 0, ща = 0, Щ = аРдщ9, Щр = Ьрдщ9, Щ = Ь'РдЮ'1, щр = Ьрдщ9, Щ0 = ьардщд;

„п . п 0 п t \-JIJ , гЛ 0 , _ г . 7 а г тЛ t Уард + ардщ0 = ардЩ , \Ьрд + ЪрдЩ0 + арЩп + ЪрдЩа = ЪрдЩ ,

Vьам+ъамщ+арщ0 =o, уьд+ьщ — ддрЩ° =o, (2)

+ъррЩ—дЩа — ъЩа - 0,

(1)

где

а['рд]=0 ъ[рд\=°> О=0, ЧА=0 =0, ш=0;

п I -Л 0 , 0 П П 5 П 5

^ + 2ардЩ0 + а{рдЩ) — %даЩ = ардЩ ,

= + апъ

п п г.: г.! . п г.: г. !

ардЫ = арА[Ъ\5 \ + а1дЪр[Ъ:\5 \

(3)

йв/

Тензор Ъпрд - невырожденный (Ъ = Ъпрд Ф 0), поэтому можно ввести обратный ему тензор Ърд:

ър% = з;, уърд — ърЩ = —ърХХЩ,

4 ( \ 5 (4)

й 1П Ъ + гЩ0 +щ)— 2щРр = Ъpщ0p, Ър = аС!гаПЩр.

2. Обобщенная нормализация гиперполосы СИгт с Рп [1; 3] равносильна за-

р 0

данию двух полей квазитензоров уп,ур :

^ ^ +Щр = У рдЩд , Уу0р +Щр = у0р(Щ . (5)

Согласно [2; 3] обращение в нуль тензора Тр :

тр = dp у + аруп, ут0 (г)=тру, (6)

где

тЫ = ^рч]- 4%] - уП[ра"п>, dP (7)

^р + dp^> - аПр®1 = dpq<> d[рп] = ^[р^р]

есть условие взаимности [4] обобщенной нормализации гиперполосы СНгт с Рп относительно поля соприкасающихся гиперквадрик:

апрпхрхп + 2dpxpxn + Ьпиухихл' + 21ухухп + Тп (хп )2 = 2 х0 хп. (8)

Обращение в нуль тензора тпр:

def

Тпр = Wnp + ¥р, dтрp - ТпрЮ"п + Тпп^р = Тр^п (9)

есть условие коинцидентности гиперполосы СНт [5; 2], а обращение в нуль симметрического тензора Дарбу

вПрпг = арпг- > ^вПрпг+ ^"рп^о = ^рргР*> Г)п — пп — гУ И — гУ И

^р^я арпгз (pпdt) а(рпи/>

есть условие касания 3-го порядка поля соприкасающихся гиперквадрик (8) с гиперполосой СНгт с Рп.

3. В работе А.В. Столярова [6] введены для регулярных гиперполос Нт с Рп

1

две двойственные аффинные связности V и V без кручения, которые в случае обобщенной нормализации тангенциально вырожденной гиперполосы СНгт с Рп определены соответственно системами форм Пфаффа:

ер =фр, ер = апр -8«а>р-8УрЮ0-у^р +у°рфрп; (11)

врр =ерр =ар, ер =ер ^ар^ - ап!апр1 ур - апу )-% У - апу )-3}{у0р - ау )\э(. (12)

Формы (11), (12) удовлетворяют структурным уравнениям Картана-Лаптева [7; 8]:

Бер =еf лер, Бер =ерлер + яр^л4, (13)

Бвр =в0рлер, пер =вррлер + яр^0л4. (14)

Тензоры кривизны Япр5{, Я(р5{ связностей V и V имеют строение:

■Ь = ЬЩ<]+ грграр^р + у°р[^р - уРУ^Ор - у°рУр*яр - ур^р - (15)

яи = + У>Рапр[^ - апрраГК^] - аЩу)^ -

(16)

„п р ар 0 п 0 п р г п с?п

- 5Рар [яр - ап У Рару ] - арРУп У ггаг[яЩ.

Путем преобразования слоевых форм аффинной связности [6]

Ц =6qp + Г % С (17)

можно получить другие аффинные связности V (s = 1,5). Требование того, чтобы система слоевых форм (17) удовлетворяла структурным уравнениям Картана-Лаптева [7; 8], приводит к уравнениям [10]:

sq sq f , Sf q Sq t q o sq f Sq f , Sf q Sq t

dros- rof C0JS + ros щ = rostс , dГps + Гpsc0 - Гpf coJs - ГfsaJp + Гps®} = Гpstс , (18)

s „ s

q ° q

т.е. каждая из систем функций { Г 0s }, { Г ps} должна быть тензором. В струк-

£ q

турных уравнениях (13), (14) компоненты тензоров кручения Rоst и тензоров

£ q £

кривизны Rpst связностей V имеют следующие строения:

£ q £ h пе h £ h £ q £ q £ q п £ q

Rost = vqn г h\s a^-У° Г o[s S[ - Г o[s Гщ ]- Г [st ]- Г o[s vjj - Г q|;„ ], (19)

£ q £ £ f £ f £ f £ q £ n £ d

rpst = rpst + a"p[s rft ] vf + vi гр [s äff - v°° гр [a S[ - гр [s г\ f\t ]-г fst ] v°p - г ]. (20)

£ q

Рассмотрим аффинные связности, формы кручения во которых совпадают с базовыми формами cop. В силу соотношений (1) - (7), (9), (10) убеждаемся, что уравнениям (18) удовлетворяют следующие системы охватов:

1 q 1 q

Г 0s = о, Г ps = 0; (21)

2 2

rqs = о, rqps = aqtDps + SpT (v) + SsqTp0(v) + af apfv); (22)

3 q 3 q

Г 0s = 0, Г ps = af D?p s'; (23)

4 q 4 q

г 0s = 0, Г qps = -Sp,ansfTnf; (24)

& = 0, Г qps = afD}ps - Sp>afTnf. (25)

1

Охваты (21) определяют исходную аффинную связность V, а охваты (22) в силу

соотношений (10), (12), (17) - двойственную аффинную связность V без кручения (6). Из (17) с учетом формул (23) - (25) определяются аффинные связности

3 4 5

V, V, V соответственно слоевыми формами:

3 3 1

в$ = С, ep = eq + afDfpcC; (26)

4 4 1

в^ = С, в«р = в«р - SysfTfC; (27)

ер = сор, ер = ер+(аррр - 8%// к. (28)

Компоненты тензоров кручения и кривизны связностей V (е = 1,5) находим из соотношений (19), (20), (21) - (25):

1 % 1 а 2 а 2 а _

Яо = о, Яр5г = яр«, Яш = 0, Я% = Яра«, (29)

я11 = о, я и = я и - аоурар - ррпрёоь - ьрй% ] - аррщ, ] + (30)

а^п^о + dpd[s80 + aрfdfd[saр]p - арdf ^ - dp[s80\ + 8^[я1];

Яо, = -Т/а} 8, Я Оря, = ^Рррр; (31)

5 О 4 О 5 О 2 О г

Яо= Яш, Яряг = Я% - 8т/О/ . (32)

Теорема 1. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна тангенциально вырожденной гиперполосе СНгт в касательном расслоении направляющей поверхности у с УГ индуцируется пять аффинных связностей

1 5

V-V, определяемых соответственно системами слоевых форм (11), (12), (26) -

1 2 3 4 5

(28), при этом первые три связности V, V, V без кручения, а V, V имеют равные ненулевые кручения.

4. Рассматривая двойственный образ гиперполосы СНгт с Рп [3] и проводя

1

двойственные построения на базе связности А по законам (17) - (28), получим еще пять аффинных связностей V- V, индуцируемых на обобщенно нормализо-

-г 1 5

ванной гиперполосе СНт с Рп и попарно двойственных с V- V. Аффинные

связности V- V определяются соответственно слоевыми формами:

1 1

ео =со ео = е% • ео = со , ер =ер ;

_2 _2 _1 2 _1 2 1 ер =с, ер =ер+грк = ерр-грк =ер;

3 3 1 1 3

ер =с, еро =ер-ар/прс =ер-грк; (33)

_4 _4 _1 _1 4

ер =с, ер =ерп-8ра/тр< =еро+г%к;

_5 _5 _1 _1 4 3

еоп =ср, ерр =ерп-а/р + 8/к = ер+(гр,-Гр,к,

5

5

1

а тензоры кривизны и кручения имеют соответственно следующие строения:

— —q——q —q

Rost = 0, Rpst = Rpst, Rost = 0, Rpst = Rpst;

3 3 1

Rist = 0, R'pst = Rpst + afrnhv°oDnfh[san]p + + af^a^f] + ] - (34)

- affa/dDlf[safp - d[safpaqdf - dpd^f + afdf [safp + d^ - 8^

±q 4 ± — q

Rist = -T/af 8 = Rqist, Rqpst = Rpst - 8qT/{af f; (35)

5 4 5 2

—o — o — o — o r

Rost = Ro st, Rpst = Rpst-8qpTff[af]f. (36)

Теорема 2. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна

-Г

тангенциально вырожденной гиперполосе chm индуцируется пять аффинных

£ £ связностей V (двойственных соответственно связностям V ), определяемых

_L А

системами слоевых форм (33), причем первые три связности V, V, V без круче-

А А

ния, а связности V, V имеют равные, вообще говоря, ненулевые кручения (35), (36).

В силу соотношений (31), (32), (35), (36) справедливы:

4

Теорема 3. Пространство аффинной связности App (соответственно

5

Ap,p), индуцируемое при обобщенной нормализации гиперполосы CHrm ^ Pn,

имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда гиперполоса CHrm коинци-

4 1 5 3

дентна или когда V = V (соответственно V = V).

4_

Теорема 4. Пространство аффинной связности Ap,p(соответственно

5 _

— -Г

A p,p), индуцируемое при обобщенной нормализации гиперполосы CHm ^ Pn,

-r

имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда гиперполоса chm коинци-

А А А А

дентна или когда V = V (соответственно V = V).

Согласно (6), (9), (10), (17), (21) - (25),(33) имеет место

Теорема 5. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе CHrm признаки условий попарного совпадения аффинных связностей

S

V имеют вид:

1345 1435 32

V = V^V = V^ Dnpqt = 0; V = V^V = V^ Г/ = 0; V-V» T°p (v) = 0;

1 5 3 4 1 2

( Dnpqt - 0, Tnp - 0); V - V » (Dpqt - 0, T°p (v) = 0).

s

Признаки условий попарного совпадения аффинных связностей V , индуцируемых на обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе

-r

chm, имеют аналогичное строение. Геометрические характеристики аналитиче-

s s

ских признаков попарного совпадения связностей V (или V ) приведены в пункте 2.

^исок литературы

1. Попова Т.Ю. Центрированные тангенциально вырожденные гиперполосы chrm ранга r в проективном пространстве Pn / Калинингр. высш. воен.-мор. училище. Калининград, 1997. Деп. в ВИНИТИ 24.01.97, №197-В97.

2. Столяров А.В. Сужения пространств проективной связности, индуцируемых на оснащенной гиперполосе // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. №30. С.73 - 84.

3. Максакова Т.Ю. Двойственные нормальные связности на вырожденной гиперполосе CHrm // Там же, 2001. №32. С. 65 - 69.

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

5. Mihailescu T. Geometrie differentiala projective // Bucuresti. Acad. RPR, 1958.

6. Столяров А.В. Дифференциальная геометрия полос // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 25 - 54.

7. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275 - 382.

8. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.

9. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюзн. мат. съезда. 1964. Т. 2. С. 226 - 233.

10. Столяров А.В. Двойственные аффинные связности на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат. 1999. №9. С. 55 - 63.

Т. Maksakova

DUAL AFFINE CONNECTIONS FOR THE HYPERSTRIP C H

m

Dual affine connections and their curvature tensors are constructed for the centred tangential degenerate hyperstrip in the projective space. In pairs coinsidences these connections are investigated.

г