CC BY
8
УДК 593.1
В.К. МАНЖОСОВ, Н.Б. МАРТЫНОВА
ДВИЖЕНИЕ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ НА ТОРЦЕ
Описай волновой характер движения однородного стержня (перемещение, скорость и деформация в характерных сечениях). Рассмотрена задача о движении центра масс
стержня. При £ > 50-2//а относительная разница скоростей сечений стержня незначительна и движенгие стержня молено рассматривать как движение тела с равной скоростью всех сечений.
Задача продольного соударения стержней часто возникает при решении тех или иных вопросов проектирования ударных машин и технологий. При ударе в ударном сечении возбуждаются значительные по величине ударные силы. Их определение связано с изучением волновых процессов в соударяе-мых телах и этой проблеме посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей [1-5].
\ и -
Следует, однако, отметить, что практически во всех известных исследованиях постановка задачи сводится к тому, что в момент удара скорость сечений стержня, наносящего удар, одинакова и деформации в этих сечениях отсутствуют. Можно признать справедливость такой постановки задачи, но до определенного предела и этот предел до настоящего времени строго не обозначен.
Существо проблемы заключается в том, что существует предыстория движения стержня, наносящего удар. Стержень от состояния покоя в некоторый момент времени при приложении внешней силы начинает движение. Это движение имеет волновой характер.
Рассмотрим движение однородного стержня под действием мгновенно приложенного к нему давления р0 на торце (рис.1). Длина стержня равна /,
площадь поперечного сечения равна А.
Ро
_ X
I
Рис.1. Расчетная схема стержня Движение стержня описывается волновым уравнением
0<*</ (1)
дх2 а2 дГ
при соответствующих начальных
' Эи(дг,0) =
дх Ы
и граничных условиях
^ = Р = РоЛ, (3)
ОХ ох
где и{х,{) - перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х; а - скорость распространения звука в материале стержня; / - время; Е - модуль упругости 1-го рода материала стержня; А - площадь поперечного сечения стержня; Р - сила.
При мгновенном приложении силы р0 в момент времени t = 0 возмущение в виде волны деформации будет распространяться со скоростью звука к сечению х = I. Достигнув этого сечения, волна отражается и отраженная волна распространяется к левому торцу стержня. Здесь вновь происходит преобразование волны и это волновое состояние распространяется к сечению х = /. Далее процесс повторяется и движение стержня определяется по сути движением волн, движущихся от левого торца стержня к правому и обратно.
Решение уравнения (1) по методу Даламбера представляется в виде сум-
£
мы двух неизвестных функций
и(х,т) = - х)+ ф(а/ + х)9 >' (4)
где /(я/-*) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся по направлению оси х (назовем её прямой волной); ф(я * + х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся в обратном направлении (назовём её обратной волной).
Величина относительной продольной деформации в произвольном сечении стержня равна
= тг [/(*' - *)+ФЙ+*)]=- / V - *)+Ф1и+*)• (5)
ох ох
Скорости сечений могут быть определены как
= — [/(м - х)+ ф [а1 + х)]=а/'(сИ - х)+а<р'(м + х). (6)
д1 5/
Начальные значения функций определяются из начальных условий (2):
—^=о, - /'К - *)+ ф'К+*)=0.
ОХ
= 0, а/'Ц, - *)+ «р'Ц, + х)= 0, (7)
• А
откуда следует, что /'(я/10 - х)= 0, ф'(а*0 + х)= 0. (8)
Прямая волна формируется в сечении х = 0 и равна /'(я/ - 0). Параметры этой волны определяются из граничного условия (3)
ЕА[-/'(*- 0)+ф'(вг + 0)]+р=о,
ох
р
откуда /'(аг - 0) = <р'(яг + 0) ■+ —. (9)
ЕА
Обратная волна формируется в сечении х = I стержня и определяется из граничного условия (3)
^ = 0, -f'(at-l)+q>'(at + l)= 0, ф'(л + /) = /'(аГ-/). (W)
(✓ Я
Но функция
f'{at-l)=f'[a(t-l/a)-О], (П)
т.е. прямая волна в сечении л; = / будет такой же, как и в сечении х = 0, но с запаздыванием на величину А! = 1/а.
Функция
ф'(at + 0)= <р'[я(/ - //я) 4- /], (12)
т.е. обратная волна в сечении х = 0 будет такой же, как и в сечении х = /, но с запаздыванием на величину Д / = //а.
Учитывая (11), (10) и (12), можем записать, что
у* (at + О) = /'[a(f — 2//а)—О], - (13)
т.е. функция, описывающая обратную волну в сечении х = 0, соответствует функции, описывающей формируемую ранее при (t-21/a) в сечении х = 0
прямую волну. С учетом (13) равенство (9) примет вид
f'(at-0) = f'[a{t-2l/a)-0}+-^- (14)
ЕА
На первом интервале 0</<2//д из начальных условий (8) следует, что f'[a(t - 21/а)-0] = 0. Тогда из (14) и (13)
f'(at - О) = , 0 <t <21/а, (15)
ЕА
ф'(аГ + 0)=0, 0 <t <21/а. (16)
р
Обозначим в0 = —. Для произвольного сечения х (0 < х < /)
ЕгА
, , [0, 0 <t<x/a, f [at-х) = { , ч П7)
J V ] |е0, x/a<t<{2l + x)/a. к }
Для сечения х-1
,, ч ГО, 0 <t<l/a,
/V-0= j, ' (18)
[s0, l/a <t <31/a.
Из равенства (10) следует:
t( Л Jo, 0 Zt<l/a, v [e0, l/a<t<3l/a.
Для произвольного сечения x (0 <x<l)
, f0, 0<t<(2l-x)/a,
le0, (2l-x)/a<t<(4l-x)/a.
(19)
(20)
При x = 0 имеем
,, лч Го, 0<t < 21/а,
q>V + 0)=1 , ' (21)
На втором интервале движения (21/а < t < 4//а), учитывая (21) в (9), получим
f'(at - 0) = 2е0, 21 [а < t < Al ¡a . (22)
Для произвольного сечения х (О < х < /)
М ; К, (2l + x)/a<t<(4l + x)/a. (23)
Для сечения х = 1
f (at -/) = ■! ' ' (24)
V 7 |2s0, 3l/a<t< 51 ja. ^ ;
Обратная волна ф'(а/ + /), формируемая в сечении х - /, из условия (10)
Ф \at+l)={ ■ (25)
К 1 [2с0> 3l/a<t<5l/a. К }
Для произвольного сечения х (О < х < I)
,, ч Ге0> (2l-x)la<t<(4l-x)la, ф'(я/ + *)Ч / ч, \ ч (26)
' [2б0, (4l-x)ja<t<(ei-x)la. V ;
гг л ,/ Ач fe0, 2l/a<t<4l/a,
При л- = 0 имеем ©W-0) = « (27)
' |2е0, 4l/a<t<6l/a. У ]
Если за интервал времени взять величину Г = 21 ¡а, то на z -м интервале движения (z-1)21/а < t < i2l/a, i = 1,2,3,...
f'(at - 0) = /s g, (z - 1)2//я < ? < ill/а. (28)
Для произвольного сечения х (О < х < /)
fiat _ х) = №- ^о > (О* - 2)2/ + X Va < t < ((/ -1)2/ + х)/а,
К> ((/-1)2/ + x)¡a <t<(i2l + x)/a. K }
Для сечения x = /
fU - D=í(z' " ' ((/ ~ 2)2/ + - ' < ® - ^ + 7)/a*
71 ' K, ((z -1)2/ + l)/a<t< (i2l + í)ja. (30)
Обратная волна í\>'(at + /), формируемая в сечении x = / , из условия (10)
Ф V+/)«f "1>о ■ 5' - f+/)/а * '< № -1)2/+o i )
Для произвольного сечения х (О < х < /)
ФV+Х)4* ~1>о ' 9 ~1)2! ~-' < (/2/ - х)/а> (32)
' К, (/2/ -x)/a<t< ((i 4-1)2/ - x)/ a. ^ j
При х = 0 имеем
[ze0, i2l/a<t<{i + \)2l/a.
В качестве характерных сечений стержня выделим сечения х = О, х = /. Скорость сечения х из (6)
^^ = я/V - х)+ «p'(af + х).
Для сечения х = 0, учитывая (28) и (33) ,
8u(0¿) =a[f<(at _ о)+ + о)] = (2 i - 1)дб0, (/ -1)2¡ ¡a < t < ill ¡a. dt
Для сечения х = / , учитывая (30) и (31),
21 - l)as0, ((/ - 2)2/ + l)/a < t < ((/ -1)2/ + l)jа, а/ " ]2иге0, ((/ -1)2/ + í)¡ a < i < (ill + /)/а.
Рассмотрим движение центра масс стержня. Из теоремы о движении центра масс следует, что
IV
Vc=Ko+T- p0Adl9
М ¡
где Vc0 = 0 - скорость центра масс стержня в начальный момент времени; М - масса стержня.
Учитывая, что М=рА1, р = Е/а2- плотность материала стержня; р0 и А -const, получим
,2
а"Po 4 2а*о
ЕА1 21 ¡а
В конце каждого периода движения при / = illja (i = 1,2,3,...) Vc = 2iasQ.
На рис. 2 показаны диаграммы, иллюстрирующие скорости характерных сечений стержня: сечения х = 0 (диаграмма 1), сечения х = / (диаграмма 2) и центра масс стержня (диаграмма 3). Точки оси абсцисс изображают относительной время 7 = t/(2l/a), точки оси ординат изображают относительную
скорость
Скорости сечений стержня изменяются ступенчато, сохраняя постоянные значения в пределах каждого интервала движения. В конце каждого интервала движения скорость сечения х = / совпадает со скоростью центра масс стержня. Чем больше число интервалов движения i, тем меньше относительная разница скоростей сечений х = 0 и х = / стержня, т.е. скорости сечений выравниваются. Максимальная относительная разница скоростей сечений х = 0 и х = / составляет величину
AV =—-—> i = 1,2,3,... 2z — 1
V 16
14
12
10
8
в
[7
[71
[7
Г
2
[7
7
V
17
7
7
[7
£
О
17
[7
7
t
2
5
в
8
Рис. 2. Диаграммы скорости поперечных сечений стержня (1 - для х=0 ,
2 - для х = /, 3 - для цен тра масс стержня)
При />50 (соответственно, при г>50-2//а) др составляет величину
около одного процента и этой величиной можно пренебречь, считая, что скорость сечений стержня практически одинакова. На начальных интервалах движения предположение о равенстве скоростей поперечных сечений стержня является некорректным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчет ударных систем. Ш Наука, 1969. 199 с.
2. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьяндев В.Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. М.: Наука, 1985. 358 с.
3. Бидерман В.Л. Расчеты на ударную нагрузку // Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1959. Т.З. С. 479-580.
4. Гольдсмит В. Удар. М.: Стройиздат, 1965. 448 с.
5. Кильчевский H.A. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наук. думка, 1976. 320 с.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических паук, профессору заведующий кафедрой « Теоретическая и прикладная механика » Ульяновского государственного технического университета, окончил механический факультет Фрунзенского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
Мартынова Наталья Борисовна, студентка машиностроительного факультета Ульяновского государственного технического университета.
