АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ И СЕТИ НА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

90

Л.В. Степанова, М.Б. Банару

5. Sasaki S. Almost contact manifolds // Lect. Notes. V.1; 1965. V.2;1967.

L.V. S t e p a n o v a, M.B. B a n a r u

ON HYPERSURFACES OF QUASIKAHLERIAN MANIFOLDS

Most important example of almost contact metric structures, determining their in the differential geometry to a great extent, is structures, induced on the hypersurface of almost hermitean manifolds. Above mentioned structures were studied such distinguished geometrician as Bler, Goldberg, Sasaki et setera. The case is investigated when on the orientable hipersurface of quasi-kâhlerian manifolds quasi-sasakian structura - is induced.

УДК 514.75

А.В. С т о л я р о в

(Чувашский государственный педагогический университет)

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ И СЕТИ НА РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЕ

Исследуется внутренняя геометрия сетей, заданных на регулярной гиперполосе Нт, относительно аффинных связностей, индуцируемых при нормализации подмногообразия Нт. Основные результаты работы доложены на конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова [8].

Индексы принимают следующие значения: i, j, k, l, t = 1, m. Рассмотрим регулярную гиперполосу Нт [1], погруженную в п-мерное проективное пространство Рп (т < п - 1) и нормализованную в смысле Нор-дена-Чакмазяна [3], [10] полями квазитензоров v'n и v0 [9]. А.В. Чакмазян

показал [10], что на нормализованной регулярной гиперполосе Нт ^ Рп ин-

1 2

дуцируются две двойственные симметрические аффинные связности V, V (первого и второго родов); но следует заметить, что геометрия этих связностей им исследована довольно слабо. В работах [4], [6], нами получен ряд

12

результатов по изучению геометрии связностей V, V:

12 1 2

- связность V, средняя по отношению к V, V, является вейлевой; условием ее римановости является обращение в нуль кососимметричного тензора Т, (V)= = - уп{1 Л,;

1 2

- связности V, V, индуцируемые взаимной нормализацией подмногообразия Нт с Рй , могут быть эквиаффинными лишь одновременно, ибо

2г = 22 = тТ° •

2 '[■«■ ] 2 '[¡г] ' ¡г •

1 2

- двойственные аффинные связности V, V, индуцируемые нормализацией Фубини (¥', ^0) гиперполосы, эквиаффинны, а их средняя связность рима-нова с метрическим тензором Лп;

- если при некоторой взаимной нормализации гиперполосы Нт тензоры

Риччи г^, г^ совпадают, то данная нормализация есть нормализация Виль-чинского (-Ж' ,Щ0).

В работе [9] доказано, что на двойственно нормализованной регулярной

12

гиперполосе Нт с Ри кроме двойственных аффинных связностей V, V индур р

цируются еще две аффинные связности без кручения; формы [в'0} сим-

р —

метрических аффинных связностей V(p = 1,4) имеют следующие строения:

00 =®0,в' = ('-3'О - v¡оk0)-« + v0«0;

1^1 л

00 = ®0 ,в' =0 +

, + 23(', Т,° +ЛП Лп, Т

V т + 2 1 )

®0; (1)

3 . . 3 . 1 . 1 7 4 . 4 . 3 п

в = (0, 0 = в+—2 лкЖ( ;в = (0, 0 = 0 - 3 Т>0;

здесь Лп - главный фундаментальный тензор 1-го порядка, Бпк - тензор

Дарбу 2-го порядка гиперполосы и

^ Л

Т0( V) <ш-^ - V0 +Лп^

'у ' т + 2 ' 'к п

- тензор взаимности ее нормализации (т. е. обращение в нуль тензора Т °

есть условие взаимности нормализации гиперполосы).

р

Из строения (1) форм аффинных связностей V следует справедливость следующих утверждений:

3 4

Теорема 1. Аффинные связности V, V обладают общими геодезическими линиями.

Теорема 2. Совпадение любых двух связностей из совокупности

2 3 4 2 3 4

{V, V, V} равносильно вырождению У = У = что эквивалентно условию взаимности нормализации гиперполосы Нт.

Пусть на гиперполосе Нт с Ри задана сеть Еm сНm [5]; в репере, отнесенном к ней, дифференциальные уравнения сети имеют вид:

= aik®0, ' Ф j-

Так как условием параллельного перенесения направления А0М, М = X (v0 А0 + + Аi), принадлежащего касательной плоскости Tm (А0) базисной поверхности Vm гиперполосы Нт , вдоль кривой l с Vm в аффинной связности V, определяемой формами [в' ,в'}, является выполнение уравнений

dX + Хв] = ©X (mod l),

то на нормализованной гиперполосе Нт с Ри имеем следующие условия параллельного перенесения направления А0Аг- касательной к i-й линии сети

12 3 4

Ет вдоль ее к-й линии в аффинных связностях V,V,V, V соответственно:

aim - vj А"'к + v«5j = 0,' Ф j;

ak +Aj (Alk -Akivf) + SjjA\vln = 0,' ф j;

a

'k

a

'k

+ A j

+ Ajl

k l' ' n

r A ^ r

An - An -l—

A l'k A 'k . 0 v m + 2У

v 0-•

A

v

-A\vj

A

An -An -lA l'k A 'k . 0 v m + 2У

m + 2У

- T°(v) + 2 j] Ajl,' * j.

0,' * j;

Если сеть Ет сНт - сопряженная относительно поля тензора Л^, справедливо:

(2)

(3)

(4)

(5) то

A" = 0,' ф j;

A'

'jk

-(Aj'ajk +A>'k),' Ф j-

n

jja'k

В силу соотношений (6), (7) условия (2)-(5) запишутся в виде:

a

'k

j An

n A 'k > 0

vj Ajk + v^ = 0,' Ф j;

A' (Ajkv0 + Atialjk) Aj,vj = 0,' Ф j;

\

v0 -

A,.

m + 2у

- Aj

A

л

An a' + An ——

A""jk ^ A'k , о

v j m + 2y

- Anftvn

0,' * j;

A

a^ +A'

A j Л

'k

+ T'0 (v) Aj,vj + vj Ajk = 0,' Ф j.

(6)

(7)

(8) (9)

(10) (11)

m + 2y

Из соотношений (8)-(11) следуют условия геодезичности (к = i) сети Еш,

сопряженной относительно поля тензора Ajs, в связностях V, p = 1,4:

V: a' - vj Anu

0,' ф j;

V: a j + v0 = 0,' Ф j, по i нет суммирования;

V (или V): vj =-Ajj

Aj

a,, +-

J' m + 2y

,' Ф j, по i нет суммирования;

(12)

(13)

(14)

эти сети назовем геодезическими, соответственно, первого, второго, третьего (четвертого) родов.

Аналогично, из соотношений (8)-(11) следуют условия, при выполнении которых сеть ЕтсНт, сопряженная относительно поля тензора Л^, являет-

т т >

Р

ся чебышевской (к ф г) в связностях V:

1

V: ау + V05( = 0, г Ф у, I; (15)

*п 1 у ^г

2

V:S{v^n -Луа}1 = о,гфу,г; (16)

3 . „ .Л..

V: ЛПлп11а]1 - ¿>0 + ^ = о, г Ф у, I; (17)

V:

Г 0 Л л

2v0 - 2-Н- - луп

V т + 2 У

-ЛУП Лпиа'/г = 0, г Ф у, I; (18)

эти сети назовем, соответственно, чебышевскими первого, второго, третьего и четвертого родов.

Известно [5], [7], что в случае сети ЕтсНт, сопряженной относительно

поля тензора Л^, точки = -аУА0 +Аг, г Ф у на касательных к ее линиям и их двойственные образы - гиперплоскости Ц = ЛууЛПа'м4+4, г ф У - являются инвариантными и называются, соответственно, псевдофокусами [2] и псевдофокальными гиперплоскостями [5] сети; (я - да)-мерная и (да - 1)-мерная гармонические плоскости [ц ] и ] этой сети, где

ц=т-т , р' = тЬ ? р<, (19)

т - 1 уФг т - т уФг

определяются квазитензорами

О

?п = тт-т £ау Луу •=-тЬ £ау • (20)

Поля квазитензоров (20) задают инвариантную двойственную нормализацию гиперполосы Нт с Ря полями гармонических плоскостей сети ЕтсНт.

В случае сети Ът сНт, сопряженной относительно поля тензора Л^, справедливы следующие предложения [5]:

- нормализация гиперполосы Нт с Ря полями гармонических плоскостей является взаимной тогда и только тогда, когда сеть Ът есть сеть Дарбу (т.е. направления касательных А0Аг- к линиям сети принадлежат конусу направлений Дарбу 3-го порядка ДП?®0®о®0 = 0);

- для гиперполосы Нда с Ря , имеющей касание третьего порядка с полем соприкасающихся гиперквадрик (Ц^ = 0), поля гармонических плоскостей сети Ът нормализуют гиперполосу взаимно;

- сеть Еи сНи является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями Ц (псевдофокусами ^) тогда и только тогда, когда относи-

4

тельно поля гармонических плоскостей [ц ] ([^ ]) данная сеть является геодезической первого (второго) рода.

Теорема 3. Если сеть Ет сНи, сопряженная относительно поля тензора Л^ гиперполосы, есть чебышевская (геодезическая) третьего рода, то она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями Ц (псевдофокусами ^) и поле нормалей второго рода VО (первого рода ) взаимно полю гармонических плоскостей д'п (дО) сети, т. е.

-р о

Л

т + 2

^ - V'0 +ЛХ = О

Т О = -Л^- - д О + Л>' = О

. ' т + 2 ч' '' п у

при этом поле нормалей первого V'' (второго VО) рода - любое; одновременно является чебышевской и геодезической четвертого рода (в предположении, что она не есть сеть Дарбу или, что то же самое, нормализация {V', V0} не взаимная), то компоненты полей нормализующих объектов определяются охватами

V' = Л''

Л..

V т + 2У

V = 1 ' 2

Л

V т + 2

^ + дО + Л,д

П

п

при этом справедливо

л.

Т' (V) -

- V О +ЛХ = —

т + 2 ' '' п 2

л,.

- дО +ЛП'.дП = -тТ (д) * О. V т + 2 У 2

1

Библиографический список

1. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. М.: Изд-во МГУ, 1950. Вып. 8. С. 197-272.

2. Базылев В.Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства // Изв. вузов. Математика. 1966. № 2. С. 9-19.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.

4. Столяров А.В. Условие квадратичности регулярной гиперполосы // Там же. 1975. № 11. С. 106-108.

5. Столяров А.В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе // Там же. 1977. № 8. С. 68-78.

6. Столяров А.В. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1977. Т.8. С. 25-46.

7. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994. 290 с.

8. Столяров А.В. Аффинные связности и сети на регулярной гиперполосе // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань, 1999. С.207-208.

9. Столяров А.В. Двойственные аффинные связности на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Математика. 1999. № 9.С.55-63.

10. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // ДАН Арм. ССР. 1959. № 4. С.151-

A.V. S t o l y a r o v

AFFINE CONNECTIONS AND WEBS ON A REGULAR HYPERSTRIP

The interior geometry of webs on a regular hyperstrip Hm , concerning four symmetrical affine connections inducet with normalization of a submanifold Hm , immersed in n-dimensional projective space Pn (m < n -1), is studied.