Двоичная многоуровневая детализация элементов сеточного представления области работоспособности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Назаров Д.А.

ДВОИЧНАЯ МНОГОУРОВНЕВАЯ ДЕТАЛИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СЕТОЧНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

В данной работе рассматривается подход к представлению областей работоспособности с помощью нерегулярных сеток, построение которых основано на детализации отдельных элементов регулярной сетки. Рассматриваются вопросы, связанные с устранением избыточности информации при построении областей работоспособности с помощью сеток, описанием иерархической структуры детализирующих сеток и критерием необходимости детализации элементов регулярных сеток.

При проектировании технических систем часто возникают задачи, связанные с использованием области допустимой совместной вариации их параметров [1]. Эта область представляет собой

множество точек в пространстве значений внутренних параметров исследуемой системы, в которых выходные характеристики системы удовлетворяют заданным требованиям. Характеристики такой области могут быть использованы в задаче назначения допусков или выборе номинальных значений параметров [1, 2] .

Область в пространстве внутренних параметров системы, в каждой точке которой выполняются требования к значениям выходных параметров этой системы, будем называть областью

работоспособности (ОР) исследуемой технической системы. Более строгое определение ОР будет дано ниже.

Процедура построения ОР, основанная на многовариантном анализе модели в пространства значений внутренних параметров, представляет собой трудоёмкий в вычислительном смысле процесс, т.к. для этого необходимо многократное моделирование системы при различных значениях внутренних

параметров. Для проведения многовариантного анализа и представления ОР в пространстве внутренних параметров строится сетка, задающая несовместные ситуации комбинаций значений этих параметров [2] .

Построение ОР в сеточном виде связано с хранением и обработкой большого количества информации. Объёмы этой информации зависят от характеристик сетки, в частности, количества её элементов.

Количество элементов сетки обусловлено необходимой точностью построения ОР. Очевидно, чем больше элементов сетки, тем мельче разбиение и тем точнее аппроксимация. Однако при этом не менее очевидным фактом является увеличение количества данных для хранения и обработки. Например, при увеличении количества разбиений по каждому из п параметров в 2 раза, общее количество элементов сетки возрастёт в 2п раз.

Таким образом, из сказанного выше возникает проблема выбора структуры сетки такой, чтобы повышать детализацию только на особых участках исследуемого пространства параметров. Аналогичные проблемы встречаются при численном решении прикладных задач. В общем случае используется методика построения многомерных адаптивных нерегулярных сеток, имеющих сгущение узлов в одних областях и разрежение в других областях с плавным изменением решения, в целях экономии машинных ресурсов при желании повысить точность расчёта без увеличения количества узлов [3].

1. Постановка задачи построения области работоспособности.

Задача построения области работоспособности является этапом одного из методов решения задачи выбора номинальных значений параметров — задачи параметрического синтеза.

Задача параметрического синтеза (ПС) [1] ставится следующим образом. Пусть исследуемая техническая система, состоящая из взаимосвязанных элементов, имеет п входных параметров. Эти параметры являются показателями определённых характеристик элементов системы, например, ёмкость конденсатора, сопротивление резистора, и т.п. Будем называть параметры составных элементов системы внутренними параметрами. Обозначим вектором

Т

х = (х^ хп) (1)

набор параметров элементов системы и далее будем называть этот вектор вектором внутренних параметров или вектором входных параметров.

В процессе эксплуатации (а также возможно и в процессе производства) значения внутренних параметров могут отклоняться от расчётных вследствие влияния различных факторов на элементы системы.

Каждое техническое устройство (система), выполняющее определённые функции, имеет, как минимум, одну выходную характеристику, которая должна удовлетворять требованиям спецификации, налагаемым на эту систему. Пусть т выходных характеристик, заданных вектором

У = (Ур y2,..., Уп )Т (2)

связаны с вектором входных параметров (1) с помощью модели

у = ¥(х(0) (3)

технической системы.

Будем считать, что вектор внешних воздействий Z=(zl, Z2,..., гк)т влияет на значения выходных параметров (2) косвенно через изменение значений внутренних параметров (1), а непосредственное влияние внешних воздействий на значения выходных параметров пренебрежимо мало.

Математическая модель (3) технической системы обычно задаётся в алгоритмическом виде, в форме численного решения систем дифференциальных уравнений. Задание модели (3) в аналитическом виде, особенно для моделей с количеством параметров более четырёх практически невозможно.

Ограничения на значения выходных параметров описанных в спецификации на техническую систему, обычно задаются в виде неравенств:

утт “ у “ утах , (4)

где Ут±п и Утах - т-векторы ограничений вектора выходных параметров (2). Неравенства (4) называют условиями работоспособности (УР) данной технической системы.

Изменения значений входных параметров (1) и их отклонения от расчётных номинальных значений могут привести к выходу одного, нескольких или всех выходных параметров из области, ограниченной требованиями спецификации (4) или вовсе привести к отказу системы [1, 2].

Задача ПС состоит в выборе (отыскании) таких номинальных значений внутренних параметров хЫом, которые бы обеспечили выполнение УР (4) заданное время эксплуатации с учётом изменений значений внутренних параметров. Более строго, с использованием вероятности Р случайного события, это можно выразить следующим образом:

хЫОМ = агётахР(Х(хЫОМ,() е^е[°.Т]) , (5)

где X(хМоМ, ^ - случайный процесс изменения значений внутренних параметров, t — момент

времени, Т — максимальное время эксплуатации технической системы, Бх - область работоспособности в пространстве внутренних параметров [1].

Область работоспособности — это множество точек пространства внутренних параметров, в которых выходные параметры системы удовлетворяют УР (4):

О* = {хеКп |ут1п <у <Утах} . (6)

Обычно на значения внутренних параметров накладываются ограничения — поля допусков (расчётные, производственные допуски):

х тп < х < х тах,' = п . (7)

Эти допуски образуют в прямоугольной декартовой системе координат ортогональный параллелепипед

Bd:

% = {х еКП 1 Хтт < Х1 < хгтах,' =п} , (8)

который будем называть параллелепипед допусков (часто в литературе его называют брусом допусков).

Трудность решения задачи ПС (5) заключается в том, что законы изменения (дрейфа) значений внутренних параметров во времени, как правило, неизвестны и, кроме того, информация об области Бх также неизвестна, что делает невозможным проверку принадлежности Х(хЫом, ^ еБх. Однако для

моделирования дрейфа значений внутренних параметров часто применяется метод Монте-Карло, а проверку принадлежности случайной реализации вектора внутренних параметров х области Бх заменяют проверкой выполнения УР (4) посредством вычисления значений выходных параметров (3) в каждой отдельной реализации вектора внутренних параметров.

Вычисление выходных параметров из-за сложности модели системы (3) в большинстве случаев является весьма трудоёмким процессом и часто накладывает высокие требования к вычислительной технике. Одним из путей по снижению вычислительных затрат при решении задачи ПС является получение информации о конфигурации ОР Бх в пространстве внутренних параметров технической системы. Одним из способов получения такой информации является построение геометрического аналога ОР Бх. Далее построение геометрического аналога области Бх будем называть построением ОР.

Задача построения ОР в пространстве внутренних параметров исследуемой системы (3) заключается в отыскании такой фигуры с известными характеристиками и методами описания или их комбинации, в каждой точке которой (в пределах некоторой погрешности) выполняются УР (4).

2. Представление области работоспособности множеством непересекающихся параллелепипедов.

Среди существующих методов построения ОР можно выделить построение вписанных и описанных гиперпараллелепипедов, эллипсоидов [4], а также построение комбинаций различных фигур, например, множества непересекающихся ортогональных параллелепипедов, полученных посредством наложения п-мерной сетки на область поиска в пространстве внутренних параметров [5].

В основе метода представления ОР множеством непересекающихся параллелепипедов лежит идея матричных испытаний [2], когда заданный диапазон значений внутренних параметров квантуется по каждой координатной оси параметра 1 на равных отрезков с выбором пробной точки-представителя каждого кванта (например, центр), в результате чего получается п-мерная сетка из п

я = П Чг 1=1

несовместных ситуаций дискретного изменения параметров.

Интервалы значений каждого параметра образуют п-мерный гиперпараллелепипед Вх в пространстве значений внутренних параметров. Квантование заданного интервала значений всех параметров рассекает параллелепипед Вх геперплоскостями, перпендикулярными каждой из осей параметров. В результате квантования и формирования сетки на заданном параллелепипеде имеем также множество непересекающихся «элементарных» п-мерных параллелепипедов:

\,к2,..,кп,ki =1,...,ч,г = 1, . ,п , (9)

а их объединение представляет собой:

?2 Чп

Вх = и и ... и Вк к к . л кх=\к2=\ кп= 1 к\’к2’-’кп

В качестве гиперпараллелепипеда Вх может выступать как параллелепипед допусков В^ так и описанный параллелепипед Во, построенный по экстремальным точкам области Бх. Построение параллелепипеда Во выполняется для уменьшения области поиска и отсечения областей пространства параметров, заведомо не входящих в искомую область Бх.. Поиск экстремальных точек неизвестной области Бх выполняется методом Монте-Карло с выбором точек с экстремальными значениями по какой-либо из координат [5].

В геометрическом центре каждого параллелепипеда (9) выбирается точка-представитель (рис. 1), являющаяся дискретной реализацией вектора внутренних параметров (1) системы. Если при значении внутренних параметров в точке-представителе параллелепипеда Вк1,к2,..,кп выходные параметры (2) удовлетворяют УР (4), то считается, что во всех точках этого параллелепипеда выходные параметры удовлетворяют УР.

Рассматривая разбиение параллелепипеда Вх на множество непересекающихся параллелепипедов как наложение п-мерной сетки, будем также называть параллелепипед Вк1,к2,..,кп элементом (ячейкой) сетки.

Рис. 1. Квантование диапазонов значений параметров и выбор точек-представителей квантов.

Для хранения данных о таком представлении ОР используется массив состояний 8[К] = (31,32,...Зя) элементов сетки и данные параметров сетки (границы значений параметров, количество квантов по каждому параметру) [5] . Массив состояний содержит информацию о том, выполняется ли УР в соответствующей ему ячейке.

Каждому элементу сетки, заданному набором п индексов (к1, к2,..., кп) соответствует единственный элемент массива состояний Б[К] с индексом р, т.е. р = р(к1,к2,..., кп), причём это соответствие взаимнооднозначное [5]. Кроме этого, каждому элементу сетки соответствует своя пробная точка-представитель, расположенная в центре этого элемента. Таким образом, для каждого элемента сетки (к1, к2,..., кп) можно вычислить координаты точки-представителя, расположенной в его геометрическом центре х=х (к1, к2,..., кп) [5] . Значения массива состояний определяются следующим образом:

Г° (у(х(к1,к2,...,кп)) < а)V(у(х(к1,к2,...,кп)) > Ь) 5[р(к1, к2,...,кп)] = \ (10)

1 2 Ц а < у(х(к1,к2,...,кп)) < Ь

Другими словами, значению «1» элемента массива Б[р], р=1,..., Я соответствует такое состояние

однозначно связанного с ним элемента сетки Вк1,к2,.., кп, когда в его точке-представителе (а, согласно принципу сеточного представления ОР, и во всех его точках) выполнено УР, и значение «0» - в

противном случае. Использование одномерного массива для хранения состояний ячеек сетки обусловлено удобством использования и применения в различных приложениях.

При хранении информации о сеточном представлении области работоспособности возникают, как минимум, две связанные между собой проблемы, решение каждой из которых может быть выполнено в ущерб другой: с одной стороны, это точность построения сеточной аппроксимации, с другой стороны -ограничения на объёмы хранимых данных.

Одной из основных характеристик приближённого сеточного представления ОР, является точность приближения (для оценки которой требуются особые методы, т.к. истинные параметры ОР (6) неизвестны). Проблема точности приближения схематично проиллюстрирована на рис. 2. В некоторых случаях более точная информация может оказать существенную корректировку при выборе номинальных значений внутренних параметров.

Рис. 2. Иллюстрация проблемы точности и избыточности информации при представлении области работоспособности с помощью регулярной сетки.

Другой стороной проблемы представления ОР является объём хранимой информации. Очевидно, что чем выше детализация (чем мельче сетка), тем больше данных требуется хранить и обрабатывать. При этом существуют большие группы элементов сетки внутри ОР, которые можно объединить (или не дробить изначально крупные).

Таким образом, учитывая обе указанные проблемы построения ОР с помощью регулярной сетки, возникает проблема оптимизации разбиения области поиска Вх с целью наиболее детального приближения ОР при использовании наименьшего количества элементов сетки.

3. Алгоритм многоуровневой двоичной детализации элементов регулярной сетки.

Целый ряд прикладных задач использует аппарат многосеточных (ти1^дг1^ технологий для построения иерархической структуры дискретизаций [3, 6, 7]. В данной работе предлагается алгоритм

построения нерегулярной сетки для аппроксимации ОР, основанный на дополнительной детализации элементов регулярной сетки предыдущего уровня.

Обозначим исходную регулярную сетку, построенную на параллелепипеде Вх, сеткой 1-го уровня (первичной или основной). Регулярные сетки, построенные в элементах первичной сетки, назовём сетками 2-го уровня. Детализация элементов сетки 2-го уровня будет задаваться сетками 3-го уровня

и т.д. Ограничение на количество уровней детализации может задаваться в виде порогового значения ^ах« Сетки 2-го и более уровней будем называть детализирующими. Элементы сетки какого-либо уровня, для которых не задана детализация, являются терминальными, и именно их характеристики учитываются при исследовании сеточного представления ОР.

Один из способов построения нерегулярной сетки заключается в разбиении элементов только основной сетки, т.е. проводить двухуровневую детализацию. В этом случае необходим критерий, согласно которому выбирается шаг каждой из сеток второго уровня. Такой подход удобен простотой реализации, потенциальным параллелизмом, отсутствием сложной иерархической структуры детализаций, но к его недостаткам можно отнести, во-первых, необходимость покрытия области элемента первичной сетки достаточным количеством равномерно распределённых точек для вычисления необходимого шага детализации, во-вторых, что более важно, возникает та же проблема избыточности информации, что и при увеличении количества квантов регулярной сетки [8].

Рис. 3. Нерегулярная сетка с двоичной многоуровневой детализацией

Предлагаемый алгоритм многоуровневой двоичной детализации выполняется совместно с генерацией точек метода Монте-Карло на всей области Вх построения первичной сетки. Критерием необходимости детализации считается наличие хотя бы двух случайных точек метода Монте-Карло, попавших в один терминальный элемент сетки и имеющие различные результаты проверки УР (4) в этих точках. Детализация элемента сетки выполняется разбиением диапазона значений каждого параметра внутри детализируемого элемента сетки на два кванта. В результате каждая детализирующая сетка любого уровня (2-го и более) имеет 2П элементов.

Совокупность сеток многоуровневой детализации образует древовидную иерархическую структуру (рис. 4) . Поскольку каждая детализация является регулярной сеткой, то необходимым набором данных, описывающих каждую детализацию, является набор, аналогичный описанию основной сетки: количество

квантов по каждой координатной оси, границы Вх по каждому параметру, массив состояний Б[К] элементов сетки [5] . Для детализирующих сеток с разбиением на 2 кванта информация о количестве квантов является избыточной. При поиске терминального элемента детализации приходится проходить иерархию детализаций, для каждой из которых приходится вычислять границы элемента сетки, поэтому хранить границы параллелепипеда, ограничивающего сетку для каждой детализации, также не имеет смысла.

Основная сетка

Деталізаціям урозсп;. 2

7 8 9

4 5 6

1 2 3

- Номер эл-тар=9

_________і_УУУукУУУї^

- Массив состояний Зі

- Список детализаций

Номер эл-тар=3 ________і__.......... ї_______

Массив состояний Зі

- Список детализаций

Номер эл-тар=2

_______і_у'уу'у ї у Уу у *_

Массив состояний Зі

- Список детализаций

Номер эл-тар—1 -------і--......... *--------

Массив состояний Зі

- Список детализаций

Деталїїзааял уровень 3

- Номер эл-тарі=4

- Массив состояний

вз

- Список детализаций

Номер эл-тарі=2 Массив состояний 32

Список детализаций

...............І._________

Детализация уровень 2

- Номер эл-тарі

____________±.......■■■■■.*_*

- Массив состояний $2

- Список детализаций

Номер эл-тар і

____±..........*__^_

- Массив состояний $2

- Список детализаций

Рис. 4. Иерархическая структура двоичной детализации сетки

Структура данных, описывающих детализацию 31-го уровня для ячейки сетки уровня j - 1, задаётся списком:

Номер рз-1 детализованного элемента сетки верхнего уровня 3 - 1;

Массив состояний 83 детализирующей сетки текущего уровня 3;

Ссылка на список уровня 3 + 1 детализаций элементов сетки текущего уровня 3.

При генерации каждой новой точки х* внутри области построения основной сетки необходима процедура обработки этого события. Алгоритм 1 описывает процедуру обработки события генерации

новой случайной точки х*. Состояния элементов сетки могут принимать значения из множества {0, 1,

255}. Соответствия состояний значениям «0» и «1» были описаны выше, а значению 255 соответствует состояние элемента детализирующей сетки как начальное неопределённое.

Алгоритм 1. Обработка случайной точки.

01 Поиск терминальной ячейки (кх, к2,..., кп) , которой принадлежит х*;

02 Вычисление выходных параметров у=у(х*);

03 Если утхп ^ у ^ Утах , ТО //если выполнены УР

0 4 С = 1; //индикатор состояния выполнения УР

05 Иначе

0 6 С = 0; //индикатор состояния невыполненных УР

07 Вычисление индекса Р3 = Р3 (к1, к2,..., кп) ; // на уровне 3 детализации;

0 8 Если 83^] = 255, то // состояние не установлено

09 [р3] = С;

10 Иначе:

11 Если 83^] - С Ф 0, то // состояние изменилось

12 Если 3 < '•Гтах, то //не достигнут порог детализации

13 Выполнить детализацию элемента (к1, к2,..., кп) 3 ;

14 Иначе //если достигли порога детализации

15 Изменение состояния 83^] по значению С;

16 Иначе //если состояние не изменилось

17 Изменение состояния 83^] по значению С;

Его состояние определяется после попадания случайной точки. В случае повторных попаданий сравниваются состояния исходное и текущее. Различие этих состояний является сигналом необходимости детализации рассматриваемого элемента сетки. После выполнения всего цикла генерации точек Монте-Карло не все элементы сеток могут иметь значение состояния, отличное от 255. Для устранения таких ситуаций необходимо после выполнения серии статистических испытаний, обойти все

терминальные элементы сеток и в точках-представителях элементов с состоянием 255 вычислить выходные параметры (2), проверить выполнение УР (4) и установить соответствующее состояние.

5. Заключение

Рассмотрена проблема точности приближения и избыточности информации при построении ОР в задаче ПС с помощью регулярных сеток. Предложен метод построения ОР с помощью нерегулярных сеток, основанных на детализации отдельных элементов сетки с более крупным шагом. Представление нерегулярной сетки предложено в виде древовидной иерархической структуры детализирующих сеток. Детализацию терминальных элементов сетки предлагается производить путём разбиения диапазона значений каждого параметра внутри этого элемента на два кванта, т.е. сеткой из 2n элементов. Построение детализирующих сеток предлагается выполнять при проведении серии испытаний Монте-Карло путём поиска таких терминальных элементов сеток, в которых попали более одной случайной точки и в которых результаты проверки УР различны. Критерий необходимости проведения детализации предлагается выбрать на основе различий выполнения УР в различных случайных точках, попавших в рассматриваемый элемент сетки.

Представления ОР с помощью нерегулярной сетки, основанной на многоуровневой двоичной детализации, позволяет существенно сократить количество ресурсов для хранения данных и повысить точность аппроксимации на границе области. Повышение точности представления ОР позволяет точнее осуществить выбор номинальных значений внутренних параметров при решении задачи ПС.

Работа выполнена при поддержке гранта ДВО РАН № 10-III-B-03-010.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. М.: Наука, 1992.

2. Б.В. Васильев, Б.А. Козлов, Л.Г. Ткаченко Надежность и эффективность радиоэлектронных

устройств. - М.: Советское радио, 1964.

3. А.С. Лебедев, В.Д. Лисейкин, Г.С. Хакимзянов Разработка методов построения адаптивных сеток

// Вычислительные технологии. - 2002. Т.7. № 3. - С. 29 - 43.

4. Диго Г.Б., Диго Н.Б. Использование эллипсоидов для описания области работоспособности //

Информатика и системы управления. - 2008. - № 1(15) - С. 22-28.

5. Катуева Я.В., Назаров Д.А. Аппроксимация и построение областей работоспособности в задаче параметрического синтеза // Международный симпозиум «Надежность и качество», Пенза: ПГУ, 2005, С. 130 - 134.

6. Мартыненко С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии // Математическое моделирование. 2002, т.14, № 9 - С. 87-90.

7. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods, Wiley, Chichester, 1991.

8. Назаров Д.А. Детализация матричного представления области работоспособности в задаче параметрического синтеза// Международный симпозиум «Надежность и качество», Пенза: ПГУ, 2006, С. 218-220.