CC BY
12Семикопенко И.А., канд. техн. наук, проф., Воронов В.П., канд. физ.-мат. наук, проф., Горбань Т.Л., аспирант
Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ МАТЕРИАЛА ВДОЛЬ ПОВЕРХНОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ЛОПАСТИ РОТОРА
olimp69@narod. ги
В данной статье теоретически исследовано движение частицы материала вдоль криволинейной поверхности. Криволинейная поверхность разбита на «п» количество прямолинейных ломаных линий. С точностью до величин второго порядка малости определена скорость движения частицы материала вдоль поверхности криволинейной лопасти ротора. В результате расчетов получено выражение, из которого следует, что данную скорость можно считать постоянной величиной.
Ключевые слова: криволинейная поверхность, частица, скорость движения
В последние годы для производства тонкодисперсных порошков широкое распространение получили мельницы интенсивного действия с высокой скоростью нагружения [1]. К таким измельчителям, в частности, относятся мельницы ударно-отражательного действия и центро-бежно-противоточные мельницы. Оптимизация механики движения материала в этих мельницах, достигаемая правильным конструктивным решением, позволяет обеспечивать скорости, достаточные для получения заданного гранулометрического состава готового продукта при минимальных энергозатратах и износе рабочих органов.
Рассмотрим движение частицы материала вдоль поверхности криволинейной лопатки ротора, имеющей постоянный радиус кривизны Rk. Криволинейную дугу лопасти ротора разобьем «п» количеством прямолинейных ломаных линий (см. рисунок 1), начиная от точки поступления частицы материала на поверхность криволинейной лопасти.
Согласно результату работы [2] скорость движения частицы материала вдоль поверхности первого прямолинейного участка пути можно описать уравнением следующего вида:
=СС5^1-/51П^1, (1)
где f - коэффициент трения частицы материала о поверхность криволинейной лопасти; -угол, образованный первой ломаной линией с радиальным направлением, проведенным из центра вращения.
В соотношении (1) введены следующие обозначения:
(2)
г _
^ _ Pi'
(3)
здесь х1 - координата движения частицы материала вдоль поверхности первого прямолинейного участка; р1 - радиальное расстояние от центра вращения до начала первого прямоли-
нейного участка пути; V1 - скорость движения частицы материала на первом прямолинейном участке пути; ш - частота вращения лопасти ротора.
На основании результата работы [2] находим, что
COS sin ft
V-l _ Шрг ■
2f
(4)
Согласно расчетной схемы, представленной на рисунке 1 и теоремы косинусов, применимой к треугольнику OO1O2 находим:
Рг = Pi + + ZXiPi cos /?!■ (5)
Рис. 1. Расчетная схема к описанию движения частицы материала вдоль поверхности криволинейной лопасти ротора
Очевидно, что при достаточно большом числе разбиений исходной дуги криволинейной
лопасти отношение величин — будет являться
р 1
малой величиной. В дальнейшем отношение
каждого прямолинейного участка пути к своему радиальному расстоянию
о(^)п = 1,2... (6)
р„ Ург,/
будем считать малой величиной первого порядка малости.
Соотношение (5) с точностью до величины второго порядка малости можно привести к следующему виду [3]:
Р2 = Р1 (1 + + ^ - Р1 (1 + - Р1(1 +
Аналогично для движения частицы на втором и третьем прямолинейном участке можно получить следующие соотношения
. ^ . (7)
Р1 ■ V " V Р! V
Из условия непрерывности величины скорости в точке О1 можно записать следующее соотношение
V2 = шр2 У3 = шр3
cosff2-/sinft, 2/ '
2/
где
Рз
= P2(1 + pÍCOS^2).
(8) (9)
(10)
шрг
COS Pi~f sin
шр2
COsft,-/sinft,
(11)
2/ ^ 2/ С учетом соотношения (8) (11) можно привести к следующему виду:
P:LCOSft -Pl/sínft = Pl (l +^COSft) (COSft -/sín^2) .
На основании (12) можно получить следующие соотношения
(12)
COSft = COSft (l + —COSft) (13)
sin ft = sin ft +—- cos ft sin ft . (14)
Pl
Рз
= Pi(l+^cos£1)íl +
С учетом (13) и (14) с точностью до величин первого порядка малости согласно (6) можно получить следующие соотношения:
С0Б^2 = СОБ^! — ^СОБ^) (15)
и
= БШ^^—(16) Подставляя (7) и (15) в (10) находим, что
Х2 СОБ Д]^!-—СОЗ
_Pl
(17)
Будем считать, что все прямолинейные участки разбиения имеют одинаковый размер, т.е.
Х1 = х2 = х3 = = хп = const = X. (18) С учетом (18) и (16) получаем, что (17) имеет вид:
Рз ~ Pi (1 +--cos ft) ( 1 +--cos & (1--cos ft) (1--cos ft)
V Pi Pi V Pi A Pi Л
~ Pi (1 + cos ft)l 1 + cos ft (1 — cos ft)
Pi / у Pi V Pi
- Pl(l + ^ cos ft)(l + ^ cos ft) * Pi + 2 ~ cos ft)
Аналогично можно получить следующие соотношения:
(19)
Pa SPl(1 + 3^-cosft); cosft = cos ft (1 — 2^cosft); cos ft = cos ft — 3 cos ft) ; sin ft = sin ft — 2 cos ft) ;
sin ft = sin ft — 3^cos ft).
Используя метод математической индукции, можно доказать, что выполняются соотно-
(20) (21) (22)
(23)
(24)
P„SPl(l + (n-1)^-cosft); (25) cos ft = cos ft — (n — 1) ^cos ft) ; (26)
sin = sin ft — (n — 1) cos ft). (27)
На основании найденных соотношений (25) - (27) определим скорость движения частицы материала на прямолинейном участке:
ъ = ^Pncosfe;;sinfe (28) Подстановка (25) - (27) в (28) приводит к следующему результату:
шения:
Vn= wPl (1 + (п — 1) ^ cos ft)
COS р1 — (п— 1)-COS2 sin Pi+f(n— 1)-sin ftcOS ft
Pl
Pl
2/
(29)
С точностью до величин второго порядка малости на основании (29) можно получить следующее выражение:
и
+ -
Cos^i-Zsin^! Vn = a>Pi-^f-+
шрг ( (n — 1) — cos2 — (n — 1) — cos2 — —f(n — 1) sincos + f(n — 1) — sin^ cos ^
Pi Pi Pi Pi
шрг
2/
COS ft-/ sin ft 2?
Таким образом, с точностью до величин второго порядка малости скорость движения частицы материала вдоль поверхности криволинейной лопасти ротора можно считать постоянной величиной, значение которой определяется выражением (30).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Товаров В.В., Оскаленко Г.Н. Исследование вылета частиц из лопастных роторов центробежных измельчающих машин // Труды Ги-
= V1 = const = Vp. (30)
процемент. М.: Госстройиздат, 1962. - Вып.84. С.38-45. 263.
2. Воронов В.П., Семикопенко И.А., Пензев П.П. Теоретические исследования скорости движения частиц материала вдоль поверхности ударного элемента мельницы дезинтеграторного типа // Известия ВУЗов. Строительство. 2008. № 11-12.C. 93-96.
3. Кухлинг Х. Справочник по физике. М.: Мир, 1982. 520 с.
