Формирование волн в упруго сжатом стержне при взаимодействии с жёстким телом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.39; 531.64

С. Ю. ВОЛЫНЩИКОВ, В. К. МАНЖОСОВ

ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛН В УПРУГО СЖАТОМ СТЕРЖНЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ЖЁСТКИМ ТЕЛОМ

Представлена волновая модель процесса движения упруго сжатого стержня и жёсткого тела, взаимодействующего со стержнем, с учётом неудерживающей связи. Для анализа процесса движения используется метод бегущих волн. Приведены аналитические зависимости для расчёта параметров прямых и обратных волн на различных интервалах движения. Определены интервалы движения и время, когда возможен разрыв связи.

Ключевые слова: волновые процессы, время разрыва связи, жёсткое тело, метод бегущих волн, неудерживающая связь, продольная волна деформации, разрыв связи, скорость поперечных сечений, стержень.

Динамика процесса взаимодействия стержня как механической системы с распределёнными параметрами и жёсткого тела рассматривается в работах, связанных с задачами продольного удара [1-4], свободными и вынужденными колебаниями стержней [5]. В известных работах не рассматриваются модели, учитывающие неудерживающую связь между стержнем и жёстким телом. Такая модель необходима при постановке исследования движения жёсткого тела за счёт потенциальной энергии упруго сжатого стержня, определении момента разрыва связи и состояния системы в момент разрыва.

В данной работе рассмотрена волновая модель движения стержня и жёсткого тела с учётом не-удерживающей связи между ними.

Однородный стержень 1 длиной I одним концом неподвижно закреплён, а другим взаимодействует с жёстким телом 2 массой Ш2 (рис. 1).

' _1

О ль I

4-

-1 I Х

Л14-

Рис. 1. Схема взаимодействия упруго сжатого стержня с жёстким телом

В начальный момент времени стержень упруго сжат, его сечения неподвижны. Если исчезнет усилие р0, удерживающее стержень в сжатом состоянии, то стержень начнет перемещать тело 2. Движение поперечных сечений стержня опишем волновым уравнением

8 2и ( х, t) 1 8 2и (х, t)

при соответствующих начальных и граничных условиях:

( 0) Ро 8и (х, 0) 0 и( х, 0) = --77 • х, —-— = ^ (2)

ЕА 8t

8и (0, t) 0 т 8 2и (I, t) 8и (I, t)

~8Т = 0 т2 -¿г-=~ЕА •—, (3)

88иМ. = 0, если 8иМ > 0, (4)

8х 8х

где и (х, t) - перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х; t - время; а - скорость распространения волны; р0 - усилие сжатия стержня; Е = а2р -

© Волынщиков С. Ю., Манжосов В. К., 2013

модуль упругости материала стержня; р - плотность материала; А - площадь поперечного сечения стержня.

Решение уравнения (1) по методу бегущих волн представляется в виде суммы двух неизвестных функций

и(х, ^ = /(М - х) + ф(М + х), (5)

где /(М - х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся по направлению оси х (назовём её прямой волной); <р(М + х) - функция, описывающая параметры волны, распространяющейся в обратном направлении (назовём её обратной волной).

Формирование прямых и обратных волн при взаимодействии однородного стержня с жёстким телом поясним схемой, приведённой на рис. 2. В начальный момент при t = 0 стержень охвачен начальными прямой /0(М0 - х) и обратной р0(М0 + х) волнами. В этот момент в сечении х = / начинает формироваться новая обратная волна р(М +/), которая при t = (/ - х)/а достигнет сечения х.

£ = 311 а- х! а О

1=211а О

1 = (1 + х)!а

1 = 1 ¡а

1 = (1-х) ¡а

1

1

X а1 + X)

X

^_ д\(а£ + х)

- -1

Я 0ц> + *) г /„(а^-х) —^ (а1 + х)

1 = 0

Ь (<Ц> + х)

I 1 УоК,-*)"

' 2 X

<

* I

Рис. 2. Схема формирования волн при взаимодействии стержня с жёстким телом

При t = / / а все поперечные сечения стержня будут охвачены новой обратной волной р (а( + х), а в сечении х = 0 начнёт формироваться новая прямая волна /1 (а( - 0).

При t = (/ + х) / а новая прямая волна /1 (а( - х) достигнет сечения х, а при t = 21 / а все поперечные сечения стержня будут охвачены новой обратной волной р(а1 + х) и новой прямой волной А(а( - х) .

При t = 21 / а в сечении х = / начинает формироваться новая обратная волна р2 (а( +/), которая в момент времени t = 21 / а + (/ - х) / а достигнет сечения х. Далее цикл формирования и распространения волн повторяется.

Если за время одного цикла принять 21 / а, то можно построить следующие рекуррентные зависимости, определяющие волновые состояния поперечных сечений стержня:

t - 0 = (1 -1)2/ / а, I = 1, 2, ..., и(х, 0 = /¡_1(аГ - х) + р-л(аг + х), 0 < х < /; t = (1 -1)2/ / а, I = 1, 2, ..., и(/,г) = - /) + р^ + /), х = /;

(1 -1)2/ (1 -1)2/ „ ч,

--— < t <--— + (/ - х)/а, I = 1, 2, ...,

u(x, t) = fi_1 (at - x) + p_1 (at + x), 0 < x < l - a(t - (i -1)2l / a),

u (x, t) = fi-1 (at - x) + pi(at + x), l - a(t - (i -1)2/ / a) < x < l ;

t - 0 = (i -1)2/ / a +1 / a , i = 1, 2, ..., u(x, t) = fi_1(at - x) + p(at + x), 0 < x < l ;

t = (i - 1)2l / a +1 / a, i = 1, 2, ..., u (0, t) = f (at - 0) + p(at + 0) = 0, x = 0;

(i -1)27,, (i - 1)2l l + x .

--— +1 /a < t <--— +-, l = 1, 2, ...,

a a a

u(x, t) = f{(at - x) + pt(at + x), 0 < x < a(t - (i - 1)2l / a -1 / a),

u(x, t) = fi1 (at - x) + p(at + x), a(t - (i - 1)2l / a -1 / a) < x < l ;

t - 0 = i ■ 2l / a , i = 1, 2, ..., u ( x, t ) = f(at - x) + p(at + x), 0 < x < l.

, . du(x, t) . . . du (x, t) Скорость v(x, t) =- и продольная деформация s(x, t) =- определяются из зависимо-

dt dx

стей

v(x, t) = af ' (at - x) + ap (at + x),

s (x, t) = -f ' (at - x) + p (at + i, (6)

Из уравнений (6) и начальных условий (2) при t = t0 = 0 следует:

P

f0(at0 - x) + p0(at0 + x) = --0- ■ x,

EA

a ■ fô(at0 - x) + a p' (at0 + x) = 0, (7)

где f0(at0 - x), p0(at0 + x) - значения функций, описывающих волны при t = t0. Дифференцируя по х первое равенство (7) и учитывая второе, получим

1 P 1 P

p0 (at0 + x) = - - EA", /0'К - x) = 2 EA • (8)

Дальнейшие значения прямых и обратных волн определяются из условий преобразования этих волн на границах стержневой системы.

При движении рассматриваемой механической системы в сечении x = 0 формируется прямая волна. Из граничного условия (3) следует, что на i-м интервале движения (за интервал принимаем время 2l / a ) для сечения x = 0

dud0t) = 0, f'(at - 0) = -p'(at + 0), d t

(2i - 1)l /a < t < (2i + 1)l /a , i = 1,2,3,.... (9)

В сечении x = l формируется обратная волна. На i-м интервале движения

u (l, t ) = f,-1 (at -1 ) + p (at +1 ), (i -1)2 / a < t < i ■ 2l / a , i = 1,2,3,.... (10)

Из граничного условия (3) с учётом (10) находим

■dvil^=- ea .dulA

d t d x

^ = M [f>t-1)-'(at +1)]:

d t m2

откуда на интервалах (i - 1)2l / a < t < i ■ 2l / a , i = 1,2,3,...

'■EA

EA

v(l,t) = v(l,t0j) + f—[f-1 (at-1)-P(at + l)]dt, (11)

ГУ)

0. m2

где у(!, t0i) - скорость сечения х = I в начале 7-го интервала движения; = (/ -1)/ / а - начальное время 7-го интервала движения.

Учитывая, что у(/, t) = а [/7^^ - /) + + /)], находим из (11)

'•EA

a

........ / m2

'Ol ^

EA

P (at +1) = v(l, 'oi ) + I-[f - (a' -1) - p (at +1)]dt - a • f - (at -1).

Дифференцируя по t обе части равенства, получим

EA

p" (at +l ) + ap ( at +1 ) = af'_1( at -1 )- - f - (at -l), a =-- . (12)

m2a

Если учесть свойства функций прямой и обратной волн, а также (9), то

f-1 (at -l) = f-1 [a(t -1 / a) - 0] = -p\_l[a(t -1 / a) + 0], P- [a(t -1 / a) + 0]= p- [a(t - 2l / a) +1].

Тогда из (12) следует, что на интервале (i - 1)2l / a < t < i • 2l / a ( i = 1,2,3,...)

P (at +1 )+ap (at,. +1) = -ap^[a(t - 2l / a) +1 ]+ p-1[a(t - 2l / a) +1 ]. (13)

На первом (i=1) интервале движения 0 < t < 2l / a величина (t - 2l / a ) - время, предшествующее началу движения. Примем его равным t0 = 0. С учётом начальных значений (8) имеем из (13) при

0 < t < 2l / a

s p

pp(at +1) + a• p'(at +1) =a--^, s0 = —(14)

2 EA

где s0 - модуль относительной продольной деформации стержня при t0 = 0. Решение (14) представим в виде

P f) = ^•¡Oso •e°d^ + C1 •e-* = = -2 S0 + C1 •e* , f = at +1. (15)

Постоянную интегрирования С находим из условия, что в начальный момент времени ( t0 = 0, f = l ) скорость сечения x = l равна нулю:

v(l, t0)

a

= f'(at0 -1) + #(f) = 0.

Учитывая, что -/) = -2ео, а из (15) р (£о) = -2ео + С1 • е а/, получим

£о + С1 • е-"1 = 0, С1 =-ео • еа/, Р(£) = -2^о-*о • е-а(£-/), 1 <£< 3/. На втором (I = 2) интервале движения 2/ / а < t < 4/ / а , 3/ < £ < 5/

Р^ - 2/ / а) + /] = р (£-2/) = 1 Со^ • е-а(£-3/), 3/ <£< 5/,

Рч [a(t - 2/ / а) + /] = р'(£ - 2/) = аео • е-а(£-3/). Уравнение (13) для второго интервала (т = 2, 2//а < t < 4//а ) примет вид

Р (£) + ар (£) = - а(ео/2 - еое-а(£-3/)) + аео • е-а(£-3/), 3/ <£< 5/.

Решение данного уравнения для интервала 2/ / а < t < 4/ / а , 3/ < £ < 5/

_с

р(£) = р (at + /) = + 2ае0£е_а(£_3/) + С2е. (16)

Постоянную интегрирования с2 находим из условия, что в момент времени (t = 2/ / а, £ = 3/) скорость сечения х = / в начале второго интервала движения равна скорости сечения х = / в конце первого интервала движения. Тогда

с2 = [ео(1 - е-а2/) - 6а/ео] • еа3/. В результате из (16) для интервала

2/ / а < t < 4/ / а , 3/ <£< 5/

_р

&(£) = & а +') = = —± + Р0[2а% +1_ е_а21 _ 6а']е_а(^_3').

Необходимо проверить возможность разрыва связи на интервалах 7 = 1 и 7 = 2 . В сечении х =' на интервале 0 < X < 2'/а

_') = р0 / 2, & а +') = р0 /2_ р0 • е_аа,

на интервале 2' / а < X < 4' / а

£'(аг _') = _Ро / 2 +Ро • е_а(а_2'\ & (аХ +') = _Р0 /2 +Р0[2а(аХ +') +1_ е_а2' _ 6а']е_а(а'_2'\

Продольная деформация в сечении х =' на рассмотренных интервалах движения при взаимодействии стержня и жёсткого тела определится как

0 < X < 2' / а, р(',X) = _/¿(аХ _') + &(аХ +') = _р0 • е_аа, 2' / а < X < 4' / а ,

р(', X) = _/1(а1 _ ')+&2(а1 +') = р0[2а(а1 +') _ е_а2' _ 6а']е-а(а*-2').

На первом интервале движения продольная деформация в сечении х =' является отрицательной ( р(',X) = _Р0 • е_аа'), т. е. представляет деформацию сжатия. Следовательно, на интервале 0 < X < 2' / а разрыва связи между стержнем и жёстким телом не происходит. На втором интервале знак для р(', X) определяется знаком сомножителя

[2а(аГ +') _ е_а2' _ 6а'] = 2а1(аГ /' +1) _ е_а2' _ 6а' . Если 2а1(а1 /' +1) _ е~а2' _ 6а 1> 0, то р(',X) > 0, а это означает, что возникает разрыв связи. Разрыв связи учитывается условием (4).

Для определения времени разрыва связи необходимо от неравенства

2а1(аГ /' +1) _ е_а2' _ 6а 1> 0

перейти к неравенствам

а /' +1) > е_а21 /2а' + 3 , X > (е_а2'/2а1 + 2) •' / а . Момент разрыва связи и определим как

X* = (е_а2'/2а' + 2) •' / а . Учитываем, что Е = а2р (р - плотность материала стержня). Тогда

, рА' щ _ .е_2т ' а1 = -— = —= т, X* = (-+ 2)-, (17)

т2 т2 2Щ а

где Щ - отношение массы стержня щ к массе жесткого тела т2.

Если в (17) слагаемое е_2т /2т меньше единицы, то разрыв связи происходит на втором интервале движения в диапазоне 2' / а < X* < 3' / а. В частности, если масса жёсткого тела т2 ^ 0 , то отношение масс т ^<х>, слагаемое е~2т /2т ^ 0, а время разрыва связи стремится X* ^ 2' / а (к началу второго интервала движения).

Соотношение масс т , при котором разрыв связи происходит при X = 3' / а, определим как

е_2т /2т = 1, 2т • е2т = 1, т « 0,28375. Если для слагаемого е_2т /2т имеет место неравенство 1 < е_2гп / 2т < 2 , то разрыв связи происходит на втором интервале движения в диапазоне 3' / а < X* < 4' / а . Соотношение масс т , при котором слагаемое е"2т / 2т = 2 и разрыв связи произойдёт в конце второго интервала, определим как

е_2т/2т = 2, 4т • е2т = 1, т « 0,175867.

При соотношении масс т < 0,17586 разрыв связи произойдёт на третьем и последующих интервалах движения. В частности, если масса жёсткого тела т2 ^<х>, то отношение масс т ^ 0, слагаемое е-2т /2т ^<х> и время разрыва связи стремится л* ^<х>.

На рис. 3 представлены значения параметров прямой волны /['(а - х) при соотношении масс т = 0,5 в различные моменты времени 1 = л/(I /а) вплоть до разрыва связи (л = л* « 2,37). Безразмерная величина /'(ал - х) = /1(ал - х) / е0.

о < I < 1

/

1,4 2

= 2,2

1 = и

X

о.2/ 0,4.; о.б.; о.8.г .;

Положение поперечного сечения

Рис. 3. Значения параметров прямой волны /1(ал - х) в поперечных сечениях стержня в различные моменты времени 1 = л / (I / а) при соотношении масс т = т1/ т2 = 0,5

Формирование волны /(ал - х) начинается при л = 1, где л = л /(I / а). При 1 < л < л* значение /(ал - х) равно

/(ал - х) = -1/2 + е-т [1-(1+хП)], 1 < 1 < 1*. На рис. 4 представлены значения параметров обратной волны $ (ал +1) при соотношении масс т = 0,5 в различные моменты времени I = л / (I / а).

Формирование волны $ (ал + х) начинается при I = 0. Безразмерная величина $ (ал + х) = $ (ал + х) / е0. При 0 < I < 2 значение $ (ал + х) равно

$ (ал + х) = 1/2 - е-щ[1 -(1-х)], 0 < л < 2 .

Положение поперечного сечення

Рис. 4. Значения параметров обратной волны $ (ал + х) в поперечных сечениях стержня в различные моменты времени л = л / (I / а) при соотношении масс т = щ / т2 = 0,5

Когда к сечению х = I при л = 2 подойдёт прямая волна /(ал -1), в этом сечении начнёт формироваться новая обратная волна

$2 (ал +1) = $2 (ал +1) / е0 = = - 1/2 + [2т(? +1) +1 - е-2т - 6т] е-т(1-2). Для произвольного сечения х параметры обратной волны определяются как

+

2 < t < t*, ф'2 (at + x) = -1/2 + [2m(? +1-(1-x /1)) +1-e-2m - 6m]

em (î-2-(1-x/i ))

На диаграммах q>{ (at + x) при 2 < t < t* наблюдаем заметное повышение интенсивности изменения q>2 (at + x). При t = t* значение ^>2 (at* +1) начинает превышать значение f(at* -1), что приводит к разрыву связи.

ВЫВОДЫ

Разработана волновая модель процесса движения упруго сжатого стержня и жёсткого тела, взаимодействующего со стержнем, с учётом неудерживающей связи между ними.

Определены параметры формируемых в сечении контакта с жёстким телом ( x = l ) обратной волны q}{ (at +1) и в сечении крепления стержня ( x = 0 ) прямой волны f - (at - 0).

На первом интервале движения продольная деформация в сечении x = l является деформацией сжатия, а, следовательно, на интервале 0 < t < 2l / a разрыва связи между стержнем и жёстким телом не происходит.

При соотношении масс 0,17586 < m <<х> разрыв связи произойдёт на интервале 2l / a < t < 4i / a . Время разрыва связи t* зависит от соотношения масс m = m1 / m2 и определяется как

t* = (e-2m/2m + 2) • l /a .

Если слагаемое e-2m /2m меньше единицы, то разрыв связи возникнет на втором интервале движения в диапазоне 2l / a < t* < 3i / a . Если слагаемое e-2m /2m больше единицы, то разрыв связи произойдёт на втором интервале движения в диапазоне 3l / a < t* < 4l / a .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985. - 354 с.

2. Кильчевский, Н. А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар / Н. А. Кильчевский. -Киев : Наукова думка, 1976. - 320 с.

3. Манжосов, В. К. Продольный удар / В. К. Манжосов. - Ульяновск : УлГТУ, 2007. - 358 с. Hu, B., Schiehlen W. and Eberhard P. Comparisn of Analytical and Experimental Results for Longitudinal Impacts on Elastic Rods // Journal of Vibration and Control, 2003, 9, pp. 157 - 174.

4. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. - М. : Наука, 1967. - 444 с.

Волынщиков Сергей Юрьевич, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет статьи в области динамики ударных механизмов.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара, преобразования продольных волн.