Модель движения закреплённого стержня с диском при кручении и разрыве связи Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Кашкиров Сергей Анатольевич, заместитель начальника конструкторского отдела ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail: ksa.sosny@gmail.com.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, анализа и синтеза механизмов переменной структуры, моделирования процессов удара. E-mail: v.manjosov@ulstu.ru.

Поступила 15.04.2019 г.

УДК 531.1; 531.8

В. К. МАНЖОСОВ, А. А. САМСОНОВ

МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЗАКРЕПЛЁННОГО СТЕРЖНЯ С ДИСКОМ ПРИ КРУЧЕНИИ И РАЗРЫВЕ СВЯЗИ

Рассмотрена волновая модель движения механической системы в виде диска и однородного стержня, закреплённого в жёсткое основание. До начала движения реакция внешней связи закручивает диск и стержень. При разрыве внешней связи начинается движение поперечных сечений стержня. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн. Угловая скорость, угловое ускорение и относительный угол закручивания поперечных сечений стержня определяются с использованием функций прямых и обратных волн.

Ключевые слова: стержень, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, деформация в поперечных сечениях стержня.

Динамика продольного взаимодействия жёсткого твёрдого тела со стержнем с использованием волновой модели движения рассматривается в работах [1-4]. Однако исследования вращательного движения твёрдого тела и стержня с применением волновой модели не столь распространены [5-7]. В данной работе рассмотрена волновая модель движения механической системы (рис. 1) в виде диска и однородного стержня, закреплённого в жёстком основании.

,1

/ 2 •

1\

0

Рис. 1. Схема механической системы

Твёрдый недеформируемый диск 1 с осевым моментом инерции Зх закреплён в сечении х = 0 стержня 2.До начала движения на диск действует реакция внешней связи в виде момента М0. Под действием моментаМ0 стержень 2 закручен. При г = 0 происходит разрыв внешней связи диска, реакция внешней связи в виде момента М0 исчезает и начинается движение механической системы. Движение поперечных сечений стержня описывается волновым уравнением вида

8 2<х, г) 1 8 2<( х, г)

• = 0, 0 < х < l,

(1)

8х2 а2 8Г

где <( х, г) - угол поворота поперечного стержня, положение которого определяется координатой х; г - время; а - скорость распространения волны деформации в материале стержня.

© Манжосов В. К., Самсонов А. А., 2019

Начальные условия: при t = 0

= 0,Мх0) = М*-, 0 < X < I. (2)

дt дх ОЗр

Здесь р(0,0)- угол поворота сечения х = 0 при t = 0; др(х,0)/ дt - угловая скорость поперечных сечений стержня при t = 0; др( х,0)/ д х - относительный угол закручивания поперечных сечений стержня при t = 0.

Граничные условия:

д2р(0,t) = )

д t2 р д х

™ П Т ^ ^ т /ОЧ при х = 0 Зх—Г"2— = ОЗр—;-, (3)

при х = I = (4)

где О - модуль упругости 2-го рода материала стержня; Зр- полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

Решение волнового уравнения (1) по методу бегущих волн представляется как

р(х,") = /(м - х) + %(а + х), 0 < х < I, (5)

где / (м - х) - функция, описывающая параметры прямой волны, распространяющейся в стержне в направлении оси х; + х) - функция, описывающая параметры обратной волны, распространяющейся в стержне в противоположном направлении.

Из решения (5) волнового уравнения следует, что угловая скорость др(х, t) / дt, угловое ускорение д2р(х, t)/ дt2 и относительный угол закручивания др(х, t) / дх поперечных сечений стержня определяются как

= а/'( - х) + + х), ^ррх1^ = а2Г(а1 -х) + а2х"( + х), (6)

= -/' ( - х) + %'( + х). (7)

С учётом этого начальные условия (2) примут вид:

г(0 - х) + /(0 + х) = 0, -Г(0 - х) + /(0 + х) = 0 < х < I, (8)

0зр

откуда следует, что

/'(0 - х) = -%'(0 + х) , /(0 + х) = М-, /'(0 - х) = -М-* х < I. (9)

Граничные условия (3) - (4) примут вид:

при х = 0 Зха2 [/''( - 0) + х"( а" + 0)] = ОЗр \_-f\at - 0) + /(а" + 0)], (10)

при х = I /'(а" - 1) + %'(а" +1) = 0. (11)

Формируемая в сечении х = 0 прямая волна, описываемая функцией / (а" - 0) , для произвольного сечения х преобразуется как

/ (а" - 0 + х - х ) = /

х - 0 ,

а | " +--| - х

а

(12)

т. е. имеет тот же вид, что и для сечения х = 0, но только с запаздыванием по времени на величину (х - 0) / а, равную времени распространения прямой волны от ударного сечения до сечения х.

Падающая на границу х = I прямая волна / (а" -1) в соответствии с граничным условием (11) в сечении х = I формирует обратную волну, описываемую функцией

Х(а" +1) = -/ (а"-I). (13)

Для произвольного сечения х обратная волна %(а"+1) преобразуется как

/(аХ +1 + х - х ) = /

а | Х + -—х | + х а

(14)

и будет иметь тот же вид, что и в сечении х = /, но запаздыванием по времени на величину (/ — х) / а , равную времени распространения обратной волны от сечения х = - до сечения х.

С учётом равенства (13) обратная волна в сечении х = 0 соответствует параметрам прямой волны, сформированной в сечении х = 0 ранее по времени на 2-/а:

/( аХ + 0 ) = — / [(аХ — 21) — 0], /(аХ + 0 ) = —/'[(аХ — 21) — 0], /(аХ + 0 ) = —/'[(аХ — 21) —0]. (15) Из граничного условия(10):

Jxa2 [/'' (аХ — 0) + Х" (аХ + 0)] = ОЗр [—/' (аХ — 0) + / (аХ + 0)], (16)

функция, определяющая параметры формируемой в ударном сечении прямой волны, определяется из решения дифференциального уравнения:

Г(аХ — 0) + °/(аХ — 0)= 0/(аХ + 0) — /(аХ + 0). (17)

J ха J х.а

Уравнения, определяющие параметры формируемой в ударном сечении прямой волны, с учётом (15) примут вид:

/ '' (аХ ) + 0 / ' (аХ ) = — 0 / ' (аХ — 21) + / '' (аХ — 21), (18)

о ха J х~а

Учитывая, что О = а2р (где р - плотность материала стержня), полярный момент инерции поперечного сечения Ор = я!^ /32, имеем [5]:

1 !2

ООр_о 2Атпр~Г Аопр =а, (19)

Оха

где а = АОпр / - отношение момента инерции единицы длины стержня АОпр относительно продольной оси х к приведённому моменту инерции диска; Атпр = рАпр/ // - масса единицы длины стержня; рАпр/ - масса стержня длиной /; А^ = я!^ /4 - приведённая площадь поперечного сечения стержня; Спр - приведённый диаметр стержня.

Обозначим переменную аХ = % . Тогда уравнение (18) примет вид:

/"(%) +а/'(%) = —а/'(% — 2-) + /''(% — 21), (1 —1)2/ <%<1 • 21, 1 = 1, 2, 3,..., (20)

где 1 - номер интервала времени продолжительностью 2/.

Решение дифференциального уравнения (20) относительно первой производной /'(%) и функцию обратной волны /(%) из равенства (15) на 1-м интервале движения (1 —1)2/ < % < 1 • 2/ представим как /'(%) = С1е—а%+ в—а%1 еа%[ /''(% — 2/) — а/'(% — 2/)]!%, 1 = 1, 2, 3,., (21)

/(%) = —/'(% — 2/), 1 = 1, 2, 3,., (22)

где С1 - постоянная интегрирования на 1-м интервале движения. Покажем решение уравнения (21) на интервале 0 < Х < 2/ / а, 0 <%< 2/. На первом интервале движения, учитывая начальное волновое состояние (9), имеем

/''(% — 2/) = 0, /'(% — 2/) = — 2М-, /(%) = —/'(% — 2/) = -О-, 0 < % < 2/. (23)

200р 200р

Решение (21) примет вид:

/'(%) = Се—а% + е—а%!еааМр!%, /'(%) = Се—а% + е~"* 1 еа%С , 0 < % < 2/.

Вычисляя интеграл, получим

/'(%) = С1е—а% + а-М^~ е—а%а еа% = С1е—а% + , 0 <%< 2/. (24)

200р а 200р

При % = 0 имеем из (23)

/' (0) = С 1 М

200р

Учитывая (9): f '(0) =--—, находим, что

2GJp

С = -M 0

GJ„

Решение (24) с учётом (25) на интервале 0<i< 2l принимает вид:

f '(£) = -M°-e-ai+-M^ = M"(!-2e-ai), 0<i<2l.

GJP

Функция %'(£) из (23) уже определена:

2GJr 2GJ p

A(i) = M 0

2GJp

0 < i < 2l.

(25)

(26)

(27)

Угловая скорость сечения х = 0 из (6) определится, учитывая (26) и (27), как

ММ = / ()) + а/()) = а - + = " 0 < 21.

д" 2Оз р 2ОЗ ОЗ р

Относительный угол закручивания в сечении х = 0 из (7) определится, учитывая (26) и (27), как

(28)

М0, t )

M0

Mn Mn

ах =-/'(Д + /(Д = -^„-2^ ) + Gjp

0 <i< 2l.

(29)

Процедура определения функций /'()) и /()) на последующих интервалах движения сводится к следующему. Если известна функция /-1 ()) на предыдущем интервале, то дифференцируя её по ), находим /"1 ()) .

Переходим к следующему интервалу и определяем / "() - 21) и /]' () - 21). Подставляем найденные выражения /"() - 21) и /' () - 21) в уравнение (21):

/'()) = Се-а) + е-а)!еа) [ /'() - 21) - а/'() - 2Т)Щ, (/ -1)2/ <)<\- 21.

Функция /()) из (22) определяется как

/()) = -/'() - 2/), (/ -1)2/ <)<!■ 2/.

Значение Сi определяется из условия равенства угловых скоростей сечения х = 0 в конце предыдущего интервала и в начале следующего:

[а/-1 ()) + а/_1 ())]|).21 = [„/'()) + а/())]|^ .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. - Москва : Наука, 1985. - 354 с.

2. Кильчевский Н. А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар. - Киев : Наукова думка, 1976. - 320 с.

3. Zhukov I. A., Dvornikov L. T. New constructive solutions of anvil-blocks of percussion mining machines. North Charleston : Create 2015. -130 р.

4. Манжосов В. К. Продольный удар. - Ульяновск :УлГТУ, 2007. - 358 с.

5. Манжосов В. К. Модель вращательного удара по стержню // Вестник УлГТУ. - 2017. - № 2. -С.47-50.

6. Шевченко Ф. Л., Улитин Г. М. О разновидностях крутильных ударов, возникающих при работе буровых установок и способах их устранения // Совершенствование техники и технологии бурения скважин на твёрдые полезные ископаемые. - Екатеринбург : УГГА, 2001. - Вып. 24. - С. 132-138.

7. Улитин Г. М., Петтик Ю. В. Крутильный удар бурильной колонны при заклинивании режущего инструмента // Науковi пращ ДонНТУ. Серiя «Прничо-геолопчна». - 2008. - №7 (135). - С. 104107.

REFERENCES

1. Alimov O. D., Manzhosov V. K., Еpem'yanc V. E. Udar. Rasppostpanenie voln defopmacij v udapnyh sistemah [Impact. Propagation of deformation waves in shock systems]. Moskow : Nauka, 1985. 354 p.

2. Kil'chevskij N. A. Dinamicheskoe kontaktnoe szhatie tvyordyh tel. Udar [Dynamic contact compression of solids. Impact]. □ Kiev : Naukova dumka, 1976. □- 320 p.

3. Zhukov I. A., Dvornikov L. T. New constructive solutions of anvil-blocks of percussion mining machines. North Charleston : Create Space, 2015. 130 p.

4. Manzhosov V. K. Prodol'nyj udar [Longitudinal impact]. Ul'yanovsk :UlGTU, 2007. 358 p.

5. Manzhosov V. K. Model' vrashchatel'nogo udara po sterzhnyu [Model rotational hitting the web] // Vestnik UlGTU. 2017. №2, pp. 47-50.

6. SHevchenko F. L., Ulitin G. M. O raznovidnostyah krutil'nyh udarov, voznikayushchih pri rabote burovyh ustanovok i sposobah ih ustraneniya [The varieties of torsional shocks occurring during the operation of drilling installations and how to resolve them ] // Sovershenstvovanie tekhniki i tekhnologii bureniya skvazhin na tvyordye poleznye iskopaemye [Improvement of equipment and technology of drilling wells for solid minerals]. Ekaterinburg : UGGA, 2001. Vyp. 24, pp. 132-138.

7. Ulitin G. M., Pettik YU. V. Krutil'nyj udar buril'noj kolonny pri zaklinivanii rezhushchego instrumenta [Torsional blow of a drill string at jamming of the cutting tool] // Naukovi praci DonNTU. Seriya «Prnicho-geologichna» [Naukovi Pratsi DonNTU. A series of «Price geological»]. 2008. №7 (135), pp. 104-107.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования про-цессовудара [e-mail: v.manjosov@ulstu.ru].

Самсонов Александр Анатольевич, аспирант кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи и патенты в области создания механизмов различного технологического назначения [e-mail: tpm@ulstu.ru].

Поступила 18.04.2019 г.

УДК 539.3:533.6:517.9

А. В. ГЛАДУН, П. А. ВЕЛЬМИСОВ

О ПОСТРОЕНИИ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ ТРУБОПРОВОДА

Рассмотрена задача построения стабилизирующего управления в случае динамической неустойчивости трубопровода. Исходное дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее динамику трубопровода, с помощью метода Галёркина приводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой строится управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость нулевого решения. Приведены результаты численного моделирования динамики трубопровода под действием построенного управляющего воздействия.

Ключевые слова: упругий трубопровод, динамика, управляемость, стабилизация, уравнения с частными производными, метод Галёркина.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Ульяновской области в рамках научного проекта № 18-41-730015.

1. Введение

Составной частью многих конструкций, приборов, аппаратов, установок и т. д. являются трубопроводы, по которым протекает поток жидкости или газа. Воздействие потока может приводить к возникновению колебаний трубопровода, нарушающих надёжность эксплуатации конструкций и приводящих к разрушению конструкций или их элементов. В связи с этим при проектировании механических систем с трубопроводами необходимо использование математических моделей, позволяющих заранее определить значения параметров механической системы, гарантирующих

© Гладун А. В., Вельмисов П. А., 2019