CC BY
31
Назаров Д.А.
ДЕТАЛИЗАЦИЯ МАТРИЧНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЛАСТИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ В ЗАДАЧЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
При построении области работоспособности с помощью ее матричного представления [1] возникает проблема выбора оптимального баланса между детализацией построения и ресурсами компьютера, которых требуется больше с увеличением детализации. В работе [1] для построения матричного представления использовалось разбиение области значений каждого из параметров внутри описанного бруса [1,2] на равные части - кванты. Таким образом, если имеем пространство параметров размерности N , а при этом разбиением каждого кванта на 2 кванта увеличиваем детализацию, то для
представления области потребуется оперативной памяти, как минимум, в 2N раз больше. На рис.1 и рис.2 проиллюстрированы матричные представления одной и той же области в пространстве внутренних параметров системы с различной степенью детализации.
Рис. 1. Матричное представление области при разбиении интервала каждого параметра на 10 квантов.
Рис. 2. Матричное представление области при разбиении интервала каждого параметра на 40 квантов.
Описанные в работе [1] алгоритмы позволяют проводить детализацию только всех ячеек матрицы. Такой метод, очевидно, не является оптимальным как с точки зрения использования ресурсов компьютера, так и с точки зрения исследования построенной области. Например, если внутренность области представлена несколькими «хорошими» [1,2] ячейками, то нет смысла их детализировать. Другой пример - ячейка, являющаяся граничной для построенной области. Такая ячейка считается «хорошей» только потому, что ее точка-представитель [1,2] принадлежит фактической области работоспособности Ох [1,2], однако эта ячейка может частично выходить за границу этой области, т.е. содержать точки, не принадлежащие Ох . Очевидно, речь идет о частичной детализации
матричного представления области работоспособности.
1. Постановка задачи.
Хоть данная работа лишь касается проблемы параметрического синтеза, являясь только частью подхода к ее решению и в работе [1] давалась постановка задачи параметрического синтеза, придется повториться, т.к. для рассмотрения в данной работе необходимы некоторые определения и соотношения.
Объектом исследования является математическая модель У(Х(/)) технического объекта, определяющая в момент времени зависимость его выходных параметров у^) = {у(/),...,ут(/)} от параметров элементов Х(/) = {X()Хп(/)} в виде
у (о=(хо), ]=1т (1)
Выходные параметры представляют собой показатели качества, по которым можно судить о качестве и правильности работы устройства. Выходные параметры зависят от свойств каждого элемента
устройства и также от особенностей их взаимодействия друг с другом.
Входные воздействия, как правило, могут быть отнесены к параметрам некоторых особых элементов
(источников питания и сигналов), то есть включены в вектор X , либо считаться постоянными и
входить в виде констант в зависимости ¥(Х) .
Параметрическая надежность характеризует способность системы сохранять уровень выходных
параметров У(Х) = {уШ-, Ут (Х)} в допустимых пределах
А < У(Х(Х)) < В или а < у (X) < Ь ,1 = 1, т (2)
Критерием отказа устройства будет нарушение неравенства (2). Количественную меру безотказной работы устройства можно выразить через вероятность выполнения условия (2)
Рг (X) = Р{А < У(Х(Х)) < В, V/ е [0,Т]} (3)
Обеспечение необходимой параметрической надежности устройства при проектировании основывается на выборе номинальных значений параметров этого устройства или системы Х(Х) . Задача выбора
оптимальных параметров проектируемой системы (параметрического синтеза) заключается в выборе номинальных значений параметров данного устройства Х„пл„ = (& ,...,) , обеспечивающих максимум
ним V ¡.ном пном
вероятности его безотказной работы в течение заданного интервала времени.
Один из подходов в выборе номинальных значений состоит в построении матричного представления
области о
и уже используя это матричное представление, ищется точка Х№
--(X5
4 1н/
х„
) внутри
области, которая и обеспечит максимум вероятности (3) безотказной работы устройства.
В данной работе рассматривается задача, лежащая в рамках построения матричного представления области работоспособности. Задача заключается в детализации определенных ячеек, а также в определении, какие из ячеек матрицы требуется детализировать. Таким образом, задачу детализации матричного представления области работоспособности можно сформулировать следующим образом.
Пусть известна система (1), качество работы которой зависит от значений параметров ее элементов х = (х,х2,...,Хдт) , заданы условия работоспособности (2) и допуски на значения параметров; пусть также построено матричное представление области [1]
ста, к,...,іп ] , (4)
где
і -
количество квантов на
Требуется определить ячейки матрицы (4), которые
-й координате.
нуждаются в дополнительной детализации, построить детализацию этих ячеек.
2. Подход к решению задачи.
Проблема детализации матричного представления области имеющимися средствами [1] заключается в возрастающих потребностях в ресурсах компьютера. Необходимо провести детализацию только отдельных ячеек матрицы (4), которые целиком не лежат в области работоспособности Их, т.е. содержат точки, в которых условие работоспособности (2) не выполняется. На Рис.3 и Рис.4 изображены матричные представления с разной степенью детализации одной и той же области.
Рис. 3. Пример матричного представления области с разбиением диапазонов значений параметров 1Х =
8, /2 =6
Очевидно, что разбиение внутренних ячеек матрицы неоправданно требует много дополнительных ресурсов.
Рис. 4. Пример матричного представления области с разбиением диапазонов значений
параметров /, =16,/9 = 12
Один из методов решения поставленной задачи заключается не в отказе от имеющегося построения матричного представления области, и даже не в его кардинальном пересмотре. Предлагается для каждой детализируемой ячейки строить матричное представление с заданной степенью детализации. Предлагаемый метод заключается в дополнительном применении матричного представления области работоспособности Овнутри определенных ячеек. На Рис.5 схематично изображено матричное представление области работоспособности, при использовании детализации отдельных ячеек. Поскольку для определенной ячейки создается свое матричное представление, то для каждой из детализируемых ячеек можно задавать различную степень детализации.
Рис. 5. Детализация отдельных ячеек матрицы.
Необходимо определить, какие из ячеек матрицы необходимо детализировать. В данной ситуации есть два варианта.
Первый вариант - это случай, когда есть уверенность, что область не имеет внутри разрывов (например, метод статистических испытаний был проведен с достаточно большим количеством пробных точек, либо по другим соображениям). Тот факт, что ячейка является «хорошей», на самом деле, не дает оснований для уверенности, что все точки, принадлежащие данной ячейке, принадлежат области
* N
О^ . В этом случае можно проводить метод Монте-Карло для каждой ячейки. Если соотношение V = —-
х N
количества точек Ы10 , принадлежащих , и количества брошенных в ячейку точек Ы1 для «хорошей»
ячейки меньше заданного критерия 5 (V <5 ), то в этой ячейке необходимо провести детализацию.
Помимо детализации «хороших» ячеек также нужно проводить детализацию «плохих» ячеек, которые могут содержать как небольшие участки области О , так и значительные фрагменты этой области, например, ячейки, прилегающие к граничным ячейкам матричного представления области. В данном случае надо проводить учет точек, не попавших в Ох , или N — Ыг0 . Тогда для «плохих» ячеек
получим V1 = 1---- , что при сравнении с заданным критерием 5 ( V <5 ) позволит сделать вывод о
М1
необходимости детализации. Итак, был рассмотрен случай, когда дополнительным исследованиям методом статистических испытаний подвергались все ячейки матрицы (4). Данный метод требует много времени на проведение таких расчетов, однако может дать дополнительные сведения об области работоспособности О .
Второй вариант определения, какие ячейки матрицы подвергать детализации, заключается в проведении статистических испытаний в ячейках, являющимися граничными для матричного представления области («хороших») и «плохих» ячейках, прилежащих к граничным. Такой метод является более экономичным с точки зрения времени вычислений, однако из-за отсутствия дополнительных исследований во всех ячейках матрицы не дает более точного представления области. Степень детализации отдельных ячеек можно как задавать фиксированной, выбирать из некоторых
соображений, а можно регулировать исходя из получаемых значений V .
Рассмотренные методы определения ячеек для детализации может быть легко реализованы для выполнения на параллельных процессах.
После построения матричных представлений отдельных ячеек, необходима их привязка к ячейке, которая подверглась детализации, а также механизм доступа к этим матрицам и ячейкам этих матриц. Далее будем называть матричное представление отдельной ячейки субматрицей.
Для хранения ссылок на субматрицы и привязки их к ячейкам основной матрицы будем использовать массив 5[] . Элементы этого массива представляют собой структуры, содержащие единый индекс [1,2] детализированной ячейки и указатель на объект, представляющий субматрицу.
Если при обходе ячеек основной матрицы необходимо получить информацию о более точном представлении ячейки, то нужно обратиться к массиву 5[] , найти в нем индекс ячейки и, в случае нахождения такого элемента массива, обратиться к субматрице. Этот процесс поиска можно оптимизировать, если в значения ячеек основной матрицы писать флаг наличия у текущей ячейки субматрицы. Например, аналогично тому, как помечаются ячейки при осуществлении обхода ячеек с целью поиска разрывов в области [2], можно зарезервировать значения для элементов матрицы. Например, значение 0 - это «плохая» ячейка, 1 - «хорошая», а если добавить флаг наличия
субматрицы, то можно установить 4 - «плохая» ячейка с детализацией, 5 - «хорошая» ячейка с
детализацией. Подобная оптимизация поиска позволит значительно снизить затраты времени на поиск наличия субматрицы в массиве 5[] . Если ячейка имеет значения 1 или 0 (в общем случае отличные от 4 и 5), то нет смысла вообще обращаться к массиву 5[] - текущая ячейка не имеет детализации.
Построение матрицы требует параллелепипед в п -мерном пространстве [1]. Для построения субматрицы параллелепипедом выступает текущая ячейка с ее границами по каждому параметру. Для каждой ячейки матрицы можно легко вычислить ее границы [1,2].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 05-08-01398 и грантов ДВО РАН.
ЛИТЕРАТУРА
1. Катуева Я. В., Назаров Д. А. Аппроксимация и построение областей работоспособности в задаче параметрического синтеза. //Труды международного симпозиума «Надежность и качество». Пенза: ПГУ, 2005, С130-134.
2. Катуева Я. В., Назаров Д. А. Алгоритмы анализа области работоспособности, заданной в матричной форме. // Журнал «Информатика и системы управления» №1(9), 2005, С118-128
3. Абрамов О. В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. М.: Наука, 1992.
