Формирование волны деформации в стержне при вращательном ударе сосредоточенной массой Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 531.1; 531.8

В. К. МАНЖОСОВ, А. Д. СЕВЕРИНОВ

ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЕ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ УДАРЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ

Рассмотрена волновая модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, закрепленному в жёстком основании. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн. Угловая скорость, угловое ускорение и относительный угол закручивания поперечных сечений стержня определяются с использованием функций прямых и обратных волн.

Ключевые слова: удар, вращательный удар, стержень, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, деформация в поперечных сечениях стержня.

Вращательный удар твёрдого тела по стержню с применением волновой модели рассмотрен в работах [1, 2, 3]. Для анализа динамических процессов используется метод Фурье и решение волнового уравнения представляется в виде бесконечного ряда гармонических функций.

Ниже рассмотрена волновая модель вращательного удара твёрдого тела по стержню, предложенная в работе [4]. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн, позволяющий при решении волнового уравнения описать формируемые в стержне волны деформаций.

Твёрдое недеформируемое тело 1 (рис. 1) с осевым моментом инерции вращающееся со скоростью а>0, наносит крутильный удар в сечении х = 0 по защемлённому в сечении х = I однородному стержню 2. До нанесения удара стержень 2 находится в покое, деформации в стержне отсутствовали. Процесс удара продолжается до тех пор, пока в ударном сечении х = 0 относительный угол закручивания др(0,?)/дх не станет равным нулю.

/ 2 / t

1— 1 ?

Рис. 1. Схема ударной системы Движение поперечных сечений стержня при ударе описывается волновым уравнением вида

хр^ = 0, 0 < х < /, (1)

дх а д?

где р( х, ?) - угол поворота поперечного стержня, положение которого определяется координатой х; ? - время, а - скорость распространения волны деформации в материале стержня. Начальные условия: при ? = 0

р(х,0) = 0, др(х,0) =[°0, х = = 0, 0 < х<I. (2)

д ? [ 0, 0 < х < I, д х

Здесь др( х,0) / д ? - угловая скорость поперечных сечений стержня при ? = 0. Граничные условия: если для х = 0 значение др(0, ?) / дх Ф 0, то

л =а, ММ, ММр. р, о, (3)

д? дх д?

при х = I р( I, ? ) = 0, = (4)

© Манжосов В. К., Северинов А. Д., 2017

если др(0,{)/дх = 0, то а = а>, = со^, рм = рм + -, (5)

где О - модуль упругости 2-го рода материала стержня; Jp - полярный момент инерции поперечного сечения; рм - угол поворота твёрдого тела 1; со - скорость вращения твёрдого тела 1; - время, когда произойдёт отрыв твёрдого тела от ударного сечения; со, - скорость вращения твёрдого тела в момент отрыва.

Решение волнового уравнения (1) по методу бегущих волн представляется как

р(х,t) = /(М - х) + х(М + х), 0 < х < /, (6)

где / (м - х) - функция, описывающая параметры прямой волны, распространяющейся в стержне в направлении оси х; + х) - функция, описывающая параметры обратной волны, распространяющейся в стержне в противоположном направлении.

Из решения (6) волнового уравнения следует, что угловая скорость др(х,t) / дt, угловое ускорение д 2р(х, t)/ д t2 и относительный угол закручивания др( х, t) / д х поперечных сечений стержня определяются как

= а/' ( - х) + + х), ^р^ = а2/''( - х) + а2х"( + х), (7)

= -/'( - х) + х'(сЛ + х). (8)

Уравнения, определяющие параметры формируемой в ударном сечении прямой волны, примут вид [4]:

, ч GJР , ч GJn , , ч др( 0, г) Ор Jc А Jc

Г'(аГ) + —Рт/'(а1) = - —2/'(-21) + /''(-21), если *0, —2 = ~Г7 = ~Т = a, (9)

Jxa J:ía д х оха

/'(аа) = -/' а - 21), если др( 0, t) / дх = 0, (10)

где а = А Jc / Jx - отношение момента инерции единицы длины стержня А Jc = Jc // относительно продольной оси х к приведённому моменту инерции Jx ударяющего тела. Уравнение (9) с использованием переменной at = 4 примет вид

Г(4) + а/' (4) = -а/'(4-21) + 21), (/ -1)2/ <4< / ■ 21, / — 1, 2, 3,..., /*, (11) где / - номер интервала времени продолжительностью 2/; /* - номер интервала времени, на котором произойдет разрыв контакта.

Решение дифференциального уравнения (11) относительно первой производной / '(4) и функция обратной волны х'(4) на /-м интервале движения (/ -1)2/ <4 < / ■ 2/ представлены [4] как

/'(4) = С?а4 + е-а4$ еа4[ /''({-2/)-а/\%-2Х)Щ, х'(4) = -/'(4-2/), / = 1, 2, 3,., /*, (12)

где С/ - постоянная интегрирования на /-м интервале движения.

Значение С/ на первом интервале движения определяем из начальных условий (2):

дРд^ | х=0 = а/' (0) + а*'(0) = С (13)

д t

Так как на первом интервале /" (4 - 2/) — 0, /'(4 - 2/) — 0, то из (12) / (0) = С . Учитывая, что х'(0) = -/'(0 - 2/) — 0, получим из (13), что аС1 = с0, С1 = со0 / а .

На первом интервала времени 0 <4 < 2/ происходит взаимодействие ударяющего тела со стержнем, и решение (12) примет вид

/' (4) = Се-а4=с е-а4, 0 <4< 2/. (14)

а

Угловая скорость и относительный угол закручивания сечения х — 0 из (8) определяются как др( 0, г)

д г

■ = а/' (4) + ах' (4) = а/' (0) = сеа, 0 < 4 < 2/. (15)

дф(0, t)

а

я = -/'(%) + /(%) = ^, 0<%<21. (16) о х а

Введём безразмерную величину относительного угла закручивания:

ф(0,,) = ММ/^ = -- .

о х а

Максимального значения по модулю фх на интервале 0 <%< 21 достигает при % = 0: \фх\ = 1. Минимального значения по модулю фх достигнет в конце интервала при t = 21 / а : |фх| = в~2а1.

0ф( 0, t)

Так как на интервале 0 < % < 21 деформация в ударном сечении-Ф 0 , то разрыва контакта в

ох

ударном сечении не происходит, и ударяющее тело вращается вокруг оси х со скоростью

0ф( 0, t)

а> = -

= а/'( at - 0) + а/( at + 0) = ю0в-а? , 0 <%< 21.

д t

Преобразуем безразмерную величину а% :

аЕ= а at = at = —---— = J ■ t ,

Jxl Jx l / a x

где Jx = Jc— отношение момента инерции Jc относительно продольной оси x стержня длиной l к

Jx

t t

моменту инерции Jx ударяющего тела; t =-=--отношение текущего времени t к времени рас-

l / a T

пространения волны деформации Т = l / a по стержню длиной l.

Относительный угол закручивания сечения х = 0 на интервале 0 < t < 2 определится как

Фх (0/)=М°^ / Ю = =-exp(-Jx •?), 0 <t < 2.

д x а

При t = 1 волна деформации, сформированная в сечении х = 0, достигнет противоположного конца стержня (х = l). Относительный угол закручивания сечения х = 0 за это время по модулю интенсивно уменьшается и при t = 1 станет равным фх |f=1 = exp(-Jx).

На рис. 2 представлены диаграммы изменения во времени модуля относительного угла закручивания фх (0, t) для различных соотношений Jx = Jc / Jx.

0:2 0,3 ОД 0,5 0,6 Относительное время t

Рис. 2. Диаграммы изменения во времени модуля относительного угла закручивания фх

в сечении х = 0: 1 - 7х = 1,5; 2 - 7 = 2; 3 - 7 = 2,5; 4 - 7х = 3; 5 - 7 = 4

Чем большими инерционными свойствами обладает стержень по сравнению с ударяющим телом (чем больше значение Jx), тем интенсивнее изменяется деформация в ударном сечении и тем ближе система к завершению удара.

Прямая волна деформации f '(at - x) при t = 1 достигнет жёсткой преграды (x = l) и будет отражаться от неё в виде обратной волны:

X'{at + l) = -f' (at - l) = e-a(at-l\ l < at < 3l.

Относительный угол закручивания дф(х, t) / б x в сечении x = l стержня определится из (8) как

MM = -f' (at-l) + X'(at + l) = -2 f' (at-l) = -2e-a(at-l), l < at < 3l.

Относительный угол закручивания сечения х = l на интервале l < at < 3l в два раза превышает относительный угол закручивания в ударном сечении (х = 0):

Фх = Щт^ / — = -2e-aí = -2exp(-Jx • t), 1 < t < 3. б x a

Обратная волна x'(at + х) при t = 2 достигнет сечения х = 0. При взаимодействии обратной волны x'(at + 0) = —-e-a((at~21) с ударяющим телом будет формироваться прямая волна f '(at - 0), параметры которой определятся из решения дифференциального уравнения (11) в виде (12) на интервале 2l < £ < 4l.

Анализ процесса формирования волн следует продолжать до разрыва контакта ударяющего тела со стержнем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шевченко Ф. Л., Улитин Г. М. О разновидностях крутильных ударов, возникающих при работе буровых установок и способах их устранения // Совершенствование техники и технологии бурения скважин на твёрдые полезные ископаемые. - Екатеринбург : УГГА, 2001. - Вып. 24. - С. 132 - 138.

2. Улитин Г. М., Петтик Ю. В. Крутильный удар бурильной колонны при заклинивании режущего инструмента // Науков1 пращ ДонНТУ. Сер1я «Прничо-геолопчна». - 2008. - №7 (135). - С. 104 -107.

3. Li Jiyang, Tan Zhuoying, Li Wen. Diamond Drill Crushed Rock Under Impact-Rotational Loading // EJGE, Vol. 20 (2015), Bund. 20. - pp. 11719 - 11732.

4. Манжосов В.К. Модель вращательного удара твёрдого тела по стержню // Вестник УлГТУ. -2017. - №2. - С. 47-50.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, окончил машиностроительный факультет Фрунзенского политехнического института, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования процессов удара. [e-mail: [email protected]].

Северинов Андрей Дмитриевич, аспирант, окончил радиотехнический факультет Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи в области динамики машин. [e-mail: [email protected]].

Поступила 17.11.2017 г.