ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СОПРЯЖЕННОЙ СЕТИ НА ПОВЕРХНОСТИ КАРТАНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

УДК 514.75

Н. А. Кузьмина

(Чувашский государственный педагогический университет,

г. Чебоксары)

ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СОПРЯЖЕННОЙ СЕТИ НА ПОВЕРХНОСТИ КАРТАНА

Изучается двойственная геометрия сопряженной сети Е m на поверхности Картана Vm в проективном пространстве P2m. Исследования проводятся инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [7] и теоретико-групповым методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [3].

Во всей работе индексы принимают следующие значения:

J, K = 0,2m; /, j, k, l, s = 1, m;

a, в, Y = m + 1,2m; u, v, w = m + 1,2m -1. В 2m-мерном (m > 2) проективном пространстве P2m рассмотрим поверхность Картана Vm [9], дифференциальные уравнения которой в репере первого порядка R = {AJ} имеют вид ®0 = 0 . Продолжая эти уравнения, имеем coai = №ikcC, A"ik] = 0 . Дальнейшее продолжение уравнений приводит к следующим дифференциальным уравнениям

dh\+к®;-к c -к c+к c=AOks cso ; (i)

здесь функции А^ симметричны по каждой паре нижних индексов.

В репере, отнесенном к сопряженной сети Еm на поверхности Картана Vm , справедливо

72

Н. А. Кузьмина

ла = 0, лалв =зар, л*лкк = 3*,г **. (2)

В выбранном репере второго порядка уравнения сети !,т имеют вид [1]:

с* = а>0, а* =-Л?Л]1к, г * * . (3)

В работе построен тензор Ък третьего порядка:

а - ЬУа+ ЪаС0 = ЪкС0 . Инвариантная гиперплоскость П 2т-1, уравнение которой имеет вид Ьаха = 0 , содержит касательную плоскость Тт (А0) к поверхности Картана Ут в Р2т . Следовательно, справедлива Теорема 1. Поверхность Картана Ут в Р2т в третьей дифференциальной окрестности внутренним образом порождает инвариантно присоединенную к ней гиперполосу Нт , для которой данная поверхность Картана Ут является базисной.

Такую гиперполосу назовем гиперполосой Картана Нт, ассоциированной с поверхностью Ут в Р2т .

В предположении А2т ё П2т-1 (что равносильно соотношению Ь2т * 0) ассоциированная гиперполоса Картана Нт регулярна [2] (т.е. (т-1)-мерная характеристика Пт-1 главной касательной гиперплоскости П2т-1 и касательная плоскость Тт (А„) поверхности Картана имеют лишь одну общую точку А0 ) тогда и только тогда, когда тензор третьего порядка

Ы2; = ЬаЛак невырожден; ниже предполагается невырож-

Ь2т

денность этого тензора.

В репере Я = {ВК} четвертого порядка, где В0 = А0,

В, = А , В = А - ^Ат , В2т = А2т , дифференциЗЛьные урав-

73

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

нения регулярной ассоциированной гиперполосы Картана Нт в Р2т запишутся в виде [5]:

□ 0 = О, О 2т = О, О 2т = м," О 0, Ои = МI О 0, ОV = N [к О к. (4) Продолжая уравнения системы (4), в частности, имеем

а м,кт - м,2т Ок - м 2кт о; + м," (о,т +оО )=м,к: оо . (5)

Отметим, что: 1) совокупность функций (м2"} образует тензор третьего порядка, симметричный по индексам ,, к; 2) функции мкт симметричны по нижним индексам. В работе доказана

Теорема 2. Ассоциированная регулярная гиперполоса Картана Нт в Р2т в шестой дифференциальной окрестности индуцирует:

1) проективное пространство Р2т (Нт), двойственное исходному пространству Р2т (Нт) относительно инволютивно-го преобразования J : О К ^ О^ структурных форм Пфаффа;

2) многообразие Нт в Р2т , двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (^} имеют вид, аналогичный уравнениям (4) гиперполосы Нт .

Таким образом, двойственность ассоциированной гиперполосы Нт в Р2т влечет за собой двойственность геометрии исходной поверхности Картана Ут в Р2т , являющейся базисной для Нт .

Пусть гиперполоса Картана Нт , а следовательно, поверхность Картана Ут в Р2т , нормализована в смысле Нордена — Чакмазяна [4; 8] полями квазитензоров у'1т, V0:

+ V2km□k - V2m□2m + О2т = v2m,k^О , (6)

+ V,оО0 -уООк +О0 = у0кОО. (7)

На нормализованной поверхности Картана Ут в Р2т инду-

1

цируется аффинная связность V без кручения, определяемая

74

Н. А. Кузьмина

системой форм I© 0, © 'к |, слоевые формы соответствующего

1

пространства аффинной связно сти А т, т имеют строение [5]:

© 0 = а'0, © к = а к - У2т а 2т -бк (а 0 - о 0)+у°к а 0. (8)

В силу двойственности нормализованной ассоциированной

I 2 ' 2 ' ]

регулярной гиперполосы Картана Нт система форм < ©0, ©к !>

строения (8), где входящие в них формы а и функции пишутся с черточкой сверху, определяет вторую аффинную связ-

2

ность V без кручения; соответствующее пространство аффинной связности обозначим через А т,т . Доказана

Теорема 3. На поверхности Картана Ут в Р2т , нормализованной в смысле Нордена — Чакмазяна, индуцируются две

1 2

двойственные аффинные связности V и V без кручения.

Так как репер Я отнесен к сопряженной сети 1,т на поверхности Картана Ут в Р2т , то в силу соотношений (2) справедливо М2т = 0,' Ф у . Уравнения сети Ът на Ут в репере Я записываются в виде:

а\ = а{ка0,' ф у. (9)

Уравнения «тангенциальной сети» 1,т, двойственной исходной !,т с Ут, в тангенциальном репере } имеют вид:

о = акак, ' Ф у, (10)

где

ак = ак + М^, 'Ф у . (11)

Согласно работе [1], на любой касательной В0В. к '-й линии сети 1,т на поверхности Картана Ут в Р2т имеются точки

75

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

^ = -а^ + Б1, ' Ф ] ; (12)

В.Т. Базылевым [1] они названы псевдофокусами касательных к линиям сети Ет с V .

т т '

Для «тангенциальной ткани» Ет образы 77/, двойственные псевдофокусам Г/ и определяемые сопряженной сетью Ет с Ут, имеют строение

п = М2т М2та;^ + £, ' Ф ]; (13)

они называются [5] псевдофокальными гиперплоскостями. Справедлива

Теорема 4. Двойственные поля т-мерных и (т -1) -мерных гармонических плоскостей, определяемых, соответственно,

скГ 1 1

полями квазитензоров ц\т=-2 а'- М2т , =--2 а\

т т -1 ]ф' л т ' т -1 ^' '

на поверхности Картана Ут в Р2т в третьей дифференциальной окрестности задают двойственную внутренним образом определенную нормализацию поверхности Ут .

Определение. Сопряженную сеть Ет на поверхности Картана Ут в Р2т назовем геодезической первого (второго) рода, если все направления касательных Б0Б1 к ее линиям переносятся параллельно вдоль соответствующих линий ОД в

1 2

аффинной связности V (V ) пространства Ат,т (Ат,т).

Определение. Сопряженную сеть Ет с Ут назовем чебы-шевской первого (второго) рода, если все направления касательных Б0Б' к ее линиям переносятся параллельно вдоль лю-

12

бой другой линии сети в аффинной связности V (V) про-12 странства Ат,т (Ат,т).

Аналитически условие геодезичности первого или второго рода сопряженной сети Ет записывается, соответственно, в виде:

76

Н. А. Кузьмина

аУ - Кт М)т = 0, ' Ф У , (14, а)

ау + у" = 0, ' Ф у . (14, б)

Сопряженная сеть на поверхности Картана является чебы-шевской первого или второго рода тогда и только тогда, когда справедливы соответственно условия

ау +6/у° = 0, ' Ф у, I, (15, а)

а; М2т-З^т = 0, ' Ф У, I. (15, б)

Справедлива

Теорема 5. Сопряженная сеть Ет на поверхности Картана У в Р есть сеть с совпавшими псевдофокусами ¥] (с совпав-

т 2т ± ^ 'V

шими псевдофокальными гиперплоскостями П ) тогда и только тогда, когда относительно поля ее гармонических плоскостей (д2т) она является геодезической сетью второго (первого) рода.

Замечание 1. Из соотношений (14), (15) непосредственно следует, что сопряженная чебышевская сеть Ет с Ут в Р2т первого (второго) рода является геодезической второго (первого) рода; следовательно, она принадлежит к классу сетей с совпавшими псевдофокусами Е/ (псевдофокальными гиперплоскостями П ).

Замечание 2. При т = 2 в четырехмерном проективном пространстве Р4 сопряженная сеть Е2 на поверхности Картана У2, нормализованной полями ее гармонических плоскостей д'4 и , является чебышевской первого и второго родов одновременно, в силу замечания 1 данная сеть является также геодезической первого и второго родов.

Составим функции пятого порядка М„т = М 2'т ^ , которые вместе с М'2кт образуют симметричный по индексам ', к тензор. Если направления касательных к линиям сети Е т с Ут в Р2т попарно сопряжены относительно 2т -1 конусов направ-

77

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

лений М2ЯОД^О = О, M,= О, Mv2,m= О, то, следуя [5], такую сеть назовем сильно сопряженной. Справедлива

Теорема 6. Если поверхность Картана Vm в P2m (m > 2), несущая сильно сопряженную чебышевскую сеть первого и второго родов (одновременно), нормализована полями гармонических плоскостей сети, то обе внутренние геометрии 1 2

пространств Am,m и Am,m являются аффинными (локально).

Список литературы

1. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства // Известия вузов. Математика. 1966. № 2. С. 9—19.

2. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. 1950. Вып. 8. С. 197—272.

3. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.

5. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий / Чуваш. гос. пед. ин-т. Чебоксары, 1994.

6. Столяров А.В. О внутренней геометрии поверхности Картана // Диф. геом. многообр. фигур / Калинингр. ун-т. Калининград, 1976. Вып. 7. С. 111—118.

7. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.: ГИТТЛ, 1948.

8. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // ДАН АрмССР. 1959. Т. 28. № 4. С. 151—157.

9. Cartan E. Sur les variétés de courbure constante d'un espace eucli-diene or non euclidiene // Bull. Soc. Math. de France. 1919. 47. P. 125— 160; 1920. 48. P. 132—208.

N. Kuzmina

DUAL GEOMETRY OF CONJUGATE NET ON CARTAN'S SURFACE

Dual geometry of conjugate net on Cartan's surface in the 2m-dimensional projective space is considered.

78