Прецессия спина электрона, движущегося в скрещенных полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

1970

Том 184

ПРЕЦЕССИЯ СПИНА ЭЛЕКТРОНА, ДВИЖУЩЕГОСЯ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ

В. Г. БАГРОВ, В. А. БОРДОВИЦЫН

(Представлена проф. В. А. Соколовым)

В работе изучается влияние аномального магнитного момента электрона на поведение его спина при движении в постоянных и однородных ортогональных электрическом и магнитном полях.

Движение электрона в скрещенных полях

Движение релятивистского электрона в электромагнитном поле описывается уравнением Дирака

ib— - ' Н = с (лР) + Рътс* - е?, (1)

dt

где Я== —¿ñyH--А; а, р —матрицы Дирака, Л, ср — потенциалы

с

внешнего поля.

Рассмотрим движение электрона в постоянных и однородных ортогональных электрическом и магнитном полях при условии £<//. Систему координат выбираем так, чтобы ось z была направлена по магнитному полю, ось у вдоль электрического поля, и будем считать

Е — //sin y¡ < y¡ < ^ j . В этом случае потенциалы поля можно

выбрать в виде

= — уН, Ау = Аг = 0, ср = — у И sin т].

При таком выборе потенциалов интегралами движения являются полная энергия системы Н, проекция импульса на магнитное поле Р3

и оператор /?t = — /Ь—Следовательно, волновую функцию, поми-

дх

мо (1), можно подчинить уравнениям

HY = diKT, P3Y = hK3lF, PlY = ЪКХЧГ. (2)

С учетом этих требований волновая функция имеет вид

W (ñ = 1 g—icKt + ikjX+¿K3z ф

VLXLZ

,-/ К sinri — ki eH

t = Утесе?! УН--:-4-т " -—

\ т cos¿ 7] he

Спинор ф(х) можно записать в форме

ф| (х) = а,£/2 (-с)+ (х), /=1,2,3,4, п = О, 1,.... (4)

Здесь Цп — функции Эрмита, связанные с полиномами Эрмита соотношением

Коэффициенты а/ и fí¿ связаны с двумя произвольными постоянными А и В соотношениями:

]/2did + k,) 2 К 2 \ d

cos — (5)

2

У^тга cosr¡B + &3Д . y¡ ' —— sin —

_ cos r¡ A + сс4 —----—- cos —

V2d(d + k0) 2

Здесь введены обозначения

— У2-[П cos t¡ В 4- M rns « l/2d (d + k0) .2

—MunL^ ^sinTj + cos^/ég + + 2T/XCOS^

eos ^

(6)

ь -

n

Функция (3) нормирована на единицу, если А я В удовлетворяют условию

АА+ + ВВ+ = 1. (7)

Помимо трех интегралов движения (2) должен существовать четвертый, спиновый интеграл движения. Как установлено в [1], в качестве такого интеграла движения можно выбрать либо оператор поперечной поляризации спина электрона

L (ф) = П2 sin 7] sin ф + П3 cos ф + Е2 sin y¡ cos ф — Е2 sin ф, (8)

либо оператор продольной поляризации

Т (ф) = foP) sin ф + Г3 cos ф — Тх sin r¡ sin ф. (9)

В обеих формулах ф — произвольный угол и введены матричные векторы

П = mcv + р2 [аР], Е = - pa [¿Р], Т = mepjx + раР. (10)

Если потребовать, в дополнение к (2), чтобы Y удовлетворяла уравнению

= ДО^соэ VF, С == ± 1,

то получим с учетом (7)

-i- d +к л) —Al ifl-Lr^W 2 ft = —3--!---- COS Ф

(И) 21

cos y¡ = У (К — kx sin Y])» — cos2 r¡ (k¡ + kl sin2 Ф). Для продольной поляризации, подчиняя функцию Т уравнению

Г(ф)Т==СЬУГ, С = ± 1,

получим

(¿4- ¿0) cos ri sin ф + ¿3C0S О

Л — —

2 * |(d + k0) cost] sin ф +.¿3 соэф|

; + eos у] Х2 + kQ)

В = (1 - ft = + ¿o) (fe0 CQS Ф + k* CQS Ti SÍn Ф) + C°S

V ¿o (COS2^ — C0S2TjSin24>) + [(/< — kx sin r¡) sin ф + é3COS ф]2.

Аномальный магнитный момент электрона и прецессия спина

Наличие аномального магнитного момента у электрона приводит к тому, что набор спиновых интегралов движения резко сужаётся (см. [1]). Действительно, как показал Паули [2], аномальный магнитный момент электрона можно учесть, видоизменив гамильтониан (1)

Н = с (ÜP) + Рзтс2 - е? he? [Ps (М) + й (*Е)], (12)

где Ъср — аномальная часть момента электрона. Операторы (2) и в этом случае остаются интегралами движения. Однако оператор Т'(ф) (см. (9) не коммутирует с (12) ни при каком значении ф. Оператор (9) поперечной поляризации ¿(ф) коммутирует с (12) лишь при

ф = 0, если вектор П определить, в отличие от (10), следующим образом _

П = тс* + р2 [<jP] -f Ь\х (Н [®Е]).

Формулы (3—6) сохраняют свой вид, если для энергии К поль" зоваться выражением (С' = ± 1 собственное число ¿(0))

Кс = kí sin y¡ + COS V] Vk\ + {Ущ + 2^ COS t¡ + í'pH COS r¡)2.

Величины А и В определяются формулами (11) при ф =■ 0. Заранее не очевидно, как будет с течением времени меняться спин, описываемый операторами (8) и (9), сохранявшийся без учета аномального момента.

Для решения этого вопроса поступим следующим образом. Из волновых функций (t), являющихся собственными л,л я оператора ¿(0) с учетом аномального момента электрона, построим нестационарную (Кс Ф K-v) волновую функцию

т (t) = С (С, С) Тс (Í) + С (I, - С) (t)

так, • чтобы при t = 0 она была собственной для оператора L (0) (либо Т(Ф)).

¿,(ф)¥( 0)-Cñ)McosTj¥(0). (13 у

Если потребовать, чтобы W (t) была нормирована на единицу, то из (13) коэффициенты С (С, С') определятся однозначно. Определив таким образом t), найдем среднее значение I (ф) (либа 7"(ф)) по этим функциям. Это среднее значение будет, в общем случае, зависеть от времени. Следовательно, задача о прецессии спина под вли-22

янием аномального момента электрона будет решена. Несложные, но громоздкие расчеты приводят для оператора £ (ф) к следующему выражению:

С (Г, Ц) = - |сс '2 +

. ф

а для продольной поляризации (оператор Г (<]>)) к коэффициентам с (С, С) = у {с/ 741 + с^) (1+су + 1/(1-С?2)(1-С^)|, =

Среднее значение L (о) по функциям *F(¿) имеет вид

L (6) = CbXt cos 7j (cos2s + sin2 s cos 2 t), Я = с (К, - K~i), (14) где нужно положить

cos s = qxq' — Уr(l — q\) (1 — qr¿) cos Ф.

Для величины Г(ф) формула (14) сохраняет свой вид, если заменить в ней cos r\ -»■ \2 и положить

соз s

= +/(1-^)0-0- (15)

Из формул (14) и (15) в частном случае ф = — , т] = О следует

результат работ [3,4].

С точностью до членов, линейных по р, имеем

#о К — кх 81П7]

ш0 = = 2,472-1020 герц, //0 - — =7,707- 10,е о*.

{X

Таким образом, для полей Н ~ 104 частота £2~Ю8 что

может даже превышать частоту обращения электронов в ускорителях. Следовательно, несмотря на малую величину аномального магнитного момента электрона, его влияние на поведение спина при движении электрона в скрещенных полях может быть весьма существенно.

ЛИТЕРАТУРА

1. И. М. Тернов, В. Г. Багров, В. А. Бордовицын. Известия вузов «Физика», 4, 41, 1967.

2. W. Pauli. Rev. of Mod. Phys. 13, 203, 1941.

3. И. M. Тернов, В. С. Туманов. Известия вузов, «Физика», 1, 155 1960

4. И. М. Тернрв, В. Г. Багров, Р. А. Рзаер, Ю. И. Клименко. Известия вузов, «Физика», 6, 111, 1964.