CC BY
42
Катуева Я.В., Назаров Д.А. АППРОКСИМАЦИЯ И ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ РАБОТОСПОСОБНОСТИ В ЗАДАЧЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
Основные трудности при построении областей работоспособности связаны с большой размерностью пространства варьируемых параметров, следствием которой являются вычислительная трудоемкость соответствующих алгоритмов и сложность интерпретации результатов. В связи с этим практически все известные методы построения областей работоспособности могут реально использоваться, когда число варьируемых параметров не больше трех. Кроме того, для многих методов существенным ограничением является необходимость некоторых априорных предположений о форме области и ее ориентации в пространстве параметров, о ее выпуклости и односвязности.
1. Постановка задачи.
Объектом исследования в работе является математическая модель Y(X(t)) технического объекта, определяющая в момент времени зависимость его выходных параметров у(^={у1(^, ..., ут^)} от параметров элементов Х^)={Х1^), ..., Хп^)} в виде
yj(t)=Yj(X(t)), j = 1,m (1)
Выходные параметры представляют собой показатели качества, по которым можно судить о качестве и правильности работы устройства. Выходные параметры зависят от свойств каждого элемента устройства, его условий эксплуатации и также от особенностей их взаимодействия друг с другом.
Типичными примерами параметров внешних условий могут служить влажность, температура окружающей среды, радиация и т.п. Воздействие внешних условий на элементы РЭС (радиоэлектронной схемы) вызывает изменения параметров элементов объекта. Поскольку эти воздействия носят случайный характер, то процессы изменения параметров элементов также являются случайными. Случайными же, вследствие
(1) будут и процессы изменения выходных параметров объекта.
Параметрическая надежность характеризует способность системы сохранять уровень выходных параметров у^)={у1^), ..., ут^)} в допустимых пределах
Д^(Х^)) <В или а1<у1^)<Ь1, 1 = 1...ш (2)
Критерием отказа устройства будет нарушение неравенства (2). Количественную меру безотказной работы устройства можно выразить через вероятность выполнения условия (2)
Обеспечение необходимой параметрической надежности устройства при проектировании основывается на выборе номинальных значений параметров этого устройства или системы Х^) . Задача выбора оптимальных параметров проектируемой системы (параметрического синтеза) заключается в выборе номинальных значений параметров данного устройства хном=(х1ном,...,хпном), обеспечивающих максимум вероятности его безотказной работы в течение заданного интервала времени.
Пусть задана модель (1) сложного устройства, связывающая входные параметры с выходными. Практическое применение этой модели ставит задачу определения выполнения условия работоспособности
(2) устройства для заданного вектора X входных параметров. Причем на практике может оказаться необходимым многократный расчет выходных параметров и проверки выполнения условия работоспособности. Модель (1) сложного устройства часто может задаваться системой дифференциальных уравнений, являться трудоемкой для вычислений и предъявлять большие требования к ЭВМ для ее расчетов. В таком случае, естественно, возникает задача, направленная на снижение или устранение ресурсоемких и трудоемких расчетов. Избавиться от многократных вычислений выходных параметров и проверок условий
(2) можно, если знать область работоспособности Dx в пространстве входных параметров для данной модели. Тогда расчет схемы и проверка условия работоспособности системы сводится к определению принадлежности имеющегося вектора X входных параметров области Dx.
Таким образом, в общем виде задача построения области работоспособности формулируется следующим образом.
Пусть известна система, свойства (качество работы) которой зависят от значений параметров ее элементов х=(х1, х2, ...хЭД, и заданы условия ее работоспособности (2).
Необходимо определить такую область Dx в пространстве внутренних параметров х=(х1, х2, ...хЭД е Rn, в каждой точке которой выполняются условия (2).
Описанные методы применялись для схемы ТТЛ-логики (рис.1) [1].
На рис. 1 приведена схема ТТЛ логики. Требуется построить область работоспособности системы. Для данной схемы существует явные зависимости выходных параметров [1].
Рис 1. Принципиальная схема транзисторно-транзисторной логики.
Варьируемые параметры:
R1, R2, R3, R4
Допустимые номинальные значения
0,5 < R1 < 10; 0,5 < R2 < 10; 0,05 < R3 < 1; 0,1 ^4 < 2 кОм
Условия работоспособности:
N > 20; дипом >0.8; Р<20; S>1.5; tзад<15,
где N — коэффициент нагружения; дипом — допустимый уровень помехи в логическом состоянии "0"; P - средняя потребляемая схемой мощность; S — степень насыщения транзистора Т2; tзад — задержка распространения сигнала.
2. Аппроксимация области работоспособности описанным брусом.
Для ограничения пространства поиска рассмотрим одну из аппроксимаций искомой области Dx - построением описанного бруса Vo.
Пусть информация о возможных вариациях значений внутренних параметров задана в виде пределов их возможных значений, т.е.
Область в пространстве внутренних параметров, задаваемая этими соотношениями, представляет собой п -мерный ортогональный параллелепипед, или брус допусков Bd :
эп |
Ба = {Х Є К" І хішіп ^ хі ^ хішах= і = 1п}
с объемом У = П(Хі т
Описанным брусом В Для области работоспособности О называют область в пространстве внутрен-
них параметров, представляющую собой п -мерный ортогональный параллелепипед
В = {х е Кп | а0 < х < Ь V/ = 1,п} ,
[2]
с объемом
о
где а, ■
■ шіп х,
Ох
г, о .
у=пь - а■), . п . . п
, хеБг хе£т
/=1 х х
Эта аппроксимация, являясь довольно грубой, дает возможность проведения дополнительных более детальных исследований и более точных построений области работоспособности. Наиболее распространенными методами построения описанного параллелепипеда являются метод направленного поиска [1] и метод статистических испытаний [2].
Ниже представлены данные о результатах построения описанного бруса Ус методом направленного поиска и методом статистических испытаний для схемы ТТЛ-логики. Координаты описанного бруса, построенного методом направленного поиска, представлены в таблице 1. Точность, с которой определяется значение точки экстремума методом деления отрезка пополам, равна 0.01. Соотношения объемов описанного бруса и бруса допусков представлены в таблице 2. В таблице 3 и 4 представлены соответствующие результаты для шага 1/20 от длины интервала допуска.
В использованной для тестирования реализации метода направленного поиска исходная начальная точка выбиралась случайным образом. По предоставленным выше результатам видно, что значения границ в каждом из экспериментов неодинаковые. Они зависят от выбора начальной точки. Для метода направленного поиска это может только означать, что область не выпуклая и, возможно даже, неодносвязная. Однако, как видно, результаты колеблются в пределах некоторого значения.
Таблица 1. Координаты описанного бруса, построенного методом направленного поиска с шагом 1/10 от длины интервала допуска каждого параметра.
п
і=1
п
№ эксперимента Я1 Я2 Я3 Я4
тіп Мах тіп Мах тіп Мах тіп Мах
1 2.64 6.99 0.70 2.64 3 1 0 8 9 0 0.46 1.94
2 3.22 8.20 0.71 3.22 7 0 0 0.93 0.57 1.90
3 3.23 г- 6 СТЇ 0.74 3.23 ю 0 0 0 9 О 0.32 1.95
Таблица 2 Объемы бруса допусков и описанного бруса с границами в Таблицаї.
№ эксперимента Объем V Объем Vo Уо / V
1 162.90 10.70 0.06
2 162.90 14.35 0.08
3 162.90 22.41 0.13
Таблица 3. Координаты описанного бруса, построенного методом направленного поиска с шагом 1/20 от длины интервала допуска каждого параметра.
№ эксперимента Я1 Я2 Я3 Я4
тіп Мах Міп Мах тіп Мах тіп Мах
1 2.45 9.70 0.69 2.45 0.06 0.97 0.43 1.91
2 2.18 9.86 0.71 2.18 0.09 1.03 0.36 2.07
3 2.59 10.1 0.70 2.59 0.07 0.98 0.30 1.90
Таблица 4. Объемы бруса допусков и описанного бруса с границами в Таблица 3.
№ эксперимента Объем V Объем Vo Уо / V
1 162.90 16.98 0.10
2 162.90 18.27 0.11
3 162.90 20.62 0.12
Как видно из этого эксперимента, уменьшение шага в 2 раза по каждой из координатных осей не принесло заметного улучшения в точности результатов.
Таким образом, метод направленного поиска позволяет лишь только приближенно оценить границы описанного бруса Уо и его объем. Также этот метод позволяет делать некоторые выводы о виде области. Так, из приведенного примера можно сделать предположение, что область DX имеет мелкие и резкие выступы или вогнутости (локальные экстремумы).
Результаты построения описанного бруса Уо по методу Монте-Карло (для N = 1000 и N=10000) представлены в таблицах 5 - 8.
Таблица 5. Координаты описанного бруса, построенного методом Монте-Карло (Ы= 1000).
№ эксперимента Я1 Я2 Я3 Я4
тіп Мах Міп Мах тіп Мах тіп Мах
1 2.26 9.92 0.77 1.93 0.06 0.98 0.48 1.99
2 2.90 9.73 0.74 1.87 0.06 1.00 0.43 1.98
3 2.21 9.60 0.71 1.83 0.09 0.90 0.42 1.97
Таблица 6. Объемы бруса допусков и описанного бруса с границами в Таблица 5.
№ эксперимента Объем V Объем Vo Уо / V
1 162.90 12.34 0.08
2 162.90 11.29 0.07
3 162.90 10.38 0.06
Таблица 7. Координаты описанного бруса, построенного методом Монте-Карло Ш= 10000).
№ эксперимента Я1 Я2 Я3 Я4
тіп | Мах тіп | Мах тіп Мах тіп | Мах
1 2.36 9.92 0.71 2.06 0.05 0.99 0.35 2.00
2 2.35 9.96 0.73 2.00 0.05 1.00 0.37 2.00
3 2.31 1.00 0.72 2.06 0.05 1.00 0.41 2.00
Таблица 8. Объемы бруса допусков и описанного бруса с границами в Таблица 7.
№ эксперимента Объем V Объем Vo Уо / V
1 162.90 15.74 0.10
2 162.90 15.00 0.09
3 162.90 15.43 0.09
Из этих результатов видно, что разброс соответствующих значений границ в различных независимых экспериментах с увеличением количества N точек метода уменьшился.
Таким образом, можно заключить, что в общем случае, когда мы не располагаем никакой априорной информацией относительно выпуклости, односвязности и ориентации аппроксимируемой области работоспособности в пространстве, целесообразнее использовать метод статистических испытаний. К тому же возможно его распараллеливание с ускорением времени вычислений, близким к линейному [2], в отличие от метода направленного поиска, который выполняется последовательно рекурсией и зависит от размерности пространства.
3. Матричное представление.
Следующим шагом к аппроксимации искомой области является разбиение описанного бруса Уо на кванты по каждому из параметров. В общем случае получим п-мерную сетку в пространстве входных параметров, внутри которой заключена область работоспособности Бх. Эту п-мерную сетку назовем п-мерной матрицей. Подбрусья описанного бруса Уо, образованные пересечениями каждого из квантов от каждого параметра образуют ячейки матрицы. Для каждой ячейки выбирается представитель - точка, являющаяся либо геометрическим центром ячейки, либо случайно выбранная точка (выбор зависит от подхода к решению задачи). В точке-представителе каждой из ячеек вычисляется условие работоспособности (2). Если условие (2) выполнено, то ячейка считается «хорошей», иначе - «плохой».
Хранить п-мерную матрицу удобно единым массивом в следующем виде (на примере 2-мерной матрицы р х 5 ):
{а1,1; а1,2;
; а „;а
; а
■г,э;
; ар,1;ар,2
(4)
4 х 3 х 2
индексация
т.е. поочередно записываются строки матрицы. На примере 3-мерной матрицы элементов, записанных в одну строку, будет следующей:
(0,0,0), (1,0,0), (2,0,0), (3,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (2,1,0), (3,1,0), (0,2,0), (1,2,0),
{(С
(2,2,0), (3,2,0), (0,0,1), (1,0,1), (2,0,1), (3,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (2,1,1), (3,1,1),
(0,2,1), (1,2,1), (2,2,1), (3,2,1)}.
Информация о матрице хранится в виде одномерного массива, а иметь доступ к ячейкам все же удобно по индексам матрицы. В таком случае пересчет с индексов по каждому из параметров в индекс массива будет производиться следующим образом (для приведенного примера 4х 3 х 2):
М = х + у ■ 4 + 4 • 3 • г (5)
М = х + ° ■ У + ° ■ Qy ■г , (6)
где О - число «квантов» к-го параметра. Аналогично можно убедиться, что для 4-мерного пространства эта формула будет выглядеть следующим образом:
м = х■ у+■ ау ■2+■ Qy ■ Qz
(7)
-У ^х ^У
По аналогии можно вычислять индексы для матрицы произвольной размерности п.
Для хранения матрицы произвольной размерности п необходимо иметь сопровождающую информацию о размерности пространства, границах описанного бруса (границы по каждому параметру) и количестве квантов по каждому параметру.
Для любой реализации вектора входных параметров х=(х1г Х2, -хп), лежащего внутри описанного
бруса Уо, можно вычислить соответствующую ячейку матрицы. лить индекс кванта:
Для каждого параметра необходимо вычис-
где
7-Ш1П
ьк
ч - ЦШ1
<21епк
- левая граница бруса по к-му параметру,
скобки означают целую часть. 01епк =
тшах тШ1П
Цк Цк
(8)
аїепк - длина кванта к-го параметра. Квадратные
(9)
к
Ы-мерной матрицы строятся фиксированием
Остальные п -
Сечения любой размерности (меньше размерности матрицы) одного или нескольких 3=1...п-1 параметров на требуемых значениях квантов дк=0...0к - 1.
7 параметров считаются свободными для варьирования.
Построение и визуализация сечений матрицы позволяют проводить и облегчают проведение анализов области по ее матричной аппроксимации. Анализ сечений может позволить сделать предварительные выводы о форме и положении области в пространстве параметров (в описанном брусе).
4. Пример для схемы ТТЛ логики.
Описанные выше методы были применены к схеме ТТЛ-логики с 4-мя параметрами.
Для представленной модели ТТЛ-логики было разработано программное обеспечение по визуализации сечений матричной аппроксимации области работоспособности Бх. Программа позволяет вычислять граница описанного бруса методом Монте-Карло, строить матрицу с количеством квантов, задаваемым отдельно для каждого параметра. Для данной модели возможно построение двух видов сечений: двумерных и трехмерных.
На рисунке 2 представлено окно программы для задания вычисления границ описанного бруса методом Монте-Карло и его разбиения на соответствующее число квантов.
к
Рис 2. Программа построения сечений. Задание параметров матрицы.
Для визуализации результатов (построения двумерных и трехмерных сечений) необходимо задать ряд параметров (рис. 3): размерность сечения,
фиксированные параметры (значения индексов фиксированных квантов) углы поворотов (в градусах) вокруг осей свободных параметров.
Рис 3. Программа построения сечений. Задание параметров отображения.
На рис. 4.1, 4.2 представлены трехмерные сечения представления области работоспособности мат-
рицей при фиксированном параметре Яэ (первый квант).
Рис. 4.1 Рис 4.2
Одно сечение при различных разбиениях матрицы
На рис. 5. представлена серия сечений области работоспособности по параметру Я4, полученных разбиением описанного бруса на 4 0 квантов с шагом по параметру 5 квантов.__________________
Сечения матрицы (Demo version) - Пространство (R1;R2;R3). Сечение по R4=35 -|S|x|
File Edit View Window Help Опции
Ready
Рис. 5. Построение серий сечений по одному параметру (Я4 от 0 до 35. Количество квантов равно 40).
□ а н | »¡a p a
1S]*1 Ш
ip Пространст
¥
W_
w_
Г. Пространство (R2;R4).
Рис. 6. Двумерные сечения по параметрам Ях, Я3.
На рис. 6 представлена серия двумерных сечений по параметрам ^, Я3. Параметр ^ изменяется от
0 до 11, Я3=0.
Выводы.
Предложенные алгоритмы и программное обеспечение могут быть распространены на случай большей размерности пространства внутренних параметров исследуемого устройства, позволяют сделать вывод о форме области работоспособности, ее положении в описанном брусе и пространстве допусков.
Работа выполнена в рамках проектов, получивших грант конкурса «Конкурс проектов ДВО РАН 2005 г.» по программе №16 Отделения энергетики, машиностроения, механики, процессов управления РАН «Проблемы анализа синтеза интегрированных технических и социальных систем управления» и по программе №17 Президиума РАН «Параллельные вычисления и многопроцессорные вычислительные системы».
ЛИТЕРАТУРА
1. Антушев Г.С. Методы параметрического синтеза сложных технических систем. - М.: Наука, 1989.
- 88 с.
2. Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности // Информатика и системы управления № 2(8) 2004 с.121-132.
