CC BY
14
(а + Ь )4 + а2)
4а2
- 2р\ 1п —+ 1п— 1-^
а а I а
(а-1) . а(а -ЬX
з^л/Г5 '
(^лУГ5 - 15/я (-\Д"51п р))
/я (\Д"51п а) 1п а) - С08(\Л"51п а)
ч
-^ш(л/1"51па) ((1 - 15-\Л"5)/15 - 15/я (-\Л"51па)) - С08(-\Л"51па)) -
-15/я (-\Л"51п р) - -21СО840
Список литературы:
1. Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая академия. - Л.: Гостехиздат, 1950.
2. Ивлев Д. Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. - М.: Наука, 1978.
СОПРЯЖЕННЫЕ СЕТИ НА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
© Кондратьева Н.В.*
Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, г. Чебоксары
В статье изучается внутренняя геометрия сопряженных сетей Еи _ 1 на регулярной гиперповерхности Уп _ 1 в проективном пространстве Р„. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований [2, 3, 5].
Индексы в работе пробегают следующие значения:
I, К, Ь = 0, п; I, к, I, 5, р, / = 1, п -1.
Отнесем гиперповерхность Уп _ I п-мерного проективного пространства Рп к точечному реперу первого порядка Я = {А1}, то есть вершину А0 репера совместим с текущей точкой гиперповерхности и вершины Ai рас-
* Аспирант кафедры Геометрии
положим в касательной гиперплоскости. Бесконечно малые перемещения этого репера определяются уравнениями:
^0 = К0 А0 +®0А1 (1; а)
= К А0 + К1Ак + К"Ап (1, б)
''А = а1 А0 + КА + <А (1, в)
где формы К удовлетворяют структурным уравнениям пространства [5]:
бК =К л к, К = 0 (2)
Дифференциальное уравнение гиперповерхности ¥„ _ г в выбранном репере имеет вид:
К = 0 (3)
Продолжая уравнение (3), имеем:
К = Л\К, Л^ ] = 0 (4)
продолжая последние уравнения, получим:
к + Кк (к +К)- К^к- Л"кК = Л"иа0 (5)
где функции Кт симметричны по любой паре нижних индексов.
Предположим, что гиперповерхность ¥„ _ 1 а Рп является регулярной, то есть тензор Лпк невырожден: Л = \Лпк\ # 0, следовательно, можно рассматривать обращенный тензор Лпк, компоненты которого определяются соотношениями:
Л Л\ =Лп Лпи =5‘к (6)
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
йЛп-Лкп (к +К )+кК +Л*К: = -ЛХ Л>0 (7)
Функция Л есть относительный инвариант второго порядка:
'1п Л +(п+1)К° +<)=Л к0 , Л1 = Лп Кц (8)
С регулярной гиперповерхностью ¥п _ I а Рп ассоциируются два проективных пространства Рп _ 1 и Рп-1 с общей базой Уп _ 1 [4], двойственные
относительно инволютивного преобразования I: К ^ структурных форм по закону:
кК = К = 0, К = К, К* = К --Л— К,
п + 1
к = К, =К--------Ю0, К'п = -Л^пК1 (9)
п +1
—п \п 1 — 0 \п 1 , , \,1 \п <?, Л1
К = -ЛПК0, = ЛИКп, Юк = Юк +1 ЛпЛ к - кк--7
^ п +1
заметим, что согласно [4] инволютивность преобразования означает, что I =Гг.
Формы КК служат формами инфинитезимального перемещения тангенциального репера {&}: = юК&к, где:
&> = п+ул кЛ1 ..^■А”-1 ] ^ = п+уЛ кл..“Лп-1]
, п-1 (10)
& = Елк-кЛ...^-, АпАк+1...Лп_1 ].
Относительно тангенциального репера (10) образ У„_1, двойственный ¥„ _ ;, определяется уравнением, аналогичным (3):
К = 0 (11)
Предположим, что гиперповерхность Уп_ 1 аРп нормализована [3] полями квазитензоров v„I, V,0:
¿К - « + укКк +Кп = у>0 (12)
7 0, 0 0 0 к . 0 0 1 /1->\
'V, + V К - ^К1 + Кi = уК0 (13)
Следуя [4], можно доказать, что нормализация одной из регулярной гиперповерхностей Уп _ I а Рп и Уп-1 а Рп равносильна нормализации другой; при этом компоненты полей оснащающих объектов ^п', V,0}, {¡7', у®} связаны соотношениями:
у, =-Лйпу1У = №иу1п;
¿К -у К+УК +К =у\К у = -^1; (14)
¿у0 + уК0 - у0Ку +К = К К, у0 = КК.;
, , 0 у , , у 0 ’ у 1, п ’
при этом индуцируются две двойственные [4] аффинные связности V, V без кручения, которые определяются системами форм {(90, в‘к} {^0,0 } соответственно:
£0 = X, 0'к =К -vX SI(X -v>0)+ vX 0 =£0, 0 = 0 +vX +S[ (x-vX*)+
+ЛП ( - v0hnk )+(v - v0 ).
Пусть на гиперповерхности Vn _ ¡ задана сеть Ъ„ _ ¡ Касательные к линиям сети в точке А0 примем за ребра A0Ai репера R = {Aj}, в силу чего в уравнениях (1), формы ак, i *к становятся главными:
X = aX, i * к (15)
Продолжая уравнения (15), имеем:
dak + akX+юк ~a'i +лХк = akita0,i*k (16)
где:
am = ~t + Z akai> - Z a‘¡aP>, i * k
s*t p*i,k
?k
(17)
а,[*] = 0,- * к (18)
Из соотношений (9), (15) следует:
К = ailКо,- * к (19)
соотношения (19) представляют собой уравнения «тангенциальной сети»
2п-1 с Уп-1, двойственной исходной Еп-1 а Уп-1; где в частности имеем:
аЦ = акв +ЛкпЛп!ц,, * к (20)
Точки Ек (, * к) на касательных Л0Л, к линиям сети Еп-1 с Уп-1 с Рп, определяемые по формуле:
Рк =(ЛпАУкп - аЧк А + Л,, к *, (21)
являются инвариантными (&"* =&F¡k). Эти точки В.Т. Базылевым названы [1] псевдофокусами касательных к линиям сети.
Точка:
F = S Fk (22)
n - 2 k*i
называется гармоническим полюсом точки А0 относительно псевдофокусов Е,к; (п - 2)-мерная плоскость [Е,] называется гармонической плоскостью сети £п _ 1 или, согласно терминологии А.П. Нордена [3], ее гармонической гиперпрямой.
Приведем построение образов п , двойственных Е, и определяемых сетью £п-1 с Гп-1 с Рп. Если на гиперповерхности Уп-1 с Рп задано поле
инвариантных нормалей второго рода, определяемое полем квазитензора
V,0, то для тангенциальной сети £ с Уп-1 с Рп каждую из инвариантных
гиперплоскостей пк пучка п , определяемую по формуле:
к
назовем псевдофокальной; в силу соотношений (14), (20), ЛпЛ = -ЛпЛ (см. (9)) последние выражения примут вид:
пк = (л^у - ак - ЛкпЛпик^ +&,, * к (23)
Г иперплоскость:
П= “-г (24)
п 2 к*,
назовем гармоническим полюсом второго рода сети £ с Уп-1, а прямую
пересечения гармонических полюсов второго рода - гармонической прямой сети.
Рассмотрим сеть £ с Уп-1, сопряженную относительно поля асимптотического тензора второго порядка ЛпЛ : КЛ = 0,, * к; из дифференциальных уравнений (5) для компонент К'Л = 0,, * к с использованием (15) находим:
Л к - {Лккаи + Лиакі) * ^ к (25)
Согласно (21), (23), (25), псевдофокусы и псевдофокальные гиперплоскости сопряженной сети £ с Уп-1 определяются формулами:
Ек = -аккЛ0 + Л,, - * к (26)
пк =ЛккЛУ‘^0 +&,, * к (27)
Условия параллельного перенесения направления Л0Л, касательной к ,-ой линии сети £п-1 с Уп-1 вдоль ее линии Юо в аффинных связностях V и V имеют соответственно вид:
(28)
(29)
Если соотношения (28) или (29) справедливы при I = / для любого / (для любых I * I), то сеть £ , с У , с Р называется геодезической (че-
п-1 п-1 п
бышевской) соответственно первого или второго рода относительно данной нормализации гиперповерхности Уп _ 1.
Теорема 1. Сопряженная сеть на регулярной гиперповерхности Уп-1 а Рп является сетью с совпавшими псевдофокусами ^ (псевдофо-
к\
кальными гиперплоскостями п ) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых (гармонических прямых) данная сеть является геодезической второго (первого) рода.
Теорема 2. Гиперповерхность Уп _ 1 п-мерного проективного пространства (п > 3), несущая сопряженную чебышевскую сеть, существует с произволом в п(п - 1) функций одного аргумента.
Теорема 3. Если сопряженная сеть £ с Уп-1 а Рп (п > 3) являющаяся
чебышевской первого и второго рода одновременно, есть сеть главных линий первого рода [3] конгруэнции ее гармонических прямых, то линии сети суть плоские.
Теорема 4. Если гиперповерхность У а Рп, п > 3, несущая голоном-
ную сопряженную сеть с совпавшими псевдофокусами и псевдофокаль-ными гиперплоскостями, нормализована полями гармонических прямых и гиперпрямых сети, то индуцируемые двойственные аффинные связности
V и V являются эквиаффинными, а их средняя геометрия-риманова.
Список литературы:
1. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространств // Известия вузов. Матем. - 1966. - № 2. - С. 9-19.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. об-ва. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976.
4. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. -Чебоксары: Изд-во Чуваш. педин-та, 1994. - 290 с.
5. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
- 432 с.
