Алгоритм построения области работоспособности с детализированным квантованием области поиска Текст научной статьи по специальности «Математика»

Назаров Д.А.

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ С ДЕТАЛИЗИРОВАННЫМ КВАНТОВАНИЕМ ОБЛАСТИ ПОИСКА

В данной работе рассматривается проблема точности представления области работоспособности сложных систем с помощью множества непересекающихся параллелепипедов в пространстве внутренних параметров. Предлагается алгоритм построения области работоспособности с детализацией отдельных элементов сеточного представления области работоспособности и приводится пример оценки эффективности применения данного метода.

Одним из подходов к решению задачи выбора оптимальных значений параметров сложных технических систем является методика, основанная на построении области, содержащей в себе такие точки пространства параметров, в которых исследуемая система удовлетворяет заданным выходным характеристикам.

Такую область в пространстве внутренних параметров системы, в каждой точке которой система удовлетворяет заданным выходным требованиям, будем называть областью работоспособности технической системы.

Построение области работоспособности представляет собой трудоёмкий процесс, т.к. для этого необходимо многократное вычисление выходных характеристик при различных значениях внутренних параметров посредством моделирования исследуемого технического объекта.

Помимо высоких вычислительных затрат при построении области часто необходимо хранить большие объёмы данных. В значительной степени проблема хранения больших объёмов данных следует из самого алгоритма построения области работоспособности [1] и проблемы точности приближения. В работе [6] эта проблема уже поднималась, однако, в отличие от описанных в ней алгоритмов, в данной работе предлагаются идеи, снижающие количество обращений к модели исследуемой технической системы.

Рис. 1 Детализация посредством уменьшения размера кванта.

На рис. 1 приведены два сечения построенной области работоспособности (её аналога), иллюстрирующие различную степень детализации, которая может повлиять на результат выбора номинальных значений параметров технической системы. Данная иллюстрация является своего рода наглядным введением в проблему снижения объёмов хранимых данных и их обработки.

1. Постановка задачи построения области работоспособности

Задача построения области работоспособности является этапом одного из методов решения задачи выбора номинальных значений параметров — задачи параметрического синтеза.

Задача параметрического синтеза ставится следующим образом. Пусть исследуемая техническая система, состоящая из взаимосвязанных элементов имеет п входных параметров. Эти параметры являются показателями определённых характеристик элементов системы, например, ёмкость конденсатора, сопротивление резистора, и т.п. Будем называть параметры составных элементов системы внутренними параметрами. Обозначим вектором

X = (х, х2,--; хп ) (!)

набор параметров элементов системы и далее будем называть этот вектор вектором внутренних параметров или вектором входных параметров.

В процессе эксплуатации (а также возможно и в процессе производства) значения внутренних параметров могут отклоняться от расчётных вследствие влияния различных факторов на элементы системы.

Факторы влияния на элементы системы обычно делят на внешние и внутренние. К внешним воздействиям относят влияние окружающей среды и воздействия других элементов системы. Внутренними факторами влияния на значения параметров являются физико-химические процессы износа и старения, протекающие в элементах. Как правило, изменения значений параметров под влиянием внутренних факторов являются необратимыми, в то время как влияния внешних факторов вызывают обычно обратимые изменения [1].

Каждое техническое устройство (система), выполняющее определённые функции, имеет, как минимум, одну выходную характеристику, которая должна удовлетворять требованиям спецификации, налагаемым на эту систему. Итак. Пусть т выходных характеристик, заданных вектором

У = (Уі,У2,-,Уп) (2)

связаны с вектором входных параметров (1) с помощью модели

у = ¥(х(0) (3)

технической системы. Будем считать, что вектор внешних воздействий 0=(Яі, Я.2Г-Г Як) влияет на значения выходных параметров (2) косвенно через изменение значений внутренних параметров (1), а непосредственное влияние внешних воздействий на значения выходных параметров пренебрежимо мало.

Математическая модель (3) технической системы обычно задаётся в алгоритмическом виде, в форме численного решения систем дифференциальных уравнений. Задание модели (3) в аналитическом виде, особенно для моделей с количеством параметров более четырёх практически невозможно.

Ограничения на значения выходных параметров описанных в спецификации на техническую систему, обычно задаются в виде неравенств:

а < у < Ь , (4)

где а и Ь - т-векторы ограничений вектора выходных параметров (2). Неравенства (4) называют условиями работоспособности данной технической системы.

Изменения значений входных параметров (1) и их отклонения от расчётных номинальных значений могут привести к выходу одного, нескольких или всех выходных параметров из области, ограниченной требованиями спецификации (4) или вовсе привести к отказу системы.

Задача параметрического синтеза [2] состоит в выборе (отыскании) таких номинальных значений внутренних параметров х^т, которые бы обеспечили выполнение условий работоспособности (4) заданное время эксплуатации с учётом изменений значений внутренних параметров. Более строго, с использованием вероятности Р случайного события, это можно выразить следующим образом:

х пот = а^тахР(Х(\пот,/) е, V/ е[0..Т]) , (5)

где Х(Хпот, £) - случайный процесс изменения значений внутренних параметров, Ь — момент време-

ни, Т — максимальное время эксплуатации технической системы, Вх - область работоспособности в пространстве внутренних параметров. Область работоспособности — это множество точек пространства внутренних параметров, в которых выходные параметры системы удовлетворяют условиям работоспособности (4):

Вх = {х еЕ" | а < у(х) < Ь} . (6)

Обычно на значения внутренних параметров накладываются ограничения — поля допусков (расчётные, производственные допуски):

X тп < X < X тах,г' = 1,... =" • (7)

Эти допуски образуют в прямоугольной декартовой системе координат ортогональный параллелепипед

ВгУ.

ВЛ = {х еЕ" 1 Xтп < X < Xтах,г' = "} , (8)

который будем называть параллелепипед допусков (часто в литературе его называют брусом допусков).

Трудность решения задачи параметрического синтеза (5) заключается в том, что законы изменения (дрейфа) значений внутренних параметров во времени, как правило, неизвестны и, кроме того, информация об области Вх также неизвестна, что делает невозможным проверку принадлежности Х(Хпотг Ь) еВх. Однако для моделирования дрейфа значений внутренних параметров часто применяется метод Монте-

Карло, а проверку принадлежности случайной реализации вектора внутренних параметров х области Вх

заменяют проверкой выполнения условий работоспособности (4) посредством вычисления значений выходных параметров в каждой отдельной реализации вектора внутренних параметров.

Вычисление выходных параметров из-за сложности модели системы (3) в большинстве случаев является весьма трудоёмким процессом и часто накладывает высокие требования к вычислительной технике. Одним из путей по снижению вычислительных затрат при решении задачи параметрического синтеза является получение информации о конфигурации области работоспособности Вх в пространстве внутренних параметров технической системы. Одним из способов получения такой информации является построение геометрического аналога области работоспособности Вх. Далее построение геометрического аналога области Вх будем называть построением области работоспособности.

Существуют различные методы построения области работоспособности. Такие методы представлены алгоритмами построения вписанных и описанных гиперпараллелепипедов, эллипсоидов [3], а также комбинаций различных фигур, например, множеством непересекающихся ортогональных параллелепипедов, полученных посредством наложения п-мерной сетки на область поиска в пространстве внутренних параметров.

2. Представление области работоспособности множеством непересекающихся параллелепипедов

В основе этого метода лежит идея матричных испытаний [4], когда область с допустимых значений внутренних параметров квантуется по каждой координатной оси 1 параметра на 1± равных отрезков с выбором точки-представителя каждого кванта (например, центр), в результате чего получается п-мерная сетка из

п

Е = П1.

1=1

несовместных ситуаций дискретного изменения параметров.

Квантование интервала допустимых значений каждого параметра рассекает параллелепипед допусков Ва геперплоскостями, перпендикулярными каждой из осей параметров. В результате квантования и формирования сетки на параллелепипеде допусков имеем также множество непересекающихся п-мерных параллелепипедов:

Вкм,.,к„ ’к 1 = 1,...=11=1’".’" ' (9)

а их объединение: к ^2 4г

= 0 0 ■ ■ 0 Вкикг„кп ■

&1 =1&2=1 кп=\

В геометрическом центре каждого параллелепипеда (9) выбирается точка-представитель (рис. 2), являющаяся дискретной реализацией вектора внутренних параметров (1) системы. Если при значении внутренних параметров в точке-представителе параллелепипеда Вк1,к2,..,кп выходные параметры (2) удовлетворяют условиям работоспособности (4), то считается, что во всех точках этого параллелепипеда выходные параметры удовлетворяют условиям работоспособности.

Рассматривая разбиение параллелепипеда Ва на множество непересакающихся параллелепипедов как наложение п-мерной сетки, будем также называть параллелепипед Вк1,к2,..,кп ячейкой сетки. Стоит также отметить, что помимо разбиения параллелепипеда допусков Ва, используется разбиение описанного параллелепипеда Во [5], который строится для уменьшения области поиска и отсечения «пустых» частей области допусков.

Рис. 2. Квантование диапазонов значений параметров и выбор точек-представителей квантов.

В результате вычисления значений выходных параметров и проверки выполнения условий работоспособности в точках-представителях всех ячеек сетки (рис. 2), имеем приближённое представление области работоспособности в пространстве внутренних параметров системы (рис. 3).

Рис. 3. Примеры трёхмерных сечений приближённого представления области работоспособности множеством параллелепипедов (наложением регулярной сетки).

Для хранения данных о таком представлении области работоспособности используется массив состояний А[Я] ячеек сетки и данные параметров сетки (границы значений параметров, количество квантов по каждому параметру). Массив состояний содержит информацию о том, выполняется ли условие работоспособности (4) в соответствующей ему ячейке. Значению «1» элемента массива А[3], 3=1,...,К соответствует такое состояние определённого элемента сетки Вк1,к2,.,кп, когда в его точках выполнено условие работоспособности, и значению «0» - в противном случае. Таким образом, множество ячеек сетки условно разбивается на подмножество «хороших», в которых выполняется условие работоспособности, и подмножество «плохих», в которых условие работоспособности не выполняется. На рис. 3 проиллюстрированы примеры визуализации подмножества «хороших» элементов сетки. Между каждым индексом 3 массива А[Я] и набором индексов (к1,к2,.,кп) существует взаимнооднозначное соответствие [5], а использование одномерного массива для хранения состояний ячеек сетки обусловлено удобством использования и применения в различных приложениях. Стоит отметить, что при решении некоторых задач значения элементов массива, связанных с «хорошими» ячейками сетки, могут быть отличными от единицы (например, может быть задан вес элемента сетки).

При хранении информации о сеточном представлении области работоспособности возникают, как минимум, две связанные между собой проблемы, решение каждой из которых может быть выполнено в ущерб другой.

Одной из основных характеристик приближённого сеточного представления области работоспособности, очевидно, является точность приближения (для оценки которой требуются особые методы, т.к. истинные параметры области работоспособности (6) неизвестны). Проблема точности приближения схематично проиллюстрирована на рис. 4. В некоторых случаях более точная информация может оказать существенную корректировку при выборе номинальных значений внутренних параметров.

Рис. 4. Иллюстрация проблемы точности представления области работоспособности с помощью регулярной сетки.

Другой стороной проблемы представления области работоспособности является объём хранимой информации. Очевидно, что чем выше детализация (чем мельче сетка), тем больше данных требуется хранить и обрабатывать. При этом существуют большие группы ячеек сетки внутри области работоспособности, которые можно объединить (или не дробить крупные).

Таким образом, учитывая обе указанные проблемы построения области работоспособности с помощью наложения сетки, возникает проблема оптимизации разбиения области поиска (параллелепипеда допусков) с целью наиболее детального приближения области работоспособности при использовании наименьшего количества элементов сетки.

Реальные технические объекты, как правило, содержат большое количество элементов, влияющих на выходные значения. Следовательно, велика размерность п пространства их варьируемых внутренних параметров (1), что вкупе с уменьшением шага сетки и, соответственно, с увеличением количества квантов 1±, 1=1,..,п вызывает увеличение объёмов данных для хранения и оперирования. Вместе с увеличением объёма данных, очевидно, возрастает и объём их обработки, т.е. объём вычислений. Таким образом, проблема оптимального разбиения области поиска на непересекающиеся параллелепипеды или наложения дополнительных сеток на отдельные участки области поиска позволяет сократить используемые ресурсы при построении области работоспособности и увеличить точность выбора номинальных значений параметров.

3. Алгоритм построения области работоспособности с детализацией отдельных элементов сетки

В работе [6] был предложен алгоритм детализации отдельных ячеек сетки с проведением дополнительных статистических испытаний (Монте-Карло). Такая методика требует высоких вычислительных затрат, однако очень хорошо реализуется в параллельных алгоритмах.

В данной работе предлагается алгоритм детализации при выполнении единого метода статистических испытаний на всей области поиска. Перед рассмотрением алгоритма, сделаем несколько вводных замечаний. Элементы массива состояний А[Я] могут принимать значения больше 1. Их значения имеют следующую трактовку: значение 0 соответствует «плохой» ячейке сетки, от 1 до 254 - «хорошая» ячейка со значением веса, 255 - значение не установлено. Алгоритм для обработки одной случайной точки х*, полученной методом Монте-Карло, в словесном описании выглядит следующим образом:

Алгоритм 1. Обработка случайной точки.

Вычисление, какой ячейке Вк1,к2,..,кп (до самого нижнего уровня детализации) принадлежит вектор х*; Вычисление выходных характеристик (3) и проверка условий (4) в точке х*: С=[0|1];

Если состояние А[Вк1,к2,..,кп] не установлено (А [ Вк1,к2,.,кп] = 255), то

А[Вк1,к2,.,кп] = С;

Иначе:

Если А[Вк1,к2,..,кп] - С Ф 0 (состояние изменилось), то Если не достигнут порог уровня детализации, то Выполняем детализацию Вк1,к2,.,кп ;

Иначе (если достигли порога детализации)

Изменение веса А[Вк1,к2,..,кп] в соответствии со значением С;

Иначе (если состояние не изменилось), то

Изменение веса А[Вк1,к2,..,кп] в соответствии со значением С;

Как можно понять из алгоритма 1, не все элементы сетки могут иметь значение состояния, отличное от 255 (неустановленное), т.к. это напрямую зависит от параметров метода Монте-Карло (количество точек метода, качество датчика случайных чисел и пр.). Для того, чтобы избежать таких ситуаций, необходимо после выполнения серии статистических испытаний, обойти все элементы сетки, в том числе и все вложенные уровни детализации и в точках-представителях элементов с состоянием 255 вычислить выходные параметры и проверить условия работоспособности.

Теперь рассмотрим сам алгоритм детализации отдельного элемента сетки Вк1,к2,.,кп . Алгоритм детализации похож на описанный в работе [6]. Поскольку элемент сетки представляет собой п-мерный параллелепипед, то его также можно разбить на параллелепипеды. В данном случае будем делить каждый параметр на 2 кванта, таким образом, параллелепипед Вк1,к2,..,кп будет разбит на 2П параллелепипедов, и эта конструкция также будет иметь свой массив состояний. Рассмотрим этот алгоритм пошагово. Алгоритм 2. Детализация элемента сетки.

Установка А[Вк1,к2,..,кп] = 255;

Инициализация структур для создания сетки, 11=2, 1=1.п;

Построение сетки на Вк1,к2,..,кп и создание массива состояний А*[Я*];

Инициализация массива состояний А*[1]=255, 1=1,., 2п;

Создание привязки массива А*[Я*] к элементу массива верхнего уровня А[Я], соответствующему

Вк1,к2,.,кп ;

алгоритме 1 присутствует условие, когда проверяется текущий уровень детализации. Это может быть целесообразно в некоторых случаях при большом количестве испытаний метода Монте-Карло и при некоторой известной априорной информации о конфигурации области. Понизить границу уровня детализации можно и в том случае, если нужно получить сетку с более полно взвешенными элементами, чего можно достичь увеличением количества испытаний и/или уменьшения уровня детализации. Рассмотрим алгоритм процедуры изменения веса элемента массива состояния. Вес элемента массива состояния увеличивается, если в случайной точке метода Монте-Карло, попавшей в соответствующий элемент сетки, выполнены условия работоспособности (4), и уменьшается в противном случае. Показателем удовлетворения условиям работоспособности является значение переменной С (см. алгоритм 1). Значение состояния может увеличиваться до 254, а уменьшаться до 0.

Алгоритм 3. Изменение веса элемента А[Вк1,к2,..,кп]

Если С = 0, то

Если А[Вк1,к2,..,кп] > 0, то

Уменьшаем значение веса А[Вк1,к2,..,кп] = А[Вк1,к2,..,кп] - 1;

Иначе (С = 1):

Если А[Вк1,к2,.,кп] < 254, то А[Вк1,к2,.,кп] = А[Вк1,к2,.,кп] + 1;

4. Пример расчёта эффективности алгоритма.

Эффект от применения описанного алгоритма детализации оценить в общем случае достаточно трудно, т.к. конфигурация области внутри параллелепипеда допусков неизвестна. Область может быть выпуклой и занимать лишь несколько центральных элементов сетки, а может иметь рассредоточенные по

всей области поиска части. Однако на примере 4-мерного пространства параметров проведём примерную оценку. Будем сравнивать объемы информации при частичной детализации по описанному алгоритму и при построении сетки с шагом, эквивалентным минимальному при детализации отдельной ячейки.

Пусть задан уровень максимальной детализации - 3. Это значит, что после предварительного грубого разбиения, дробим нужные элементы сетки ещё 3 раза. Пусть начальное разбиение производится на 3 кванта. В результате имеем регулярную сетку из 34 = 81 элемента. Пусть в результате испытаний на первом уровне детализации необходимо разбить лишь элементы сетки, примыкающие к центральному, т.е. их 24 = 16. Поскольку каждый из этих элементов разбиваем на 2 кванта, то имеем в каждом по 24 = 16 элементов. Таким образом, на первом уровне детализации имеем 256 дополнительных элементов. Пусть на втором уровне детализации из 256 элементов требуют детализации 128 элементов. Тогда будем иметь 128 * 16 = 2048 дополнительных ячеек. На третьем уровне детализации 75% ячеек второго уровня требуют детализации: 1536 * 16 = 24576. В итоге требуется памяти для хранения информации: 26961 байт. При этом минимальный шаг сетки получился: 11 / (3 * 2 * 2 * 2) = 11 / 24.

Если бы пришлось строить регулярную сетку с таким шагом, то потребовалось бы места для хранения данных: 244=331776, что в 12,3 раза больше. Что касается сокращения объёмов вычислений, то их будет ещё меньше, т.к. детализированное представление замещает родительскую ячейку сетки.

5. Заключение

Рассмотренный алгоритм, использующийся при построении области работоспособности, может быть полезен при выборе номинальных значений параметров при отсутствии информации о закономерностях изменений значений параметров, по критерию запаса работоспособности. Метод наложения сетки на область поиска имеет очевидные неточности в представлении области работоспособности, которые в некоторых случаях могут серьёзно сказаться на выборе значений номиналов сложной технической системы. С другой стороны, увеличение точности представления накладывает высокие требования к ресурсам вычислительной системы. Как показывают эксперименты, увеличение точности в некоторых элементах сетки излишне и нужно более детальное представление лишь отдельных элементов сеточного представления области работоспособности. Для таких случаев и предусмотрен представленный в данной работе алгоритм.

Работа выполнена при поддержке гранта ДВО РАН № 09-111-В-03-082.

Литература

1. Допуски и номиналы систем управления Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А.А. М., «Наука», 1976, стр. 160.

2. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. М.: Наука, 1992.

3. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности / Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. // Информатика и системы управления. - 2004. - № 2(8) - С. 121-133.

4. Б.В. Васильев, Б.А. Козлов, Л.Г. Ткаченко Надежность и эффективность радиоэлектронных устройств. - М.: Советское радио, 1964

5. Катуева Я.В., Назаров Д.А. Аппроксимация и построение областей работоспособности в задаче параметрического синтеза // Международный симпозиум «Надежность и качество», Пенза: ПГУ, 2005. -С. 130-134.

6. Назаров Д.А. Детализация матричного представления области работоспособности в задаче параметрического синтеза// Международный симпозиум «Надежность и качество», Пенза: ПГУ, 2006, С. 218220.