Две начально-краевые задачи с нелинейными граничными условиями для одномерного гиперболического Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ДВЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ

© 2011 Л.С. Пулькина, М.В. Стригун1

В работе исследуются смешанные задачи для гиперболического уравнения с нелинейными граничными условиями. Доказано существование единственного обобщенного решения поставленных задач.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелинейные граничные условия, обобщенное решение.

1. Постановка задачи

Рассмотрим в области Qт = {(х,Ь) : 0 < х < I, 0 < Т} гиперболическое уравнение

Ьи = / (х,г), (1)

где

Ьп = ии - (а(х, Ь)пх)х + с(х, Ь)и,

и поставим для него следующие задачи.

Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Qт, удовлетворяющее начальным данным

п(х, 0) = р(х), (2)

щХх, 0) = ф(х) (3)

и граничным условиям

их (0,^=0, (4)

а(1,г)пх (¡,г) + \и(1,г)\ри(1,г) = 0. (5)

Задача 2. Найти решение уравнения (1) в области Qт, удовлетворяющее начальным данным (2), (3), граничному условию (4) и нелинейному условию

а(1,1)их(1,1) + \щ(1,1)\рщ (¡,1)=0. (6)

Заметим, что условия такого вида могут возникать, например, в задачах о продольных колебаниях пружины при упругом закреплении концов, не подчиняющемся закону Гука [1]. В книге [2] рассматривается задача с нелинейностью

1Пулькина Людмила Степановна ([email protected]), Стригун Мария Владимировна ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

аналогичного вида, входящей в гиперболическое уравнение, но наличие нелинейности в граничном условии не позволяет применить разработанные там методы исследования.

2. Разрешимость задачи 1

Введем обозначения

Г1 = {(x,t) : x = l, t e (0,T)}, W(Qt) = {u(x,t) : u(x,t) e W1(Qt) f|Ьр+2(Г,)}, \\u\\w (Qt ) = \\u\\w1(Qt) + \\u\\Lp+2(Гl),

W(Qt) = {u(x,t) : v(x,t) e W(Qt), v(x,T)=0}.

Обобщенным решением задачи (1)—(5) будем называть функцию u(x,t) e W(Qt), удовлетворяющую условию (2) и тождеству

т

j (-utvt + auxvx + cuv)dxdt + J \u(l,t)\pu(l,t)v(l,t)dt =

Qt 0

l

= j f (x,t)u(x,t)dxdt + j ^^ 0)dx (7)

Qt 0

для любой функции v(x,t) e W(Qt).

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: f(x,t) e L2(Qt), c(x,t) e C (Qt ), a(x,t) e C (Qt ), at(x,t) e C (Qt ), Ф) e Wl(0,l)f] Lp+2(0,l), ф(x) e L2(0, l), y'(0) =0 и a(l,t)ф' + \^(l)\p^(l) = 0, тогда для любого p > 0 существует единственное решение задачи (1)—(5).

Доказательство единственности решения

Предположим, что задача (1)-(5) имеет два решения: u\(x,t), u2(x,t). Тогда их разность u\(x,t) — u2(x,t) = u(x,t) удовлетворяет условию u(x, 0) =0 и тождеству

Чutvtdxdt Чauxvxdxdt Чcuvdxdt+

QT QT QT

T

+ J(\u i(l,t)\pu1(l,t) — \u2(l,t)\pu2(l,t))v(l,t)dt = 0. (8)

0

Выберем v(x,t) специальным образом:

i \ I — i u(x, n)dn, 0 ^ t ^ т, v(x,t)= < i

I 0, т < t < T.

Проинтегрировав по частям первые два слагаемых (8), получим:

i i Wo, , , 1

2 j u2(x,T)dx +1 J a(x, 0)uX(x, 0)dx—

- J (\и1(1,г)\ри1(1,г) - \и2(1,г)\ри2(1,г))и(1,г)л = (9)

0

= J си1ид,хд;Ь - 1 J аиХ ¿.хдА,.

Ят Ят

Рассмотрим третье слагаемое тождества (9). Заметим, что

д

ди\и\ри =(1+ р)\и\р > 0.

Тогда

т

- J(\и1(1,г)\ри1(1,г) - \и2(1,г)\ри2(1,г))и(1,г)л =

0

п

р

= J и(х,п) J (\и1 \ри1 - \и2\ри2 )йЬйц ^ 0.

Рассмотрим теперь правую часть (9). Из условий теоремы следует, что существуют числа со > 0 и а1 > 0 такие, что тах\с(х,Ь)\ * со, тах \аъ(х,1)\ * а1.

Ят Ят

Так как уравнение (1) гиперболическое, существует ао > 0 такое, что а(х,Ь) > ао У(х,Ь) € Qт. Введем функцию

ъ

С(х,г) = - ! их (х,ц)^.

х

о

Тогда

их(х^) = С(х,Т) - С(х,г),

их(х, 0) = С(х,Т).

Равенство (9) примет вид:

I т п

1 1'(и2(х,т) + а(х, 0)С2(х,т )Ых + [ и( х п) [(и 1ри< _ и21р.

2> ^(и2(х,т) + а(х, 0)£2(х,т))йх + J и(х,n)J(\ul\pUl - \и2\ри2)ЛЬЗп =

оо

= J сиъив,х& - 1 J аъ(С(х,т) - ((х,1))23х31.

Ят Ят

Первое слагаемое правой части оценим с помощью неравенства Коши:

со [ (и2 , и2) "У

Ят

\ J сиъид,х&\ * J (и2 + и^^хА

и заметим, что / и2(х,1)& * т2 £ и?(х,1)в^ почти всюду. Тогда, продолжая оценку,

оо

получим

I

1(и2(х,т) + аоС2(х,т))'х *

о

т

I

</ Ы1 + г + Ъ„с + 2а,г1< %х,г )3х.

Ят

Пусть с = тах{2а1, с0(1 + Т2)}. Тогда

I I

J(u2(x,т) + аоС2(х,т))3х < с^(и2 + £2(х,1))3х3Ь + 2а±г J ^2(х,т)3х.

Пользуясь произвольностью т, выберем его так, чтобы ао — 2а1Т ^ а0. Тогда для т € [0, ] при с = т1п|1 а0_2д1Т} выполняется неравенство

2а1Т } I

J (и2(х,г) + (2(х,т ))3х < с У (и2 + (2(х,1))3х3Ь, о Ят

применив к которому лемму Гронуолла, убедимся в том, что и(х,Ь) = 0 в Qt, где * € [^ ].

На следующем шаге покажем, что и(х,*) = 0 для * € [, ], а затем продолжим этот процесс, что и приведет к доказательству утверждения единственности решения, если оно существует. Поэтому переходим к доказательству существования.

Доказательство существования решения

Рассмотрим последовательность функций {Хг(х)}, Хг(х) € С2\0,1], Х?(0) = = 0, образующих линейно независимую полную ортонормированную систему в Ш1(0,1)Г\ Ьр+2(0,1).

Будем искать приближенное решение задачи (1)—(5) в виде

т

ит(х,г) = З,(г)х,(х). (10)

г=1

Найдем 3г(Ь) из соотношений

I

J (ит X, + аитХ[ + ситХг)3х + \ит(1,г)\рит(1,г)Хг(1) = о

I

= ! I (х,г)Х, (х)3х. (11)

о

Эти соотношения дополним начальными условиями

3 (0) = а, 3[ (0) = вг, (12)

где аг, вг — коэффициенты конечных сумм

тт

рт(х) =]Т а (*)Х, (х), фт(х) =]Т вг (*)Х, (х), =1 =1

аппроксимирующих при т —> ж функции ^(х) и ф(х) соответственно в пространствах Ш2(0,1) и Ь2(0,1):

рт(х) —► р(х), фт(х) —► ф(х), т —(13)

Соотношения (11)—(12) представляют собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая разрешима на отрезке [0, tm]. Для того чтобы убедиться в существование решения на [0,T], получим априорную оценку.

Умножим (11) на d'i(t), просуммируем по i от 1 до m и проинтегрируем по t от 0 до т. Временно не будем писать индекс m. Имеем:

т

J(uttut + auxuxt + cuut)dxdt + J \u{l,t)\pu{l,t)ut{l,t)dt =

Qt 0

= j futdxdt. (14)

Qt

Первые два слагаемых преобразуем стандартным образом, интегрируя по частям [3]. Рассмотрим четвертое слагаемое. Заметим, что

d (\u(l,t)\p+2) = (p + 2)\u(l,t)\pu(l,t)ut(l,t). dt

Тогда, как нетрудно видеть,

т

i \u(l,t)\pu(l,t)ut(l,t)dt = \u(l,T)\p+2--— \u(l, 0)\p+2.

J p + 2 p + 2

0

Учитывая это представление, имеем: i

1 S' 1

2 j (u2(x,T) + a(x,T)uX(x,T))dx + p+2\u(l,T)\p+2 =

Р + 2'

0

I

= 2 Г(Ых, 0))2 + а(х, 0)(их(х, 0))2^х +-+-\и(1,0)|р+2+ (15)

2 ] р + 2

о

+ 1 J аиХЗхА — J сищЗхА + ^ futdxdt.

Ят Ят Ят

Рассмотрим правую часть равенства (14). Применяя неравенство Коши, получим оценку двух слагаемых:

,/«1/ + u)didt

Qt Qt

\ j cutfdxdt\ ^ i j(f2 + u'2)dxdt.

Из представления

т

i(x,T) = J ut(x,t)dt + u(x, 0)

вытекает неравенство

i i

j u2(x,T)dx ^ 2t J u2dxdt + 2J u2(x, 0)dx.

0 Qt 0

Таким образом, получаем оценку:

I

/(и2(х, т) + и'2(х, т) + а(х, т)и2Х(х, т))3х +---\и(1, т)\р+2 <

р + 2

о

I

< (и2(х, 0) + а(х, 0)и2Х(х, 0)+2и2(х, 0))3х +---\и(1, 0)\р+2 + аги2Х3х3г+

] р +2

о Ят

+со J и23х3Ь + (со + 1 + 2Т) J и'23х3Ь + J 123х31.

Ят Ят Ят

Заметим, что из (12), (13), условий теоремы и теорем вложения [4] следует, что

I

¡(и2(х, 0)+ а(х, 0)и2х(х, 0) + 2и2(х, 0))3х +--+-\и(1,0)\р+2 + / 123х3г < К.

„/ р +2 о Ят

Имеем:

I

!(и2(х,т) + и2(х,т) + иХ(х, т))3х + Р\и(1,т)\р+2 < о

< м/ <:ии + иХ + ^ +К, (!,)

Ят

где Р = +2), М = }, К = . К г, причем М и К не

^ тт{1!ао}(р+2) ' тт{1,ао^ ' тт^^ао}' ^

зависят от т.

Из (16), в частности, следует неравенство

I

J(и2(х, т) + и\(х, т) + иХ(х, т))3х < М J(и2 + иХ + и'2)3х31 + К,

о Ят

применив к которому лемму Гронуолла и возвращая назад индекс т, получим

\\ит\и1(Ят) < N1. (17)

Возвращаясь к (16) и учитывая (17), получим еще одно неравенство:

\и(1,т)\р+2 < N2, (18)

откуда следует, что и(1,Ь) € Ьр+2(0,Т). Полученные оценки (17) и (18), в которых N не зависит от т, означают, что

\\ит(х,1)и(Ят) < N. (19)

Оценка (19) гарантирует существование решения задачи Коши (11), (12) на всем промежутке [0, Т], что, в свою очередь, означает, что последовательность приближенных решений {ит(х,1)} построена и обладает свойствами: ит при т —> ж ограничена в W2(Qт )П ^р+2(Г'1), и ит при т —ограничена в Ь2^т).

Эти свойства позволяют выделить из построенной последовательности {■ит(х,*)} подпоследовательность {и^(х,Ь)} такую, что им —> и слабо в ^^Т)ПЪр+2(Г1), и и —> иг слабо в Ь2^т).

Заметим, что в силу (17)последовательность ит ограничена в W21(Qт). В силу теоремы Реллиха — Кондрашова, вложение W)l(Qт) в Г/2^т) компактно. Это

означает, что последовательность можно выбрать так, что —> и в норме Ь2, а значит и сходящейся почти всюду [5, с. 363].

Из (18) следует, что \и^(1,г)\ри^(1,г) £ Ьч(0,Т), д = ^ > 1 и сходится почти всюду в (0,Т).

Теперь заметим, что из ограниченности последовательности \ит \рит в Ьч) вытекает слабая сходимость в этом пространстве подпоследовательности \и^\ри^ к некоторой функции х(^).

В силу леммы, доказанной в [2, с. 25], х(£) = \и\ри.

Приведенные рассуждения позволяют перейти к пределу в (11). Но сначала умножим каждое из равенств (11) на с^ £ С[0, Т], причем такие, что с^ (Т) = = 0, просуммируем по ] от 1 до ¡л , затем проинтегрируем. После элементарных преобразований получим

т

J (-и?цг + аи^Пх + си^п)ЛхЖ + ^ \им(1,г)\ри^(1,г)п(1^)А =

= у + у и(х 0)ф, °)<ъ, (20)

Ят 0

где П(х,£) = Е4=1 сэ (г)Хз(х)■

Учитывая полученные включения и сходимости, перейдем в (20) к пределу при ¡л —> ж и получим (7) для и = п. Так как множество всех функций п(х, I) плотно в W21(Qт)П^р+2(Г;), то предельное соотношение выполняется для всех и £ \¥^т).

3. Разрешимость задачи 2

Обозначим Г; = {(х,г) : х = I, г £ (0,Т)},

и ^т ) = {и : и £ Wl(Qт), иг £ W}(Qт )р| Ьр+2(Г;)},

Ми (Ят) = Ыш^Ят) + \\игг\\ь2(Ят) + \\и\\ьр+2 (гг), V(0,1) = {и(х) : и £ W21(0,OПЬр+2(0,1)},

С1(0,Т) = {х(г): х(г) £ С 1(0,Т), г(Т) =0}.

Будем рассматривать задачу 2 с нулевыми начальными условиями. Это вызвано лишь желанием упростить некоторые выкладки и не нарушает общности.

Обобщенным решением задачи 2 будем называть функцию и(х,Ь) £ и^т), удовлетворяющую условию и(х, 0) = 0 и тождеству

т I

У (| (иии + аихих + сии)ё,х + ^(¿^^и^^^и^,£))$(£)& =

00

= ! /(х,г)и(х)$(г)ЗхА (21)

Ят

для любой и(х) £ V(0,1) и любой $(г) £ С1 (0,Т).

Теорема 2. Если ¡(х,Ь) е Ь2{Ят), е Ь2{Ят), с(х,Ь) е С^т),

с^(х,Ь) е С^т), а(х,Ь) е С(@т), аг(х,Ь) е С(^т), то для любого р> 0 существует единственное решение задачи 2.

Доказательство единственности решения

Предположим, что задача 2 имеет два решения: и\(х,Ь), и2(х,1). Тогда их разность и\(х,Ь) — и2(х,Ь) = и(х,Ь) удовлетворяет тождеству

т I

¡Ф™ + аиХиХ + Сии¥х+

о о

+(\ии(1,г)\рип(1,г) — \ип(1,г)\Рип(1,г))и(1,г)Щг)м = 0. (22)

Так как (22) выполняется для любой функции $(£), то для произвольного фиксированного т е (0, Т)

I

1Ыи + аихих + Сии)х

+(\Щ 1(1,г)\рии(1,г) — \и21(1,г)\ри21(1,г))и(1,г) = о. (23)

1 (и1)г, аихПхл = 2(аиХ)

Положим в (23) и(х,Ь) = щ(х,Ь) и заметим, что иищ = 2(и'2)г, аихихЛ = 2(аиХ)г —

— 1 а^х, и поэтому (23) можно записать так:

I I I

(/((и* )1 + + 1 сищ^х + (\ии\рип — \и^\ри2^1,1))щ\хх=1 = ^J аЩ^х.

о о о

Проинтегрируем это равенство по £ от 0 до т:

I т

1

Ц((и1)> + (аих)г)3х+ !(\и1^ри11 — \и2^ри2^1,Ь)) щ = —J сищ^х+2 ^ (ни2х/1х.

щи2 '

0 о """"

Принимая во внимание монотонность \щ\риг и делая оценку правой части полученного равенства, как и при доказательстве теоремы 1, получим, что и = 0 в Qт. Доказательство существования решения Будем искать приближенное решение задачи 2 в виде

т

ит(х,1) =]Т ¿3 №3 (х), (24)

3 = 1

где Х3 (х) е С2 [0,1], Х 3 (0) =0 и образуют линейно независимую полную ортонор-мированную систему в Ш2 (0,1) р| Ьр+2(0,1). Из соотношений

I I

J (итХз + аи'тХ 3 + ситХ 3)вх + \ит (¡,г)\рит (¡,г)Х 3(I) = У ¡Хз¿х, (25)

оо

образующих вместе с начальными условиями ¿3(0) = ¿3(0) = 0 задачу Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая разрешима на отрезке \0,1т], найдем ¿3(1). Покажем, что решение системы существует и на \0,Т]. Для этого получим априорную оценку.

Умножим (25) на ¿^ (£), просуммируем по ] от 1 до т и проинтегрируем по £ от 0 до т:

т

¡мт++ / кл^кчм»^ = } ж**.

Ят о Ят

Стандартные преобразования приводят к неравенствам

\\ит\\ш1(Ят) < N1, (26)

ит\\ьр+2(го < (27)

Ьр+2(г I

В данном случае этих оценок недостаточно.

Продифференцируем (25) по затем умножим на ¿"(1), просуммируем по ] от 1 до т и проинтегрируем по £ от 0 до т. Получим:

У (и?аиа + аиХ.иХг. + си^и™ + а. и^и™. + с.ити™ )ё,хА+ Я

+ ¡(1+ р) \ \ р(и%(1,г))2л = ! /^¿хен.

0 Ят

Преобразование первого интеграла слева приводит к равенству:

I т

±1((и%(х,т ))2 + „и. (х,т ))2 ¿х + 1(1+ р)\иГ(1Ж(ит(Ш2А

0

I

= Ц 3а.(ит.)2 + 1 аг.итит - си^и^ - снитит)с1хЖ - | а.иХ

¿х+ (28)

0

I

+ Ц((и%(х, 0))2 + а(и%(х, 0))2¿x + ! /^¿хеН.

0 Ят

Приступим к оценке правой части (28). Прежде всего заметим, что ит (х, 0) не

может быть непосредственно оценено через начальные условия. Поэтому докажем I

ограниченность /((ит(х, 0))2Сх следующим образом: умножим (25) на ¿"(0), затем

0

в полученном равенстве положим £ = 0. Тогда

J((ит(х, 0))2 + а(х, 0)ит(х, 0)ит(х, 0) + с(х, 0)ит(х, 0)ит(х, 0))¿x+

0

I

+ \иТ(1, 0)\риТ(1, 0)и..(1, 0) = I /(х, 0)ии(х, 0^х,

0

откуда, в силу начальных условий,

; I

(ит(х, 0))2¿x = J /(х, 0)иа(х, 0)¿x■

т

т

Из этого равенства следует, что

IK X 0)|U2«,,0 < \\f (x, 0)Уь2(01;). С учетом этой оценки, применяя неравенство Коши и лемму Гронуолла, получим:

ik\\l2(qt) < n3- (29)

Оценки (26), (27), (29) гарантируют существование решения задачи Коши на всем отрезке [0,T], а значит, последовательность приближенных решений задачи 2 построена. Кроме того, эти оценки и рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве теоремы 1, позволяют обосновать возможность выделения подпоследовательности {u^(x,t)} из построенной последовательности приближенных решений {um(x,t)}, дающей возможность перехода к пределу в (25).

Литература

[1] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

[2] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

[3] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

[4] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 333 с.

[5] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

Поступила в редакцию 10/Х/2010; в окончательном варианте — 10/Х/2010.

TWO INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH NONLINEAL BOUNDARY CONDITIONS FOR ONE-DIMENSION HYPERBOLIC EQUATION

© 2011 L.S. Pulkina, M.V. Strigun2

In this paper, the initial-boundary value problems for hyperbolic equation with nonlinear boundary conditions are considered. Existence and uniqueness of generalized solution are proved.

Key words: hyperbolic equation, nonlinear boundary conditions, generalized solution.

Paper received 10/X/2010. Paper accepted 10/X/2010.

2Pulkina Ludmila Stepanovna (louiseasamdiff.ru), Strigun Maria Vladimirovna (mariiasamaracom.ru), the Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.