Повышение эффективности метода статистического моделирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Абрамов О.В. ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Введение

Практически единственным конструктивным методом расчета параметрической надежности (вероятности нахождения параметров системы в области допустимых значений в течение заданного времени) является метод статистического моделирования (Монте-Карло).

В общем виде алгоритм получения оценки искомой вероятности методом Монте-Карло выглядит следующим образом. Моделируется множество N реализаций случайного процесса изменения параметров системы. Для каждой реализации осуществляется проверка ее нахождения в области допустимых значений Ох в течение заданного времени Т. Если таких реализаций N+ , то оценка искомой вероятности безотказной работы находится по формуле

л N Р(Т) = . (1)

Оценка (1) является случайной величиной и подчиняется биноминальному закону распределению вероятностей. Она обладает желаемым свойством несмещенности, т.е. ожидаемое (асимптотическое) значение

л

оценки Р в точности равно истинному значению вероятности Р(Т).

Объем выборки зависит от требуемой точности оценки. Доверительный интервал для получаемой оценки

вероятности зависит от l/^/N . Следовательно, для удвоения точности нашей оценки приходится вчетверо увеличивать объем выборки. Вместе с тем, важно заметить, что объем выборки не зависит от числа внутренних параметров, а получаемые результаты не зависят от любых допущений о форме области допустимых значений параметров

x

Высокая вычислительная трудоемкость многовариантного анализа, лежащего в основе метода статистических испытаний и особенно стохастической оптимизации, связана с тем, что область допустимых значений внутренних параметров D обычно неизвестна. В этом случае для выделения реализаций, принадлежащих множеству N+ , приходится проводить анализ исследуемой системы, т.е. вычислять значения выходных

параметров y = F(x) и проверять выполнение работоспособности для значений выходных параметров. Если число параметров системы велико или система нелинейная, либо анализ должен проводиться во временной области, то это будет связано со слишком большим объемом вычислений.

Оптимизация (выбор оптимальных значений номиналов внутренних параметров) требует вычисления вероятности выполнения условий работоспособности для большого числа различных номинальных значений параметров x . Поэтому, чтобы сделать метод Монте-Карло практически пригодным для решения задачи оптимального параметрического синтеза по критерию надежности, необходимо уменьшить число циклов анализа системы.

Рассмотрим способ уменьшения числа дорогостоящих процессов моделирования, основанный на разбиении пространства возможных вариаций внутренний параметров на области.

Статистическое моделирование с использованием равномерных сеток.

Пусть система имеет п внутренних параметров х = (д^,. ••,#„) г плотность распределения которых в начальный момент времени f (x) .

Для каждого из внутренних параметров известны пределы их возможных производственных и эксплуатационных вариаций. Эти пределы могут выбираться на основе инженерного опыта или на основе построения «описанного бруса» допусков [1]:

xmin ^ X ^ Xjmax’ * = 1 n * (2)

Разделим диапазон возможных изменений каждого из параметров на непересекающихся интервалов

(«квантов»). В результате такого деления пространство допусков окажется покрытым сеткой с числом ячеек

n

R = пе- . (3)

i=1

Другими словами, пространство допусков Bq разделим на конечное число непересекающихся областей

B . Для каждой области B выбираем центр (среднюю точку) CJ , «представляющую» всю область (Рис. 1).

Рис. 1. Разбиение пространства допусков на непересекающиеся области.

Генерируем случайным образом точки параметров, соответствующих распределению /о(x ) и центрам областей приписываем веса

k

WJ = — , (4)

N

где kJ — число испытаний, при которых результат попадает в область BJ , N — полное число испытаний.

Для каждого центра с соответствующим ненулевым весом проводим моделирование схемы (вычисление выходных параметров) и проверяем выполнение условий работоспособности.

Оценку вероятности Po( xH ) - выполнение условий работоспособности в начальный момент времени можно

представить в следующем виде

Л

P0(xH ) = 2 g(C )W , (5)

j^Nc

где g (Cj)— опорная функция, Nc — множество индексов (ячеек сетки) с ненулевым весом.

Г1 при вътолнении условий работоспособности

g(C ) Нп

[U во всех остальнъъх случаях.

Мощность множества Nc в общем случае меньше N и, кроме того, опорная функция для каждой ячейки вычисляется один раз (условия работоспособности проверяются только для точки C J ) при любом числе kJ . Таким образом, обеспечивается снижение циклов моделирования, правда при этом увеличивается объем памяти, необходимый для хранения информации об областях BJ .

Мы рассмотрели случай, когда производится расчет вероятности нахождения вектора внутренних параметров в области допустимых значений в фиксированный момент времени (для заданного t — сечения случайного процесса изменения параметров). Для t = 0 этот показатель называют обычно серийнопригодностью или выходом годных [2,3]. В общем случае в соответствии с методом критических сечений необходимо рассмотренную задачу решать несколько раз, равных числу критических сечений [4]. Например, для монотонного случайного процесса дрейфа параметров число критических сечений будет равно двум. Дальнейшее сокращение трудоемкости процесса вычисления P(xH ,T) можно достичь путем использования распределенной (параллельной) модели вычислений.

Рассмотрим параллельный алгоритм расчета вероятности выполнения условий работоспособности в течении заданного интервала времени P(xH,T) , использующий идею равномерного покрытия пространства возможных вариаций внутренних параметров исследуемой системы.

Алгоритм можно реализовать как на многопроцессорной ЭВМ, так и в распределенной системе на базе сетевых технологий. В обоих случаях используется так называемая master- slave (главный- подчиненный) технология. При этом один из процессоров (или одна из ЭВМ сети) выполняет роль диспетчера (сервера), а остальные являются клиентскими.

Параллельный алгоритм

Исходя из заданных пределов возможных вариаций внутренних параметров системы и количества квантов е , i = 1,n , строится сетка, покрывающая брус допусков. Определяются координаты центров, каждой из

получившихся при этом подобластей B J .

Задается вектор номинальных значений внутренних параметров x .

С помощью генератора псевдослучайных чисел и программы формирователя генерируется массив из N векторов x (выборка для случайного вектора X ) с заданным законом распределения f(x) .

По формуле (4) вычисляются весовые коэффициенты WJ , j = 1,k .

Определяется множество Nc С N ячеек с ненулевыми весами.

Формируются расчетные модули (пакеты) элементов.

Для симметричной вычислительной сети (или кластера с однородными процессорами) каждый модуль будет содержать

ЛГ Nc Ns = — s S

элементов. Здесь S - число процессоров (клиентских ЭВМ).

Делается рассылка расчетных пакетов по элементам вычислительной сети.

Каждый процессор (клиент) осуществляет расчет выходных параметров y = F(x), для каждого из Ns элементов своего расчетного модуля.

Проверяются условия работоспособности для каждого элемента множества N .

На сервер отправляется пакет положительных реализаций (для которых выполняются условия работоспособности).

По формуле (5) сервер осуществляет расчет оценки искомой вероятности P(xH ,T) .

Эффективность предлагаемого подхода будет зависеть от степени сокращения числа моделирований (расчетов выходных параметров) исследуемой системы и количества используемых процессоров (клиентов вычислительной сети).

Следует ожидать, что наибольший эффект будет достигнут при решении оптимизационной задачи, в процессе решения которой необходимо многократно осуществлять расчет целевой функции (вероятности нахождения параметров в области допустимых значений) при различных значениях номиналов параметров.

Наилучший результат может быть достигнут, если при каждом расчете вероятности P(xh T) отмечать те ячейки сетки, которые дают положительный результат, т.е. принадлежность которым соответствует работоспособному состоянию. В этом случае при всех последующих расчетах для этих ячеек нет необходимости проверять условия работоспособности, а, следовательно, осуществлять дорогостоящее моделирование (вычисление выходных параметров).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ДВО РАН в рамках программы № 16 Отделения ЭММПУ РАН.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов О.В., Диго Г.Б., Диго Н.Б., Катуева Я.В. Параллельные алгоритмы построения области работоспособности. //Информатика и системы управления, № 2, 2004. С. 121-133.

2. Пампуро В.И., Мартынов Г.К. Прогнозирование стабильности и оценки серийнопригодности радиоэлектронной аппаратуры. - М.: Знание. 1976.

3. Беккер П., Йенсен Ф. Проектирование надежных электронных схем. - М.: Советское радио. 1977.

4. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. -М.: Наука. 1992.