Движение поляризованного электрона, обладающего вакуумным магнитным моментом в скрещенных электромагнитных полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 156

1969

ДВИЖЕНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННОГО ЭЛЕКТРОНА, ОБЛАДАЮЩЕГО ВАКУУМНЫМ МАГНИТНЫМ МОМЕНТОМ В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

В. Г. БАГРОВ, В. А. БОРДОВИЦЫН

В работе найдены новые точные решения уравнения Дирака для электрона в' ортогональных постоянных и однородных электрическом и магнитном полях. Рассмотрен вакуумный магнитный момент электрона и поляризация электронного спина.

§ 1. Уравнение Дирака для электрона с аномальным магнитным моментом

Движение электрона во внешнем электромагнитном поле описывается уравнением Дирака

/ь— (1)

at

И- = cPl (аР) Ч- Р:; тс2 - е?, (2)

где р— матрицы Дирака,

е

Р — /Ьу -j--А — кинетический импульс,

с

т — масса покоя электрона, _>. е — положительный элементарный заряд, А и <р — потенциалы внешнего электромагнитного поля, с — скорость света. Как показал Паули [!], гамильтониан (2) можно обобщить таким образом, что можно учесть наличие аномального магнитного момента у электрона. Обобщенный гамильтониан в этом случае имеет вид:

Я - сРх {аР) + р3 тс2 - е<? -f [Рз (зН) + р2 (аЕ)]. (3)

Здесь

сЬ\х — аномальная (вакуумная) часть момента — электрона,

-V -V | ^J^

Н = rot А и Е =----v? — внешнее магнитное и электрическое

с dt

поля. Очевидно, гамильтониан (2) получается из (3) в частном случае р. = 0. Рассмотрим движение электрона в постоянных и однородных ортогональных электрическом и магнитном полях, причем будем считать Е^Н.

Выберем систему координат так, что ось г направлена вдоль магнитного поля, ось у — вдоль вектора электрического поля. В соответствии с нашим условием положим Е = Нъ'т-ц, где "/¡ — некоторый угол ^ — ~ < 73 < ^ .

Потенциалы электромагнитного поля удобно выбрать в следующем виде:

Ах = — уН, Ау = Аг — 0, ср = — у//вт*/].

Легко видеть, что в этом случае гамильтониан (2) и (3) не зависит от времени, и можно искать стационарное решение уравнения (1).

Можно также установить, что операторы Рп = — /Ь — и р1 — ¿Ъ —

дг дх

коммутируют с гамильтонианом (2) и (3) и друг с другом и, следовательно, являются интегралами движения. Таким образом, стационарное решение уравнения (1) можно подчинить двум дополнительным уравнениям

Р. Ф' - Ь /с, р! - Ь К1 Т. (4)

С учетом уравнения (1) стационарное решение (1) запишется в виде

W = L~l ехр {— icKt + 1кхх + 1кьг} 0(£),

Ко

Я\У-- ! . i

еИ ch

Здесь

q и Ко"— неизвестные пока постоянные, величина К связана с энергией г - с\\К электрона. Спинор ф (Í) удовлетворяет следующей системе уравнений:

t

K—Kq — y-H — ¡ + — ) sin т, ¡ —

Я ,

Кх — к2— ¡J- // sin ^

d \

dt i

I - К*

H — к2 + — sin -/]

К

к, -- /;, + а/У sin -n — ll -f q ~ ) 63 -f k.¿ 04

q dt]

К

к{) -i- — | к > -t-

Я

Sin r¡

— I к

d

к-, -r V-H sin r¡ -— ---q — ) o-, — o}

q dt

0,

К

X

к-,

Sin Tj ü4

к-} — t iH sin r¡ — — -i-? —I 'h -f rc.¿ 'bo = 0, q dt 1

5)

(6)

где к0 =

тс

Решение системы (6) существенно различно при |sin^|< 1 и при

i i / 71

Sin r¡ | — 1 I r¡ = + —

§ 2. Решение уравнения Дирака для неравных полей

<

Рассмотрим случай |sin7j|<l. В этом случае решение уравнений (6) можно в принципе получить преобразованием Лорентца решения уравнения Дирака для чисто магнитного поля (т} = 0). Такое решение известно [2]. Легко убедиться, что в случае |sin^|<l решение системы (6) следует искать в виде:

•h = *iVn(t) + $iUn-\{t\ 1,2,3,4. (7)

Здесь и ^ — некоторые постоянные.

Функции Эрмита Un (t) связаны с полиномами Эрмита Hn(t) следующим соотношением:

vх

1 4 / ~ Т

Un(t) = -==ri/Le Нп (t)

и удовлетворяют функциональным уравнениям

Un = У 2л Un- tUn, ип= tUn-i - V I Un. (8)

Подставлял выражения (7) в систему (6) и используя соотношения (3), приравняем нулю коэффициенты в уравнениях при Uп, Un-ь tUn, tUл-i. Получим все~о шестнадцать однородных линейных уравнений относительно восьми неизвестных ii и Решал эти уравнения, придем к выводу;, что решение возможно, если

, г--к} — A'sin 73

?=}' Т COS 7J, Ко = -;- ,

COS- 7]

откуда следует в силу (5)

t = V 7 eos T¡ ^ +

/{"sin r¡ — Кх

O)

COS" r¡

Величины а. и ^ имеют при этом вид:

.7] 7] fj 7J

aj = с, sin — , а., = С., COS — , a., = с2 Sin — , = с4 COS —

2 2 2 2

7] 77 7] 71

3, = £\ cos — , В* = Co sin — , B3 = Co cos —, 34 = ¿^sin

1 2 2 2 2

Постоянные c-t удовлетворяют следующей системе уравнений;

(Ю)

(d — к0 — \iHcos y¡) с, + У 27л cos т¡c4 — лг3 = 0,

(d — a:0 + (a//cos?¡) Со + V2-¡ncos r\cs + к3с4 = 0,

(И)

(d + tc0 + [i/У eos 7]) c3 + cos v¡ c2 — кгс1 = 0,

(el + k0 — [хЯ cos vj) c4 + y2f/i eos 73 + к3 c2 = 0, ^ _ Л*— /с, sin y¡ eos r¡

Для того, чтобы функция (5) была нормирована на единицу, необходимо выполнение соотношения

Í]kl2 = i- (12) 1 = 1

Условием разрешимости уравнений (11) является равенство нулю определителя системы. Отсюда получаем уровни энергии электрона

к - кх sin Г| + COS 7J Y к I + (]/ + 2т/г cos^r+C^z/cos^)2.

Здесь С = + Величину С мы впоследствии свяжем с ориентацией спина электрона. Таким образом, учет аномального магнитного момента снимает вырождение по спину.

Если в (11) положить {а = 0 (не учитывать аномальный магнитный момент электрона), то вместе с определителем системы обращаются в нуль все определители третьего порядка, и уравнения (11) даже при условии (12) не имеют единственного решения. Это связано с тем, что наряду с уравнениями (4) волновую функцию можно подчинить дополнительному уравнению (описывающему ориентацию спина электрона). В случае у-ФО система (11) при условии (12) имеет единственное решение, однако, как мы увидим ниже, и в этом случае волновую функцию можно подчинить дополнительному спиновому уравнению.

§ 3. Решение уравнения Дирака для равных по величине полей

Уравнения (6) допускают точное решение и в случае Е = Н ^ 2~) ' ^тот не может быть получен преобразованием Ло-

рентца из чисто магнитного поля. Оказывается, спектр энергии электрона является в отличие от случая Е < Н непрерывным. Решение уравнений (6) в этом случае следует искать в виде

'k = Q[a/<Z>(í)+íW)Í, (13)

где а; и — постоянные числа,

Q — некоторый нормировочный множитель, <P(t) и Фг (t) — функция Эйри и ее производная [3],

1 Г» « - + Ы

<P(t)=—— е }dx. (14)

2У тс J

—сю

Функция Эйри удовлетворяет дифференциальному уравнению

ф" — ЬФ =0. (15)

7Г

Подставляя выражения (13) в (6) при условии = — и прирав-

2

нивая нулю коэффициенты при Ф, Ф\ 1Ф, ¿Ф', получим снова шестнадцать уравнений для восьми величин а. и [J¿, которые имеют решение при условии _

Я =

К = к2 + í\iH + VkI+kI^^+^H^?. В этом случае из (5) следует

t = УЩк

Здесь ^ = ± 1 связано, как выяснится далее, с ориентацией спина электрона (следовательно, при ц =И= О и здесь вырождение по спину снимается). Квазиимпульс к2 можно рассматривать здесь как новое квантовое число. Знак перед корнем в выражении для энергии К выбран из условия, что функции (13) должны убывать в сторону положительного направления оси у (электрон движения против электрического поля!). Как известно, при больших положительных £ функция Эйри и ее производная быстро убывают [3].

Решение уравнений для с^ и ^ при таких условиях имеет вид:

а1 = А (К — кх + /с0) + Вкъ, а2 = АК.а — В (К — /с, + яг0), аз Акъ + в (К—кх — /с0),

= — А {К — к1 + к0) Н- Вк3,

(16)

Рз = Рз = Г27 (К-к,)В. Величины А и В можно подчинить условик?

АА+ + ВВ+ = 1, (17)

а нормировку учтем множителем С1 в формуле (13). Если у. = 0, то коэффициенты А и В даже при условии (17) не определяются однозначно из уравнений Дирака и требуют для своего определения дополнительного спинового уравнения. Если О, то для А и В получаются при условии (17) значения

Л = В . (18)

2 2

Проведем нормировку волновых функций (13). В состояниях непрерывного спектра нормировку можно произвести либо на о (К—К'}, либо на 3(/с2 — кг). Нормировка функций (13) может быть найдена следующим образом.

Составляем выражение

/(*) = ]>' 2 ф<+,(0'М0 ¿у.

где штрих при ^ означает другое состояние (К'), у- —некоторая положительная константа. Затем вычисляем этот интеграл и требуем, чтобы при функция / (х) —> о(Я — К'). Выражение / (у.) молено

вычислить, воспользовавшись следующим интегралом

со

который можно вычислить с помощью искусственного приема. Функцию Ф((а')/ — V) заменим интегральным представлением (14) и меняем порядок интегрирования. Используя далее известный интеграл

оо а3

| еах Ф (х) йх = ]/"тс ет,

можно окончательно получить интеграл 7(1»-, v; ц', v'; •/) в следующем виде: __

Мъ v; tt', V; х)= Vl es Ф(М),

I {JLd - J I '3

p3 - fl'3 + 3 (IX3 _ ^/3)3 ' (рЗ _ ^/зу/з

После этого вычисление 1 (у-) не представляет существенных трудностей. Зная интеграл 1 (•/.), можно получить нормировочный множитель Q (и попутно доказать ортогональность функций (13)).

Q = {К— кг) УЪ[ (К — при нормировке на о (К~К'), .

Q = [2т. (К — к2) у 2у (К— при нормировк2 на Ь(к2 — к2).

Отметим, что решение уравнения Шредингера для скрещенных полей (см. [4] стр. 146) при любом соотношении между Е и Н приводит к дискретному спектру. Такая ситуация свидетельствует о том, что случай Е _L// не имеет удовлетворительного нерелятиви-

стского приближения. Это тем более удивительно, что случай чисто электрического поля имеет разумное нерелятивистское приближение (см. [3], движение в однородном поле), тогда как уравнение Дирака для чисто электрического поля вообще не имеет корректных решений. Таким образом, полученное новое точное корректное решение уравнения Дирака представляет несомненный физический интерес.

§ 4. Поляризация спина электрона

Как известно, электрон обладает четырьмя степенями свободы. Следовательно, наряду с уравнениями (1) и (4) волновая функция может удовлетворять еще одному дополнительному уравнению, описывающему ориентацию спина электрона. Существует два типа ко вариантных спиновых операторов, являющихся интегралами движения в нашем случае.

Легко установить, что оператор

Т — (j Р) sin <? + Тг cos 9 — Т1 sin y¡ sin Т — me р-л а -f pi Р,

являющийся сверткой четырехмерного вектор-оператора спина [5] с некоторым постоянным 4-вектором (© — произвольная постоянная фаза), коммутирует с гамильтонианом (2) при ^ = О, а также с операторами (4) и, следовательно, является дополнительным спиновым интегралом движения. Точно так же можно обнаружить, что оператор

L — Л12 sin 9 sin 7] + yW:icos ? + £:>cos 9 sin t¡ - e3sin c?,

M = me 9 + p2 (aP) + h(A (//- (*£)}, e - _ (*/>),

являющийся сверткой четырехмерного тензора спина второго ранга [5] с некоторым постоянным тензором (ср — снова некоторая произвольная фаза), коммутирует с гамильтонианом (2) при ¡i = 0 ис операторами (4), т. е. также является спиновым интегралом движения. Таким образом, при ¡х = 0 имеются два оператора спина. Однако они не коммутируют друг с другом, и, следовательно, для описания спиновых состояний нужно выбрать лишь один из них. 220

При [а Ф 0 оператор Т перестает быть интегралом движения. Оператор остается интегралом движения лишь при ср = 0. Таким образом, наличие аномального магнитного момента резко ограничивает выбор возможных спиновых операторов.

' Рассмотрим сначала случай неравных полей (| эт ^ | < 1). Подчиняя волновую функцию уравнению (р = 0),

для коэффициентов c¿ получим дополнительно к (11) систему уравнений:

(k0cos ? — + [(d — к0) cos v¡ sin cp + лг3 cos <р] с2 = 0,

\(d + К0) COS r{ Sin ср + к3 cos ф] с4 — (к0 cos <р + О-) с2 = 0.

(/С0 COS ср — 1л) с, + [(d + Kq) COS 7¡ sin cp + K3 eos o] = 0, [(í¿ — /C0) COS 7j sin cp + K3 COS cp] — (k0COS cp + D.) = 0. Из условия разрешимости системы (20) получаем

X = Vк\ (cos2 ср -h COS2 Tj Sin3 cp) -1- [(/{* — kl sin 7]) 4- k.¿ COS 7]]'-.

Совместно решая (20) и (11), получим с учетом (12) следующий вид коэффициентов c¿:

tw = (С- ± 1),

(19)

(20)

k2T«cos у\ В + /c3i4

j/2úí (к0 + rf)

У 2*[п cos у] А + к%В

У 2d (лг0 + d)

Я =

(d + К0) COS V] sin cp 4- К0 COS cp) к\ COS cp

*o)

0 =

О =-

(fl? 4- к о) COS Tj sin cp 4- COS cp

'J - - t

I (rf 4- /C0) cos У] sin cp 4" COS cp I Подчиняя волновую функцию уравнению (у —0)

lw = сьхт ± 1),

(22)

для коэффициентов с{ дополнительно к (И) получим (d COS cp cos Tj — 4~ lKZ COS yj Sin cp) С4 4-

+ [i(d — к0 cos y¡ sin cp 4~ къ COS r¡ COS cp] c2 = 0, [г (rf 4- Ко) cos v] sin cp 4- к3 cos t¡ cos cp] ci +

+ (d COS 7| COS Cp + + COS У] sin ф)с2 = 0,

(of cos 7] cos cp — <;X — wca cos y¡ sin cp) + (23)

+ [i (d + A*o) cos 7J sin cp — cos 7/ cos cp)] = 0, [/ (d — K0) COS 7] sin cp — /C3 COS 7j COS cp] С, +

+ (d cos 7] cos cp 4- ^ — cos 7] sin cp) с a — 0. Из равенства нулю определителя системы (23) имеем

к = У {К — kí sin 7j)2 — cos2 y¡ (к1 -f л^о s*n2 Совместное решение (23) и (11) приводит к результату:

-i/iMHÍ/'+f^'^-1/

(24)

(С-гф /--.

1 -d

$ +г Ф

1'

tí

. f + гФ

где обозначено

/■о — У i<l cos- -р + 2*¡ п cos ^

и угол Ф определяется соотношением:

АГП Sin ?

sin Ф —

I/ + 2%п cos (i

При учете аномального магнитного момента электрона [формулы (24) сохраняют свой ьид, если в них положить с? ~ Ф = 0.

Проводя аналогичные вычисления для случал раьнлх по величине полей, получаем для оператора Т (при у 0) прежнее значение

(19), (20) при услоьии ^ -- у и следующие коэффициенты А и Б:

В = Ъ1/ Lh -г os

2 \ К ( л — /С,) Sin а + кя cos ®

О -— ■—-—--

| {/{— Кц) sin ср -ЬКз COS Cf I

Для оператора L (22) в случае ^ = 0 имеем

4 = i 1 / ; CQS У В - ' ■ /Г 1 ~~~ ^ Cos ^

Для [д. Ф О А и В определены формулами (18). Таким образом, задача об отыскании решений уравнения Дирака для поляризованного электрона, движущегося в скрещенных полях, полностью решена.

Мы видим, что учет ориентации спина электрона позволяет однозначно определить спиновые коэффициенты в волновой функции. Наличие аномального магнитного момента электрона резко ограничивает выбор возможных спиновых операторов и приводит к снятию спинового вырождения.

ЛИТЕРАТУРА

1. W. Pauli. Rev. of Mod. Phys. 13, 203, 1941.

2. А. И. Ахиезер, В. Б. Б ер е ст е цк и й. Квантовая электродинамика. Физматгиз, 1959.

3. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и д. Квантовая механика. Физматгиз, 1963.

4. И. И. Гольдман, В. Д. К р и в ч е н к о в. Сборник задач по квантовой механике. ГИТТЛ, 1967.

5. И. М. Тернов, В. Г. Багров, В. А. Б о р д о в и ц ы н. Изв. высш. уч. зав., «Физика», № 4, 41, 1967.